Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THỊ MỸ HẰNG MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG

MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

MỤC LỤC

1.1 Hệ hàm lặp và tập tự đồng dạng 51.2 Độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff 91.3 Điều kiện tập mở 14

2 Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập

2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo Hausdorff

dương 162.2 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và sự cô lập của ánh

xạ đồng nhất 242.3 Một số điều kiện kéo theo điều kiện tập mở 29

LỜI NÓI ĐẦUHình học Fractal là một lĩnh vực mới mẻ và hấp dẫn do có nhiều ứngdụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Vì thế, ngay từ khi ra đời hình họcFractal đã nhanh chóng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàtoán học Công cụ chính để nghiên cứu hình học Fractal là độ đo và chiềuHausdorff Việc tính chiều Hausdorff là cần thiết nhưng lại rất khó Đốivới những tập fractal sinh bởi hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở(Open Set Condition - OSC) người ta đã thiết lập được công thức để tínhchiều Hausdorff khá đơn giản Do vậy, một câu hỏi được đặt ra một cách

tự nhiên là điều kiện tập mở tương đương với điều kiện gì hoặc điều kiện

gì sẽ kéo theo điều kiện tập mở Bài toán này đã và đang được nhiều nhàtoán học quan tâm nghiên cứu và bước đầu đã thu được một số kết quả

Để tính chiều Hausdorff của một tập, người ta phải nghiên cứu cấu trúccủa tập đó, hay cụ thể hơn là phải dựa trên mối quan hệ giữa các ảnh củatập đó qua các ánh xạ sinh ra tập đó Trong trường hợp các ảnh của tập

đó qua các ánh xạ sinh ra nó rời nhau hay chỉ giao nhau rất "mỏng" tagọi là điều kiện tập mở

Điều kiện tập mở được đưa ra đầu tiên bởi P A P Moran vào năm

1946 Cho đến nay, có hai điều kiện tương đương với điều kiện tập mở,một điều kiện dựa trên độ đo Hausdorff và một điều kiện dựa trên sự táchbiệt của ánh xạ đồng nhất đối với nhóm tất cả các ánh xạ đồng dạng Dựavào độ đo Hausdorff, năm 1946, P A P Moran ([10]) đã chỉ ra là nếu hệhàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở thì độ đo của tập sinh bởi hệ hàm lặp

đó dương Sau đó, năm 1994, A Chief ([1]) đã chứng minh được mệnh đềđảo của P A P Moran Sử dụng nhóm tôpô các ánh xạ đồng dạng, năm

1992, C Bandt và S Graf ([3]) đã chỉ ra một điều kiện để hệ hàm lặp thỏa

mãn điều kiện tập mở Năm 2005, C Bandt, N V Hung và H Rao ([2])

đã đưa ra khái niệm tập mở trung tâm và chỉ ra mối quan hệ giữa nó vớiđiều kiện tập mở Sau đó, năm 2014, T J Ni và Z Y Wen ([12]) đã chỉ ramối liên hệ giữa tính chất PCF và OSC của cấu trúc tự đồng dạng Ngoài

ra bài toán này còn được nghiên cứu bởi Y Peres, M Rams, K Simon và

B Solomyak ([13]), K S Lau, H Rao và Y L Ye ([9])

Vì vậy, để tập duyệt với NCKH và tìm hiểu về vấn đề này chúng tôichọn đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình là

Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở.Mục đích của luận văn là nghiên cứu về hệ hàm lặp, điều kiện tập mở vàcác điều kiện để một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở Với mục đíchtrên nội dung luận văn được trình bày thành hai chương

Chương 1 Hệ hàm lặp và điều kiện tập mở

Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các khái niệm

cơ bản cần dùng trong toàn luận văn Mục 1.1 trình bày định nghĩa ánh

xạ đồng dạng, hệ hàm lặp, tập fractal và tập tự đồng dạng Mục 1.2 trìnhbày định nghĩa, tính chất và ví dụ về độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff.Điều kiện tập mở được trình bày trong Mục 1.3

Chương 2 Một số điều kiện để hệ hàm lặp thỏa mãn điềukiện tập mở

Chương này, chúng tôi trình bày nội dung chính của luận văn TrongMục 2.1, chúng tôi trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ

đo Hausdorff dương Mục 2.2 trình bày sự tương đương giữa điều kiện tập

mở và sự cô lập của ánh xạ đồng nhất Mục 2.3 trình bày một số điều kiệndẫn đến một hệ hàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của cô giáo TS Vũ Thị Hồng Thanh Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Cô, người đã chỉ dạy tác giả những kiếnthức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân

thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Phòng đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệmkhoa Sư phạm Toán học và quý Thầy giáo, Cô giáo trong tổ Giải tích củakhoa Sư phạm Toán học - Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy

và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt

là bạn bè trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp

đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Kính mong quý Thầy, Cô và bạn bè đóng góp ý kiến

để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2014

Tác giả

|f (x) − f (y)| ≤ c|x − y| với mọi x, y ∈ D,

c được gọi là tỷ số co

ii) Ánh xạ f : D −→ D được gọi là một ánh xạ đồng dạng trên D nếutồn tại c > 0 sao cho

|f (x) − f (y)| = c|x − y| với mọi x, y ∈ D,

c được gọi là tỷ số đồng dạng

Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là ánh xạ đồngdạng

1.1.2 Mệnh đề ([8]) Cho f : D −→ D Khi đó, f là ánh xạ đồng dạng

khi và chỉ khi f có thể biểu diễn được dưới dạng

f (x) = c × R × x + b,

trong đó c ∈ (0, 1) là tỷ số co của f, b ∈ Rn và R là ma trận trực giao cấp

n

1.1.3 Định nghĩa ([8]) Một họ hữu hạn các ánh xạ co{f1, , fm}trên

D được gọi là một hệ hàm lặp (IFS - Iterated Function System) trên D

Cho A là một tập trong không gian mêtric (X, d) Với mỗi điểm x ∈ X

ta đặt d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}, trong đó d(x, y) là khoảng cách từ

x đến y với mọi y ∈ X

Cho trước một số thực dương δ, kí hiệu Aδ = {x ∈ X : d(x, A) ≤ δ}

được gọi là δ−bao của A

1.1.4 Định lý ([8]) Cho D là tập compact khác rỗng trong Rn Gọi K làlớp các tập con compact, khác rỗng của D Khi đó, hàm

ii) dH là một mêtric trên K

Hơn nữa, không gian (K, dH) là một không gian mêtric đầy đủ

1.1.5 Định nghĩa ([8]) Mêtric dH trên K trong Định lý 1.1.4 được gọi

là mêtric Hausdorff trên K

Mặc dù chưa có một định nghĩa chính thống nào về fractal nói chung,nhưng J E Hutchinson ([6]) đã đưa ra một khái niệm về một số tập fractaldựa trên họ hữu hạn các ánh xạ co như sau

1.1.6 Mệnh đề ([6]) Cho hệ hàm lặp {f1, , fm} trên D Ta xác định

f (F ) = F Hơn nữa, nếu có tập E ∈ K sao cho fi(E) ⊂ E (1 ≤ i ≤ m)

thì F =

∞

T

i=1

fi(E), với fi là sự lặp lại i lần ánh xạ f

1.1.8 Định nghĩa ([6]) i) Tập F trong Định lý 1.1.7 được gọi là tập bấtbiến hay tập hút (attractor) của hệ hàm lặp {f1, , fm}

ii) Nếu fi (1 ≤ i ≤ m) là các ánh xạ đồng dạng thì tập bất biến F

được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar set)

iii) Các tập bất biến được xem là các tập Fractal

1.1.9 Ví dụ.1 Tam giác Sierpinski trong R2

Tam giác Sierpinski được xây dựng bằng cách xuất phát từ một hìnhtam giác đều, chia nó thành 4 tam giác đều nhỏ bởi các đường nối trungđiểm của các cạnh, giữ lại 3 tam giác xung quanh và bỏ đi tam giác ởgiữa, rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam giác còn lại, cứ thế tiếp tục mãi.Khi đó, ta thu được tam giác Sierpinski Ta chứng minh được tam giácSierpinski là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp {f1, f2, f3} trên R2 có tỉ sốđồng dạng 1

2 Đó là

3) và giữ lại hai đoạn ở hai

đầu, nghĩa là giữ lại tập F1 = [0,1

Xuất phát từ hình vuông đơn vị, chia nó thành 16 hình vuông nhỏ có

độ dài cạnh là 14, giữ lại 4 hình vuông và bỏ đi 12 hình vuông khác Cứtiếp tục như thế cho đến bước thứ k ta có 4k hình vuông cạnh là 41k Quátrình này được lặp lại vô hạn lần Khi đó, ta thu được bụi Cantor Tacũng chứng minh được bụi Cantor là tập bất biến sinh bởi hệ hàm lặp

