Khảo sát tính liên tục trên tôpô zariski của các hàm số trong toán phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHHỒ THỊ HOÀI LIÊN KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ TRONG TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO... TRƯỜN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ THỊ HOÀI LIÊN

KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ

TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ THỊ HOÀI LIÊN

KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC TRÊN TÔPÔ ZARISKI CỦA CÁC HÀM SỐ

TRONG TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Hình học & Tôpô

Mã số: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN HUỲNH PHÁN

NGHỆ AN - 2014

LỜI CẢM ƠN

2222

Với việc hoàn thành bản Luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình tới PGS TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đã nhiệt tình từngbước hướng dẫn tôi thực hiện việc nghiên cứu đề tài: từ việc gợi ý, cung cấpcác tài liệu nghiên cứu, hướng dẫn các phương pháp thực hiện và truyền đạtnhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn đến việcchỉnh sửa và hoàn chỉnh nội dung của bài luận.

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy trong tổ Bộ môn Hình Học,Khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã giúp tôi hoàn thành tất cả các họcphần của Khóa học, nâng cao được trình độ kiến thức chuyên môn và cácphương pháp học tập hữu ích; giúp tôi hoàn thành các học trình, đặc biệt làluận văn tốt nghiệp

Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của lãnh đạo Sở Giáo dục và Đàotạo tỉnh Nghệ An, Ban Giám Hiệu trường PTTH Quỳnh Lưu 2, cùng toàn thểquý đồng nghiệp, các bạn cùng khóa học, gia đình đã động viên, giúp đỡ vàtạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khái niệm hàm số liên tục là một trong những khái niệm quan trọngtrong chương trình toán phổ thông Hàm số liên tục có nhiều ứng dụng nhưchứng minh phương trình có nghiệm, chứng minh phương trình có nghiệmtrong khoảng nào đó, ứng dụng tính liên tục của hàm số để tính đạo hàm, tíchphân và các ứng dụng của chúng trong đời sống, trong vật lý, trong hóa học

Khái niệm hàm số liên tục trong toán phổ thông được nghiên cứu với

Ta đã biết một tập hợp cho trước có thể có nhiều tôpô trên đó Nếu nhưmột tập được cho nhiều tôpô khác nhau, nó là những không gian tôpô khácnhau

rời rạc, tôpô Zairski Tôpô Zairski là tôpô mà các tập mở là phần bù của tậpnghiệm của một hệ các phương trình đa thức n biến Mỗi tập nghiệm của một

họ các đa thức như vậy gọi là tập đại số Zariski Ta nhận thấy rất nhiều hìnhtrong hình học phổ thông là tập đại số Zariski như đường thẳng, mặt phẳng,đường tròn, hypebol, parabol, elip…

công cụ của đại số như nhóm, vành, idean Như vậy tôpô Zariski trên trường

cùng với tôpô thông thường.Vì vậy việc nghiên cứu tính liên tục của các hàmtrên ℝ, ℝ2, ℝ3 đối với tôpô này là cần thiết

Chính vì vậy, tôi muốn nghiên cứu tính liên tục của các hàm số trongchương trính toán phổ thông trên tôpô Zairski, so sánh với tính liên tục của

các hàm số trong chương trình toán phổ thông nên tôi chọn đề tài là: “Khảo

4444

sát tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán phổ thông”.

2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm sốtrong chương trình toán phổ thông hiện nay

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu tính liên tục của các hàm số trong

ℝ2, ℝ3

3 Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu những điểm giống nhau cũng như các điểm khácnhau của tính liên tục của các hàm số trong toán phổ thông đối với tôpôZariski và tôpô thông thường

4 Phương pháp nghiên cứu

Chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết và minh họa qua các ví dụ

Cụ thể luận văn dùng phương pháp so sánh, phân tích, tương tự hóa, khái quáthóa, tổng hợp… đánh giá tính liên tục của các hàm số trong toán phổ thông

5 Dự kiến đóng góp

Tập hợp một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản phục vụ cho luậnvăn Nêu hệ thống các hàm số trong toán phổ thông liên tục đối với tôpôZairski Bên cạnh đó chúng tôi đã chỉ ra rất nhiều những hàm số trong toánphổ thông liên tục đối với tôpô thông thường nhưng không liên tục đối vớitôpô Zariski

6 Kế cấu luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận vănđược kết cấu thành hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tính liên tục trên tôpô Zariski của các hàm số trong toán

phổ thông

5555

CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tôpô,tôpô thông thường, tính liên tục trên tôpô thông thường Tập đại số, iđêan vàcấu xạ trong tôpô Zariski Nội dung này làm cơ sơ sở cho chương sau

1.1 Không gian mêtric, không gian tôpô và tính liên tục của ánh xạ

1.1.1 Không gian mêtric, không gian tôpô tôpô

X

1.1.1.2 Định nghĩa

Không gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với một mêtric d trên nó.

