Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học VinhNguyễn Đăng Thịnh Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ Meir-Keeler cyclic trong không gian mêtric đầy đủ Luận văn Thạc sỹ Toán học Ngh
Trang 1Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh
Nguyễn Đăng Thịnh
Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ Meir-Keeler cyclic trong không gian mêtric đầy đủ
Luận văn Thạc sỹ Toán học
Nghệ An - 2014
Trang 2Bộ Giáo dục và Đào tạoTrường Đại học Vinh
Nguyễn Đăng Thịnh
Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ Meir-Keeler cyclic trong không gian mêtric đầy đủ
Luận văn Thạc sỹ Toán họcChuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân
Nghệ An - 2014
Trang 3Mục Lục
TrangLời nói đầu 1 Chương I Điểm bất động của các phép co Meir-Keeler quỹ đạo
2.1 Định lý điểm bất động đối với ánh xạ Meir-Keeler mạnh hơn 19
2.2 Một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ Meir-Keeler yếu hơn23
Trang 4Lời nói đầu
Lý thuyết điểm bất động là một hướng nghiên cứu quan trọng của Giảitích, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàmthức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí Một số kết quả về tồn tại
điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đếnnguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922).Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không giankhác nhau, bằng cách điều chỉnh điều kiện co cơ bản hoặc thay đổi khônggian
Năm 1969, Boyd và Wong đã giới thiệu khái niệm phép φ-co và nghiêncứu các mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach Năm 2003, Kirk và cộng sự
đã đưa ra khái niệm ánh xạ cyclic và nghiên cứu các định lý điểm bất độngcủa các phép co cyclic Năm 2008, Di Bari và cộng sự đã mở rộng khái niệmphép co cyclic bằng cách giới thiệu khái niệm phép co Meir-Keeler và nghiêncứu các định lý điểm bất động cho lớp các ánh xạ mới này
Năm 2010, Karpagam và Agrawal đã giới thiệu khái niệm phép co cyclicquỹ đạo và thu được một số định lý điểm bất động đối với các phép co cyclicquỹ đạo
Dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo NGƯT PGS TS Trần Văn Ân,chúng tôi đã tiếp cận hướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài: "Một số định
lí điểm bất động đối với ánh xạ Meir-Keeler cyclic trong không gian mêtric
đầy đủ"
Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các không gian mêtric,không gian mêtric đầy đủ, không gian vectơ tôpô, ánh xạ co, hàm nửa liêntục dưới, điểm bất động của các ánh xạ kiểu Meir-Keeler, , các tính chất củacác không gian mêtric đầy đủ, không gian Banach, các tính chất, sự tồn tại
điểm bất động của các ánh xạ trên và mối quan hệ giữa chúng Với mục đíchtrên luận văn được trình bày thành hai chương
Chương 1 Điểm bất động của các phép co Meir-Keeler quỹ đạo cyclictrong không gian mêtric đầy đủ Trong chương này, Mục 1 chúng tôi giớithiệu các khái niệm cơ bản làm cơ sở cho việc trình bày của luận văn, gồm:không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian Banach, ánh xạ co,
Trang 5một số tính chất của chúng, Mục 2 trình bày một số định lý điểm bất động
đối với các phép co Meir-Keeler quỹ đạo cyclic, và ở Mục 3 trình bày về định
lý điểm bất động đối với các phép co Meir-Keeler quỹ đạo cyclic suy rộng.Chương 2 Một số định lý điểm bất động của các ánh xạ Meir-Keelercyclic suy rộng Trong chương này, Mục 1 dành cho việc giới thiệu định
lý điểm bất động đối với hàm Meir-Keeler mạnh hơn, Tiếp theo ở Mục 2,chúng tôi giới thiệu một số định lý điểm bất động đối với hàm Meir-Keeleryếu hơn,
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc nhất đến thầy Nhân dịp này tác giả xin chân thành cám ơn Banchủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học, quý Thầy, Cô trong tổ GiảiTích khoa Toán Trường Đại học Vinh, Phòng Tổ chức Trường Đại học Sài Gòn
đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cuối cùngxin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt là các học viên cao họckhóa 20 Toán - Giải Tích tại Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuậnlợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập
Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai sót.Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn
đọc để luận văn được hoàn thiện
Vinh, ngày 05 tháng 05 năm 2014
Nguyễn Đăng Thịnh
Trang 61.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X Hàm d : X ì X → Rđược gọi làmột mêtric trênX nếu thỏa mãn các điều kiện sau
1 d(x, y) ≥ 0 với mọix, y ∈ X vàd (x, y) = 0 khi và chỉ khix = y;
2 d (x, y) = d (y, x) với mọix, y ∈ X;
3 d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) với mọix, y, z ∈ X
Tập hợp X cùng với một mêt tric d trên nó đươc gọi là một không gianmêtric và kí hiệu là(X, d)hay đơn giản là X
Từ định nghĩa trên ta đưa ra nhận xét sau
1.1.2 Nhận xét ([1]) Giả sử(X, d)là một không gian mêtric,xi ∈ (X, d) , i =
Trang 71.1.4 Mệnh đề ([1]) Giả sử(X, d)là một không gian mêtric Khi đó ta có1) Nếu {xn} ⊂ X, xn → x và xn → y, thìx = y.
