Một số định lý điểm bất động đối với các phép co cyclic

Điểm bất động của các phép ϕ -co yếu cyclic 19 2.1 Điểm bất động của các phép ϕ -co yếu cyclic trong không gian mêtric.. 19 2.2 Một số định lý về sự tồn tại duy nhất điểm bất động đối vớ

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học VinhDương Văn Hè

Một số định lý điểm bất động

đối với các phép ϕ -co

luận văn Thạc sỹ Toán học

Nghệ An - 2014

Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học VinhDương Văn Hè

PGS TS Trần Văn Ân

Mục Lục

Trang Lời nói đầu 2

1.1 Các khái niệm cơ bản 4 1.2 Điểm bất động của các phép ϕ -co cyclic 9

Chương II Điểm bất động của các phép ϕ -co yếu cyclic 19 2.1 Điểm bất động của các phép ϕ -co yếu cyclic trong không

gian mêtric 19 2.2 Một số định lý về sự tồn tại duy nhất điểm bất động đối

với các phép ϕ -co cyclic trong không gian mêtric riêng 24

lời nói đầu

Lý thuyết về điểm bất động là một trong những chủ đề nghiên cứu quantrọng của giải tích Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kĩthuật Một số kết quả nổi tiếng về tồn tại điểm bất động đã xuất hiện từ đầuthế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912)

Năm 1969, Boyd và Wong[3] đã giới thiệu khái niệm ánh xạφ-co và mởrộng định lý ánh xạ co Banach cho lớp các ánh xạφ-co trên các không gianmêtric đầy đủ Năm 1997, Alber và Guerre-Delabriere [4] đã giới thiệukhái niệm φ-co yếu và chứng minh sự tồn tại các điểm bất động của các

ánh xạ φ-co yếu trong không gian Hilbert Năm 2001, Rhoades [11] đãchứng minh rằng các kết quả chính của Alber và Guerre-Delabriere nóitrên có thể mở rộng cho lớp các không gian Banach bất kỳ

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứunày nhằm tìm hiểu về điểm bất động đối với phép ϕ-co trong không gianmêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric đầy đủ Trên cơ sở cáctài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Văn Ân, chúngtôi đã thực hiện đề tài:"Một số định lý điểm bất động đối với các phép

Các nội dung gồm: không gian mêtric, dãy Cauchy, không gian mêtric đầy

đủ, không gian mêtric riêng, điểm bất động, điều kiện co, ánh xạ co, biểudiễn cyclic, ánh xạ cyclic, phép ϕ-co, phép ϕ-co yếu, phép ϕ-co yếu cyclic,phép co quỹ đạo cyclic, hàm so sánh, hàm (c)-so sánh, hàm nửa liên tụcdưới, dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng

đầy đủ, dãy 0-Cauchy, không gian mêtric riêng 0-đầy đủ, điểm bất động.Mục 2 trình bày một số định lý về điểm bất động của các phépϕ-co cyclic.Chương 2 Điểm bất động của các phép ϕ-co yếu cyclic Mục 1 dànhcho việc trình bày một số định lý về điểm bất động của các phépϕ-co yếucyclic Mục 2 trình bày một số định lý về điểm bất động của các phépϕ-coyếu cyclic trong không gian mêtric riêng

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của Thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc nhất đến Thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cám

ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học, quý Thầy, Côtrong tổ Giải Tích khoa Toán Trường Đại học Vinh, Phòng tổ chức Trường

Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt làcác học viên cao học khóa 20 Toán - Giải Tích tại Trường Đại học Sài Gòn

đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốtquá trình học tập

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những saisót Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô vàbạn đọc để luận văn được hoàn thiện

Vinh, ngày 20 tháng 5 năm 2014

Dương Văn Hè

chương 1

Trong chương 1 này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản: khônggian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, dãy Cauchy, không gian mêtricriêng, không gian mêtric riêng đầy đủ, dãy Cauchy, dãy 0-Cauchy, dãy 0-

đầy đủ, điểm bất động, điều kiện co, ánh xạ co, biểu diễn cyclic, ánh xạcyclic, phép ϕ-co, phép co quỹ đạo cyclic, hàm so sánh, hàm (c)-so sánh,hàm nửa liên tục dưới Và một số định lý về điểm bất động của phépϕ-cocyclic

3) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z)với mọix, y, z ∈ X

Tập hợpX cùng với mêtric dtrên nó được gọi là một không gian mêtric

và ký hiệu là(X, d)hay đơn giản là X

1.1.2 Nhận xét ([1]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric, xi ∈ X, i =

1, 2, , n Khi đó ta có

d(x1, xn) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3) + ã ã ã + d(xn−1, xn).

