Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ thỏa mãn điều kiện co cyclic trong không gian mêtric riêng

Chương trình Toán trường trung học phổ thông chỉ rõ “Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

−−−−−−−−−−−

NGUYỄN DUY BÌNH

HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ

ĐỀ “ GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG “

(Thể hiện qua giải tích 11 và 12)

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

−−−−−−−−−−−

NGUYỄN DUY BÌNH

HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHỦ

ĐỀ “ GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG “ (Thể hiện qua giải tích 11 và 12)

Chuyên ngành : Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn

Toán

Mã số : 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN VĂN THUẬN

NGHỆ AN – 2014

Tôi xin chân thành cảm ơn BGH, BCH Công đoàn, Phòng Giáo vụ và các cán bộ giáo viên trường THPT Bình Hưng Hòa đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và bản thân còn những hạn chế nhất định nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Mong nhận được các ý kiến phê bình, góp ý của các thầy cô giáo và đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Vinh, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Duy Bình

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 3

5 Đóng góp của luận văn 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1 Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn 6

1.1 Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn toán và đổi mới phương pháp dạy học

6 1.1.1 Phương pháp dạy học môn toán 6

1.1.2 Đổi mới phương pháp dạy học 7

1.2 Kỹ năng 9

1.2.1 Khái niệm kỹ năng 9

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng 10

1.2.2.1 Phân loại kỹ năng trong môn Toán 12

1.2.2.2 Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng 14

1.2.2.3 Rèn luyện kỹ năng liên quan đến năng lực của học sinh 16

1.2.2.4 Những sai lầm trong giải Toán của HS là một căn cứ để xác định các kỹ năng cần rèn luyện

37 1.3 Chương trình môn toán và chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” trong phân môn Giải tích ở bậc Trung học phổ thông

39 1.3.1 Chương trình môn toán Giải tích ở THPT 39

1.3.2 Các nội dung rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề: “Giới hạn,

Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

39

1.4 Một số nét thực trạng trong việc hình thành cho học sinh kỹ năng

giải toán chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

40

1.5 Kết luận Chương 1 43

Chương 2: Hình thành kỹ năng giải toán chủ đề “Giới hạn,

Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” cho học sinh các lớp cuối cấp

44

2.1 Những căn cứ để xác định hệ thống các kỹ năng 442.2 Hệ thống các kỹ năng 44

2.2.1.Thể hiện qua chương Giới hạn 442.2.1.1 Kỹ năng 1: Tính toán giới hạn và nắm vững bản chất của giới

hạn

45

2.2.1.2 Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức 47

phương pháp phù hợp để giải quyết vấn đề giới hạn như

2.2.2.2 Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức

phương pháp phù hợp để giải quyết vấn đề đạo hàm và ứng dụng

c Quy trỡnh tỡm đạo hàm cấp n của hàm số y=f(x)

64

d Thuật giải trong cỏc bài toỏn ứng dụng của đạo hàm 66 * Kỹ năng ứng dụng của đạo hàm của hàm số để tỡm GTLN, GTNN của hàm số

67 * Kỹ năng ứng dụng của đạo hàm của hàm số để giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh, bất phương trỡnh

72 * Kỹ năng ứng dụng đạo hàm của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

82 2.2.2.3 Kỹ năng 3: Kỹ năng phỏt hiện và sửa chữa những sai lầm trong giải quyết vấn đề đạo hàm và ứng dụng

86 2.3 Kết luận Chương 2 100

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm 102

3.1 Mục đích thực nghiệm 102

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 102

3.3 Đỏnh giỏ kết quả thực nghiệm 104

Kết luận 108

Tài liệu tham khảo 109

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Điều 24 của Luật Giáo dục đã quy định “Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động… , bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

1.2 Chương trình Toán trường trung học phổ thông chỉ rõ “Môn Toán phải

góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống…, rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn giản của thực tiễn, phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp cận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác…”

1.3 Đối với HS trung học phổ thông, kỹ năng giải Toán thường thể hiện ở khả

năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựachọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựavào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểusâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trongchương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhấtcho bài toán đặt ra

1.4 Dạy Toán ở trường phổ thông không chỉ là dạy kiến thức, mà còn dạy cả

kỹ năng, tư duy và tính cách Trong các nhiệm vụ đó, việc hình thành và pháttriển cho HS các kỹ năng toán học là rất quan trọng, bởi vì không có kỹ năngthì không phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng được yêu cầu giải

quyết vấn đề Tác giả Trần Khánh Hưng cho rằng: “Kỹ năng là một trong

những yêu cầu quan trọng đảm bảo mối quan hệ giữa học và hành Dạy học

sẽ không có kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc các định nghĩa, định lí mà không biết vận dụng giải toán”

1.5 Chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” là một trong

những chủ đề rất quan trọng của chương trình Toán bậc trung học phổ thông,

nó chiếm một lượng kiến thức cũng như thời gian với tỷ lệ khá lớn so vớichương trình môn Giải tích, đồng thời đây là chủ đề được ứng dụng rộng rãitrong toàn bộ chương trình Đại số và Giải tích, trong nhiều dạng toán, trongkhảo sát kết quả năng lực và kiến thức phổ thông

1.6 Khảo sát thực tiễn dạy học Toán ở nhà trường phổ thông cho thấy, việc

rèn luyện kỹ năng giải Toán cho HS tuy cũng đã được chú ý, nhưng tính hệthống và đầy đủ trong việc rèn luyện kỹ năng là chưa cao Giáo viên cho HSgiải nhiều bài toán, nhưng việc phân loại các kỹ năng mang tính đặc thù, cầnthiết và tương ứng với các dạng bài toán cụ thể là chưa được thực hiện mộtcách hợp lí

- Học sinh còn gặp những khó khăn và sai lầm khi giải quyết các bài toán

thuộc chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong môn Giải

tích vì thiếu những kỹ năng cần thiết

- Tuy đã có những đề tài nghiên cứu về kỹ năng, nhưng chưa có đề tài

nào nghiên cứu về kỹ năng giải toán Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo

hàm trong chương trình Toán bậc THPT.

Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:

“Hình thành kỹ năng giải toán chủ để Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của

đạo hàm cho học sinh các lớp cuối cấp Trung học phổ thông.”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu những vấn đề liên quan tới kỹ năng

giải các bài toán thuộc chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo

hàm” trong phân môn Giải tích của HS các lớp cuối cấp THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống hoá các cơ sở lý luận về kỹ năng; cơ chế hình thành kỹ năng

và vai trò quan trọng của kỹ năng

- Đề xuất các căn cứ để xác định hệ thống những kỹ năng cơ bản và kỹ

năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và

ứng dụng của đạo hàm”

- Làm sáng tỏ các kỹ năng cơ bản và kỹ năng đặc thù khi giải các bài toán

trong chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

- Đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành và phát triển kỹ năng

giải toán chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho HS các lớp cuối cấp THPT

- Làm sáng tỏ những khó khăn, sai lầm của HS cuối cấp THPT khi giải

Toán Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

- Thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận

- Điều tra, quan sát

- Thực nghiệm sư phạm

5 Đóng góp của luận văn

Làm sáng tỏ các kỹ năng cơ bản và kỹ năng đặc thù, mang tính đầy đủ và

hệ thống trong quá trình giải các bài toán về Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng

của đạo hàm; đề xuất các tư tưởng chủ đạo nhằm hình thành và rèn luyện cho

HS cuối cấp THPT các kỹ năng này

6 Giả thuyết khoa học

Cần thiết làm sáng tỏ hệ thống các kỹ năng cơ bản, kỹ năng đặc thù vận dụng trong quá trình giải toán chủ đề Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo

hàm Trên cơ sở đó, có thể đề xuất các tư tưởng chủ đạo để hình thành và phát

triển các kỹ năng này, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ởtrường THPT

CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN:

Chương 1 Một số vấn đề cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn toán và đổi mới phương pháp dạy học

1.1.3 Phương pháp dạy học môn toán.

1.1.4 Đổi mới phương pháp dạy học.

1.2 Kỹ năng Cơ chế hình thành kỹ năng

1.2.1 Khái niệm kỹ năng.

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng.

1.3 Chương trình môn toán và chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng

của đạo hàm” trong phân môn Giải tích ở bậc Trung học phổ thông.

1.3.1 Chương trình môn toán Giải tích ở THPT.

1.3.2 Các nội dung rèn luyện kỹ năng giải toán chủ đề: “Giới hạn, Đạo hàm

và ứng dụng của đạo hàm”.

1.4 Một số nét thực trạng trong việc hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán

chủ đề “Giới hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm”

1.5 Kết luận Chương 1

Chương 2: Hình thành kỹ năng giải toán chủ đề “Giới

hạn, Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm” cho học sinh các lớp

cuối cấp Trung học phổ thông

2.1 Những căn cứ để xác định hệ thống các kỹ năng

2.2 Hệ thống các kỹ năng

2.2.1.Thể hiệnqua chương Giới hạn :

2.2.1.1 Kỹ năng 1: Tính toán giới hạn và nắm vững bản chất của giới hạn 2.2.1.2 Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng các tri thức phương pháp

phù hợp để giải quyết vấn đề giới hạn như :

a Kỹ năng ghi số hạng vắng.

b Kỹ năng biến đổi tương đương.

c Kỹ năng ứng dụng đạo hàm.

d Kỹ năng phỏt hiện và sửa chữa những sai lầm.

2.2.2.Thể hiện qua chương Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm :

2.2.2.1 Kỹ năng 1: Tớnh toỏn đạo hàm, nắm vững bản chất của đạo hàm 2.2.2.2 Kỹ năng 2: Nhận dạng, thể hiện và vận dụng cỏc tri thức phương phỏp

phự hợp để giải quyết vấn đề đạo hàm và ứng dụng

2.2.2.3 Kỹ năng 3: Kỹ năng phỏt hiện và sửa chữa những sai lầm trong giải

quyết vấn đề đạo hàm và ứng dụng

2.3 Kết luận Chương 2

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm.

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm.

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm.

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VÀ THỰC TIỄN

1.1 Những vấn đề chung về phương pháp dạy học môn Toán và đổi mới phương pháp dạy học

1.1.1 Phương pháp dạy học môn Toán

Môn Toán trong nhà trường phổ thông giữ một vị trí hết sức quan trọng

vị nó là môn học công cụ có tính trừu tượng và tính thực tiễn phổ dụng.Những tri thức và kỹ năng toán học trở thành công cụ để học tập các môn họckhác, đồng thời nó cũng là công cụ để nghiên cứu nhiều nghành khoa họckhác, là công cụ để tiến hành các hoạt động trong cuộc sống Cùng với trithức, môn Toán cung cấp cho học sinh những kỹ năng như vẽ hình, kỹ năngtính toán, kỹ năng đọc và vẽ biểu đồ, kỹ năng đo đạc ước lượng kỹ năng sửdụng các công cụ toán học và máy tính điện tử

Môn Toán còn hình thành cho sự phát triển những phương pháp,phương thức tư duy hoạt động như toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện

và xây dựng thuật toán phát triển, phát hiện và giải quyết vấn đề

Ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng toán họccần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phântích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa… Rèn luyện những đức tínhphẩm chất người lao động mới đó là tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật,tính phê phán, tính sáng tạo Bồi dưỡng óc thẩm mỹ…

Từ những đặc điểm và vị trí của môn toán, trong quá trình dạy học, ngườithầy cần xác định rõ nhiệm vụ của việc dạy học toán đó là:

- Truyền thụ khiến thức, kỹ năng vận dung toán học vào thực tiễn Cụ thể làcung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kỹ năng,phương pháp toán học phổ thong, cơ bản và hiện đại sát với thực tiễn Theotinh thần giáo dụ tổng hợp, đồng thời trau dồi cho học sinh khả năng vận dụngnhững hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vận dụng vào đờisống lao động sản xuất, chiến đấu tạo tiềm lực tiếp thu khóa học kỉ thuật

- Phát triển năng lực trí tuệ chung.

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và tính thẩm mỹ

- Bảo đảm chất lượng phổ thông, đồng thời chủ trọng phát hiện và bồi dưỡngnăng khiếu toán cho học sinh

- Để hoàn thành nhiệm vụ dạy học môn toán người thầy cần chú trọng phốihợp nhiều phương pháp dạy học, nhiều hình thức truyền thụ kiến thức để đạtđược những mục đích đề ra

1.1.2 Đổi mới phương pháp dạy học.

Trong nghị quyết số 40/TW/QH10 ngày 9/12/2008 Quốc hội khoá X vềđổi mới chương trình giáo dục phổ thông đã khẳng định mục tiêu của đổi mới

chương trình giáo dục phổ thông: “Xây dựng nội dung, chương trình phổ

thông giáo dục nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ đáp ứng yêu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ CNH – HĐH đất nước, phù hợp với thực tiễn và truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới”.

Nghị Quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 Hội nghị lần thứ

tám Ban chấp hành trung ương khóa XI: “ Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo

dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế ”.

