Lớp bài toán quy hoạch nguyên bậc hai với vế phải ràng buộc ngẫu nhiên

Mët sè ki¸n thùc cì sð.. ành lþ giîi h¤n trung t¥m Moivre-Laplace.. Luªt sè lîn Bernoulli... Giîi thi»u chung... G¦n ¥y, chóng tæi ti¸p cªn b i b¡o: Two-Stage Quadratic Integer grams wit

Mð ¦u 3

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc cì sð 6

1.1 Mët sè v§n · cì sð cõa lþ thuy¸t x¡c su§t 6

1.1.1 σ-¤i sè 6

1.1.2 Khæng gian o v  ë o x¡c su§t 6

1.1.3 ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n 7

1.1.4 Ký vång cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n 7

1.1.5 Ph÷ìng sai cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n 8

1.1.6 Ph¥n phèi cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n v  h m ph¥n phèi 8

1.1.7 Mët sè h m ph¥n phèi th÷íng g°p 8

1.1.8 Mët sè lo¤i hëi tö cì b£n 9

1.1.9 Bê · Borel-Cantelli 10

1.1.10 ành lþ giîi h¤n trung t¥m Moivre-Laplace 12

1.1.11 Luªt sè lîn Bernoulli 12

1.2 B i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh ng¨u nhi¶n 2 giai o¤n 12

1.2.1 B i to¡n 12

1.2.2 B i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh ng¨u nhi¶n hai giai o¤n 14

Ch÷ìng 2 X¥y düng l¤i h m gi¡ trà v  h÷îng ti¸p cªn gi£i b i to¡n 16

2.1 Thi¸t lªp b i to¡n 16

2.1.1 N¶u b i to¡n 16

2.1.2 C¡c gi£ thi¸t ban ¦u 16

2.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m gi¡ trà b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh v  quy ho¤ch nguy¶n bªc hai 17

2.2.1 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m gi¡ trà b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh 17

2.2.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m gi¡ trà b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai 19

2.3 X¥y düng h m gi¡ trà cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai tham sè 29

2.3.1 Giîi thi»u chung 29

2.3.2 X¥y düng h m gi¡ trà 31

K¸t luªn 38

T i li»u tham kh£o 39

Mð ¦u

Trong nhi·u b i to¡n s£n xu§t v  ¦u t÷, khi c¡c thæng tin v· dú li»ubi¸t rã th¼ vi»c tèi ÷u l¢i su§t ¢ ÷ñc nhi·u cæng tr¼nh khoa håc nghi¶ncùu Do nhi·u lþ do kh¡c nhau, m  thæng tin v· dú li»u khæng ¦y õ, phöthuëc ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n n o â Lóc â b i to¡n °t ra c¦n nghi¶n cùus³ l  b i to¡n tèi ÷u ng¨u nhi¶n N¸u b i to¡n cán ái häi bi¸n sè nhªn gi¡trà nguy¶n th¼ ta câ b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n ng¨u nhi¶n Chóng ta h¢yl§y b i to¡n sau ¥y l m v½ dö: Mët Cæng ty l­p r¡p m¡y t½nh câ thº lüachån mët lo¤i linh ki»n trong n cì sð s£n xu§t linh ki»n kh¡c nhau, vîi sèvèn câ ÷ñc l  b C¡c linh ki»n n y c¦n gh²p c°p æi v o mët m¡y t½nh Khimët c°p æi (i, j) ÷ñc gh²p th¼ s³ cho mët gi¡ trà l¢i l  cij, (i, j = 1, , n).Kh£ n«ng ti·n vèn b th÷íng thay êi, bi¸n ëng theo ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n(LNN) b(ω) Häi n¶n ¦u t÷ s£n xu§t nh÷ th¸ n o º câ têng sè l¢i lînnh§t, vîi chi ph½ khæng v÷ñt qu¡ b(ω)

Khi â, n¸u kþ hi»u xi l  linh ki»n mua cõa cì sð s£n xu§t i, i = 1, , n,(xi b¬ng 1 n¸u ÷ñc lüa chån v  b¬ng 0 n¸u ng÷ñc l¤i) Lóc n y ta câ b ito¡n quy ho¤ch nguy¶n ng¨u nhi¶n vîi r ng buëc l : T¼m x = (xi) ∈ {0; 1}sao cho