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy{xn}trong không gian mêtric(X, d)được gọi

là hội tụ tới điểm x ∈ X và kí hiệu là x → x hay lim x = x nếu

1.1.4 Mệnh đề ([1]) Giả sử (X, d)là một không gian mêtric Khi đó

1) Nếu {xn} ⊂ X, xn → x và xn → y thì x = y

2) Nếu{xn}, {yn}là các dãy trongX,xn → x, yn → ythìd (xn, yn) →

d (x, y)

1.1.5 Định nghĩa ([1]) ChoX là một không gian mêtric Dãy {xn}trong

X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0tồn tại sốn0 ∈ N sao cho vớimọin, m ≥ n0 ta có d (xn, xm) < ε

Không gian mêtric(X, d)được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong

X đều hội tụ

1.1.6 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, d) và (Y, ρ) là các không gian mêtric

ánh xạf : X → Y từX vàoY được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại0 ≤ k < 1

sao cho với mọix, y ∈ X ta cóρ (f (x), f (y)) ≤ k.d (x, y) Số thựck ∈ [0, 1)

được gọi là hệ số co củaf trênX

Nhận xét Mọi ánh xạ co đều là ánh xạ liên tục

1.1.7 Định lí ([1]) (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Giả sử (X, d) là khônggian mêtric đầy đủ, f : X → X là ánh xạ co từ X vào chính nó Khi đótồn tại duy nhất điểmx∗ ∈ X sao cho f (x∗) = x∗

Điểm x∗ ∈ X có tính chất f (x∗) = x∗ được gọi là điểm bất động của

(P3) p (x, x) ≤ p (x, y).

(P4) p (x, z) ≤ p (x, y) + p (y, z) − p (y, y)

với mọix, y, z ∈ X

Khi đó, cặp(X, p) được gọi là một không gian mêtric riêng

Nhận xét.Mỗi mêtric riêng ptrênX sinh ra một tôpôτp trênX có cơ sở là

họ các hình cầu mở {Bp(x, ε) : x ∈ X, ε > 0} trong đó Bp(x, ε) = {y ∈

X : p (x, y) < p (x, x) + ε}với mọix ∈ X vàε > 0

1.1.9 Định nghĩa ([2]) Cho(X, p) là không gian mêtric riêng

1) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ đến điểmx ∈ X nếu

sao cho lim

n,m→∞p(xn, xm) = p(x, x).4) ánh xạ f : X → X được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi

ε > 0tồn tạiδ > 0 sao chof (Bp(x0, δ)) ⊂ Bp(f (x0), )

5) ánh xạ f : X → X được gọi là liên tục trênX nếu f liên tục tạimọix ∈ X

1.1.10 Định nghĩa ([2]) Cho(X, p) là không gian mêtric riêng

1) Dãy {xn}trong không gian mêtric riêng(X, p) được gọi là dãy0Cauchy nếu lim

-n,m→∞p(xn, xm) = 0

2) Không gian (X, p) được gọi là 0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchytrong X đều hội tụ (theo tôpô τp) về điểm nào đó x ∈ X sao cho

p(x, x) = 0

1.1.11 Bổ đề ([2]) Giả sử(X, p) là không gian mêtric riêng và{xn} ⊂ X.Nếuxn → x ∈ X vàp(x, x) = 0thì lim

n→∞p(xn, z) = p(x, z)với mọiz ∈ X.Chứng minh Nhờ bất đẳng thức tam giác trong mêtric riêng, với mọi

m

S

i=1

Xi

và thỏa mãn các điều kiện sau

(i) Xi 6= φ, với mọii = 1, , m

(ii) f (X1) ⊂ X2, f (X2) ⊂ X3, , f (Xm−1) ⊂ Xm, f (Xm) ⊂ X1

1.1.13 Định nghĩa ([13]) Hàm số ϕ : R+ → R+ được gọi là hàm so sánhnếu thỏa mãn các điều kiện sau

(i)ϕ ϕ là hàm tăng, nghĩa là với mọi t1, t2 ∈ R+ nếu t1 ≤ t2 thì

ϕ (t1) ≤ ϕ (t2).(ii)ϕ Dãy số{ϕn(t)}n∈N hội tụ đến0khin → +∞ với mọit ∈ R+

1.1.14 Định nghĩa ([10]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và ϕ :

R+ → R+ là một hàm so sánh ánh xạ f : X → X được gọi là phép ϕ-conếu

d(f (x), f (y)) ≤ ϕ(d(x, y))với mọix, y ∈ X.