2) Nếu{xn}, {yn}là các dãy trongX,xn → x, yn → y, thìd (xn, yn) →
d (x, y)
1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho(X, d)là một không gian mêtric
Dãy{xn}trongX gọi là dãy Cauchy nếu với mọiε > 0tồn tại sốn0 ∈ N
sao cho với mọin, m ≥ n0 ta cód (xn, xm) < ε
Không gian mêtric(X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong
X đều hội tụ
1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho hai không gian mêtric (X, d)và (Y, ρ) ánh xạ
f : (X, d) → (Y, ρ)được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại sốα ∈ [0; 1)sao cho
ρ (f (x), f (y)) ≤ α.d(x, y), với mọix, y ∈ X.
1.1.7 Định lý ([1])(Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử(X, d)là không gian mêtric
đầy đủ, f : X → X là ánh xạ co từ X vào chính nó Khi đó, tồn tại duynhất điểmx∗ ∈ X sao chof (x∗) = x∗
Điểmx∗ ∈ X có tính chấtf (x∗) = x∗ được gọi là điểm bất động của ánhxạf
1.1.8 Định lí ([11]) Giả sử A và B là hai tập đóng khác rỗng của khônggian mêtric đầy đủ(X, d)và f : A ∪ B → A ∪ B là ánh xạ thỏa mãn
1) f (A) ⊂ B và f (B) ⊂ A
2) d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y),với mọi x ∈ A, y ∈ B và k ∈ (0; 1)
Khi đó,A ∩ B khác rỗng vàf có duy nhất điểm bất động trong A ∩ B
1.1.9 Định nghĩa ([11]) Giả sửAvàB là những tập con khác rỗng của tập
X cho trước ánh xạT : A∪B → A∪Bđược gọi là cyclic nếuT (A) ⊆ T (B)
vàT (B) ⊆ T (A)
Trang 81.1.10 Định nghĩa ([10]) Giả sửAvàB là hai tập con khác rỗng của khônggian mêtric(X, d)vàf : A ∪ B → A ∪ B là ánh xạ cyclic sao cho với phần
tử nào đóx ∈ A, tồn tại số kx ∈ (0, 1)sao cho
d(f2n(x), f (y)) ≤ kx.d(f2n−1(x), y), với mọiy ∈ Avà với mọin ∈ N.