Để đáp ứng được điều kiện trên thì việc dạy và học cần chủ trọng nhiềuđến đổi mới phương dạy và phương pháp học, cũng như đổi mới chương trìnhsao cho phù hợp cho giai đoạn hiện nay

Đối với chương trình cần chủ trọng và quan tâm đến đối tượng giáo dục,tức là phù hợi với trình độ, tâm sinh lý, từng giai đoạn thay đổi của xã hội,từng vùng, miền…

Trong giai đoạn hiện nay, xã hội xã hội đòi hỏi con người có học vấnkhông chỉ chỉ có khả năng lấy từ trí nhớ các tri thức dưới dạng có sẵn đã lĩnhhội được ở trường phổ thông mà còn phải có năng lực chiếm lĩnh, sử dụng cáctri thức mới một cách độc lập, khả năng đánh giá các sự kiện, các tư tưởng,

các hiện tượng một cách thông minh sáng suốt khi gặp trong cuốc sống, tronglao động, quan hệ với mọi người Nội dung học vấn trong nhà trường gópphần quan trọng để phát triển hứng thú và năng lực nhận thức của học sinh,cung cấp cho học sinh những kỹ năng cần thiết trong việc tự học sau này.

Trong hướng dẫn thực hiện chương trình SGK lớp 12 môn Toán ghi rõ:

“Cách dạy truyền thống, thầy giảng dạy trò nghe, tiếp thu thụ động đã hạn chế hiệu quả của quá trình dạy và học Nếu tự tìm hiểu và phát hiện ra những đặc trương, các quy luật thì kiến thức thu được sâu sắc và ứng dụng hiệu quả hơn nhiều cho việc học tập tiếp và cho việc ứng dụng thực tiễn Tìm kiếm các phương pháp học tập chủ động sáng tạo từ lâu đã là mong muốn của các nhà giáo dục trên thế giới…”

Tóm lại việc đổi mới phương pháp dạy học là hết sức cần thiết và cầnphải quan tâm, nhất là đối với những người làm giáo dục Đổi mới thực hiệntheo các xu thế sau:

- Đáp ứng được nhu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội và cạnh tranh quốc tếtrong tương lai

- Quan tâm nhiều hơn nữa trong việc rèn luyện sự phát triển tri thức cơ bản,hình thành và phát triển tri thức phê phán và tri thức phương pháp Rèn luyệncác kỹ năng phát hiện và giải quyết vấn đề Trong đó kỹ năng cơ bản, thóiquen và năng lực tự học năng lực vân dung kiến thức vào cuộc sống được đặtlên hàng đầu Quá trình thực hiện đổi mới phương pháp dạy học nói chung vàphương pháp dạy học toán nói riêng việc rèn luyên kỹ năng là hết sức quantrọng Bởi vì trong cuộc sống hàng ngày, trong từng vần đề cụ thể đòi hỏi conngười phải có những kỹ năng làm việc, kỹ năng giải quyết các vấn đề đặt ra

1.2 Kỹ năng.

1.2.1 Khái niệm kỹ năng.

Theo Từ điển tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến

thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”.

Tâm lý học cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dự liệu, các tri

thức hay khái niệm đã có Năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành”

Dù phát biểu ở góc độ nào đi chăng nữa thì ta vẫn phải hiểu rằng kỹnăng là khả năng vận dụng kiến thức đã có (Khái niệm, cách thức, phươngpháp) vào việc giải quyết nhiệm vụ được giao

Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ta thấy việc vận dụng kiến thức đãhọc vào vào nhiệm vụ cụ thể học sinh thường gặp nhiều khó khăn bởi vì các

em không phát hiện được mối liên hệ giữa cái bản chất tri thức và đối tượng

Đối với HS trung học phổ thông, kỹ năng giải Toán thường thể hiện ởkhả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựachọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, không chỉ dựa vào việcnắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắcmối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trìnhhọc, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toánđặt ra

Như vậy HS đã hiểu sai bản

chất của bài toán, mặc dù điểm M

nằm trên đồ thị hàm số nhưng yếu cầu

y

bài toán là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M chứkhông phải là tiếp tuyến tại điểm M.

Để giải quyết bài toán này yêu cầu các em phải có kỹ năng phân tích.Muốn tìm phương trình tiếp tuyến rõ ràng là phải tìm tiếp điểm? Ở đây điểm

M thuộc đồ thị chỉ gợi cho ta một tiếp điểm, liệu còn tiếp điểm nào nữakhông?

1.2.2 Sự hình thành kỹ năng

Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạpcác thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếpthu được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hànhđộng

Sự hình thành các kỹ năng xuất hiện trước hết như là những sản phẩmcủa những tri thức ngày càng được đào sâu Các kỹ năng được hình thành trên

cơ sở lĩnh hội các khái niệm về các mặt và các thuộc tính khác nhau của đốitượng đang được nghiên cứu Con đường chính của sự hình thành các kỹ năng

đó là dạy học sinh nhìn thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụngvào đối tượng những khái niệm muôn hình, muôn vẻ diễn đạt các quan hệ đadạng của đối tượng này trong khái niệm

Trong dạy học hiện nay có thể dạy các kỹ năng cho học sinh bằng nhiềucon đường khác nhau Chẳng hạn: Con đường dạy học nêu vấn đề, con đườngdạy học Algôrithm hoá hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ, dạy họcsinh chính là hoạt động tâm lý cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Thôngqua giải bài tập, thông qua nhiều hoạt động giáo dục khác…

1/ Tại sao phải có số 2 ?

2/ Tại sao phải là số 2 ?

5

2

3 2 2

x

c x Bước 2: Trong các số c đó , ta tìm số c sao cho x 2 - 1 cùng nhân tử với

c x

x

f1( )  5  2  và f2(x) 3 x2 7  c Điều đó xảy ra khi chỉ khi c là nghiệm

của hệ sau :

2 2 6 0

Đáp số: c = 2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và 2

Như vậy thầy giáo có thể mô tả cho HS qua phương pháp tìm số hạngvắng một cách tổng quát :

Giả sử ( ) (( ))

x g

x f x

Bước 1: Phân tích ( ) 1(()) 2(())

x g

c x f x g

c x f x

(

0 )

(

2 1

1 1

c x

f

c x

(

0 )

(

2 2

1 2

c x f

c x f

Với c tìm được thì:

) (

) (

0 g x

c x f

x x



) (

) (

0 g x

c x f

x x



 giải quyết dễ dàng

Lúc này chúng ta lại trang bị cho các em có kỹ năng ghi số hạng vắng

1.2.2.1 Phân loại kỹ năng trong môn Toán

Có nhiều cách phân loại kỹ năng

Theo tâm lý giáo dục, người ta thường chia kỹ năng học tập cơ bảnthành 4 nhóm:

a) Kỹ năng nhận thức:

Kỹ năng nhận thức trong môn toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là: Kỹnăng nắm một khái niệm, định lý; kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quy tắc,trong đó có yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc,…

Ví dụ 1.3: Khi tìm giới hạn :  

 0

b) Kỹ năng thực hành:

Trong môn toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giảibài toán, kỹ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn (Trong bài toán hoặctrong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tế

Ví dụ 1.4: Khi có định nghĩa đạo hàm thì học sinh sẽ rút ra được các bước

tính đạo hàm từ đó xây dựng quy tắc tính, qua quy tắc tính rút ra được côngthức đạo hàm các hàm số cơ bản hoặc từ những công thức đã có