1.1.15 Định nghĩa ([10]) Cho (X, d) là một không gian mêtric, m là sốnguyên dương,A1, A2, , Am, Am+1 là các tập con đóng khác rỗng của X,vớiA1 = Am+1, Y =

m

S

i=1

Ai và ánh xạf : Y → Y Nếu(i) {Ai}mi=1 là một biểu diễn cyclic của Y đối vớif

(ii) Tồn tại hàm so sánh ϕ : R+ → R+ sao cho

d (f (x) , f (y)) ≤ ϕ (d (x, y)) (1.1)

với mọix ∈ Ai và y ∈ Ai+1,

thìf được gọi là phépϕ-co cyclic

1.1.16 Định nghĩa ([4]) Hàm số ϕ : R+ → R+ từ tập hợp các số thựckhông âm vào chính nó được gọi là hàm (c)-so sánh nếu thỏa mãn các điềukiện sau

(i)ϕ ϕlà hàm tăng

(ii)ϕ Tồn tại số k0 ∈ N, số α ∈ (0, 1) và chuỗi P∞

k=1

vk các số hạngkhông âm hội tụ sao cho

ϕk+1(t) ≤ αϕk(t) + vk (1.2)

với mọik ≥ k0, và với mọi t ∈ R+

1.1.17 Bổ đề ([4]) Nếu ϕ : R+ → R+ là một hàm (c)-so sánh thì cáckhẳng định sau đây là đúng

i) ϕlà hàm so sánh

ii) ϕ (t) < t với mọi t ∈ R+

iii) ϕliên tục tại 0

là hàm tăng và liên tục tại0

1.1.19 Nhận xét Nếu ϕ : R+ → R+ là hàm (c)-so sánh thì ϕlà hàm nửaliên tục trên

1.2 Điểm bất động của các phép ϕ-co cyclic

1.2.1 Định nghĩa ([5]) ChoX là không gian mêtric, x0 ∈ X, F : X → X

ánh xạ F : X → X gọi được là co rút nếu

d(F (x), F (y)) < d(x, y) với mọix, y ∈ X mà x 6= y.

Dãy{xn}trongX cho bởix1 = F (x0), x2 = F (x1), , xn = F (xn−1) =

Fn(x0), được gọi là dãy Picard

Năm 1962, M Edelstein đã chứng minh kết quả sau đây

1.2.2 Định lí ([5]) Giả sửX là không gian mêtric đầy đủ vàF : X → Xlà

ánh xạ co rút từX vào chính nó Nếu với mọi x ∈ X, dãy Picard {Fn(x)}

có một dãy con hội tụ trongX thìF có một điểm bất động duy nhất

1.2.3 Định lý ([16]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric, m là số nguyêndương, A1, A2, , Am là các tập con đóng khác rỗng của X, Y =

(i) {Ai}mi=1 là một biểu diễn cyclic của Y đối với f

(ii) f là là một phépϕ-co cyclic

dãy Picard {xn}n≥0 hội tụ vềx∗

(2) Các đánh giá sau đây là đúng

d(xn, x∗) ≤ s(ϕn(d(x0, x1))), n ≥ 1 (2.1) d(xn, x∗) ≤ s(ϕn(d(xn, xn+1))), n ≥ 1 (2.2)

(3) Với bất kỳ y ∈ Y ta có

d(x, x∗) ≤ s(ϕn(d(x, f (x))), (2.3)

trong đó hàms được cho bởi công thức (1.3) trong Bổ đề 1.1.18

Điều này chứng tỏ rằng, dãy{xn}n≥0là dãy Cauchy trong không gian đầy

i=1

Ai là biểu diễn cyclic của Y đối với f

nên với mỗi i = 1, , m dãy {xn}n≥0 có vô số phần tử nằm trong Ai Vìvậy, với mỗii = 1, , m tậpAi chứa một dãy con{xin

k} của dãy Cauchy

{xn}mà {xin

k}cùng hội tụ vềp ∈ Y DoAi đóng ta suy rap ∈ Ai với mọi

S

i=1

Aivà dãy Picardbắt đầu từ x hội tụ tới x∗ Thật vậy, khi đó tồn tại i0 ∈ {1, 2, , m} saochox thuộcAi0 Vìx∗ ∈ Tm

Từ định nghĩa của ϕ, dễ thấy rằng nếu x 6= x∗ thì ta có fn(x) → x∗

khi n → ∞ Vậy, dãy Picard với điểm ban đầu bất kỳ x ∈ Y hội tụ tới

điểm bất động duy nhấtx∗ của f

(2) Vớin ≥ 1, từ (2.6) khi chop → ∞ta nhận được bất đẳng thức (2.1).Vớin ≥ 0và k ≥ 1nhờ tính chấtϕ-co cyclic củaf ta có

d (xn+k, xn+k+1) = d (f (xn+k−1) , f (xn+k)) ≤ ϕ (d (xn+k−1, xn+k)) ,

(2.9)