Vi»c nghi¶n cùu nh¬m t¼m ra líi gi£i tèi ÷u ang °t ra cho nhi·u nh khoa håc nghi¶n cùu Tòy thuëc v o sü thº hi»n cõa mæ h¼nh b i to¡n (P),công nh÷ c¡c c¡ch ti¸p cªn kh¡c nhau m  nhi·u cæng tr¼nh khoa håc ¢cæng bè Ch¯ng h¤n c¡c t¡c gi£ A A Gaivoronski, A Lisser, R Lopez and

H Xu (2010); W P Adams, R Forrester, F Glover (2004);

G¦n ¥y, chóng tæi ti¸p cªn b i b¡o: Two-Stage Quadratic Integer grams with Stochastic Right-Hand Sides, cõa c¡c t¡c gi£ O Y ¨Ozaltm, O.Prokopyev v  A J Schaefer - USA [9], câ mæ h¼nh to¡n håc têng qu¡t b ito¡n (P) ¢ n¶u Chóng tæi hy vång r¬ng nhúng k¸t qu£ cõa b i b¡o s³gióp chóng tæi ành h÷îng ÷ñc kh£ n«ng nghi¶n cùu cõa · t i luªn v«n

Pro-â l  lþ do chóng tæi chån · t i: "Lîp b i to¡n Quy ho¤ch nguy¶nbªc hai, vîi v¸ ph£i r ng buëc ng¨u nhi¶n"

Luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh

b y nhúng kh¡i ni»m v  ki¸n thùc cð sð cõa lþ thuy¸t x¡c su§t; b i to¡nquy ho¤ch tuy¸n t½nh nguy¶n ng¨u nhi¶n hai giai o¤n C¡c ki¸n thùcchu©n bà n y nh¬m phöc vö cho vi»c nghi¶n cùu cõa · t i

Ch÷ìng 2 X¥y düng l¤i h m gi¡ trà v  h÷îng ti¸p cªn gi£i b ito¡n ¥y l  nëi dung ch½nh cõa luªn v«n Tr÷îc h¸t chóng tæi n¶u b ito¡n, tø â ành d¤ng l¤i h m gi¡ trà Ti¸p theo tr¼nh b y mët sè thuªtto¡n gi£i b i to¡n ¢ cho

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o PGS.TS.Tr¦n Xu¥n Sinh, nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîith¦y

v  c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o trong tê X¡c su§t thèng k¶ v  to¡n ùng döng

¢ gi£ng d¤y, ch¿ b£o cho tæi trong suèt thíi gian håc tªp v  nghi¶n cùu.Công nh¥n dàp n y tæi xin gûi líi c£m ìn tîi th¦y gi¡o cæ gi¡o trongkhoa To¡n, Pháng Sau ¤i håc tr÷íng ¤i håc Vinh Tæi xin b y tä líic£m ìn tîi b¤n b± v  gia ¼nh ¢ t¤o i·u ki»n thuªn ti»n cho tæi ho n

th nh luªn v«n n y.

M°c dò ¢ cè g­ng song luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng sai sât.Chóng tæi mong nhªn ÷ñc nhúng âng gâp cõa quþ th¦y cæ gi¡o v  c¡cb¤n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Chóng tæi xin ch¥n th nh c£m ìn!

Vinh, th¡ng 10 n«m 2014

T¡c gi£

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc cì sð

1.1 Mët sè v§n · cì sð cõa lþ thuy¸t x¡c su§t

1.1.1 σ-¤i sè

Gi£ sû Ω 6= ∅ v  P (Ω) l  hå t§t c£ c¡c tªp con cõa Ω Khi â F ⊂ P (Ω)

÷ñc gåi l  mët σ-¤i sè n¸u:

i) Ω ∈ F;

ii) N¸u A ∈ F th¼ Ac = Ω \ A ∈ F;

iii) N¸u An ∈ F , ∀n = 1, 2, th¼ S∞

n=1An ∈ F.1.1.2 Khæng gian o v  ë o x¡c su§t

Gi£ sû Ω l  mët tªp tòy þ kh¡c réng, F l  mët σ-¤i sè c¡c tªp con cõa

Ω Khi â c°p (Ω; F) ÷ñc gåi l  mët khæng gian o ¡nh x¤ P : F → R

÷ñc gåi l  ë o x¡c su§t tr¶n F n¸u:

Lóc n y

(Ω, F , P) ÷ñc gåi l  khæng gian x¡c su§t;

σ-¤i sè F ÷ñc gåi l  σ-¤i sè c¡c bi¸n cè ;

Méi A ∈ F ÷ñc gåi l  mët bi¸n cè ;

Bi¸n cè Ω ∈ F ÷ñc gåi l  bi¸n cè ch­c ch­n;

Bi¸n cè ∅ ∈ F gåi l  bi¸n cè khæng thº câ ;

Bi¸n cè A = Ω \ A ÷ñc gåi l  bi¸n cè èi lªp cõa bi¸n cè A;

N¸u A ∩ B = AB = ∅ th¼ A, B ÷ñc gåi l  c¡c bi¸n cè xung kh­c;

Khæng gian x¡c su§t (Ω; F; P) gåi l  khæng gian x¡c su§t ¦y õ n¸umåi tªp con cõa bi¸n cè câ x¡c su§t khæng, ·u l  bi¸n cè

1.1.3 ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n

Gi£ sû (Ω; F; P) l  khæng gian x¡c su§t, G l  σ-¤i sè con cõa σ ¤i

sè F, B(R) l  σ-¤i sè Borel tr¶n ÷íng th¯ng thüc R Khi â ¡nh x¤

X : Ω → R ÷ñc gåi l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n G o ÷ñc n¸u vîi måi

B ∈ B(R) th¼ X−1(B) = {ω : X(ω) ∈ B} ∈ G

Trong tr÷íng hñp °c bi»t, khi X l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n F o ÷ñcth¼ X gåi l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n

1.1.4 Ký vång cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n

Gi£ sû X : (Ω; F; P) → (R; B(R)) l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n Khi â, t½chph¥n Lebesgue cõa X theo ë o P (n¸u tçn t¤i) ÷ñc gåi l  ký vång cõa

X v  kþ hi»u l  EX Vªy

3 N¸u tçn t¤i EX th¼ vîi måi C ∈ R, ta câ E(CX) = C(EX);

4 N¸u tçn t¤i EX v  EY th¼ E(X ± Y ) = EX ± EY ;

−∞ xp(x)dx, n¸u X li¶n töc câ h m mªt ë p(x).

1.1.5 Ph÷ìng sai cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n

Gi£ sû X : Ω → R l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n Khi â sè DX = E(X−EX)2

(n¸u tçn t¤i) gåi l  ph÷ìng sai cõa X Ph÷ìng sai câ t½nh ch§t:

P|X = k| = Cknpk(1 − p)n−k; k ∈ S

Khi â X ÷ñc gåi l  câ ph¥n phèi nhà thùc vîi c¡c tham sè n; p hay nâigån X câ ph¥n phèi B(n; p) (ta vi¸t X ∼ B(n; p))

2 Ph¥n phèi Poisson Bi¸n ng¨u nhi¶n X ÷ñc gåi l  câ ph¥n phèiPoisson vîi tham sè λ > 0, (X ∼ P(λ)) n¸u X câ mi·n gi¡ trà S = N ={0; 1; } v 

P(X = k) =

λke−λk! , k = 0, 1,

3 Ph¥n phèi chu©n Bi¸n ng¨u nhi¶n X ÷ñc gåi l  câ ph¥n phèi chu©n(Gauss) vîi tham sè µ ∈ R; σ > 0, kþ hi»u X ∼ N (µ, σ2) n¸u X câ h mmªt ë

p(x) = 1

σ√2π.e

−(x−µ)22σ

.N¸u µ = 0; σ = 1 th¼ X ∼ N (0; 1) ÷ñc gåi l  ph¥n phèi chu©n t­c v 

D¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n (Xn) ÷ñc gåi l  hëi tö h¦u ch­c ch­n tîi bi¸nng¨u nhi¶n X n¸u

p, (p > 0), tîi bi¸n ng¨u nhi¶n X n¸u

lim

n→∞Fn(x) = F (x), ∀x ∈ C(F ),trong â Fn(x) v  F (x) t÷ìng ùng l  h m ph¥n phèi cõa c¡c bi¸n ng¨unhi¶n Xn v  X; C(F ) l  tªp hñp c¡c iºm m  t¤i â F (x) li¶n töc