Từ (cosx)’ = - sinx, (f(u))’ = f’u.u’x ta có thể tính đạo hàm của tất cả cáchàm số mà biến đổi về dạng cosu Tính đạo hàm hàm số y = sinx (Khi học sinhquên đạo hàm của hàm số y = sinx) bằng cách biến đổi sinx = cos( - x)

c) Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Chẳng hạn khi biết đồ thị hàm số bậc ba có tâm đối xứng hay đồ thịhàm số bậc bốn trùng phương có trục đối xứng thì khi vẽ các đồ thị này nếukhông có tính chất trên thì khẳng định ngay là chắc chắn đã tính sai và phảikiểm tra lại khâu tính toán

Ví dụ 1.5: Tìm m để hệ phương trình:  

24

21

x y

x



Thay vào pt:

2 1

x y

21

y x

 Khi m ≠ 1 Đặt t = x2 , t 0 Xét:

2( ) (  1) 2(  3) 2  4 0 (2)

d) Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá.

Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, lại xem xét kỹnăng toán học trên 3 bình diện: Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môntoán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năngvận dụng toán học vào đời sống Đây là bước cuối cùng của nhận thức, của kếtquả của một quá trình học tập một vấn đề nào đó.

1.2.2.2 Mối quan hệ giữa tư duy và kỹ năng:

Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết cácnhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phântích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cả nhữngđiều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu hiện bằngcác từ Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổng hợp, trừutượng hóa – khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặtnào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho ởđây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc đẩy

tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của tư duy Vì cáckhía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy

diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần

Có kỹ năng giải các bài toán là một trong những cơ hội tốt nhất để rèn luyệncác thao tác tư duy như: Phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệthóa và phát triển các phẩm chất tư duy như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tínhsáng tạo, tính phê phán Ngoài các chức năng nêu trên, việc giải các bài toáncòn là cơ hội hình thành ở HS thế giới quan duy vật biện chứng, các phẩm chấtđạo đức, thẩm mĩ Nó cũng là công cụ cho phép kiểm tra đánh giá kết quả họctập của học sinh

Mỗi bài toán cụ thể được đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc nói chung, trong một bài học nào đó nói riêng đều chứa đựng một cáchtường minh hay ngầm ẩn những chức năng khác nhau Các chức năng nàykhông bộc lộ một cách riêng lẻ, tách rời nhau mà trong mối quan hệ mật thiếtvới nhau Khi nhấn mạnh một chức năng cụ thể nào đó, ta muốn nói rằng, ở

thời điểm đang xét chức năng này có vị trí trung tâm hơn so với các chức năngkhác

Kỹ năng và tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhau: Kỹ năng là cơ sở

để tiến hành các thao tác tư duy và kỹ năng chỉ được hình hành thông qua quátrình tư duy để giải quyết nhiệm vụ đặt ra

Tính chất của các thao tác và của các quá trình tư duy giải các bài toánphụ thuộc vào mục đích mà các thao tác nói trên hướng tới và vào nội dungcủa bài toán Bản thân hoạt động tư duy khi giải bất kỳ bài toán nào thể hiệntrong những biến đổi đối tượng của tư duy, tách ra trong đối tượng những khíacạnh và những thuộc tính ngày càng mới được ghi lại trong các khái niệm vàđược biểu thị bằng các từ

Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đốitượng để tiến hành giải bài toán Ở mỗi cách diễn đạt mới là kết quả phân tích

và tổng hợp những dữ kiện của giai đoạn trước và được thể hiện trong cáckhái niệm Nhưng các khái niệm là sản phẩm của kinh nghiệm xã hội Khinghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại nhữngthuộc tính bản chất của đối tượng Chính từ các cách diễn đạt mới khai thácđược những tri thức về đối tượng đồng thời thúc đẩy tư duy tiến lên.S.L.Rubinstein đã chứng minh: Trong quá trình tư duy nhờ phân tích, tổnghợp, đối tượng tham gia vào những mỗi liên hệ ngày càng mới và do đó thểhiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lạitrong khái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dường như có thể khai thác đượcnội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một mặt khác vàtrong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới

1.2.2.3 Rèn luyện kỹ năng liên quan đến năng lực của học sinh

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của Tâm lý học Khái niệm này

cho đến ngày nay vẫn có nhiều cách tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau,

chẳng hạn Theo Nguyễn Huy Tú: “…Năng lực tự nhiên là loại năng lực được

nảy sinh trên cơ sở những tư chất bẩm sinh di truyền, không cần đến tác động

của giáo dục và đào tạo Nó cho phép con người giải quyết được những yêu cầu tối thiểu, quen thuộc đặt ra cho mình trong cuộc sống”.

Từ đó ta thấy rằng, trong cuộc sống nói chung, trong việc giải Toán nóiriêng, sự đáp ứng yêu cầu của các năng lực tự nhiên rất hạn hẹp Chính vì lẽ đó

đã hình thành ở con người những loại năng lực mới bằng con đường giáo dục

vào đào tạo, gọi là Năng lực được đào tạo hay Năng lực tự tạo.

Theo Nguyễn Huy Tú: “…Năng lực được đào tạo là những phẩm chất của quá trình hoạt động tâm lý tương đối ổn định và khái quát của con người, nhờ nó chúng ta giải quyết được (ở mức độ này hay mức độ khác) một hoặc một vài yêu cầu mới nào đó của cuộc sống”

X L Rubinxtein cho rằng: “Năng lực là toàn bộ các thuộc tính tâm lýlàm cho con người thích hợp với một hoạt động có lợi ích xã hội nhất định” Theo X Roegiers “Năng lực là sự thích hợp các kỹ năng tác động một cách tựnhiên lên các nội dung trong loại tình huống cho trước để giải quyết nhữngvấn đề do tình huống đặt ra”

- Phạm Minh Hạc [ Phạm Minh Hạc (1992), Một số vấn đề Tâm lí học, Nxb Giáo

dục, Hà Nội. tr.145] cho rằng: “Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lý của

một người, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”

“Năng lực của con người thường được phân ra thành các năng lực chung như

hoạt động tổ chức - quản lý, hoạt động khoa học - công nghệ, hoạt động giáo

dục dạy học, hoạt động kinh doanh… và năng lực chuyên biệt như ca hát, thể

thao, hội họa Năng lực biểu lộ ở tính nhanh, tính dễ dàng, chất lượng tiếpnhận và thực hiện hoạt động, ở bề rộng của sự di chuyển, tính mới mẻ, tínhđộc đáo của hoạt động giải quyết những vấn đề mới…”

