Luật số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên trên không gian hilbert

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhTrần Thị Hải Yến Luật mạnh số lớn đối với dãy phần tửngẫu nhiên trên không gian Hilbert Luận văn thạc sĩ toán họcChuyên ngành: Lý thuyết xác suất

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Trần Thị Hải Yến

Luật mạnh số lớn đối với dãy phần tửngẫu nhiên trên không gian Hilbert

Luận văn thạc sĩ toán họcChuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Văn Quảng

Mục lục

1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3

1.1.1 ánh xạ đo được 3

1.1.2 Biến ngẫu nhiên 4

1.1.3 Phân phối xác suất 5

1.1.4 Hàm phân phối 6

1.1.5 Kỳ vọng 6

1.1.6 Phương sai 8

1.1.7 Các bất đẳng thức moment 8

1.2 Các biến ngẫu nhiên độc lập và trực giao 10

1.2.1 Các biến ngẫu nhiên độc lập 10

1.2.2 Các biến ngẫu nhiên trực giao 11

1.3 Một số định lý giới hạn 13

1.3.1 Các dạng hội tụ 13

1.3.2 Dãy cơ bản 15

1.3.3 Một số bất đẳng thức cơ bản 16

1.3.4 Luật số lớn 17

2 Luật số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên

2.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach 19

2.1.1 Các định nghĩa 19

2.1.2 Tính chất 20

2.1.3 Các phần tử ngẫu nhiên độc lập 25

2.1.4 Kỳ vọng của phần tử ngẫu nhiên 26

2.1.5 Các dạng hội tụ 28

2.2 Luật số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên không tương quan 30 2.2.1 Các phần tử ngẫu nhiên không tương quan 30

2.2.2 Luật yếu số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên không tương quan 31

2.2.3 Luật mạnh số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên không tương quan 32

2.3 Luật mạnh số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập 34

2.3.1 Các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trên không gian Hilbert 34

2.3.2 Luật mạnh số lớn đối với các phần tử ngẫu nhiên độc lập 36 Kết luận 39

Mở đầuLuật số lớn là một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất Ngàynay luật số lớn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự, được nhiều nhà khoa học quantâm và có ảnh hưởng to lớn đến sự phát triển của lý thuyết xác suất, thống kêtoán học và các ứng dụng của chúng.

Một hướng mở rộng của lý thuyết xác suất là nghiên cứu các vấn đề cơbản của nó trên các không gian trừu tượng Hướng nghiên cứu này đã và đang

được phát triển mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả sâu sắc Trong những nămgần đây, đã có một số công trình nghiên cứu về luật số lớn lớn trên không gianHilbert (xem [5], [7], [9]) Trên cơ sở đọc và tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúngtôi nghiên cứu đề tài của luận văn là: ''Luật số lớn đối với phần tử ngẫu nhiên trênkhông gian Hilbert”

Mục đích chính của luận văn này là nghiên cứu các luật số lớn đối với dãycác phần tử ngẫu nhiên không tương quan và các phần tử ngẫu nhiên độc lập nhậngiá trị trên không gian Hilbert

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn chia thànhhai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của lýthuyết xác suất, cần thiết cho việc trình bày chương sau

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hếtchúng tôi trình bày về Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach.Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày về các phần tử ngẫu nhiên không tương quantrên không gian Hilbert và các luật số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiênkhông tương quan Các phần tử ngẫu nhiên độc lập trên không gian Hilbert vàLuật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập sẽ được trình bày

ở mục cuối cùng

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của

GS TS Nguyễn Văn Quảng Nhân dịp này, học viên xin bày tỏ lòng biết ơn tới

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

1.1.1 ánh xạ đo được

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω1, F1) và (Ω2, F2) là hai không gian đo Anh xạ