Kþ hi»u: Xn

D

−→ X.1.1.9 Bê · Borel-Cantelli

Gi£ sû (An, n ≥ 1), l  d¢y c¡c bi¸n cè Khi â

Do â P ∪∞

k=nAk
= 1, vîi måi n = 1, 2, i·u n y k²o theo

P lim sup An
= lim

1.1.10 ành lþ giîi h¤n trung t¥m Moivre-Laplace

Vîi måi ε > 0, ta câ

P



n(A)

≤ ε



= 1,ngh¾a l  t¦n su§t n(A)

n hëi tö theo x¡c su§t tîi p

1.2 B i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh ng¨u nhi¶n 2 giai o¤n1.2.1 B i to¡n

B i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh têng qu¡t câ thº ÷a v· d¤ng

Thæng th÷íng, ng÷íi ta x²t tîi c¡c lîp b i to¡n 1:

Quy ho¤ch tuy¸n t½nh ng¨u nhi¶n 1 giai o¤n â l  lîp b i to¡n

÷ñc gi£i vîi thæng tin v· dú li»u ban ¦u x¡c ành n o â Tr¶n cì sðph÷ìng ¡n tèi ÷u ¢ gi£i, khi chàu £nh h÷ðng cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n,ng÷íi ta sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p trüc ti¸p (ch¯ng h¤n ph÷ìng ph¡p quyho¤ch tham sè, ph÷ìng ph¡p t¡i tèi ÷u ) i·u ch¿nh ph÷ìng ¡n tèi ÷ucho phò hñp vîi thüc t¸

Quy ho¤ch tuy¸n t½nh ng¨u nhi¶n 2 giai o¤n â l  lîp b i to¡nph÷ìng ¡n ÷ñc xem x²t hai l¦n L¦n thù nh§t, vîi thæng tin x¡c ành n o

â, ng÷íi ta x¥y düng ph÷ìng ¡n b¬ng vi»c gi£i b i to¡n (*) Trong l¦nthù nh§t, t¼m ÷ñc ph÷ìng ¡n tèi ÷u gåi l  giai o¤n mët L¦n thù hai,tr¶n cì sð ph÷ìng ¡n tèi ÷u ¢ gi£i, khi chàu £nh h÷ðng cõa ¤i l÷ñng ng¨unhi¶n, ng÷íi ta i·u ch¿nh l¤i ph÷ìng ¡n tèi ÷u cho phò hñp vîi thüc t¸,b¬ng vi»c t¼m l÷ñng "ph¤t" b² nh§t câ thº do ë l»ch t¤o n¶n tø giai o¤n

1 L¦n n y c¦n ¸n vi»c xû lþ dú li»u thæng qua kh¡i ni»m ký vång to¡n

v  ÷ñc gåi l  giai o¤n hai

Têng hñp c£ hai giai o¤n, ng÷íi ta câ B i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nhng¨u nhi¶n hai giai o¤n (2SSLP)

1.2.2 B i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh hai giai o¤n

(Two-Stage Stochastic Linear Programming)

B i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh ng¨u nhi¶n hai giai o¤n câ d¤ng:

H m Q(x;ez) ÷ñc gåi l  h m hi»u ch¿nh vîi z ∈ Re n l  vectì ng¨u nhi¶n;

E Q(x;ez)
biºu di¹n ký vång cõa bi¸n ng¨u nhi¶n Q(x;ez); vectì x v  yt÷ìng ùng l  bi¸n cõa giai o¤n thù nh§t v  giai o¤n thù hai, D l  ma trªnc§p m×m (thæng th÷íng câ thº l§y ma trªn ìn và); y = (y1, y2, , ym); Dythº hi»n ë l»ch giúa Ax vîi b v  q = (q1, q2, , qm) th÷íng gåi l  vectìph¤t bði t¡c ëng cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ze

Giai o¤n thù nh§t bi¸n x l  tr¶n cì sð thæng tin câ ÷ñc tø thüc nghi»m.Giai o¤n thù hai bi¸n y l  nghi»m thu ÷ñc khi hi»u ch¿nh nghi»m sì bë

x cõa giai o¤n 1 vîi nhúng thæng tin óng ­n, tùc l  ez nhªn gi¡ trà thüc

Tø â cho th§y b i to¡n (2SSLP) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n:

mincTx + E(qTy(z))e vîi i·u ki»n

x ≥ 0y(ez) ≥ 0y(.) ∈ Y −khæng gian c¡c h m o ÷ñc

Ch֓ng 2

X¥y düng l¤i h m gi¡ trà

v  h÷îng ti¸p cªn gi£i b i to¡n

Trong ch÷ìng n y, tr÷îc h¸t chóng tæi giîi thi»u b i to¡n quy ho¤chnguy¶n bªc hai vîi v¸ ph£i r ng buëc phö thuëc LNN º câ h÷îng ti¸pcªn gi£i, trong luªn v«n n y tr¼nh b y vi»c x¥y düng l¤i h m gi¡ trà, tø ân¶u ra thuªt to¡n nh¬m thüc hi»n qu¡ tr¼nh x¥y düng n y Tø b i to¡n

÷ñc chuyºn êi h m gi¡ trà, chóng tæi b¼nh luªn th¶m v· vi»c gi£i b ito¡n

2.1 B i to¡n

2.1.1 N¶u b i to¡n

Chóng tæi nghi¶n cùu lîp b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai vîi v¸ ph£i

r ng buëc ng¨u nhi¶n Tr÷îc h¸t ta ÷a ra c¡c kþ hi»u:

vîi i·u ki»n

y(ω) ∈ Rn2

2.1.2 C¡c gi£ thi¸t ban ¦u

Trong b i to¡n n y chóng tæi ÷a ra c¡c gi£ thi¸t sau ¥y:

A1 Bi¸n ng¨u nhi¶n ω tu¥n theo quy luªt ph¥n phèi ríi r¤c húu h¤n.A2 Trong giai o¤n ¦u X = x ∈ Zn1

+|Ax ≤ b

kh¡c réng v  bà ch°n.A3 Q(x; ξ(ω)) húu h¤n vîi måi x ∈ X v  ω ∈ Ω

A4 Ph¦n tû cõa c¡c ma trªn A, B, W ·u nguy¶n, ngh¾a l 

A ∈ Zm1 ×n 1

; B ∈ Zm2 ×n 1

; W ∈ Zm2 ×n 2

2.2 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m gi¡ trà

Trong möc n y, tr÷îc h¸t chóng ta tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ ¢ bi¸t v·

h m gi¡ trà cõa b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh tham sè Vi»c chùng minhc¡c k¸t qu£ n y câ thº xem trong [8]

2.2.1 C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa h m gi¡ trà b i to¡n quy ho¤chnguy¶n tuy¸n t½nh

Cho G ∈ Zm×n v  γ ∈ Zn, x²t lîp b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh tham

sè sau:

l  tªp hñp c¡c ph÷ìng ¡n tèi ÷u cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tham sèvîi v¸ ph£i cho tr÷îc β Cho SLP(β) = {x ∈ Rn+|Gx ≤ β} v  ξLP(β) =max{γTx|x ∈ SLP(β)} l  c¡c tªp ph÷ìng ¡n nîi läng tuy¸n t½nh cõa (P IP )(khæng ái häi bi¸n x nguy¶n).

Sau ¥y l  c¡c k¸t qu£ ¢ ÷ñc n¶u trong [8]

M»nh · 2.2.1.1 Ta câ ξ(0) ∈ {0, ∞} N¸u ξ(0) = ∞ th¼ ξ(β) = ±∞

èi vîi ∀β ∈ Rm N¸u ξ(0) = 0 th¼ ξ(β) < ∞ èi vîi ∀β ∈ Rm

B i to¡n vîi ξ(β) = ±∞ l  nhúng b i to¡n cì b£n khæng gi£i quy¸t ÷ñc.V¼ vªy ta th÷íng gi£ thi¸t r¬ng ξ(0) = 0 v  ξ(β) < ∞ èi vîi ∀β ∈ Rm.M»nh · 2.2.1.2 °t gj v  γj l¦n l÷ñt l  c¡c h» sè cët j cõa ma trªn

G v  h» sè cët j cõa h m möc ti¶u γTx cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶ntham sè Vªy ta câ ξ(gj) ≥ γj vîi j = 1, , n

M»nh · 2.2.1.3 H m gi¡ trà cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tham sèkhæng gi£m tr¶n Zm

M»nh · 2.2.1.4 H m gi¡ trà cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tham sèt«ng tr¶n D = {β ∈ Zm

|S(β) 6= ∅} Do â èi vîi ∀ β1, β2 ∈ D n¸u β1 +

β2 ∈ D th¼

ξ(β1) + ξ(β2) ≤ ξ(β1 + β2)

M»nh · 2.2.1.5 N¸u x ∈b opt(β)c th¼ ξ(Gx) = γTx v 

ξ(Gx) + ξ(β − Gx) = ξ(Gx) + ξ(G(x − x)) = ξ(β),

vîi ∀ x ∈ Zn

+ sao cho x ≤x.bMët h» qu£ ch½nh cõa m»nh · n y cho chóng ta câ h m gi¡ trà cõamët lîp b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh vîi v¸ ph£i r ng buëc ng¨unhi¶n

H» qu£ 2.2.1.6 N¸u ξ(gj) ≥ γj th¼ ∀ β ∈ Zm v  n¸u ∀ bx ∈ opt(β),c th¼b

l  nîi läng cõa x trong b i to¡n (P QIP )

Ngo i ra °t qi l  cët thù i v  qij l  ph¦n tû thuëc h ng i cët j cõa matrªn Q

Ti¸p theo ta thu ÷ñc hai k¸t qu£ t÷ìng tü nh÷ t½nh ch§t cõa h m ξ(.)

÷ñc ÷a ra ð M»nh · 2.2.1.3 v  M»nh · 2.2.1.4

M»nh · 2.2.2.1 z(gj) ≥ cj + 12 qij

M»nh · 2.2.2.2 z(β) khæng gi£m tr¶n Zm

Tuy nhi¶n, t½nh t«ng cõa h m z(.) khæng kh¡i qu¡t ÷ñc, n¶n ph¦n ti¸ptheo ta ÷a ra i·u ki»n õ º £m b£o t½nh t«ng cõa h m z(.).

Chùng minh °t x1 ∈ opt(β1) v  x2 ∈ opt(β2) th¼

i·u â câ ngh¾a l  z(β1 + β2) ≥ z(β1) + z(β2), khi qij ≥ 0 ∀ i, j

B¥y gií n¸u tçn t¤i i, j m  qij < 0, khi â ta s³ x²t hai tr÷íng hñp:+ N¸u i = j trong â qii < 0, x²t tªp hñp

S(β) =



x ∈ Zn+

X

k:k6=i,k6=j

xk ≤ β1, xi ≤ β2, −xi ≤ β3, xj ≤ β4, −xj ≤ β5

.(2.13)

°t β = (0, 1, −1, 0, 0)T v  β0

= (0, 0, 0, 1, −1)T Vîi måi c, ta thu ÷ñcz(β) = ci + 12qii v  z(β0

) = cj + 12qjj v z(β + β0) = ci + cj + 1

M»nh · 2.2.2.4 èi vîi v¸ ph£i β, S(β) 6= ∅, l§y u ∈ Rn

z(β) = max

n3x1 − 3

2 6∈ {0, ∞} vîi x = (1, 0)b T.Tuy nhi¶n, n¸u z(.) t«ng th¼ hai t½nh ch§t cõa M»nh · 2.2.1.1 ÷ñc mðrëng ¸n b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai tham sè

M»nh · 2.2.2.5 N¸u z(.) t«ng th¼ z(0) ∈ {0, ∞} Ngo i ra, n¸uz(0) = ∞ th¼ z(β) = ±∞ vîi ∀ β ∈ Rm

Chùng minh Gi£ sû z(0) < ∞ N¸u z(.) t«ng th¼ z(0) ≤ 0 (xem [8]).Chó þ r¬ng z(0) ≥ 0 khi 0 ∈ S(0), câ ngh¾a l  z(0) = 0 ∈ {0, ∞}