(1.1)
Khi đó,f được gọi là phép co cyclic quỹ đạo
1.1.11 Định lý ([10]) Giả sử A và B là hai tập con đóng khác rỗng củakhông gian mêtric đầy đủ(X, d) và f : A ∪ B → A ∪ B là phép co cyclicquỹ đạo Khi đó,f có điểm bất động trong A ∩ B
1.1.12 Định nghĩa ([11]) Giả sử{Ai}ki=1là các tập con khác rỗng của khônggian mêtric(X, d),Ak+1 = A1 và giả sửf :
1.1.13 Định lý ([11]) Giả sử {Ai}ki=1 là các tập con đóng khác rỗng củakhông gian mêtric đầy đủ(X, d)sao cho có ít nhất một tập trong chúng làcompắc, Ak+1 = A1 và giả sửf :
1) f (Ai) ⊆ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , k
2) d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y), với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1 và x 6= y, (i =
1, 2, , k)
Khi đó,f có duy nhất điểm bất động
Vấn đề đặt ra là ta có thể thay thế điều kiện co rút (2) trong Định lý 1.1.13bởi điều kiện co để thu được một mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach
Để làm điều đó trước hết chúng tôi giới thiệu một mở rộng định lý Banachcủa M A Geraghty bằng cách xét họS các hàm α : R+ → [0, 1) thỏa mãn
điều kiện đơn giản sau "α(tn) → 1 suy ratn → 0"
Trang 91.1.14 Định lí ([9]) Giả sử(X, d)là một không gian mêtric đủ,f : X → X
là ánh xạ từX vào chính nó và giả sử rằng tồn tạiα ∈ S sao cho
d (f (x), f (y)) ≤ α(d (x, y)).d (x, y) , với mọi x, y ∈ X.
Khi đó,f có một điểm bất động duy nhất z ∈ X và dãy {fn(x)} hội tụ về
Khi đó, f có một điểm bất động duy nhất
1.1.16 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợpX Họτ các tập con củaX được gọi làtôpô trênX nếu thoả mãn các điều kiện sau
(T1) ∅, X ∈ τ ;
(T2) NếuGi ∈ τ, i ∈ I thì S
i∈I
Gi ∈ τ;(T3) NếuG1, G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ
Tập hợpX cùng với tôpô τ trên nó được gọi là một không gian tôpô và
ký hiệu là(X, τ )hay đơn giản hơn làX Các phần tử củaX được gọi là điểmcủa không gian tôpô
Nhận xét.Các không gian mêtric là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric
Trang 101.1.17 Định nghĩa ([4]) Cho X là không gian tôpô Hàm f : X → R đượcgọi là nửa liên tục dưới tạix0 ∈ X nếu với mọi ε > 0có một lân cậnU của
x0 sao chof (x) > f (x0) − ε, với mọix ∈ U
Hàmf được gọi là nửa liên tục dưới trênX nếu nó nửa liên tục dưới tạimọi điểm trongX Khi đó[f > α] = {x ∈ X : f (x) > α}là tập mở với mọi
d (f (x), f (y)) ≤ ψ(d(x, y)), với mọix, y ∈ X.
Năm 2003, sử dụng định nghĩa phépΦ-co, Kirk và cộng sự đã chứng minh
ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau
(1) f (Ai) ⊆ Ai+1 với mọi i = 1, 2, , k
(2) d (f (x), f (y)) ≤ ψ(d (x, y)) với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1 và với mọi
i = 1, 2, , k, trong đóψ : R+ → R+ là một hàm nửa liên tục trênbên phải và thỏa mãn 0 ≤ ψ(t) < t vớit > 0
Khi đó, f có một điểm bất động duy nhất
1.1.20 Định nghĩa ([12]) ánh xạ ψ : R+ → R+ được gọi là ánh xạ kiểuMeir-Keeler nếu với mọiη ∈ R+, đều tồn tạiδ > 0 sao cho với mọit ∈ R+
màη ≤ t < η + δ, ta đều cóψ (t) < η
Trang 111.1.21 Định nghĩa ([7]) Cho(X, d)là không gian mêtric ánh xạψ : R+ → [0, 1)được gọi là là ánh xạ kiểu Meir-Keeler mạnh hơn nếu
với mọiη > 0tồn tạiδ > 0, và tồn tạiγη ∈ [0, 1)sao cho với mọix, y ∈ X
màη ≤ d(x, y) < δ + η thì ta cóψ(d(x, y)) < γη
1.1.22 Ví dụ Cho X = R2, d : X ì X → R+ xác định bởi d (x, y) =
|x1− y1| + |x2− y2| với mọix = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X vàψ : R+ → [0; 1)vớiψ (d (x, y)) = d(x,y)+1d(x,y) thì ψlà ánh xạ kiểu Meir-Keeler mạnh hơn
1.1.23 Ví dụ Cho X = R2, d : X ì X → R+ xác định bởi d (x, y) =
|x1− y1| + |x2− y2| với mọix = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X vàψ : R+ → [0; 1)với
ψ (d (x, y)) =
( d(x, y) − 1 nếu d(x, y) > 1,
là ánh xạ kiểu Meir-Keeler nhưng không là ánh xạ kiểu Meir-Keeler mạnhhơn
1.1.24 Định nghĩa ([7]) Cho(X, d)là không gian mêtric ánh xạφ : R+ →
R+ được gọi là ánh xạ kiểu Meir-Keeler yếu hơn nếu
với mọiη > 0tồn tại sốδ > 0sao cho với mọix, y ∈ X màη ≤ d(x, y) <
δ + η thì tồn tạin0 ∈ Nthỏa mãn φn0(d(x, y)) < η
1.1.25 Ví dụ Cho X = R2, d : X ì X → R+ xác định bởi d (x, y) =
|x1− y1| + |x2− y2| với mọi x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X vàφ : R+ → [0; 1)vớiφ (d (x, y)) = d(x,y)2 thì φlà ánh xạ kiểu Meir-Keeler yếu hơn
1.1.26 Ví dụ Cho X = R2, d : X ì X → R+ xác định bởi d (x, y) =
|x1− y1| + |x2− y2| với mọi x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X vàφ : R+ → [0; 1)với
Trang 121.2 Điểm bất động đối với các phép co Meir-Keeler quỹ
d(f2n(x), f (y)) ≤ ψ(d(f2n−1(x), y).d(f2n−1(x), y), (2.1)
với mọin ∈ Nvà với mọiy ∈ A Khi đó,f được gọi là phépψ-co Meir-Keelerquỹ đạo cyclic mạnh hơn
1.2.2 Định lý ([7]) Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của khônggian mêtric đầy đủ (X, d) và ψ : R+ → [0, 1) là ánh xạ kiểu Meir-Keelermạnh hơn trong X Giả sử rằng f : A ∪ B → A ∪ B là phép ψ-co Meir-Keeler quỹ đạo cyclic mạnh hơn Khi đó, A ∩ B là tập khác rỗng và f códuy nhất điểm bất động trongA ∩ B
Chứng minh Vì f : A ∪ B → A ∪ B là phépψ-co Meir-Keeler quỹ đạocyclic mạnh hơn, nên tồn tại x ∈ A thỏa mãn điều kiện (2.1) Hơn nữa vớimỗin ∈ N ta có
Trang 13Nhờ bất đẳng thức trên và định nghĩa của ánh xạψkiểu Meir-Keeler mạnhhơn trênX, vớiη ở trên, tồn tạiγη ∈ [0, 1)sao cho
1 − γ n η
.d(fk0 (x), fk0 +1
(x)).