X : Ω1 → Ω2 được gọi là ánh xạ F1/F2 đo được nếu với mọi B ∈ F2 thì

F2/F3 đo được Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1/F3 đo được

3 Giả sử F2 = σ(C) Khi đó ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là F1/F2 đo được khi

và chỉ khiX−1(C) ∈ F1 với mọi C ∈ C

1.1.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ-đại số concủa σ-đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên

G-đo được nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì

X−1(B) ∈ G)

Chú ý Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F-đo được thì X

được gọi một cách đơn giản làbiến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên) Nếubiến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu nhiên

Định lý 1.1.3 X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau

đây thoả mãn

(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R

(ii) (X 6 a) := (ω : X(ω) 6 a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iv) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R

Định lý 1.1.4 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên(Ω, F , P), f : Rn → R là hàm đo được (tức f là B(Rn

)/B(R) đo được) Khi

Y = f (X1, , Xn) : Ω → R

ω 7→ f (X1(ω), , Xn(ω))

là biến ngẫu nhiên

Hệ quả 1.1.5 Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P ),

f : R → R là hàm liên tục a ∈ R Khi đó aX, X ± Y, XY, |X|, f (X), X+ =max(X, 0), X− = max(−X, 0), X/Y (Y 6= 0) đều là các biến ngẫu nhiên

Định lý 1.1.6 Giả sử {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên cùng xác định trên(Ω, F , P) Khi đó, nếu inf

n→∞Xn (nếu tồn tại) đều là biến ngẫu nhiên

Định lý 1.1.7 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫunhiên đơn giản, không âm {Xn, n > 1} sao cho Xn ↑ X khi n → ∞

được gọi là phân phối xác suất của X

Tính chất: 1 PX là độ đo xác suất trên B(R)

2 NếuQ là độ đo xác suất trên B(R)thì Qlà phân phối xác suất của mộtbiến ngẫu nhiên X nào đó

Chú ý Tương ứng giữa biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất của chúng khôngphải là tương ứng 1-1 Những biến ngẫu nhiên có cùng phân phối xác suất đượcgọi là những biến ngẫu nhiên cùng phân phối

1.1.4 Hàm phân phối

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất, X : Ω → R

là biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số FX(x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x)

được gọi là hàm phân phối của X

x↑a F (x) = F (a) và lim

x↓a F (x) = P(X 6 a) Do đó F (x) liên tục tráitại mọi điểm,F (x) liên tục tại a khi và chỉ khi P(a) = 0

Chú ý.Để thuận tiện, người ta thường dùng ký hiệu

được nghiên cứu thuận lợi khi dựa vào các kết quả về tích phân Lebesgue

Định nghĩa 1.1.10 Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên Khi

đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọngcủa X và ký hiệu là EX

3 NÕu tån t¹iEX th× víi mäi C ∈ R, ta cã E(CX) = CEX.

4 NÕu tån t¹iEX vµ EY th× E(X ± Y ) = EX ± EY

ElimXn > limEXn.NÕu|Xn| 6 Y víi mäi n > 1 vµ EY < ∞ th×

ElimXn 6 limEXn 6 limEXn 6 ElimXn

9 (§Þnh lý Lebesgue vÒ héi tô bÞ chÆn) NÕu |Xn| 6 Y víi mäi n > 1,

1.1.6 Phương sai

Định nghĩa 1.1.11 Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó, số DX := E(X −EX)2 (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X

Phương sai của biến ngẫu nhiênX còn được ký hiệu là Var(X)

Nhận xét: Từ định nghĩa trên và từ tính chất của kỳ vọng, suy ra rằngphương sai của biến ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại và nếu tồntại thì có thể được tính theo công thức

5 (Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ Khi

đó nếu tồn tại DX thì với mọi ε > 0, ta có

Trong lý thuyết xác suất, ngoài bất đẳng thức Markov và bất đẳng thứcChebyshev, các bất đẳng thức sau cũng thường được sử dụng.