Trường ℝ là một không gian mêtric với mêtric d (x, y) = |x-y|

1.1.1.3 Ví dụ

Hàm số d : ℝn x ℝn ℝ

d : =

2 1

) (

Tập con M X gọi là mở nếu hoặc M = ∅ hoặc mọi a ∈

M, tồntạiε

sao cho B(a, ε

) M

1.1.1.4 Định nghĩa

Không gian tôpô là một cặp (X, ) trong đó X là một tập hợp, là một họ

các tập con của X thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

ký hiệu là (X, ) Hoặc ngắn gọn là X Khi chỉ kí hiệu không gian tôpô là X thì

ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó

khi A là hợp của một họ nào đó các tập có dạng:

Cơ sở tôpô của không gian tôpô X là một họ các tập con của X mà mổi

tập mở là hợp tùy ý của những phần tử trong họ này

1.1.1.14 Định nghĩa

X được gọi là một tập đóng, nếu

3) Họ tập đóng đóng kín với phép hợp hữu hạn, nghĩa là hợphữu hạn các tập đóng là tập đóng.

Họ các tập mở của ℝ là một tôpô trên ℝ, được gọi là tôpô tự nhiên trên

ℝ (hay tôpô thông thường trên ℝ).

Họ tất cả các khoảng mở với các điểm đầu mút hữu tỉ là một cơ sở của

) (

1.1.1.20 Định nghĩa

X là tập bất kỳ

gọi là không gian con của (X, ); A được gọi là tôpô cảm sinh bởi.

10

1.1.2 Ánh xạ liên tục

1.1.2.1 Định nghĩa

Cho hai không gian tôpô (X,), (Y,) và ánh xạ f: X Y Khi đó, f được

gọi là liên tục tại điểm x0 X nếu với mỗi lân cận W của f(x0) Y, tồn tại

lân cận V của x0 sao cho f(V) W

Nếu f: (X,)(Y, là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là (,) -liên tục.

1.1.2.3 Định lý

Cho ánh xạ f: (X, ) (Y, ) Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

1) f liên tục trên X;

2) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y là tập mở trong X;

3) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y là tập đóng trong X (xem [6])

1.1.2.4 Định lý

Cho ba không gian tôpô (X,), (Y,), (Z, ) và hai ánh xạ liên tục f: X

Y, g:Y Z Khi đó ánh xạ tích h = gof : X Z cũng liên tục (xem [6])

11

1) f liên tục tại a ∈

X;

2)∀ > ∃ > ε 0, δ 0 : x X d x a ∈ , ( , ) < ⇒ δ | ( ( ), ( )) | f x f a < ε

;3)

) ( ) ( :

} {x n ⊂ X x n →a⇒ f x n → f a

0(∀x∈

X), thì f/g cũng liên tục(xem [6] )

1.1.3 Các hàm sơ cấp cơ bản

Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản

Hàm lũy thừa y = là số thực)

Hàm số mũ y = (a > 0 và a)

Hàm số lôgarít y = logax (a > 0 và a)

Hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx

Các hàm số lượng giác ngược:

y = arcsinx; y = arccosx; y = arctanx; y = arccotx

Hàm số hypebôlic

shx = ; chx = ; thx = ; cthx = ;

12

1.1.4 Tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản

Cho A là vành giao hoán có đơn vị

Vành đa thức n biến x1, x2,…, xn trên A là tập A[X]: = A[x1, x2,…., xn ]

Mỗi phần tử f của A[X] được gọi là đa thức, nó có dạng

1 2

1 2

1 2

, , , 1 2

0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf

13

Người ta thường viết một đa thức nhiều biến theo thức tự cácbiến và theo giá trị giảm dần của bậc các đơn thức, nghĩa là:

hoặc d = 0, khi này ta còn nói A không có ước của 0) thì deg fg = deg f + deg g [5]

1.2.1.6 Hệ quả

Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a1,a2,…., an) ∈

Kn thì f = g(xem [7])

Kn gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của

một họ (hữu hạn hay vô hạn) các đa thức n biến trong K[X]

i i

x i

nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính dạng:

4> Kn là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0

15

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt

Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa là f là đa thức bậc nhất) thì Z(f) là một

siêu phẳng

Cho S là tập con bất kỳ của K[X]