B¥y gií, gi£ sû r¬ng z(0) = ∞ Lóc â:

N¸u S(β) = ∅ th¼ z(β) = −∞

N¸u S(β) 6= ∅ sau â tø z(0) + z(β) ≤ z(β) ⇒ ∞ ≤ z(β)

Nhªn x²t 2 Tr÷íng hñp b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai tham sè

m  z(β) = +∞ èi vîi mët sè β ∈ Rm t«ng khi z(0) = 0 Câ ngh¾a l  nhªn

ành cuèi cõa M»nh · 2.2.1.1 khæng hñp vîi b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n

Ti¸p theo ta s³ câ M»nh · 2.2.2.7 ÷a ra i·u ki»n õ cho giîi h¤n cõa

h m gi¡ trà b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai So s¡nh vîi b i to¡n quyho¤ch nguy¶n tuy¸n t½nh (ð M»nh · 2.2.1.1) chóng ta câ th¶m mët i·uki»n z(0) = 0

Bê · 2.2.2.6 N¸u z(0) = 0 th¼ ∀ t ∈ Z+ v  ∀v ∈ S(0) ta câ :

Cuèi còng, n¸u vTQv = 0 th¼ b§t ¯ng thùc (2.15) trð th nh

cT(tv) ≤ z(0) = 0 vîi t ∈ Z+

Ta câ ÷ñc chùng minh (3)

M»nh · 2.2.2.7 N¸u z(0) = 0 v  xTQv ≤ 0, ∀x ∈ S(β) v  ∀v ∈ S(0),th¼ z(β) < ∞, ∀β ∈ Rm.

Chùng minh Theo gi£ thi¸t z(0) = 0 n¶n thäa m¢n Bê · 2.2.12

Nhªn x²t 3 T½nh t«ng cõa z(.) khæng câ ngh¾a l  xTQv ≤ 0 Nâ câthº ÷ñc x¡c minh bði Nhªn x²t 2, trong â xTQv = 1 bði x = (1, 1)T v 

v = (1, 0)T

Nhªn x²t 4 N¸u xTQv ≤ 0, ∀x ∈ S(β) v  ∀v ∈ S(0) th¼ z(.) khængnh§t thi¸t ph£i l  h m t«ng

X²t c¡c tr÷íng hñp sau ¥y cõa b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai tham

sè :

z(β) = max{3x − x2 | x ≤ β, x ∈ Z1+}

Ta câ z(.) khæng t«ng v¼ z(1) = max{0, 2} = 2, z(2) = max{0, 2} =

2,v  z(3) = max{0, 2} = 2 Hìn núa xTQv = 0 vîi ∀x v¼ v = 0 khi β = 0.K¸t qu£ khæng câ mèi li¶n h» trüc ti¸p ¸n t½nh t«ng cõa h m gi¡ tràz(.) v  M»nh · 2.2.2.7 cho b i to¡n quy ho¤ch nguy¶n bªc hai

M»nh · 2.2.2.8 Cho x ∈ opt(β)b Vªy th¼ vîi måi x ≤ xb ta câ

z(Gx) − xb TQ(x − x) ≤ z(Gx) + z(G(b bx − x)) ≤ z(Gx) + z(β − Gx) (2.16)

Tờng hủp cÊ hai giai oÔn, ngữới ta cõ Bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnhngău nhiản hai giai oÔn (2SSLP)

1.2.2 Bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh hai giai oÔn

(Two-Stage... phĂp quyhoÔch tham sè, ph÷ìng ph¡p t¡i tèi ÷u ) i·u ch¿nh ph÷ìng Ăn tối ữucho phũ hủp vợi thỹc tá

Quy hoÔch tuyán tẵnh ngău nhiản giai oÔn õ l lợp bi toĂnphữỡng Ăn ữủc xem xt hai lƯn... vỵi x = (1, 0)b T.Tuy nhiản, náu z(.) tông thẳ hai tẵnh chĐt cừa Mằnh à 2.2.1.1 ữủc mrởng án bi toĂn quy hoÔch nguyản bêc hai tham số

Mằnh à 2.2.2.5 Náu z(.) tông thẳ z(0)