Định lý 1.1.12 (Bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakowski) Giả sử X, Y ∈ L2 Khi

Định lý 1.1.15 (Bất đẳng thức Cr) Giả sử X, Y ∈ Lr, r > 0 Khi đó

E|X + Y |r 6 cr(E|X|r + E|Y |r), (1.4)trong đó cr = max(1, 2r−1) chỉ phụ thuộc vào r

Định lý 1.1.16 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử ϕ : R → R là hàm lồi dưới(lõm), X và ϕ(X) là các biến ngẫu nhiên khả tích Khi đó

Định lý 1.1.17 (Bất đẳng thức Liapunov) Đối với biến ngẫu nhiên X ∈ Lt bất

kỳ và 0 < s < t, ta có

1.2 Các biến ngẫu nhiên độc lập và trực giao

1.2.1 Các biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.2.1 Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B)

Họ biến cố {Ai, i ∈ I} được gọi làhọ độc lập đôi một nếu hai biến cố bất kỳcủa họ đều độc lập

Họ biến cố {Ai, i ∈ I} được gọi là họ độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là

họ độc lập) nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai 1, Ai2, , Ain của họ

đó, ta đều có

P(Ai1Ai2 Ain) = P(Ai1)P(Ai2) P(Ain)

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất Họ các lớp biến

cố {Ci : i ∈ I, Ci ⊂ F } được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi

σ(IA) = {∅, Ω, A, A}; σ(IB) = {∅, Ω, B, B}

Tính chất: 1 Họ con bất kì của họ các lớp (các biến ngẫu nhiên) độclập là độc lập

2 Họ các lớp con của một họ độc lập cũng là họ độc lập

3 Họ các lớp (các biến ngẫu nhiên) là họ độc lập khi và chỉ khi mọi họcon hữu hạn của nó độc lập

4 Giả sử{Xi, i ∈ I}là họ biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R → R(i ∈ I) làhàm đo được Khi đó họ {fi(Xi), i ∈ I} độc lập.

5.Dãy biến ngẫu nhiên {Xn, n > 1}độc lập khi và chỉ khi với mọin > 1,σ(Xk, 1 6 k 6 n) và σ(Xk, k > n + 1) độc lập

6 Giả sửX1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên, ta định nghĩa

1.2.2 Các biến ngẫu nhiên trực giao

Định nghĩa 1.2.3 Dãy biến ngẫu nhiên {Xn, n > 1} gọi là dãy trực giao nếu

EXn2 < ∞ với mọi n > 1 và E(XiXj) = 0 với mọi i 6= j

Dễ thấy rằng nếu {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi mộtthỏa mãn EXn2 < ∞ với mọi n > 1 thì {Xn − EXn, n > 1} là dãy trực giao

Trong suốt phần này ta luôn giả thiết rằng {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiêntrực giao và{Sn, n > 1} là dãy tổng riêng của nó

Định lý 1.2.6 Giả sử {Xn, n > 1} là dãy trực giao và {bn, n > 1} là dãy sốdương, bn % ∞ sao cho P∞

n=1

bnEXn2 < ∞ Với mỗi k > 1, gọi nk là số nguyên

n đầu tiên mà bn > k Khi đó dãy {Sn k, k > 1} hội tụ hầu chắc chắn

Định lý 1.2.7 (Bất đẳng thức Mensov) Giả sử {Xn, n > 1} là dãy trực giao.Khi đó

E max

h6n |Sh|
2

6

log(4n)log 2

2Xni=1

EXi2, n > 1 (1.7)Chú ý.Từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

, nghĩa là bất đẳng thức Mensov tốt hơn (1.8)

Định lý 1.2.8 (Định lý Rademacher-Mensov) Giả sử {Xn, n > 1} là dãy trựcgiao Khi đó

lý thú và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn Mục này đề cập đến một số định lýgiới hạn và những vấn đề liên quan