Ký hiệu Z(S) ={a ∈ K: f(a) = 0, ∀f ∈ S}

là tập nghiệm của tất cả các đa thức trong S (thường gọi vắn tắt là tậpnghiệm của S), nghĩa là Z(S) là một tập đại số

Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa

16

y

x 3 – y 2 =0

x

1.2.2.9 Nhận xét

Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau:

1/ ∅ là tập đại số

2/ K là tập đại số

3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số

4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số

5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số

cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của khônggian afin Kn

7/ Nếu S1

⊇

S2 thì Z(S1) ⊆

Z(S2) ;8/ Z(0) = Kn;

1.2.2.12 Định lý

Nhưng Z(f) đóng trong tôpô Zariski và đóng trong tôpô thông thường

vì đa thức f cho ta ánh xạ liên tục

là tập mở trong tôpô thông thường

Ngược lại, có tập đóng A trong tôpô thông thường nhưng không đóng

là tập đóng trong tôpô thông thườngnhưng không đóng trong tôpô trong tôpô Zariski vì nó là tập vô hạn (đpcm)

19

3) Hoặc là tập hữu hạn khi (degf ≥ 1) do đó tập nghiệm của một họ các

đa thức 1 biến chỉ có thể có một trong ba dạng trên (đpcm)

(S): = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h2,…, hr

∈

S; f1, f2,…., fr

∈

A } là một iđêan bé nhất chứa S, gọi là iđêan sinh bởi S.

Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong A

hiệu I+J Iđêan sinh bởi các tích fg với f∈I và g∈J được gọi là iđêan tích của I

và J, ký hiệu là IJ

1.2.3.3 Định lý

1) I+J = {f+g | f∈I, g∈J} là iđêan nhỏ nhất chứa I và J,

2) IJ = {f1g1+…+ frgr| f1,…,fr ∈ I, g1,…;gr ∈ J, r ≥ 1} là một iđêan (xem [5])

Cho I và J là hai iđêan tuỳ ý trong K[X] Ta có:

1) Z(I) ∪ S(J) = Z(I ∩ J) = Z(IJ);

2) Z(I) ∩ Z(J) = Z(I + J) (xem [10])

Bây giờ ta xét một một khái niệm như là ánh xạ “ngược” của Z Cụ thể,cho V là tập bất kỳ trong Kn Ký hiệu

IV: = { f ∈

K[X]; f(a) = 0 với mọi a ∈

V}

của tập V Khi V chỉ có 1 điểm, ta viết Ia thay cho I{ a }

được cho trong sơ đồ sau

21

= {0};

3> Ia = (x1 - a1, x2 - a2,… , xn - an) với a = (a1, a2, … , an);

4> Nếu V⊆

K2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x2 thì IV = (x2 - y);

Cho I là iđêan của vành A Ký hiệu

:= {f ∈ A; f r∈ I với r là một số tự nhiên nào đó}

1.2.3.9 Định lý

Cho I là iđêan, thế thì I cũng là iđêan và I ⊆ I

(xem [10]) Nếu I = I thì I gọi là iđêan căn.

22

1.2.3.10 Nhận xét

0

là tập hợp các phần tử lũy linh của A Do đó, 0 là iđêan căn khi và

chỉ khi trong A không có phần tử lũy linh Những vành như vậy gọi là vành

rút gọn Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn.

và I là các song ánh ngược nhau Do đó, có thể chuyển việc nghiên cứu các

1.2.4 Vành tọa độ và iđêan của tập hợp con

Khi V = {a} là tập 1 điểm thì mọi hàm đa thức trên nó là hàm hằng

Vì vậy, vành đa thức của tập 1 điểm là trường K

Một hàm đa thức có thể được cho bởi nhiều đa thức khác nhau Tuy

thì A/I lập thành một vành 25

K gọi là hàm tọa độ thứ i của F

Chú ý rằng, Fi = pi.F ; pi là phép chiếu lên toạ độ thứ i

Cho V và W là hai tập đại số Ánh xạ F nói trên gọi là ánh xạ đa thức

nếu F1, F2, , Fm là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức) Nếu

K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là cấu xạ.

1> Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ;

26

2> Ánh xạ đồng nhất IdV trên V là ánh xạ đa thức vì id: V

→ V cho bởi: IdV (a) = (p1(a), p2(a),… , pn(a)),

vào W với các đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau.