1.2 Độ đo Hausdorff, chiều Hausdorff

Phần này giới thiệu một số kiến thức cơ bản về độ đo, độ đo Hausdorff

và chiều Hausdorff

1.2.1 Định nghĩa ([8]) Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng và C làmột họ các tập con của X Khi đó, C được gọi là một đại số trên X nếuthỏa mãn các điều kiện sau:

thì C được gọi là σ-đại số trên X

Cặp (X, C) với C là σ-đại số được gọi là không gian đo được Tập A ∈ C

được gọi là tập đo được

1.2.2 Định nghĩa ([8]) Giả sử C là một σ - đại số trên X Khi đó, hàmtập µ : C → R được gọi là độ đo nếu

i) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C;

ii) µ(∅) = 0;

iii) µ là σ- cộng tính, nghĩa là nếu

L = {A ⊂ X : µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E\A), với mọi E ⊂ X}

Khi đó, L là đại số và µ = µ∗|L là một độ đo trên L

• µ được gọi là độ đo sinh bởi độ đo ngoài µ∗

• A ∈ L được gọi là tập µ∗-đo được

1.2.5 Định lý ([8]) Giả sử µ là độ đo trên đại số C các tập con của X.Khi đó, với mọi tập A ∈ ℘(X) (℘(X) là họ tất cả các tập con của X), đặt

thì µ∗ là một độ đo ngoài trên ℘(X) và µ∗(A) = µ(A), với mọi A ∈ C.

1.2.6 Định nghĩa ([8]) Giả sử µ là một độ đo trên Rn

i) Giá của độ đo µ ký hiệu sptµ là tập đóng bé nhất sao cho

µ(Rn\sptµ) = 0

ii) Cho A ⊂Rn ta nói µ là độ đo trên A nếu sptµ ⊂ A

iii) Giả sử µ là một độ đo trên tập con bị chặn của Rn thỏa mãn

0 < µ(Rn) < +∞,

thì µ được gọi là một sự phân bố khối lượng (mass distributions) và

µ(A) được xem là khối lượng của A ⊂ Rn

1.2.7 Định nghĩa ([8]) i) Cho F ⊂ Rn, F 6= ∅ Khi đó, kí hiệu

|F | = sup{|x − y| : x, y ∈ F }

được gọi là đường kính của tập F

ii) Giả sử{Ui}là một họ đếm được các tập con trong Rn NếuF ⊂

Như vậy, khi choδ dần về 0 thì Hs

δ(F ) đơn điệu tăng Do vậy, luôn tồn tại

là một độ đo ngoài trên C

1.2.10 Định nghĩa ([8]) Độ đo sinh bởi độ đo ngoài Hs được gọi là

độ đo Hausdorff trên σ−đại số L các tập con Hs−đo được của Rn Tập

F ⊂ Rn thỏa mãn 0 < Hs(F ) < +∞ được gọi là s−tập

1.2.13 Hệ quả ([8]) Giả sử ∅ 6= F ⊂ Rn là tập Borel Khi đó, luôn tồntại duy nhất một giá trị sF ∈ R+ để

i) Hs(F ) = 0 với mọi s > sF,

ii) Hs(F ) = +∞ với mọi s < sF

1.2.14 Định nghĩa ([8]) Cho F ⊂ Rn, số sF ∈ [0; +∞] trong Hệ quả1.2.13 được gọi là chiều Hausdorff của F và ký hiệu là dimH F

1.2.15 Nhận xét ([8]) Cho F ⊂ Rn Khi đó,

i) dimH F = inf{s : Hs(F ) = 0} = sup{s : Hs(F ) = ∞}

ii) Nếu tồn tại s ∈ [0; +∞) để 0 < Hs(F ) < ∞ thì dimH F = s

Sau đây là một số tính chất của chiều Hausdorff

1.2.16 Mệnh đề ([8]) i) Nếu E ⊂ F ⊂ Rn thì dimHE ≤ dimHF (tínhđơn điệu);

iii) dimHF = 0 với mọi tập đếm được F ⊂ Rn;

iv) Nếu F là tập mở trong Rn, F 6= ∅ thì dimHF = n;

v) Nếu F là đa tạp con trơn m chiều trong Rn thì dimHF = m

Một độ đo thường dùng để nghiên cứu trong hình học fractal có tên gọi

là sự phân bố khối lượng, khái niệm này thường được mô tả một cách trựcquan như sau