Vì 0 < γn < 1, từ bất đẳng thức trên ta suy rad(fn(x), fm(x)) → 0 Vậy
{fn(x)} là dãy Cauchy Do (X, d) là không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại
v ∈ A ∩ B sao cho lim
Trang 14Cuối cùng, để chứng minh tính duy nhất của điểm bất động của f, tagiả sử à cũng là một điểm bất động của f Do tính chất cyclic của f, ta có
ν, à ∈ A ∩ B Vìf là phépψ-co Meir-Keeler quỹ đạo cyclic mạnh hơn, nên
Vìγη ∈ (0, 1)từ bất đẳng thức trên ta suy rad(v, à) = 0 Vậy, v = àvàv là
điểm bất động duy nhất củaf
1.2.3 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric Ta gọiφ : R+ →
R+ làφ-ánh xạ trongX nếu hàm sốφ thỏa mãn các điều kiện sau đây(φ1) φlà ánh xạ kiểu Meir-Keeler yếu hơn trênX vớiφ(0) = 0
(φ2) (a)nếu lim
d(f2n(x), f (y)) ≤ φ d(f2n−1(x), y) với mọin ∈ N, và với mọiy ∈ A,
(2.2)
thìf được gọi là phépφ-co Meir-Keeler quỹ đạo cyclic yếu hơn
1.2.5 Định lý ([7]) Cho A và B là hai tập con đóng khác rỗng của khônggian mêtric đầy đủ (X, d), và φ : R+ → R+ là φ-ánh xạ trong X Giả sử
f : A ∪ B → A ∪ B là phép φ-co Meir-Keeler quỹ đạo cyclic yếu hơn Khi
đóA ∩ B khác rỗng vàf có điểm bất động duy nhất trong A ∩ B
Trang 15Chứng minh Vì f : A ∪ B → A ∪ B là phép φ-co Meir-Keeler quỹ đạocyclic yếu hơn, nên tồn tạix ∈ Athỏa mãn bất đẳng thức (2.2), và vì thế vớimỗin ∈ N ta có
Vì{φn(d(x, f (x)))}n∈Nlà dãy giảm, nên nó phải hội tụ về một sốη ≥ 0
Ta sẽ chứng minh rằngη = 0 Giả sử ngược lại rằngη > 0 Khi đó theo Địnhnghĩa 1.1.22 về ánh xạφ kiểu Meir-Keeler yếu hơn trongX, tồn tại số δ > 0,sao cho với bất kỳx, y ∈ X mà η ≤ d(x, y) < δ + η, tồn tại n0 ∈ Nsao cho
φn0(d(x, y)) < η
Vì lim
n→∞φn(d(x, f (x))) = η, tồn tạim0 ∈ Nsao choη ≤ d(x, y) < δ + η,với mọim > m0 Vì thế, ta có thể kết luận rằngφn0 +m 0 (d(x0, x1) < η, và tagặp mâu thuẫn Vậy lim
Trang 16(i) mp là số chẵn và np là số lẻ.
(ii) d(fn(x), fm(x)) ≥ ε, và
(iii) mp là số chẵn nhỏ nhất để các điều kiện (i),(ii)xảy ra
Vì dãy{cm}là dãy giảm, hội tụ về0, nên nhờ (ii), ta có lim
là ánh xạ cyclic ta có f2n(x) là dãy trong A,f2n+1(x) là dãy trong B,
và cả hai dãy này đều hội tụ về v Vì A và B là các tập đóng ta nhận được
v ∈ A ∩ B Vậy,A ∩ B khác rỗng Nhờ điều kiệnφ2-(b) củaφ-ánh xạ ta có
d(v, f (v)) = lim
n→∞d(f2n(x), f (v))
n→∞φ d(f2n−1(x), v = 0.
Vì thế,v là điểm bất động của f Giả sửàlà một điểm bất động của f và
v 6= à Dof là phépφ−co Meir-Keeler quỹ đạo cyclic yếu hơn nên ta có
Trang 171.3 Điểm bất động đối với phép co Meir-Keeler cyclicsuy rộng
1.3.1 Định nghĩa ([7]) Cho{Ai}ki=1là các tập con khác rỗng của không gianmêtric(X, d),Ak+1 = A1,ψ : R+ → [0, 1)là ánh xạ kiểu Meir-Keeler mạnhhơn trongX và giả sửf :
(i) f (Ai) ⊆ Ai+1vớii = 1, 2, , k,
(ii) d(f (x), f (y)) ≤ ψ (d(x, y)) d(x, y)với mọi x ∈ Ai, y ∈ Ai+1,i =
1, 2, , k
Khi đó,f được gọi là phépψ-co Meir-Keeler cyclic mạnh hơn suy rộng
1.3.2 Định lý ([7]) Cho {Ai}ki=1 là họ các tập con đóng khác rỗng củakhông gian mêtric đầy đủ (X, d), ψ : R+ → [0, 1) là ánh xạ kiểu Meir-Keeler mạnh hơn trong X và giả sử f :
Do đó dãy{d(xn, xn+1)}là dãy giảm và bị chăn dưới Vì thế nó dãy hội
tụ Giả sử lim
Trang 18với mọin ∈ N ∪ 0 Từ đó suy ra với mỗin ∈ N ta có
n→∞d(xk0+n, xk0+m) = 0 với m > n Với bất kỳ
1−γη.d fk0(x0), fk0 +1(x0)
Do đó, vì0 ≤ γη < 1 ta suy rad (fn(x0), fm(x0)) → 0 Điều này chứng
tỏ dãy {fn(x0)} là dãy Cauchy Do X là không gian đầy đủ, nên tồn tại
v ∈
k
S
i=1
Asao cho lim
n→∞fn(x0) = v Bây giờ với mỗi i = 1, 2, , k − 1ta códãy fkn−i(x0) là dãy trong Ai, và hơn nữa tất cả các dãy này đều hội tụ
vềv Lại vì Ailà tập đóng với mọi i = 1, 2, , k, ta suy ra rằng v ∈
ta suy rad(v, f (v)) = 0, hayv là điểm bất động củaf
Cuối cùng, để chứng minh tính duy nhất của điểm bất động v, ta giả sử
à cũng là điểm bất động của f nhưng v 6= à Nhờ tính cyclic của f, ta có
Trang 19Ta gặp mâu thuẫn, vì vậy,v = àhayv là điểm bất động duy nhất củaf.
1.3.3 Định nghĩa ([7]) Giả sử {Ai}ki=1 là các tập con khác rỗng của khônggian mêtric(X, d),Ak+1 = A1,φ : R+ → R+ là φánh xạ trong X và giả sử
Ailà phépφ-co Meir-Keeler cyclic yếu hơn suy rộng
Khi đóf có điểm bất động duy nhất trong Tk
i=1
Ai.Chứng minh Lấy x0 ∈ X Với mỗi n ∈ Nta đặt xn = fn(x0) Vì f làphépφ-co Meir-Keeler cyclic yếu hơn suy rộng, với mỗin ∈ N ta có
d(xn, xn+1) = d fn(x0), fn+1(x0)
≤ φ d fn−1(x0), fn(x0) = φ (d(xn−1, xn))
≤ ã ã ã
≤ φn(d(x0, x1))
Vì dãy{φn(d(x0, x1))}n∈N là dãy giảm, bị chặn dưới nên nó phải hội tụ
về η ≥ 0 Ta chứng minh rằng η = 0 Ngươc lại giả sử rằngη > 0 Khi đó,
Trang 20nhờ Định nghĩa 1.1.22 của ánh xạ kiểu Meir-Keeler yếu hơn φ trong X, tồntại số δ > 0sao cho với mọi x, y ∈ X mà η ≤ d(x, y) < δ + η, đều tồn tại
n0 ∈ N sao cho φn0 (d(x, y)) < η Vì lim
n→∞φn(d(x0, x1)) = η, nên tồn tại
m0 ∈ Nsao choη < φm(d(x0, x1)) < δ + η, với mọim > m0 Vì thế ta suy
ra φm0 +n 0 (d(x0, x1)) < η, ta gặp mâu thuẫn Vậy lim
n→∞φn(d(x0, x1)) = 0,hay lim
Chúng ta sẽ chứng minh(∗∗)bằng phản chứng, giả sử rằng(∗∗)sai Khi
đó, tồn tạiε > 0 sao cho với mọi p ∈ Ntồn tại mp, np ∈ N sao cho mp >
Trang 21Chop → ∞ Khi đó nhờ điều kiện (φ2)-(a) củaφ-ánh xạ, ta có
ε ≤ 0 + lim
p→∞φ d(xmp, xnp) + 0 < ε.
Ta gặp mâu thuẫn
Trường hợpi 6= 0chứng minh tương tự Vì thế,{xn}là dãy Cauchy VìX
là không gian đầy đủ, nên tồn tạiv ∈
k
S
i=1
Aisao cho lim
n→∞xn = v Bây giờ vớimọii = 1, 2, , k − 1, vì dãyfkn−i(x) là dãy trong tập Ai,fkn−i(x)
là dãy con của dãy{xn}, nên tất cả các dãy này hội tụ về v Mặt khác, vìAi
là tập đóng với mọii = 1, 2, , k − 1, ta suy ra Tk