Chặn trên cho chỉ số chính quy castelnuovo-mumford của môđun phân bậc liên kết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH HƯNG CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An – 2013..

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH HƯNG

CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THANH HƯNG

CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS ĐÀO THỊ THANH HÀ

Nghệ An – 2013

MỞ ĐẦU

Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một bất biến quan trọng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số Khái niệm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là một trong những minh họa cụ thể cho việc áp dụng các phương pháp đồng điều vào viêc nghiên cứu một

số vấn đề của Hình học đại số và Đại số giao hoán Nó cung cấp nhiều thông tin về độ phức tạp của những cấu trúc đại số phân bậc Hàm Hilbert-Samuel H n I( )l A I( / n) và đa thức Hilbert-Samuel

( )

I

P n cũng là đối tượng quan trọng trong Đại số giao hoán Gần đây người ta đã thiết lập mối liên quan mới giữa chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford và những khái niệm khác như số mũ rút gọn,

cơ sở Groebner, đa thức Hilbert-Samuel

Luận văn trình bày lại bài báo của Cao Huy Linh [4] Ngoài phần

mở đầu và phần kết luận, luận văn được chia thành 2 chương

Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở và kết quả cần thiết sử dụng trong luận văn

Trong chương 2, chúng tôi trình bày về chỉ số chính quy của môđun phân bậc, chặn trên cho hàm Hilbert-Samuel và chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của môđun phân bậc liên kết của môđun phân bậc hữu hạn sinh đối với iđêan m-nguyên sơ

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Độ dài của môđun

1.1.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không được gọi là một môđun

đơn, nếu M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính nó

1.1.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành của một R - môđun M là một dãy giảm gồm một số hữu hạn các môđun con

0 1 n {0}

M M M  M sao cho M i1/M i là một môđun đơn, i1, ,n Khi đó số n được gọi là độ dài

của dãy hợp thành này

1.1.3 Ví dụ Một không gian vectơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều

hữu hạn Một không gian vectơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó

có chiều d Vành số nguyên  là một  -môđun không có dãy hợp thành

1.1.4 Định lí Nếu R - môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n , thì tất cả

các dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành

Từ Định lí 1.1.4 ta có định nghĩa sau

1.1.5 Định nghĩa Độ dài của các dãy hợp thành tùy ý của R - môđun M được

gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu là l M hoặc đơn giản là ( R( ) l M Nếu R - )

môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ dài l M   và gọi nó là R( )

môđun có độ dài vô hạn

1.1.6 Ví dụ

(i) Độ dài của một không gian vectơ chính là số chiều của không gian vectơ đó (ii) l( ) 1 

(iii) l( )  

(iv) l( ) / 6 )   2 vì / 6 có 2 dãy hợp thành là 02 / 6 / 6hoặc dãy hợp thành 03 / 6 / 6

1.2 Iđêan m -nguyên sơ

1.2.1 Định nghĩa Cho I là một iđêan của R Ta nói rằng I là iđêan

nguyên sơ của R nếu

(i) I là iđêan thực sự của R và

(ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành R là iđêan nguyên sơ

1.2.3 Mệnh đề Cho I là iđêan nguyên sơ của vành R Khi đó P : I là iđêan nguyên tố của vành R , ta nói rằng I là p -nguyên sơ

Hơn nữa, p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất chứa I của R theo quan hệ bao hàm, hay mỗi iđêan nguyên tố của R mà chứa I thì phải chứa p

1.2.4 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của vành R thỏa mãn I  m là một

iđêan cực đại của R Khi đó I là iđêan nguyên sơ của vành R , và ta nói rằng I là iđêan m-nguyên sơ của R

1.2.5 Ví dụ Mọi lũy thừa dương m n (n   của iđêan cực đại m là iđêan )m-nguyên sơ

1.3 Vành và môđun phân bậc

1.3.1 Định nghĩa Vành R được gọi là  -phân bậc nếu R i Z R i xét như nhóm cộng, và R R i j R i j ; với mọi i j   Hơn nữa nếu , R  với mọi i 0 i 0,

thì gọi R là vành phân bậc dương, hay -phân bậc

Môđun M trên vành  -phân bậc R được gọi là  -phân bậc nếu M  i Z M i

xét như nhóm cộng, và R M i j M i j , với mọi i j   ,

Nếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R , thì gọi phần tử x của R i

(hoặc M ) là phần tử thuần nhất bậc i Kí hiệu deg( ) i x  Ta qui ước bậc của i

phần tử 0 là một số nguyên tùy ý Như vậy, nếu aR và xM là các phần tử thuần nhất, thì

deg(ax)deg( ) deg( )a  x , hoặc ax 0

Từ định nghĩa suy ra R là một vành con của R và mỗi thành phần phân bậc 0 M i

là R -môđun Nếu 0 xM và

1

i i j

x  x  x  x với x k M k,ik  j i j; ,   thì x (có thể k x  ) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân k 0

bậc k của x Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng của các thành

phần phân bậc

Cho S là vành con của vành R ( không nhất thiết phân bậc) Khi đó người ta gọi

R là S -đại số Nếu a1, ,a n , kí hiệu R S a[ , ,1 a là tập hợp các tổ hợp tuyến n]tính trên S của các phần tử a1p1, ,a n p n với ( , ,p1 p   Tập hợp này rõ ràng n) n

là vành con của R Có thể xem nó như các vành đa thức, nhưng a1, ,a ở đây n

không phải là các biến độc lập Nếu tồn tại a1, ,a n để R RS a[ , ,1 a n] thì R

được gọi là S -đại số hữu hạn sinh

1.3.2 Định nghĩa Vành phân bậc dương R i0R i được gọi là vành phân bậc

chuẩn trên R nếu 0 R R R0[ 1]

1.3.3 Ví dụ Xét vành đa thức n biến RK x[ , ,1 x n]

Gọi R là tập hợp các đa thức thuần nhất bậc t , khi đó t R t0R t và tích của hai

đa thức thuần nhất bậc t và s là đa thức thuần nhất bậc t Do đó s K x[ , ,1 x là n]

vành phân bậc Hơn nữa K x[ , ,1 x là vành phân bậc chuẩn vì n] RR R0[ 1] ở đây

R K R là tập tất cả các đa thức thuần nhất bậc nhất

1.3.4 Định nghĩa Môđun con N M được gọi là môđun thuần nhất hay

môđun con phân bậc nếu nó thỏa mãn một trong 3 điều kiện sau

(i) N sinh bởi các phần tử thuần nhất

(ii) Với mỗi xN, mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N

(iii) N  i(NM i)

1.3.5 Định nghĩa. Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R

Đồng cấu môđun f M: N được gọi là đồng cấu thuần nhất ( hay phân bậc )

nếu với mọi i; (f M i) N i

1.3.7 Định nghĩa Cho I là iđêan của vành giao hoán R và M là R môđun Ta xây dựng các vành và môđun phân bậc tương ứng với I như sau

n n n

 là R*-môđun phân bậc, gọi là môđun phân bậc

liên kết của M đối với I với phép toán aI m /I m1, xI M I n / n1 thì

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n

Cho pSpecR, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0  p

được gọi là độ cao của p và kí hiệu là ht p Nghĩa là ( )

( )

ht p = sup{ độ dài các xích nguyên tố với p0  p}

Cho I là một iđêan của R , khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa

ht(I) = inf { ht(p)/ pSpecR,p  } I

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều

Krull của vành R , kí hiệu dim R hay dimK R

Cho M là một R -môđun Khi đó dimR Ann/ R M được gọi là chiều Krull của

môđun M, kí hiệu dimM hay dimK M Từ đó suy ra dimM dimR

1.4.2 Ví dụ

1) Với K là một trường thì chiều Krull của K là 0 vì K chỉ có 2 iđêan là (0) và

K và (0) là iđêan nguyên tố duy nhất của K Vậy dimK K  0

( Nhớ rằng nếu xem K là K -không gian véctơ thì dimV K  ) 1

2) dim1 (vì mọi iđêan nguyên tố của vành các số nguyên  là (0) hoặc có dạng p với p là số nguyên tố Hơn nữa mọi iđêan p với p nguyên tố là iđêan

cực đại Từ đó xích nguyên tố của  có độ dài lớn nhất có dạng (0) pdimK 1

1.5.3 Mệnh đề Cho (R,m) là vành địa phương Noether và x1, ,x là một hệ d tham số của môđun M Khi đó dimM / (x1, , )x M i d    i, 1 i d

1.5.4 Ví dụ { , ,x1 x là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức n}1

[[ , , n]]

K x x

1.5.5 Định nghĩa Cho q là iđêan tham số của M môđun, tức là iđêan sinh bởi d

phần tử a a1, 2, ,a m sao cho d l M( / ( ,a a1 2, ,a M   Khi đó ta gọi d) ), ( ) ( / n )

H n l M q M  là hàm Hilbert-Samuel, và khi n 0 hàm này trở thành một đa thức, kí hiệu P q M, ( )n Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert- Samuel

1.5.6 Nhận xét

Ta có

,degP q M( )n dimM d

Hơn nữa

1( ) ( , ) ( , ) ( 1) ( , )

1.5.7 Định nghĩa

(i) Số tự nhiên e q M trong khai triển (*) của 0( , ) P q M, ( )n được gọi là số bội của

M đối với iđêan tham số q

(ii) Đặc biệt q= m thì ta kí hiệu số bội e q M( , )e q M0( , )e M( ) và gọi nó là số

bội của môđun M

1.5.8 Ví dụ Số bội của vành đa thức Rk x x[ ,1 2, ,x n] là 1

R

H t l k l R  l R

= 1 + số đơn thức bậc 1 + + số đơn thức bậc t hay

  các số hạng bậc thấp hơn

Mặt khác ta có công thức

( )( )

!

d R

1.6.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun

(i) Phần tử xR x, 0 được gọi là ước của 0 đối với M nếu tồn tại phần tử

, 0

mM m sao cho xm 0

(ii) Phần tử xR được gọi là M-chính quy nếu M xM và x không là ước của

0 đối với M

(iii) Một dãy { , , }x1 x các phần tử của R được gọi là dãy chính quy của M hay t M-dãy nếu M / ( , , )x1 x M  và t 0 x không là ước của 0 của môđun i

/ ( , , i ) , 1, 2, ,

M x x M  i t

1.6.2 Định nghĩa. Cho I R là một iđêan Nếu x1, ,x t  và là dãy chính quy I

thì dãy { , , }x1 x được gọi là dãy M-chính quy cực đại nếu không tồn tại y t  I

để { , , , }x1 x y là một dãy M-chính quy và t được gọi là độ dài của dãy trên t

Cho R là vành địa phương và I R là một iđêan Khi đó độ dài của hai dãy

M-chính quy cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau Vì vậy ta có định nghĩa sau

1.6.3 Định nghĩa. Cho (R,m) là vành địa phương Noether Khi đó độ dài của dãy chính quy cực đại trong m kí hiệu là depth(m, M) hay depth(M) và được gọi

là độ sâu của môđun M

1.6.4 Định nghĩa Cho M là R-môđun Phần tử aR được gọi là phần tử lọc

chính quy của M nếu l(0 :M a   )

1.6.5 Chú ý

(i) Cho M là R-môđun Ta luôn có depthM dimM

(ii) Một phần tử là chính quy thì nó là phần tử lọc chính quy

1.7 Môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Khái niệm môđun Cohen-Macaulay, Cohen-Macaulay suy rộng khởi đầu được định nghĩa cho vành địa phương, sau đó được định nghĩa cho vành và môđun phân bậc

1.7.1 Định nghĩa R-môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

dim

depthM  M Nếu vành R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói rằng R là vành Cohen-Macaulay

k x y z t M

Mặt khác dimM max{dimR p p/ AssM}

Do đó M không phải là môđun Cohen-Macaulay

Cho (R,m) là vành địa phương Noether M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M d

Gọi x( , ,x1 x d) là một hệ tham số của M, q  xR( , ,x1 x R d) là một iđêan

1.7.3 Mệnh đề Các phát biểu sau là tương đương

(i) M là môđun Cohen-Macaulay;

(ii) Tồn tại một hệ tham số x( , ,x1 x d) của M để I M( )x  ; 0

(iii) Với mọi hệ tham số x ( , ,x1 x d) của M thì I M( )x  ; 0

(i) Mọi môđun có chiều bằng 1 là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Chứng minh Do dimM 1 nên theo Mệnh đề 1.7.5 ta chỉ cần chứng minh 0

(ii) Mọi môđun Cohen-Macaulay là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.7.3 và Định nghĩa 1.7.4

1.8 Môđun đối đồng điều địa phương

Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Trong mục

này ta kí hiệu R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là

I



 cũng là môđun con của

M và kí hiệu I(M)

1.8.1 Định nghĩa Môđun I(M) xác định ở trên được gọi là môđun con I-xoắn của M

Ta có hàm tử   là hàm hiệp biến, cộng tính ( R-tuyến tính), khớp trái I( )

1.8.2 Định nghĩa Hàm tử     xác định ở trên được gọi là hàm tử I- I I( )

được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I

1.8.4 Định nghĩa Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn  được gọi là I

hàm tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là Hi I( )

1.8.5 Mệnh đề Giả sử x1, ,x r  là dãy M-chính quy Khi đó I

1.8.7 Định lý. (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) Cho I là iđêan của vành

giao hoán Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi đó

( ) 0,

i I

Chương 2 CHẶN TRÊN CHO CHỈ SỐ CHÍNH QUY

CASTELNUOVO-MUMFORD CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT 2.1 Chỉ số chính quy của môđun phân bậc

Trong suốt phần này, cho R n0R n là vành phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên

vành Artin địa phương R Cho E là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Ta nói E 0

là m-chính quy với m là số nguyên nếu H i R( )E n  ; với mọi 0 i 0 và

1

nm i  Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg(E) của E được xác định

là số nguyên m nhỏ nhất sao cho E là m-chính quy, có nghĩa là :

( ) : min

reg E  {m E/ là m-chính quy}

Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford cũng có thể đặc trưng theo cách khác

Cho a E i( )maxn/H i R( )E n 0 nếu H i R( )E  và 0 a E   i( )

Ta đã biết rằng

( ) max i( ) : 0

2.1.1 Bổ đề Cho 0LEN 0là một dãy khớp các R-môđun phân bậc

hữu hạn sinh và các đồng cấu thuần nhất Khi đó:

( ) max ( ), ( )

Chứng minh Theo giả thiết chúng ta có một dãy khớp dài

1 i ( ) i ( ) i ( ) i ( )

H  L H  E H  N H   L

với i 0 Đặt mmaxreg L reg N( ), ( )

Từ dãy khớp trên ta có H i R( )E n  ; với mọi 0 i 0và với nm i 1 Vì vậy E

là m-chính quy 

Chúng ta nói E là m-chính quy yếu nếu i ( ) 1 0

R m i

H  E    với i 0

Chú ý rằng nếu E là m-chính quy yếu thì E không nhất thiết là m-chính quy

Chúng ta lấy một ví dụ đơn giản để minh họa cho trường hợp này

2.1.2 Ví dụ Cho ERk là một trường Thì H i R( )E  với 0 i 1 và

0R ( )

H  E  E Giả sử m  2 Thì H i R( )E m i 1 với 0 i 0 Vậy E là m-chính

quy yếu, nhưng không là m-chính quy

Giả sử h n E( ) :l E( n)kí hiệu hàm Hilbert của E Đa thức duy nhất p E( )X thỏa

mãn h n E( ) p n E( ) với n 0 được gọi là đa thức Hilbert của E Nếu

dim( ) 1, E( )

d  E  p X có thể được viết bởi

1 0

( )

( 1)!

d E

Số bội của E được định nghĩa là e E( ) :e0 Nếu d 0 chúng ta đặt e E( ) :l E( )

Giả sử d E kí hiệu bậc lớn nhất của các phần tử trong cơ sở tối thiểu thuần nhất ( )

của E

2.1.3 Bổ đề Giả sử E 0 là R-môđun phân bậc hữu hạn sinh với dim( )E d

nếu d E  thì ( ) 0 a E d d e E( ) 1

Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh trong [4, Bổ đề 3.1] 

Theo [8], E được gọi là m-chính quy hình học nếu i ( ) 0

n R

H  E  với mọi 1

nm i  và i 1 Chỉ số chính quy hình học greg E( ) của E là số nguyên m

nhỏ nhất để cho E là m-chính quy hình học

2.1.4 Bổ đề (Xem [2, Định lý 15.2.5]) Nếu i ( ) 1 0

R m i

H  E    với i 1 thì E là m-chính quy hình học

Từ bổ đề này chúng ta có các kéo theo sau đây:

E là m-chính quy  E là m-chính quy yếu E là m-chính quy hình học