Chứng minh Lấy điểm bất kỳ x = x0 ∈ Y Khi đó vì f là phép ϕ-cocyclic nên với mọin ≥ 0ta có

Định lý 1.2.3 Khi đó, tồn tạix∗ ∈ Y sao chof (x∗) = x∗ Vìf là phépϕ-cocyclic nên với điểm bất kỳx ∈ Y ta cód (f (x) , f (x∗)) ≤ ϕ (d (x, x∗)) Lạinhờ tính đơn điệu của hàmϕvới mọi n ≥ 0ta có

sao cho , khi , thì điều này kéo theo ∗ khi

Chứng minh Giả sử ánh xạ f : Y → Y thỏa mãn các điều kiện của

Định lý 1.2.3 Khi đó, tồn tạix∗ ∈ Y sao cho f (x∗) = x∗ Giả sử rằng, vớimỗi n ∈ N tồn tại zn ∈ Y sao cho

ảnh giới hạn, nghĩa là khi giả thiết rằng với mỗi n ∈ N tồn tại zn ∈

Y sao cho d (zn+1, f (zn)) → 0 khi n → ∞ thì tồn tại x ∈ Y sao cho

d (zn+1, fn(x)) → 0, khi n → ∞

Chứng minh Giả sử ánh xạ f : Y → Y thỏa mãn các điều kiện của

Định lý 1.2.3 Khi đó, tồn tạix∗ ∈ Y sao cho f (x∗) = x∗ Giả sử rằng, vớimỗi n ∈ N tồn tại zn ∈ Y sao cho

củaf, từ bất đẳng thức (2.17) với mỗi số n ≥ 0ta nhận được

Theo Định lý 1.2.3, với bất kỳx ∈ Y dãy Picard {fn(x)}n≥0 hội tụ về x∗

Do đó, với điểm nào đóx ∈ Y, nhờ bất đẳng thức tam giác với mỗi sốn ≥ 0

ta có

d (zn+1, fn(x)) ≤ d (zn+1, x∗) + d (x∗, fn(x)) (2.21)

Bây giờ chon → ∞trong bất đẳng thức (2.21), nhờ (2.20) ta nhận được

d (zn+1, fn(x)) → 0 khin → ∞.

1.2.8 Định lý ([16]) Giả sử ánh xạf : Y → Y thỏa mãn các điều kiện của

Định lý 1.2.3 Giả sửg : Y → Y là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện

(i) g có ít nhất một điểm bất độngx∗g ∈ Fg

(ii) Tồn tại số η > 0sao cho

Chứng minh Giả sử ánh xạ f : Y → Y thỏa mãn các điều kiện của

Định lý 1.2.3 Khi đó áp dụng khẳng định (3) của Định lý 1.2.3 cho điểm

x = x∗g vàx∗f là điểm bất động của ánh xạ f ta thu được

1.2.9 Định lý ([16]) Giả sử ánh xạf : Y → Y thỏa mãn các điều kiện của

Định lý 1.2.3 và với mỗin ∈ N cho ánh xạfn : Y → Y sao cho

(i) Tồn tạix∗n ∈ Ffn

(ii) Dãy{fn}∞i=1 hội tụ đều vềf

Khi đó ta có x∗n → x∗ khi n → ∞, trong đóFf = {x∗}

Chứng minh Từ giả thiết dãy {fn}n≥0 hội tụ đều về hàm f, ta suy ravới mỗi sốn ∈ N tồn tại số ηn ∈ R+ sao cho ηn → 0khi n → ∞và

d (fn(x) , f (x)) ≤ ηn với mọi x ∈ Y.

Bây giờ bằng cách áp dụng Định lý 1.2.8 cho mỗi cặpf,fnvà các điểm bất

động tương ứngx∗ vàx∗n với n ∈ N ta suy ra

d (x∗n, x∗) ≤ s(ηn) với mọi n ∈ N (2.23)

Vìηn → 0khin → ∞vàsliên tục tại 0nên từ bất đẳng thức (2.23) ta suy

1.2.10 Định lý ([16]) ChoX là tập hợp khác rỗng,dvàρlà hai mêtric trên

X,mlà số nguyên dương,A1, A2, , Am là các tập con đóng khác rỗng của

(ii) d (x, y) ≤ ρ (x, y), với mọi x, y ∈ Y

(iii) (Y, d) là không gian mêtric đầy đủ

(iv) f : (Y, d) → (Y, d) là ánh xạ liên tục

(v) f : (Y, ρ) → (Y, ρ) là phépϕ-co cyclic với ϕ : R+ → R+là hàm

chương 2

Trong chương 2 chúng tôi trình bày một số định lý về điểm bất động củacác phépϕ-co yếu cyclic và một số định lý về điểm bất động của các phép