1.2.17 Nhận xét ([8]) Lấy ε0 = {E} với E là tập Borel trong Rn Với

k = 1, 2, ta ký hiệu εk là tập hợp các tập con Borel rời nhau của E saocho mỗi U ∈ εk đều được chứa trong một phần tử của εk−1 và chứa hữuhạn các phần tử của εk+1 Ta giả thiết rằng đường kính của tập lớn nhấttrong εk dần về 0 khi k → ∞ Ta xây dựng một sự phân bố khối lượngtrên E như sau

• Gán cho tập E một giá trị ký hiệu là µ(E) thuộc (0; +∞)

• Với mỗi Ui ∈ ε1 = {U1, , Um} ta gán cho µ(Ui) một giá trị sao cho

m

P

i=1

(Ui) = µ(E)

µ(Uij) = µ(Ui) nếu Ui ∈ ε1 chứa k phần tử Ui1, , U ik của ε2.

• Lặp lại quá trình trên, ta đi đến tổng quát là ở bước thứ k ta có

Do đó, µ là một sự phân bố khối lượng trên E

1.2.18 Định lý ([8]) (Nguyên lý về sự phân bố khối lượng) Cho F làmột tập compact, khác rỗng trong Rn và µ là một sự phân bố khối lượngtrên F Nếu với mỗi s ≥ 0 tồn tại c > 0 và δ > 0 sao cho µ(U ) ≤ c|U |s

mở V khác rỗng trong Rn sao cho

ii) Cho hệ hàm lặp {f1, , fm} và F là tập bất biến qua hệ hàm lặp

đó Khi đó, ta nói {f1, , fm} thỏa mãn điều kiện tập mở mạnh (SOSC

- Strong Open Set Condition) nếu tồn tại tập mở V khác rỗng sao cho

1.3.4 Định nghĩa ([8]) Nếu hệ hàm lặp là các ánh xạ đồng dạng với các

tỉ số đồng dạng làci, i = 1, 2, , mthì nghiệm của phương trình

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ HÀM LẶP

THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN TẬP MỞ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện để một hệhàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở và đưa ra ví dụ minh họa về hệ hàmlặp thỏa mãn các điều kiện đó

2.1 Sự tương đương giữa điều kiện tập mở và độ đo

Hausdorff dương

Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày điều kiện cần và đủ để một hệhàm lặp thỏa mãn điều kiện tập mở dựa vào độ đo Hausdorff của tập bấtbiến sinh bởi hệ hàm lặp đó Các kết quả này do A Chief và K J Falconerđưa ra trong tài liệu [1] và [8]

Trước hết ta cần bổ đề sau

2.1.1 Bổ đề ([8]) Giả sử {Vi} là họ các tập mở rời nhau trong Rn saocho mỗi tập Vi đều chứa một hình cầu bán kính a1r và Vi lại được chứatrong một hình cầu bán kính a2r Khi đó, mọi hình cầu B bán kính r đều

có giao khác rỗng với nhiều nhất (1 + 2a2)na−n1 các bao đóng Vi của Vi.Chứng minh Giả sử Vi có giao với hình cầu B(x0, r) có bán kính r, tâm

x0 nào đó trong Rn Theo giả thiết, Vi nằm trong hình cầu Bi(xi, a2r) cóbán kính a2r, tâm xi nào đó trong Rn Do đó,Vi cũng nằm trong hình cầu

Bi(x1, a2r) Suy ra, | Vi |≤ 2a2r (trong đó |A| kí hiệu là đường kính củatập A)

Đặt d∗(x0, Vi) = sup{d(x, x0) : x ∈ Vi} Khi đó,

d∗(x0, Vi) ≤ r + 2a2r = (1 + 2a2)r

Suy ra, Vi nằm trong hình cầu B0(x0, (1 + 2a2)r) có bán kính (1 + 2a2)r,tâm x0.