Trong đó Fn(x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên

Xn và X, C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó F (x) liên tục

Ký hiệu Xn

D

−→ X.Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1, hội tụ theotrung bình cấp pcòn được gọi làhội tụ trong Lp Định lý sau đây là một kết quảquan trọng để chỉ ra mối liên hệ giữa các dạng hội tụ

Hệ quả 1.3.4 Nếu P∞

n=1E|Xn − X|p < ∞ với p > 0 nào đó thì Xn

h c c

−−−→ X

Định lý sau đây sẽ chỉ ra điều kiện để chiều ngược của Hệ quả 1.3.3 đúng

Định lý 1.3.5 Nếu {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và Xn

h c c

−−−→ Cthì Xn

Định nghĩa 1.3.9 Ta nói dãy biến ngẫu nhiên {Xn, n > 1} là dãy cơ bản

• Hầu chắc chắn (h c c) nếu P( lim

Định lý 1.3.12 Nếu dãy {Xn, n > 1} cơ bản theo xác suất thì tồn tại dãy con{Xnk, k > 1} ⊂ {Xn, n > 1} sao cho {Xnk, k > 1} hội tụ h c c.

Định lý 1.3.13 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất) Dãy {Xn, n >1} hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi {Xn, n > 1} cơ bản theo xác suất

Từ hai định lý trên, suy ra ngay hệ quả sau đây

Hệ quả 1.3.14 Nếu dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con{Xnk, k > 1} ⊂ {Xn, n > 1} sao cho {Xnk, k > 1} hội tụ hầu chắc chắn

Định lý 1.3.15 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo trung bình) Với p > 1,dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p khi và chỉ khi {Xn, n > 1} cơbản theo trung bình cấp p Hơn nữa, không gian Lp là không gian Banach

1.3.3 Một số bất đẳng thức cơ bản

Trong lý thuyết xác suất, để thiết lập các định lý giới hạn, ta thường cầndùng các bất đẳng thức Dưới đây là một số trong các bất đẳng thức đó

Định lý 1.3.16 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, EXi =

0, DXi = σ2i với mọi i = 1, 2, , n Đặt Sk = X1 + + Xk với 1 6 k 6 n.Khi đó, với mọi ε > 0, ta có

P( max

16k6n|Sk| > ε) > 1 − (ε + c)

2

Pn i=1σi2.

Định lý sau đây là trường hợp riêng của một kết quả trong [5]

Định lý 1.3.17 Nếu {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có các kỳvọng bằng 0 và khả tích bậc 2 thì

E

sup

m>n

Sm − Sn|26 2

∞

X

Định lý sau đây thiết lập luật yếu số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập

đôi một, không cùng phân phối

Định lý 1.3.19 (Markov) Nếu {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập

đôi một và thỏa mãn điều kiện

thì {Xn, n > 1} tuân theo luật yếu số lớn

Định lý 1.3.20 (Kolmogorov) Giả sử {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độclập, 0 < bn ↑ ∞ Khi đó, nếu P∞

n=1

DXn

b2 n

Định lý 1.3.21 (Etemadi) Giả sử {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập

đôi một, cùng phân phối Khi đó, nếu E|X1| < ∞ thì

1n

Hệ quả 1.3.22 (Luật số lớn Chebyshev-Khinchin) Giả sử {Xn, n > 1} là dãybiến ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối thỏa mãn E|Xn| < ∞ và

EXn = a (hữu hạn) với mọi n ∈ N Khi đó {Xn, n > 1} tuân theo luật số lớn

Chương 2

Luật số lớn đối với dãy các

phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Hilbert

2.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không

gian Banach

Trong mục này, chúng ta luôn giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất đầy

đủ, E là không gian Banach thực khả ly, G là σ-đại số con của F và B(E) là

σ-đại số các tập Borel của E

2.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 Ta nói ánh xạ X : Ω −→ E là phần tử ngẫu nhiên

G-đo được nếu X là ánh xạ G/B(E) G-đo được (nghĩa là với mọi B ∈ B(E) thì

X−1(B) ∈ G)

Phần tử ngẫu nhiên F-đo được sẽ được gọi một cách đơn giản là phần tử

ngẫu nhiên.