Từ sự nghiên cứu của các tác giả ở trên chúng ta có thể nhận thấy rằng:Năng lực là tổ hợp các thuộc tính tâm lý hoặc kỹ năng của con người để thựchiện thành công một hoạt động nào đó Năng lực gắn với khả năng hoàn thànhmột hoạt động cụ thể, chỉ nảy sinh và quan sát được trong giải quyết nhữngyêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo tuy khác nhau về mức

độ Năng lực có thể rèn luyện để phát triển được, với các cá nhân khác nhau thìnăng lực cũng khác nhau

a) Rèn luyện kỹ năng nhằm phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS THPT

- Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán: Là năng lực năng lực hoạt

động trí tuệ của HS khi đứng trước những bài toán cụ thể, có mục tiêu và tínhhướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằmtìm ra lời giải của bài toán sau một số bước thực hiện

Mối quan hệ biện chứng xét từ góc độ năng lực giữa phát hiện phươngpháp giải Toán - giải quyết bài toán được cấu thành một cách hữu cơ, hài hoàvới nhau Một tiến trình giải Toán được gọi là có kết quả tối ưu khi hình thành,phát triển được năng lực phát hiện phương pháp giải Toán trên cơ sở sáng tạo.Trong phương pháp luận duy vật biện chứng với việc dạy học, nghiên cứuToán học nói chung - giải Toán nói riêng, Nguyễn Cảnh Toàn nói: "Người có

óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát hiện và giải quyết vấn đề đã đặtra" Năng lực phát hiện phương pháp giải Toán đòi hỏi tư duy sáng tạo ởnhững mức độ khác nhau Tư duy sáng tạo sẽ nảy sinh và trở thành thành tốcủa năng lực phát hiện phương pháp giải Toán khi HS đứng trước một bàiToán hàm chứa trong nội dung một tình huống có vấn đề và tìm phương thứcgiải quyết Trong quá trình phát triển năng lực phát hiện phương pháp giảiToán cần chú ý khai thác tiềm năng sáng tạo và rèn luyện khả năng đó quaviệc tìm kiếm các hướng giải khác nhau của cùng một bài Toán nhất định Tathấy rằng:

Khi giải Toán được xem như một quá trình thì chiến lược, các phươngpháp, quy trình thủ thuật mà HS sử dụng để giải Toán sẽ là những điều quantrọng Chúng là những bộ phận cơ bản của quá trình giải Toán, được đặc biệtchú ý trong chương trình môn Toán.

Khi giải Toán được xem như một kỹ năng cơ bản thì khả năng lựa chọncác phương pháp giải và các kỹ thuật giải là những vấn đề then chốt mà HSphải học khi giải quyết vấn đề

Các em thử đoán xem có nghiệm nào? Xem x = 0, x = 1 có phải lànghiệm không? Có cách nào chứng minh phương trình không có nghiệm nàonữa

Thật vậy phương trình đã cho  2009x 2010x 4017x 2 0 

Đặt f(x) = 2009x 2010x 4017x 2 0

f’(x) = 2009x ln2009 + 2010x ln2010 – 4017

g(x) = 2009x ln2009 + 2010x ln2010 – 4017 là một hàm số đồng biếntrên R (vì hàm số y = 2009x đồng biến, hàm y = 2010x đồng biến)

 Phương trình g(x) = 0 có không quá một nghiệm

Hay f’(x) = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất

xO

x0 x2

x0O

y

xhoặc

y

Nếu phác họa đồ thị thì đồ thị của nó có dạng sau:

 Hàm số f(x) = 0 có một cực trị x0.Nhìn vào hình dạng đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) chỉ cắt Oxnhiều nhất là 2 điểm có hoành độ x1, x2

Theo trên, phương trình có 2 nghiệm x1, x2

Năng lực sáng tạo của HS trong việc phát hiện phương pháp giải Toánđược bộc lộ rõ trong hoạt động giải Toán, khi giải quyết các khâu trong tiếntrình giải Toán Bàn về quá trình sáng tạo khoa học, có thể xem xét sự sáng tạodưới dạng chu trình mở, trong đó nhấn mạnh: “Kiến thức sáng tạo khoa họcđược xây dựng khi có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giải đáp cho mộtcâu hỏi, một bài tập mà việc tìm tòi lời giải chính là phải tìm tòi một cái mớichứ không thể chỉ đơn thuần là sự lặp lại các kiến thức và cách thức hoạt động

đã quen thuộc đã biết” – (G Pôlia)

Rèn luyện kỹ năng phát huy năng lực phát hiện vấn đề thực chất là xácđịnh cho người học tìm ra mối liên hệ giữa thành phần chính trong bài toán, xử

lí sự liên kết, phối hợp các tình huống vấn đề bằng cách thức gắn bó các vấn đềcần giải quyết Nhằm mục đích phát huy cho người học có được các yếu tố bảnchất, thành phần của năng lực này

Ví dụ 1.7 Giải phương trình: 2x 1  x x2  2 (  x 1) x2  2x 3 0  

Gặp bài toán thông thường đòi hỏi người giải toán phải huy động các kiếnthức được học, đã biết từ đó tìm ra được phương pháp tối ưu và giải quyếtđược vấn đề Qua bài toán rèn luyện cho các em HS kỹ năng gì? HS có khátvọng phát hiện ra phương pháp giải, thể hiện sự kiên trì về mặt ý chí và niềmsay mê, hứng thú Yêu cầu các em tổ chức các hoạt động nhận thức như hiểubài toán, nắm được quá trình giải bài toán, rèn luyện năng lực khái quát hóaphát hiện vấn đề liên quan, tìm được nhiều mối liên hệ từ đó tìm ra phươngpháp giải

Ta nhận thấy rằng, vế phải của phương trình (1) vừa chức biểu thức theo

x vừa chứa căn bậc hai theo x Vì vậy:

Đầu tiên, hãy nhận xét mối liên hệ giữa hằng đẳng a b 2 a2  2ab b 2

- Năng lực hình thành và diễn đạt nội dung các bài toán theo các hướngkhác nhau, thông qua hoạt động sử dụng ngôn ngữ kí hiệu và các qui tắc toánhọc, đặc biệt là biết cách hướng tới cách diễn đạt có lợi cho bài toán đang cầngiải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức bài toán mộtcách chính xác hơn, nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tínhtoán.

Rèn luyên kỹ năng cho HS giáo viên cần chú ý các đối tượng học sinh,bởi vì việc nhận thức của mỗi một con người khác nhau Đối với đối tượng HSyếu cần chú rèn luyện kỹ năng vận dụng, tiến tới nhận biến quy trình thực hiệncác bước giải (tựa thuật toán) Đối với HS khá thì cần chú ý bồi dưỡng kỹnăng suy luận, kỹ năng biến đổi, huy động kiến thức …

b/ Rèn luyện kỹ năng có tính chất phân tích, dự đoán:

Theo Từ điển tiếng Việt: “Dự đoán là đoán trước tình hình, sự việc

nào đó có thể xảy ra”

Nói về dự đoán tác giả Đào Văn Trung viết: "Dự đoán là một phương pháp

tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vàocác nguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưabiết” Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận [Đào Văn Trung

(2001), Làm thế nào để học tốt toán phổ thông, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội].

Khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng

Phương pháp tiên đề: xuất phát từ những khái niệm nguyên thủy và các tiên

đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm và chứng minh cácmệnh đề khác [Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho HS đầu cấp THPT trong dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh, Vinh, tr.60]

Nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quátrình tìm tòi và phát minh thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự

đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp

Trong hệ thống các hoạt động trí tuệ, nhà Toán học và nhà sư phạm nổitiếng người Mĩ - G Pôlia đã dùng khá nhiều thuật ngữ, trước tiên là "Đoán

trước", tác giả viết: "Ngay lúc mới bắt tay nghiêm chỉnh vào việc giải bài toán, đã

có cái gì đó thúc giục chúng ta nhìn lên phía trước Thường chúng ta thử đoán trước điều gì sẽ diễn ra Chúng ta chờ đợi nó để điền vào đấy, cố dự đoán những đường bao của lời giải Đường nét ấy có thể mơ hồ ít hoặc nhiều, thậm chí có thể không chính xác ở mức độ nào đó, nhưng trong thực tế thường đường bao ấy không đến nổi quá sai lệch" [ Polya G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà

phỏng đoán của người giải nông cạn và người suy nghĩ sâu sắc có sự khác biệt" [Polya G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội].

Vấn đề mà tác giả đề cập tiếp là từ những phỏng đoán đưa ra khu vực tìm

tòi: "Hành động này có tính chất điển hình Ngay lúc chúng ta mới nghiên

chỉnh quan tâm đến bài toán, chúng ta đã cố gắng vạch ra đường bao trong đó

ta sẽ đi tìm lời giải" [Polya G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà

Nội.tr.309]

Nhằm giải quyết những vấn đề trong "khu vực tìm tòi", tác giả đưa ra các

quyết định trung gian: "Quá trình giải một bài toán có thể mang tính sáng tạo,

song với những người kém năng lực, đôi lúc quá trình đó trở thành những buổingồi lì tại chỗ, chẳng đưa lại lợi ích gì Có những trường hợp có thể coi quátrình đó là một hành trình căng thẳng vượt qua quảng đường dài, khúc khuỷu

để đi tới đích, mỗi chỗ ngoặt được đánh dấu bằng một quyết định trung gian.Cảm giác về những điều có hay không có liên hệ với bài toán, sự mong mỗitiếp cận với bài toán, niềm hy vọng tăng lên hay giảm đi là nhân tố gợi ranhững quyết định ấy Một trong các quyết định trung gian thuộc loại quantrọng nhất là mở rộng khu vực tìm tòi, phá bỏ những giới hạn bắt đầu trói buộcchúng ta" [Polya G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội., tr.309 -310]

“Toán học được coi như một môn khoa học chứng minh Tuy nhiên đó

chỉ mới là một khía cạnh của nó Toán học hoàn chỉnh được trình bày dướihình thức hoàn chỉnh, được xem như những chứng minh thuần túy, chỉ baogồm các chứng minh Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọikiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành Bạn phải dự đoán vềmột định lí toán học trước khi bạn chứng minh nó Bạn phải dự đoán ý tưởngchứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết (…) Nếu việc dạy toán

phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào thì trong việcgiảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, suy luận có lí” [12].

Hoạt động dự đoán là hoạt động mà trong bất kỳ công việc nào cũng cần thựchiện, đặc biệt, dự đoán chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong khigiải Toán Trên cơ sở dự đoán ta có thể định hình được những con đường cóthể sẽ đi qua

“Phải thừa nhận rằng, hiện nay có nhiều giáo viên tâm huyết với nghề,luôn trăn trở để có được những bài giảng sinh động, hiệu quả Nhưng vẫn

không ít giáo viên chưa cải tiến được phương pháp dạy học của mình – kiểu

dạy học cũ – hiệu quả không cao “Bí quyết để làm cho người ta chán là nói

hết tất cả” (Vonte) Theo kiểu dạy đó, dường như không có những pha để HS

dự đoán Đương nhiên họ cũng có cái lí riêng: Nếu để học sinh dự đoán thì sẽtốn nhiều thời gian, khối lượng truyền thụ sẽ bị hạn chế (!?)” [ Nguyễn Văn

Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho HS đầu cấp THPT trong dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ Giáo dục

học, Trường Đại học Vinh, Vinh, tr.60]

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống,vậy liệu có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G Pôlia thì trừnhững người được trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phảihọc tập để có được năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khiphán đoán mà chúng ta đưa ra gần với chân lý nhất, để làm được điều đó "cácbạn cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổidạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc)

về các dự đoán sai và các dự đoán đúng Với kinh nghiệm đó trong tiềm thức,các bạn sẽ có thể phán đoán một cách có cơ sở hơn, xem dự đoán nào đúng và dựđoán nào sai" [Polya G (1997), Toán học và những suy luận có lí, Nxb Giáo dục,

Hà Nội., tr.150 - 151]

Đối với những HS yếu và nông nổi, có thể họ sẽ đưa ra những phán đoán vàmệnh lệnh vu vơ nhất Những gì mà chúng ta phải dạy cho họ đó là sự phán đoán

có mục đích rõ ràng, hợp lí Sự phán đoán hợp lí cần dựa trên cơ sở áp dụng thậntrọng các phép quy nạp và tương tự

Ở trường phổ thông, không phải lúc nào ta cũng tìm được các phươngpháp có tính chất thuật toán để giải quyết các vấn đề Chẳng hạn, ta không thể

có được thuật toán giải phương trình không mẫu mực, nhưng bài toán tựathuật giải nhưng đã được thay đổi giả thiết hoặc thay đổi kết luận Khi đó cầnnắm được một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên "có lý" để có thể cho phép tìmđược lời giải bài toán đặt ra, vì những ý tưởng và lời khuyên này có thể gợi ranhững ý tưởng, những định hướng hợp lý cho việc tìm kiếm lời giải

Trong trường hợp trên ta nói rằng đã vận dụng phương pháp có tính chấttìm đoán Ngay cả trong trường hợp một dạng toán có thuật giải nhưng chưađược khám phá thì việc tìm kiếm này cũng thường phải vận dụng phươngpháp tìm đoán

Vấn đề phát triển kỹ năng dự đoán và suy đoán là rất rộng và khó, bởivậy chúng tôi chỉ xem xét kỹ năng này trên một số khía cạnh của dự đoán màthôi

Trong nhiều tài liệu viết về dự đoán có rất nhiều tác giả đưa ra các thuật

ngữ khác nhau, chẳng hạn như "phán đoán", … Tuy nhiên, nói chung lại thì

đều rằng: Từ dự kiện của bài toán ban đầu, hoặc các kiến thức đã có bằng một

số hoạt động toán học có thể dự kiến, định lượng được kết quả bài toán

Khi xét về nguồn gốc và sự phát triển của toán học tác giả Nguyễn Bá

Kim đã phát biểu: Nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển,

trong quá trình tìm tòi, dự đoán, vẫn có "thực nghiệm" và "quy nạp"

Nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng người Mỹ G.Pôlya cho rằng:

“Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận, là chứng minh Nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó thì việc hình thành toán học như thế

nào thỡ trong việc giảng dạy đú phải dành chỗ cho dự đoỏn, cho suy luận cú lý” [Toỏn học và những suy luận cú lớ- tr.6]

Nguyễn Cảnh Toàn cũng có nhiều quan điểm tơng đồng với G Pôlya

Ông rất coi trọng quan điểm dạy cho học sinh mò mẫm, dự đoán những cáchgiải mày mò, mù quáng trớc những vấn đề không vội vàng

Thế nhng trong dạy toán ở trờng hiện nay, việc tạo ra các tình huống đểhọc sinh dự đoán dờng nh không có Điều này đợc thể hiện: Nhiều giáo viênluôn luôn bằng cách nào đó để đợc bài giảng sinh động, truyền kiến thức càngnhiều cho học sinh càn tốt Phải chăng, họ cho rằng: Nếu để học sinh dự đoánthì sẽ tốn nhiều thời gian, khối lợng kiến thức truyền thụ sẽ bị hạn chế

Thực ra, nếu để học sinh dự đoán tìm tòi mò mẫn đúng là tốn thời gian,khối lợng kiến thức truyền thụ kiến thức cho học sinh đợc ít trong một tiết học

nhng “sẽ đợc đền bù nhanh chóng khi t duy độc lập của học sinh đã phát

triển”

Phơng pháp dạy học này làm cho học sinh gặp phải một số sai lầm, khókhăn trớc những bài toán có dạng tìm tòi (tìm quỹ tích, tìm giá trị nhỏ nhất)hoặc nhiều lúc giáo viên trình bày kiến thức một cách áp đặt mà học sinhkhông biết do đâu mà có điều đó (nh: kẻ đờng phụ, thêm bớt một lợng nào đó,

… )

Trong toỏn học mối liờn hệ giữa giả thiết và kết luận rất mật thiết vớinhau chỉ thiếu một giả thiết nào đú thỡ kết luận sẽ khỏc ngay Trong thực tếdạy học ta thường thấy học sinh chưa sử dụng hết giả thiết bài toỏn nờn khụngđưa ra được kết quả mong muốn hoặc với giả thiết đú nú xa rời với kết luậnhọc sinh chưa gắn kết được chỳng với nhau và coi đú là bài toỏn khú

Đõy khụng phải là bài toỏn khú mà cú bài toỏn cú nhiều giả thiết, đũihỏi học sinh cần phải phõn tớch mỗi giả thiết cú một mục đớch riờng và xõuchuỗi liờn kết lại để đi đến trỡnh bày bài toỏn hoàn chỉnh

- Tỡm tiệm cận xiờn và tiệm cận đứng

- Tìm các tiếp tuyến biết hệ số góc

- Giao điểm tiếp tuyến với các tiệm cận

- Tìm trung điểm của hai giao điểm đó và so sánh với toạ độ tiếp điểmnhư vậy bài toán giải quyết xong

Trên đây là ví dụ mà bài toán có nhiều giả thiết có vẻ rờm rà nếu họcsinh nào yếu bóng vía thì thấy khó và bỏ qua trong các kì thi Nhưng nếu emnào có kỹ năng phân tích một cách có nguồn gốc liên tưởng tới nhiều hướngkhác nhau thì đây là bài toán dễ

Trong học toán thì có những bài cho giả thiết rất đơn giản nhưng đòi hỏingười làm phải biết phân tích mổ xẻ để tìm ra được mối liên hệ giữa giả thiết

và kết luận từ đó định hướng cách giải bài toán

Trong học tập rèn luyện kỹ năng giải Toán đòi hỏi chúng ta biết suyđoán phân tích đôi khi bài toán để giải quyết được cần một sự biến đổi hợp lý

c/ Rèn luyện kỹ năng suy luận, suy diễn.

Đối với HS trung học phổ thông, kỹ năng giải Toán thường thể hiện ởkhả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán Việc lựachọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựavào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểusâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa kiến thức đã biết và bài toán mới, biết áp

dụng suy ra và tìm được phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra Theo

tác giả Hoàng Chúng: “Suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có”

Nếu ta bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng suy luận tức là ta đã bồi dưỡngcho học sinh một phần của tư duy toán học, bởi vì suy luận gắn chặt với suy

nghĩ Mặt khác, theo kết quả của Iu M Kôliagin: “Tư duy toán học bao hàm

tư duy lôgíc, mà tư duy lôgic có một thành phần là khả năng rút ra kết luận từ những tiền đề”.

Suy luận diễn dịch hay còn gọi là suy luận suy diễn là suy luận theonhững quy tắc, xác định rằng nếu các tiên đề đúng thì kết luận rút ra cũngđúng.

Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường phổ thông điều đó chưa thực sự

ý thức một cách đầy đủ, chẳng hạn phương pháp dạy học hiện nay đang nặng

về lối “Thầy giảng – trò nghe”; giáo viên thường bao biện những bước suy

luận mà học sinh có thể tự mình giải quyết, giáo viên chưa sử dụng được hệthống câu hỏi và bài tập hợp lý, linh hoạt với từng đối tượng học sinh, nhiềubài trùng nhau về dạng, chỉ đòi hỏi áp dụng công thức, thiếu bài tập suy luậndiễn dịch, chưa khai thác triệt để những tình huống có thể rèn luyện có thể cóthể rèn luyện kỹ năng suy diễn; chưa khai thác tốt giữa những chủ đề kiến thứcvới nhau thông qua những bước duy diễn không đến mức phức tạp Theo

Alêchxanđrôp: “Logic của toán học không chỉ bao gồm các cách diễn đạt

mang tính riêng lẻ mà còn có thể hiện tính hoàn chỉnh của nó”

Theo lý thuyết tình huống để dạy cho học sinh một tri thức nào đó cáchlàm tốt nhất là cài đặt tri thức nào đó vào tình huống nàp đó thích hợp với họcsinh để học sinh lĩnh hội nó thông qua dạy học tích cực và sáng tạo, do dómuốn phát triển khái niệm suy diễn không thể nào đơn thuần thầy giáo suydiễn học sinh dõi theo, không thể không quan tâm đến những bài tập tương

thích với mục tiêu suy diễn Cũng theo lý thuyết tìng huống thì: “Một môi

trường không có dụng ý sư phạm thì không đủ để chủ thể kiến tạo được tất cả kiến thức mà xã hội mong muốn họ lĩnh hội được”

Trong cải cách dạy và học toán ở trường phổ thông trên thế giới, bất kỳ

ở nước nào cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của việc giảng dạy các phươngpháp suy luận toán học trong trường phổ thông, vì nó nắm được các phươngpháp đó thì toán học mới có chất lượng tốt và mới có tiềm lực tiếp thu toánhọc ở bậc đại học, cao đẳng

Ví dụ 1.9: Cho hàm số y = f(x) Hãy viết phương trình tiếp tuyến cảu đồ thị

hàm số, biết rằng tiếp tuyến này đi qua điểm M(x1 , y1)

Ta biết rằng sách giáo khoa lớp 11 chỉ nêu ra ý nghĩa hình học của đạohàm từ đó có bài toán về tiếp tuyến là xác định hoành độ tiếp điểm x0 tung độtiếp điểm y0 và tìm hệ số góc a từ đó có phương trình tiếp tuyến y=a(x-x0)+y0.

Như vậy buộc học sinh phải suy luận làm sao có được một trong ba yếu

Cũng từ phép suy luận ở dạng trên học sinh trả lời được câu hỏi: Số tiếptuyến đi qua điểm M cũng chính là số nghiệm của phương trình

Ví dụ 1.10: Xác định m dể phương trình sau có nghiệm:

2 2

4 2

Sau khi học về dạng toán sử dụng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệmphương trình f(x) = m(*) (Phương trình này có nghĩa là một vế chứa biến x,còn vế kia chứa tham số) Chúng ta sẽ giải quyết được bài toán này

Các câu hỏi đặt ra là: Phương trình (*) có nghiệm khi nào? ĐK của bàitoán là gì ? Liệu phương trình (1) có biến đổi được về dạng phương trình (*)không?

H.D giải bài toán:

Điều kiện:  1 x 1.Muốn biến đổi về dạng (*) thì chia 2 vế cho:

 Tập giá trị của t là 0 t  2 ĐK này là rất cần thiết, nhiều

em khi làm dạng bài tập này quên mất tập giá trị của biến mới

Phương trình đã cho trở thành: 2 2

2

t t

m t

f với 0 t  2 Ta có f(t) liên tục trên đoạn 0 ; 2

Phương trình đã cho có nghiệm x Phương trình (*) có nghiệm t0 ; 2

  ( ) max  ( )

min

2

; 0 2

4 )

(

2

t t

t t t

Một số điểm cần lưu ý sau nhằm rèn luyện kỹ năng suy diễn cho họcsinh nhằm tạo lập nhiều cơ hội để học sinh tập duyệt, được tiến hành các hoạtđộng suy diễn Bằng cách thay đổi giả thiết hoặc thay đổi hình dạng bài toán

d/ Rèn luyện kỹ năng thiết lập, phát hiện và nghiên cứu, lợi dụng các sự tương ứng khi giải Toán

Trong bài giảng của Tiến sĩ Nguyễn Văn Thuận đã định nghĩa tư duyhàm: Tư duy hàm là quá trình suy nghĩ , quá trình tiến hành các hoạt động liênquan đến phát hiện nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng Phát hiện sựtương ứng có nghĩa là phát hiện ra mối liên hệ măng tính tương ứng có tínhkhách quan

Trong bốn hoạt động phát hiện thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng sựtương ứng thì hoạt động nghiên cứu sự tương ứng là phổ biến nhất Thật vậyrất nhiều tình huống trong môn toánphải phân tích xem xét, làm rõ mối quan hệgiữa hai loại đối tượng , thông thường phải vạch rõ mối quan hệ đó mới đi đếnlời giải đúng bài toán Ở khía cạnh khác trong mọi phương diện hoạt độngnghiên cứu bao giờ cũng là đi sâu vào bản chất của vấn đề nhất.Ngay khi đặt

ẩn phụ trong quá trình làm việc với phương trình Đặc biệt trong phương trìnhđòi hỏi biện luận thì một trong những câu then chốt là nghiên cứu cẩn thận vềmối tương quan giữa ẩn x ban đầu và ẩn phụ vừa đặt Nếu làm không chính xácthì ta phát hiện sự chuyển dịch bài toán sai và không chuyển được về bài toántương đương

Đề cập đến việc phát triển tư duy hàm, Nguyễn Bá Kim đã đưa ra bốn

tư tưởng chủ đạo, trong đó tư tưởng thứ nhất là “Tập luyện cho học sinh phát

hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi nhằm vào

truyền thụ và rèn luyện kỹ năng toán học”

Nghiên cứu những sự tương ứng nhằm phát hiện ra những tính chất củanhững mỗi liên hệ nào đó, ví dụ nghiệm phương trình với giao điểm của cácđồ thị, mỗi giá trị của t cho ta một giá trị x …

Hoạt động nghiên cứu sự tương ứng còn được hiểu một cách rộng hơnnhiều,và một tác giả người Đức ông Helmholz đã tách hoạt động nghiên cứu

ra thành những tình huống sau:

- Xác định giá trị ra khi biết giá trị vào

- Xác định giá trị vào khi biết giá trị ra

- Nhận biết quy tắc tổng quát (Trong trường hợp có thể) khi cho biếtnhững cặp phần tử tương ứng

- Đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi thay đổi giá trị vào

- Thực hiện một sự liên quan mong muốn đối với giá trị ra bằng cáchthay giá trị vào

- Đoán nhận sự phụ thuộc

- Phát hiện nghiên cứu sự bất biến và những trường hợp suy biến

Trong môn toán ở trường THPT, trong môn Đại số, Giải tích, đặc biệt làtrong chủ đề đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm thì việc rèn luyện kỹ năngnhằm phát triển tư duy hàm là tất yếu Trong đó rèn luyện kỹ năng giải toánliên quan đến nghiên cứu, thiết lập sự tương ứng một trong những nội dung chủyếu của chủ đề này đó là:

- Lớp các bài toán về sử dụng đồ thị biện luân số nghiệm phương trình

- Lớp các bài toán về điều kiên có nghiệm của phương trình, hệ phươngtrình, bất phương trình

- Lớp các bài toán về chứng minh bất đẳng thức

Trong dạy học nếu học sinh có ý thức và kỹ năng xét sự tương ứng thìviệc tìm ra hướng giải quyết bài toán sẽ đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ cócăn cứ xác đáng hơn, những sai sót trong lập luận sẽ ít mắc phải

Thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh thường gặp khó khăn và sai lầmsau đây khi giải những bài toán liên quan đến việc phát hiện, thiết lập sự tươngứng giữa các đối tượng tham gia trong bài toán

Ví dụ 1.11 : Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm:

2 4 ( 2) (4 )

(?) Bài toán có nhiều hướng giải, nhưng phương pháp nào là thích hợpnhất.