Mặt khác, Vi chứa hình cầu Bi0(x0i, a1r) có bán kính a1r, tâm x0i trong

Giả sử có q tập Vi có giao với hình cầu B(x0, r) Khi đó, có q hình cầu

Bi0(x0i, a1r) nằm trong hình cầu B0(x0, (1 + 2a2)r) Suy ra, tổng thể tíchcủaq hình cầuBi0(x0i, a1r) nhỏ hơn thể tích của hình cầuB0(x0, (1+2a2)r)

m

S

i=1

fi(F ) Khi đó, 0 < Hs(F ) < +∞ với s = dimHF

Chứng minh Vì s = dimHF nên theo Định lý 1.3.3 thì s là nghiệm duynhất của phương trình

m

P

i=1

csi = 1, trong đó ci ∈ (0, 1) là các tỷ số đồngdạng tương ứng với các ánh xạ đồng dạng fi Với mỗi k ∈ N, kí hiệu

Ik = {i= (i1, , ik) : ij = 1, , m, j = 1, , k}

Cho trước tập A và với i = (i1, , ik) ∈ Ik, ta kí hiệu

fi = fi1 ◦ ◦ fik,

Ai = fi(A) = fi1 ◦ ◦ fik(A),

ci = ci1 cik

Đặt I = {(i1, i2, ) : 1 ≤ ij ≤ m, j = 1, 2, } Với dãy {(i1, , ik)}

cho trước, ký hiệu tập

Ii1, ,ik = {(i1, ik, qk+1, ) : 1 ≤ qj ≤ m, j > k}

gồm những dãy trong I với k số đầu là i1, , ik Ta xây dựng một sựphân bố khối lượng µ trên I xác định bởi µ(Ii1, ,ik) = (ci1 cik)s = csi.Vì

Khi đó,µlà một sự phân bố khối lượng trên các tập con củaI vớiµ(I) = 1

Từ đó ta thiết lập một sự phân bố khối lượng trên F như sau:

Với mỗi tập con A của F, đặt µ(A) = {(ie 1, i2, ) : xi1,i2, =

hội tụ về F Đặc biệt V ⊃ F và Vi1, ,ik ⊃ Fi1, ,ik với mỗi dãy hữu hạn

(i1, , ik) ∈ Jk Gọi B là hình cầu bất kỳ có bán kính r < 1 Ta ướclượng µ(B)e bằng cách xét các tập Vi1, ,ik có đường kính có thể so sánhđược với đường kính của B và của F ∩ B

Tiếp theo, ta rút gọn mỗi dãy vô hạn (i1, i2, ) ∈ I từ chỉ số thứ k

sao cho

( min

1≤i≤mci)r ≤ ci1 cik ≤ r (2.1)

và gọi Q là tập gồm tất cả những dãy (hữu hạn) đạt được theo cách thugọn trên Khi đó, mỗi dãy vô hạn (i1, i2, ) ∈ I đều có đúng một giá trị

k sao cho (i1, , ik) ∈ Q Do V1, , Vm không giao nhau nên với mỗi

(i1, , ik) ∈ Q thì các phần tử của dãy Vi1, ,ik,1, , Vi1, ,ik,m cũng khônggiao nhau Do đó, lớp các tập mở {Vi1, ,ik: (i1, , ik) ∈ Q} là không giaonhau Hơn nữa, ta có

1≤i≤mci)a1r và được chứa trong hình cầu bán kính a2r.Lấy Q1 là những dãy (i1, , ik) ∈ Q sao cho B có giao với Vi1, ,ik Theo

Mặt khác, dễ chứng minh được fi = fi1 ◦ ◦ fik là ánh xạ đồng dạngvới tỷ số đồng dạng là ci = ci1 cik Ta có,

nên luôn chọn được k)

Vì vậy, họ {Fi} với i∈ Ik là một δ−phủ của F Ta có,

n bởi hai màu xanh và đỏ thì luôn tồn tại một đồ thị con đầy đủ km được

tô màu xanh hoặc một đồ thị con đầy đủ kn được tô màu đỏ và

2.1.4 Định lý ([1]) Cho tập F ⊂ Rn và dimHF = s Khi đó, nếu

Hs(F ) > 0 thì hệ hàm lặp sinh ra F thỏa mãn SOSC, do đó thỏa mãnOSC

Chứng minh Giả sử {f1, , fm} là hệ hàm lặp sinh ra tậpF với các tỷ số

co tương ứng là c1, , cm Vì các ci có thể khác nhau, nên với 1 ≥ b > 0,đặt

và γ = sup #I(k) (với #A kí hiệu là lực lượng của tập hợp A).

Không mất tính tổng quát ta giả sử |F | đủ bé để |Gk| ≤ 1

Ta chứng minh γ < +∞

Vì cj ≥ bcmin > cicmin với i,j ∈ Ib, nên ta có thể áp dụng chứng minh trêncho x = cmin và δ > 0 sao cho d(Fi, Fj) ≥ δci với b bất kì, i,j ∈ Ib,i 6= j.Điều này kéo theo sự tồn tại của y ∈ F sao cho