Định nghĩa 2.1.2 Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ E được gọi là phần tử ngẫunhiên rời rạc nếu |X(Ω)| không quá đếm được Đặc biệt, nếu |X(Ω)| hữu hạnthì X được gọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |X(Ω)| là lực lượngcủa tập hợp X(Ω))

Định nghĩa 2.1.3 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn, n > 1} được gọi làhội tụ đến

ánh xạ X : Ω → E khi n → ∞ nếu Xn(ω) → X(ω) (theo chuẩn) khi n → ∞với mọi ω ∈ Ω

Ký hiệuXn → X khi n → ∞

2.1.2 Tính chất

Định lý 2.1.4 Giả sử E1, E2 là các không gian Banach thực khả ly, T : E1 →

E2 là ánh xạ B(E1)/B(E2) đo được và X : Ω → E1 là phần tử ngẫu nhiên

G-đo được Khi đó ánh xạ T ◦X : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên G-đo được.Chứng minh Với mọi B2 ∈ B(E2), ta có T−1(B2) = B1 ∈ B(E1), suy ra

(T ◦X)−1(B2) = X−1(T−1(B2)) = X−1(B1) ∈ G

Vậy ánh xạ T (X) : Ω → E2 là phần tử ngẫu nhiên G-đo được

Hệ quả 2.1.5 Giả sử ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G-đo được.Khi đó, ánh xạ kXk : Ω → R là biến ngẫu nhiên G-đo được

Chứng minh Ta có kXk = k.k◦X : Ω X

−→ E −→ R, X : Ω → E là phần tửk.kngẫu nhiên G-đo được và k.k : E → R là ánh xạ liên tục, do đó B(E)/B(R)-đo

được

Định lý sau chỉ ra một đặc trưng quan trọng của phần tử ngẫu nhiên

Định lý 2.1.6 ánh xạ X : Ω → E là phần tử ngẫu nhiên G-đo được khi và chỉkhi với mọi f ∈ E∗ thì f(X) là biến ngẫu nhiên G-đo được.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X là phần tử ngẫu nhiên G-đo được Khi

đó với mọi f ∈ E∗, vì f liên tục nên f là ánh xạ B(E)/B(R)-đo được Do đótheo định lý trên thì f(X) là biến ngẫu nhiên G-đo được

Điều kiện đủ: Giả sử với mọi f ∈ E∗, f(X) là biến ngẫu nhiên G-đo

được Ta cần chứng minh X là ánh xạ G/B(E) đo được ký hiêu B(C) là σ-đại

số sinh bởi đại số C tất cả các tập có dạng

{x ∈ X : (f1(x), f2(x), , fn(x)) ∈ B, n = 1, 2, , fi ∈ X∗, B ∈ B(Rn)}

Ta sẽ chứng minh B(C) = B(E) Lấy {xn, n > 1} là dãy đếm được các phần

tử của E, trù mật trong X, chọn dãy {fn} ⊂ E∗ sao cho

|fk(x) − kxkk| = |fk(x) − fk(xk)|

= |fk(x − xk)|

6 kx − xkk < 1

2(kxk − r)

Luật số lớn dãy các

phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Hilbert< /h2>

2.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không< /h3>

gian Banach... data-page="24">

ngẫu nhiên.

Định nghĩa 2.1.2 Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ E gọi phần tử ngẫunhiên rời rạc |X(Ω)| không đếm Đặc biệt, |X(Ω)| hữu hạnthì X gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong... xạ X : Ω → E phần tử ngẫu nhiên G-đo chỉkhi với f ∈ E∗ f(X) biến ngẫu nhiên G-đo được.

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử X phần tử ngẫu nhiên G-đo Khi

đó với f ∈ E∗,