ϕ-co yếu cyclic trong không gian mêtric riêng

2.1 Điểm bất động của các phép ϕ-co yếu cyclic trongkhông gian mêtric

2.1.1 Định nghĩa ([11]) Cho(X, d)là không gian mêtric ánh xạ

f : X → X từ X vào chính nó được gọi là ϕ-co yếu nếu

d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) − ϕ(d(x, y)), với mọi x, y ∈ X,

trong đóϕ : [0, ∞) → [0, ∞)là hàm liên tục, không giảm sao choϕ(t) = 0

khi và chỉ khit = 0

2.1.2 Định lý ([11]) Cho (X, d)là không gian mêtric đầy đủ Nếu

f : X → X là ánh xạ co yếu từX vào chính nó thìf có một điểm bất độngduy nhất

2.1.3 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric, m là số nguyêndương, A1, A2, , Am là các tập con đóng khác rỗng của X, Am+1 = A1

1) {Ai}mi=1 là một biểu diễn cyclic của Y đối với f

2) Tồn tại hàm liên tục, không giảm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) sao cho

ϕ (t) > 0 với mọit ∈ (0, ∞), ϕ (0) = 0 và thỏa mãn

d (f (x), f (y)) ≤ d (x, y) − ϕ (d (x, y)) (3.1)

với mọix ∈ Ai, y ∈ Ai+1 và i = 1, , m

2.1.4 Ví dụ ([7]) Cho X = R là không gian các số thực với mêtric thôngthường Xét các tập con đóng khác rỗng sau đây củaR: A1 = [−1, 0] = A3,

Vậy f là ϕ-co yếu cyclic

2.1.5 Ví dụ ([7]) X = Rlà không gian các số thực với mêtric thông thường.Giả sửA1 = A2 = = Am = [0, 1]và Y =

Vậy f là phép ϕ-co yếu cyclic

2.1.6 Định lý ([7]) Cho(X, d)là không gian mêtric đầy đủ,mlà số nguyêndương,A1, A2, , Am là các tập con đóng khác rỗng củaX và Y =

m

S

i=1

Ai.Giả sử rằngf làϕ- co yếu cyclic Khi đóf có duy nhất một điểm bất động

vàxn+1 ∈ Ain+1 Nhờ bất đẳng thức (3.1), ta có

d (xn+1, xn+2) = d (f (xn), f (xn+1)) ≤ d (xn, xn+1) − ϕ (d (xn, xn+1))

Đặttn = d (xn, xn+1) Khi đó, ta thu được

tn+1 ≤ tn − ϕ (tn) ≤ tn (3.2)

Điều này chứng tỏ rằng dãy{tn}là dãy không âm, không tăng Do đó,{tn}

hội tụ đếnL với L ≥ 0 Khi đó có thểL > 0, hoặc L = 0

Vì ϕ là hàm không giảm và ϕ (t) > 0 nên ϕ ε2
≤ ϕ (d (x, xN0)) Do đó,nhờ (3.1) và áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

Suy ra, bất kỳ trường hợp nào thì f (x) ∈ B (xN0, ε) Nói cách khác, f

là ánh xạ co trong hình cầu đóng B (xN0, ε) và xn ∈ B (xN0, ε) với mọi

n > N0 Vì thế, dãy {xn} là dãy Cauchy trong không gian Y đầy đủ Vì

B (xN0, ε) đóng nên dãy {xn} hội tụ trong Y tới phần tử y ∈ Y Lưu ýrằng dãy lặp {xn} có vô hạn phần tử trong Ai với mỗi i = 1, , m Vìvậy, với mỗii = 1, , mtập Ai chứa một dãy con {xin

k}của dãy Cauchy

đầy đủ Xét ánh xạ thu hẹp của f trên Z, nghĩa là f|Z : Z → Z Khi đó

f|Z thỏa mãn điều kiện của Định lý 2.1.2 Do đó,f|Z có duy nhất một điểmbất độngz ∈ Z mà nó có được nhờ dãy lặp bắt đầu từx0 Bây giờ ta chỉ rarằng với giá trị ban đầu bất kỳ x ∈ Y ta cũng nhận được cùng một điểmgiới hạn z ∈ Z =

có một điểm bất động duy nhấtw ∈