1.2.5.9 Định lý

thường, khi tập nguồn cho bởi tôpô Zariski và tôpô thông thường còn tập đíchcho bởi tôpô thông thường, nhưng điều ngược lại không đúng

Chứng minh

Vì tôpô Zariski thô hơn tôpô thông thường (Định lý 1.2.2.12), nên hàm

số liên tục trên tôpô Zariski thì liên tục trên tôpô thông thường

Cho f(x) = sinx Ta có :

f-1({1}) = {x∈ | sinx =1 } = {2kπ| k∈ }

là tập vô hạn nên không phải là tập đại số trong Trong khi đó, tập một số {1} lại

là đóng trong tôpô thông thường Cho nên hàm sin không liên tục trên tôpôZariski vì ngược ảnh bởi hàm sin của tập đóng trong tôpô thông thường khôngphải là tập đóng Zariski Trong khi đó, hàm f(x) = sinx liên tục trên với tôpôthông thường (đpcm)

28

W là ánh xạ từ V lên F(V) nhưng khi đó

F không phải là ánh xạ đa thức vì có thể F(V) không phải là tập đại số Tuynhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) của F(V) thì có thể coi F là ánh xạ đa

2> Cho F: V = Z(x2 - y) →

ℝ là phép chiếu lên trục Ox, thì F là

đẳng cấu đa thức vì F - 1(a) = (a, a2) và F-1 là ánh xạ đa thức Vì vậy parabol

Zariski) (xem [7])

29

b b

6> Đường thẳng (d) và Parabol (P) đẳng cấu đa thức với nhau(xem [11])

7> Đường tròn (O) và Elip (E) đồng phôi trên tôpô Zariski với nhau

và đồng phôi trên tôp Zariski với đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1 (xem [11])

là ánh xạ đồng phôi trên tôpô Zariski Ở đây A =

b b b

10> Trong không gian, mọi đường thẳng ∆ có phương trình là

CHƯƠNG II

HÀM LIÊN TỤC ĐỐI VỚI TÔPÔ ZARISKI

khi được cho bởi tôpô thông thường và tôpô Zariski Cụ thể là nghiên cứutính liên tục của hàm số với tôpô Zariski trên và so sánh liên tục của chúngℝđối với tôpô thông thường Các kết quả trong chương này là do chúng tôi phátbiểu và chứng minh mà chưa có trong tài liệu tham khảo nào

Do các hàm số liên tục trên đối với tôpô Zariski thì liên tục đối vớitôpô thông thường, khi tập đích lấy tôpô cố định là tôpô thông thường, còntập nguồn cho hai tô pô là tô pô thông thường và tô pô Zariski (Định lý1.2.5.9) Vì vậy trong luận văn này chúng tôi chỉ tập trung xét những hàm sốliên tục đối với tôpô thông thường xem chúng có liên tục đối với tôpô Zariskicho trên cả tập đích và tập nguồn hay không

Nhắc lại rằng : Tập A là mở với tôpô thông thường khi và chỉ khi A làhợp của các khoảng mở Tập A là đóng với tôpô Zariski khi và chỉ khi A làtập ; hoặc ; hoặc là tập hữu hạn Do vậy A là mở với tôpô Zariski khi và chỉkhi A là tập ; hoặc ; hoặc hợp các khoảng

()

Trước hết ta nghiên cứu tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản

2.1 Tính liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản

Ta đã chứng minh rằng, nếu H ⊂ ℝ là tập đóng bất kỳ trong tôpôZariski thì khi đó H bằng ℝ; hay là tập hữu hạn điểm (Định lý 1.2.2.13) Từđây về sau ta lấy H= { }; m

f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tậpđóng Zariski.

2) Nếu n là số chẵn ta có: ;

Giả sử H = H1 H2 với H1={ }; H2={ } m, p là số tự nhiên i= ; j=

Xét f-1(ci) ={x | y(x) = ci = ci},

f-1(H1) = (ci) là tập đóng Zariski trong

f-1(bj) ={x ℝ | f(x) = bj = bj phương trình vô nghiệm}=,

Hay là tập hữu hạn là tập đóng Zariski

;Vậy f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong làtập đóng Zariski

Vậy y = liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm)

2.1.1.2 Mệnh đề

Hàm số f:

(n là số tự nhiên) liên tục trên theo tôpô Zariski

34

liên tục theo tôpô Zariski trên

f liên tục trên tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng Zariski trong là tậpđóng Zariski

Vậy f(x) = liên tục theo tôpô Zariski trên (đpcm)

Vậy f(x) =( là số thực) liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm).

2.1.2 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số mũ

f-1(H) = (ai) là tập đóng Zariski ;

Vậy f = liên tục trên ℝ theo tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóngZariski trong là tập đóng Zariski

Vậy y =liên tục trên theo tôpô Zariski (đpcm)

2.1.3 Khảo sát tính liên tục theo tôpô Zariski của hàm số lôgarít: