Khai thác sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi trung học cơ sở

Một số định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi Định hướng 1: Mở rộng các công thức, định lý trong sách

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN CÔNG LỢI

KHAI THÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9 NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN CÔNG LỢI

KHAI THÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9 NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRUNG HỌC CƠ SỞ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số : 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Xuân Chung

NGHỆ AN - 2014

Lời cảm ơnLuận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫnkhoa học của Thầy giáo TS Phạm Xuân Chung Nhân dịp này, tác giả xin bày

tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, đã trực tiếp giúp đỡ tác giả hoànthành Luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong chuyênngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán, trường Đại Học Vinh,

đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình thực hiện Luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban chủ nhiệm cùng các thầy cô, Khoasau đại học, Trường Đại Học Vinh Phòng Giáo dục và Đào tạo Quỳ Hợp, BanGiám Hiệu cùng các bạn bè đồng nghiệp trường THCS Thị Trấn đã tạo điềukiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi tới tất cả người thân và các bạn bè lòng biết ơn sâu sắc.Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ quý báu đó!

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được

và biết ơn các ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn

Nghệ An, tháng 9 năm 2014

Tác giả

KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

(Quy ước về các chữ viết tắt sử dụng trong luận văn)

1.5 Thực trạng việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá,

Chương 2 Các định hướng khai thác nội dung hình học trong sách

giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá,

Định hướng 3: Phát triển hệ thống bài toán từ bài toán trong sách

Định hướng 4: Khai thác sách giáo khoa theo hướng tăng cường

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Trong thế kỷ 20 và những năm đầu thế kỷ 21 khoa học kỹ thuật tiếp tục phát

triển mạnh, nhiều phát minh mới ra đời, có nhiều công trình khoa học có tính ứng dụngcao Trong bối cảnh đó Đảng ta cũng rất chăm lo cho sự phát triển của đất nước, Nghị

quyết Trung ương 2 khoá VIII xác định:"Phát triển giáo dục và đào tạo là quốc sách

hàng đầu, là nền tảng, động lực thúc đẩy phát triển kinh tế - xã hội trong giai đoạn đẩy

mạnh công nghiệp hoá, hiện đại hoá"

Luật giáo dục năm 2005 đã xác định rõ mục tiêu như sau:"Mục tiêu giáo dục là

đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm

mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hìnhthành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu

của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc" Luật giáo dục cũng nêu lên yêu cầu về nội dung, phương pháp giáo dục là:"Nội dung giáo dục phải bảo đảm tính cơ bản, toàn diện,

thiết thực, hiện đại và có hệ thống, coi trọng giáo dục tư tưởng và ý thức công dân; kếthừa và phát huy truyền thống tốt đẹp, bản sắc văn hóa dân tộc, tiếp thu tinh hoa vănhóa nhân loại, phù hợp với sự phát triển về tâm sinh lý lứa tuổi của người học Phươngpháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của ngườihọc; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học

tập và ý chí vươn lên"

1.2 Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học (A.A Stôliar) Đối với

học sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bàitoán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đượctrong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứngdụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt cácmục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tậptoán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán Bài tập toán mang nhiềuchức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy vàchức năng kiểm tra đánh giá Khối lượng bài tập toán ở trường phổ thông là hết sứcphong phú, đa dạng Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn là những bàitoán chưa có hoặc không có thuật giải Đứng trước những bài toán đó, giáo viên gợi ý

và hướng dẫn học sinh như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề

hết sức quan trọng Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được nhữnggợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ thuật sư phạm của chính người giáo viên.

1.3 Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả

năng tư duy của học sinh, vì để giải bài toán học sinh phải suy luận, phải tư duy, phảiliên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải biết huy động kiến thức, biếtchuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tượng Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ cóthể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó Nhờ trừutượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứngdụng rộng rãi Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởngtượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứdựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy Cũng quathao tác khái quát hoá và trừu tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phêphán của học sinh cũng được hình thành và phát triển Bởi qua các thao tác tư duy đóhọc sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cáchgiải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũngnhư những ý nghĩ và tư tưởng của người khác Một mặt các em cũng phát hiện ra đượcnhững vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

1.4 Qua thực tế bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tại trường THCS ở địa phương,

kết hợp tìm hiểu công tác dạy và học tại các trường THCS ở các xã, thị trấn trongHuyện, bằng việc gặp gỡ trao đổi với giáo viên và học sinh cùng với thực tế công tácgiảng dạy của bản thân trong nhiều năm đã cho thấy: Đa phần cha mẹ học sinh luôn cónguyện vọng được phát triển năng khiếu môn Toán cho con em mình ngay từ bậcTHCS, đó là nguyện vọng chính đáng, rất đáng hoan nghênh Chưa có giáo viên dạybồi dưỡng học sinh giỏi chuyên, mỗi năm cũng chỉ có một giáo viên vừa dạy đại trà tạilớp, vừa bồi dưỡng chương trình nâng cao Nhiều giáo viên được giao nhiệm vụ dạytoán đang còn băn khoăn, lúng túng trong việc phát hiện, bồi dưỡng học sinh có năngkhiếu toán và bản thân mỗi giáo viên chưa nắm bắt được những biểu hiện của những

học sinh khỏ, giỏi toỏn Chưa cú một tài liệu, chương trỡnh bồi dưỡng học sinh khỏ,giỏi cụ thể thống nhất cho toàn ngành Vai trũ của tổ chuyờn mụn chỉ đạo chưa cao cũngiao phú cho giỏo viờn dạy.

1.5 Thụng qua khai thỏc sỏch giỏo khoa toỏn và sỏng tạo bài toỏn mới làm cho

học sinh đi từ bất ngờ này đến bất ngờ khỏc một cỏch thỳ vị, làm cho học sinh biếtđược cỏch thức tạo ra kiến thức cũng như bài toỏn mới và qua đú ứng dụng vào giải cỏcbài tập toỏn Trong quỏ trỡnh dạy học đối tượng học sinh khỏ giỏi, tổ chức hoạt độngkhai thỏc kiến thức cũng như bài tập trong nhiều tiết dạy chớnh khúa, trong cỏc buổidạy nõng cao, trong cỏc buổi bồi dưỡng học sinh giỏi đó thu được một số kết quả nhấtđịnh Việc khai thỏc sỏch giỏo khoa toỏn nếu được giỏo viờn quan tõm một cỏch thườngxuyờn sẽ gúp phần khụng nhỏ trong việc rèn luyện cho các em học sinh khỏ, giỏi tínhlinh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo Khai thỏc bài tập khộo lộo ngoài việc phỏt triển tưduy cho học sinh cũn bồi dưỡng học sinh khả năng tự học, tự rốn luyện Thụng quaviệc khai thỏc bài tập cũng giỳp học sinh ụn tập được kiến thức cơ bản, trọng tõm, làmcho học sinh được rốn luyện một số phương phỏp gải bài tập, học sinh cú kỹ năng vẽthờm đường phụ, kỹ năng tỡm tũi lời giải và tự tin sỏng tạo bài toỏn mới từ cỏc bài tậptoỏn trong sỏch giỏo khoa

Vỡ những lý do trờn chỳng tụi chọn đề tài nghiờn cứu của luận văn là :"Khai thỏc sỏch giỏo khoa toỏn 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho học sinh khỏ, giỏi trung học cơ sở"

2 Mục đớch nghiờn cứu

Nghiờn cứu cỏc định hướng khai thỏc nội dung hỡnh học trong sỏch giỏo khoaToỏn 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toỏn cho học sinh khỏ, giỏi ở bậc THCS

3 Nhiệm vụ nghiờn cứu

3.1 Làm sỏng tỏ khỏi niệm năng lực, năng lực giải toỏn

3.2 Xõy dựng cỏc định hướng khai thỏc sỏch giỏo khoa toỏn 9 nhằm phỏt triểnnăng lực giải toỏn cho học sinh khỏ, giỏi

3.3 Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực,tính hiệu quả của đề tài.

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được các định hướng khai thác sách giáo khoa có tính sư phạm và

sử dụng các định hướng đó nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trong quátrình dạy học thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung và bồidưỡng học sinh khá, giỏi toán ở trường THCS nói riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục

học, các sách, tạp chí, các luận văn cao học có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu thực tiễn: Tìm hiểu thực tiễn về dạy học và định hướng để bồi dưỡngnăng lực giải toán cho học sinh khá giỏi

- Thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm định tính khả thi và hiệu quả của các đề xuấttrong đề tài luận văn

6 Đóng góp của luận văn

- Góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận về bồi dưỡng năng lực giải toán cho họcsinh và đề xuất cách khai thác sách giáo khoa nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán chohọc sinh khá, giỏi và cụ thể hóa ở nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9

- Kết quả nghiên cứu của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên

7 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm 3chương

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề cơ bản về năng lực

1.2 Năng lực toán học

1.3 Năng lực giải toán

1.4 Vai trò và chức năng của bài tập toán

1.5 Thực trạng việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi ở

trường THCS hiện nay

1.6 Kết luận chương 1

Chương 2 Các định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi

2.1 Giới thiệu nội dung hình học trong sách giáo khoa Toán 9

2.2 Một số định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9

nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi

Định hướng 1: Mở rộng các công thức, định lý trong sách giáo khoa

Định hướng 2: Xây dựng các ứng dụng của các kiến thức hình học

Định hướng 3: Phát triển hệ thống bài toán từ bài toán trong sách giáo khoa Định hướng 4: Khai thác sách giáo khoa theo hướng tăng cường hoạt động

3.2.2 Nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.3.1 Đánh giá định tính

3.3.2 Đánh giá định lượng

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

Kết luận chung

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề cơ bản về năng lực

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy, từnền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động Qua quá trình hoạt động

mà dần hình thành cho mình những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết và ngày càng

phong phú đa dạng, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ mới cao hơn.Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải quyết những hoạt động ởnhững yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ cóđược một năng lực nhất định Sau đây là một số cách hiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng

hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao [27]

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người,

đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoànthành có kết quả một số hoạt động nào đó [10]

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng

yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuấtsắc một số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[2])

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và do đó nó gắn liền

với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ hoànthành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính dễdàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáotrong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhậnrằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, tức là thừanhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành vàphát triển của những năng lực khác nhau

Tóm lại, năng lực khá trừu tượng trong tâm lí học Tuy còn có những cách hiểu

và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà tâm lí học đều thống nhất rằng:

- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động, để có năng lực cần phải cónhững phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định, đảmbảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

- Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải

+ Có tri thức về hoạt động đó;

+ Tiến hành hoạt động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả;

+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;

+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau;

Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về năng lực, xét từ phương diện giáo dục,chúng ta có thể hiểu rằng:

- Năng lực thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh hưởngcủa yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn chế còn donhững điều kiện khác của môi trường sống

- Những yếu tố bẩm sinh của năng lực cần có môi trường điều kiện xã hội (ở đây

ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếu không sẽ

bị thui chột Do vậy năng lực không chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà còn phát triển tronghoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể

- Nói đến năng lực là nói đến năng lực trong một loại hoạt động cụ thể của conngười

- Cấu trúc của năng lực bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những hànhđộng thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau Đồng thời năng lực còn liên quanđến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm

- Hình thành và phát triển những năng lực cơ bản của học sinh trong học tập vàđời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm

1.2 Năng lực toán học

Theo V A Crutecxki.[5] năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học

toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh vàtốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động sáng

tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loàingười

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối.Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo Cónhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán học một cách độc lập và sángtạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đường, cácphương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, khámphá ra các phương pháp giải độc đáo cho những bài toán không mẫu mực

Theo V A Crutecxki.[5]: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá

nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học

và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cáchtương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học

Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minhtrong việc học toán Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm được chươngtrình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này qua học sinh khác.Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi Các năng lực này không phải

nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để

nắm được hoạt động tương ứng

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học Do

vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán

học Về vấn đề này nhà toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv chorằng:"Năng lực bình thường của học sinh trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm

được toán học trong trường trung học với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sáchtốt".

1.3 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một thành phần của năng lực toán học, được hình thành,rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán Do đó, năng lực giảitoán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng cao yêu cầu lĩnh hội trithức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm trong hoạt động giảitoán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồi dưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho

học sinh

1.3.1 Các thành phần của năng lực giải toán

a) Năng lực dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một quãng

thời gian, sau đó đưa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì ta đã làmcông việc dự đoán Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các bằngchứng một cách cẩn thận trước khi đưa ra điều dự đoán của mình

Theo tác giả Đào Văn Trung mô tả:“Dự đoán là một phương pháp tư tưởng đượcứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sựthật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết Hay dự đoán là sự nhảyvọt từ giả thuyết sang kết luận” [25]

Dự đoán có vai trò quan trọng như thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy liệu

có cách nào học được dự đoán hay không? Theo G.Polia thì “ trừ những người đượctrời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có được năngkhiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đưa ra gầnvới chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổidạng chúng đi nếu cần, và như vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dựđoán sai và các dự đoán đúng Những dự đoán có thể rất táo bạo nhưng phải có căn cứdựa trên những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán mò, càng khôngphải là nghĩ liều” [8]

Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là học sinh phảigiải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm Họ cần phải được rèn luyệncác năng lực thành tố như: Năng lực xem xét các đối tượng Toán học, năng lực tư duybiện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá; nănglực liên tưởng các đối tượng, quan hệ đã biết với các đối tượng tương tự, quan hệtương tự

b) Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

Đứng trước một vấn đề, học sinh có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyếthoặc là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau Một trong những phương án có thểđáp ứng được nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để huy

động kiến thức đối với việc giải toán

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện được hay không còn phụ thuộc vào kỹnăng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang được ngôn ngữ nào Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp học sinh có thêm những định hướng, nhữngđường lối cho việc tìm tòi nhiều phương pháp, cách giải khác nhau

c) Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán được gọi là

tương tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phương pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặccùng kết luận; hoặc được đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng cótính chất giống nhau Khai thác chức năng của bài tập tương tự là một trong những việclàm quan trọng trong dạy học bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện kỹnăng, kỹ xảo

Biến đổi về dạng tương tự là một hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt động này thểhiện trong tiến trình người giải toán phải làm bộc lộ đối tượng của hoạt động (các kháiniệm toán học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tượng toán học, các quan hệgiữa chúng) Những hoạt động đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đốitượng, sao cho các tri thức mới tương thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập

vào đối tượng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm củahoạt động nhận thức Để sự tìm tòi được thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủthuật để biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể

Biến đổi về dạng tương tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài toánvới kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau Việc biến đổi đó có thể thực hiệnnhờ biến đổi hình thức để tương thích với tri thức đã có của học sinh hoặc là biến đổinội dung để có thể tìm ra mối liên hệ giữa bài toán này với bài toán khác Khi nghiêncứu một đối tượng cần phải xem xét nó trong mối liên hệ với các đối tượng khác và cần

xét kĩ cái chưa biết để huy động những kiến thức gần nhất với bài toán đang giải hoặc

ít ra là đã giải bài toán tương tự

Nhờ quá trình biến đổi vấn đề, biến đổi các bài toán học sinh có thể quy các vấn

đề trong tình huống mới, các bài toán lạ về các vấn đề quen thuộc, về các bài toántương tự đã giải

d) Năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện chứng

ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dưới nhiều góc độ, có nhiềuhình thức biểu đạt khác nhau Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ bằngcác cách khác nhau Hoặc có thể nhìn nhận nó dưới nhiều “cái riêng” khác nhau

Nếu đứng trước một vấn đề mỗi người làm toán có thói quen nhìn nhận theo nhiềugóc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình thànhdần nên trong họ một tư duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết được vấn đềbởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở những góc độ nào đó màchúng ta phải khám phá ra

e) Năng lực phân chia trường hợp

Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các kiến thức, cũng như khi giải toánbiện luận, , ta cần phải phân chia một khái niệm

Trong lôgic học, người ta quan niệm:“Phân chia khái niệm là thao tác lôgic, chia

các đối tượng thuộc ngoại diên khái niệm cần phải phân chia thành các nhóm theonhững tiêu chuẩn nhất định” [22]

Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại diên của khái niệm ấy

chia thành nhiều bộ phận [4]

Phân loại là phân chia một tập hợp đối tượng cho trước thành những tập hợp con,

dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung

Giữa phân chia khái niệm và phân loại thường không có sự phân biệt rõ ràng,

người ta thường dùng phân loại theo nghĩa phân chia khái niệm

Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quy tắc nhất định:

+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;

+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;

+ Cùng một lúc không được đưa vào nhiều dấu hiệu khác nhau để phân chia;+ Phân chia phải liên tục [22]

f) Năng lực suy luận lôgic

Trong lôgic học người ta quan niệm rằng:“Suy luận là quá trình suy nghĩ để rút ra

một mệnh đề từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có trước” [7]

Các mệnh đề có trước gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút ra gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận.

Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lôgic A B, trong đó A là tiên đề, B

là kết luận Cấu trúc lôgic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận.

Xét suy luận với cấu trúc lôgic A  B, nếu suy luận kéo theo A B đúng thì suy

luận được gọi là suy luận hợp lôgic.

Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: suy luận diễn dịch (suy diễn) và suy luậnquy nạp

+ Suy luận diễn dịch (phép suy diễn) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suydiễn) xác định rằng nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng [4]

Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng Vậy để đảm bảo tính chất đúng

đắn của một suy diễn thì các tiền đề của suy luận phải đúng đồng thời suy luận phải hợp lôgic.

+ Suy luận quy nạp: chúng ta gọi các kết luận được rút ra trên cơ sở các quan sát

và thực nghiệm, tức là những kết quả nhận được bằng con đường xem xét các trườnghợp riêng và sau đó khái quát lên thành những quy luật cho các trường hợp tổng quátgọi là suy luận quy nạp [7]

* Quy nạp hoàn toàn được sử dụng rộng rải để chứng minh các định lý và giảiToán Trong phương pháp quy nạp hoàn toàn, khẳng định chung được chứng minh là

đúng trong mỗi trường hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù được gọi là quy nạp,

nhưng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn là suy luận thuộc loại suy diễn [7]

Thật vậy, để có thể áp dụng được phương pháp suy luận này, ta phải đưa về việc

phân chia các trường hợp chung thành một số hữu hạn các trường hợp riêng có thể có

và chứng minh khẳng định đúng trong tất cả các trường hợp riêng

Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn, để tránh sự trùng lặpnhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽ không bàn nhiều về phát triển năng lực suy luậnlôgic ở góc độ này Vì năng lực này được phát triển nếu chúng ta phát triển được ở họcsinh năng lực suy diễn, năng lực phân chia các trường hợp riêng

* Quy nạp không hoàn toàn là phép đi từ cái đúng riêng đến kết luận cho cáichung, đi từ một hiện tượng đơn nhất cho các hiện tượng phổ biến [7]

Đối với phép quy nạp không hoàn toàn, đặc biệt hoá và khái quát hoá, tương tựhoá, được xem là các thủ thuật lôgic tư duy chủ yếu, có ý nghĩa cực kỳ quan trọngtrong khi tiến hành suy luận

Theo GS Nguyễn Cảnh Toàn:“Để đi đến cái mới trong Toán học phải biết được

tư duy lôgic và tư duy biện chứng Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng giảiquyết vấn đề thì tư duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, còn hướng giải quyết vấn đề đã

rõ thì tư duy lôgic giữ vai trò chính” [24]

Ngoài ra, trong quá trình giải toán, khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết thìhoặc phải biến đổi giả thiết và kết luận sao cho chúng xích lại gần nhau hơn, hoặc biếnđổi tìm kiếm nhiều thông tin liên quan đến bài toán Có nghĩa, vai trò của suy luậnlôgic là rất quan trọng trong quá trình học và nghiên cứu toán.

g) Năng lực khái quát hoá

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim:“Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối tượng

sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [15].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến phươngpháp tư duy khái quát Không có khái quát thì không có khoa học; không biết khái quát

là không biết cách học Khả năng khái quát là khả năng học tập vô cùng quan trọng,khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt [25]

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toán học là thànhphần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã được các nhà Sư phạm, nhà Toánhọc như: V A Crutecxki, A I Marcusêvich, Pellery, khẳng định trong sơ đồ cấutrúc năng lực toán học của mình

Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họ hoạt độngkhái quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phương pháp khái quát hoá Trên tinhthần đó, để phát triển năng lực khái quát hoá cho học sinh có thể thực hiện theo cáccách sau:

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp.

Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một mức độ caohơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến của các đối tượngđang xét Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá phải thấy được những nétchung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt

Hoạt động phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi hoạt động so sánh chưatìm ra được đặc điểm bản chất – chung để khái quát hoá Kết quả hoạt động khái quát

hoá chỉ là dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặt Toán học cần có bước chứngminh Đường lối chứng minh kết quả khái quát có thể tìm thấy sau quá trình phân tích,quá trình giải các bài toán cụ thể nhưng cũng có những trường hợp đường lối giải quyếtbài toán cụ thể chưa thể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này giáo viên cầngợi động cơ để học sinh có thể tìm kiếm con đường giải quyết khác mà nó có thể giúpích cho việc giải quyết bài toán tổng quát.

Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ là một con đườngkhái quát hoá, nhưng không phải là con đường duy nhất Bên cạnh con đường này (conđường của số đông học sinh) còn tồn tại một con đường khác (con đường của một sốhọc sinh có nhiều khả năng) không dựa vào sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉmột hiện tượng trong hàng loạt hiện tượng giống nhau Việc nhận biết một số bài tập

cụ thể như là đại diện của một lớp bài tập cùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này

Vì vậy, ta coi trọng đúng mức nhưng không quá cường điệu vai trò của so sánh trongkhái quát hoá

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoá cùng với hoạt động phân tích và tổng hợp

Đặc điểm của phương pháp này là từ phân tích một sự vật cụ thể, riêng lẻ suy ratính chất chung của loại sự vật đó Khái quát từ trừu tượng cũng là phương pháp vôcùng quan trọng Nó bắt đầu từ phân tích, từ ngoài vào trong, từ thô đến tinh, chọn lấycái cốt lõi

+ Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt động tương

tự hoá và đặc biệt hoá

Các phương pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tương tự hoá đặc biệt có ý nghĩarất quan trọng trong sáng tạo toán học Có thể vận dụng chúng để giải các bài toán đãcho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phương hướng giải bài toán; để mở rộngđào sâu, và hệ thống hoá các kiến thức

Khi giải một bài toán, phương pháp tổng quát là tìm cách đưa bài toán phải giảithành một bài toán tương tự, đơn giản hơn; sao cho nếu giải được bài toán sau thì sẽ

giải được bài toán đã cho Đây là một hoạt động mà chúng ta cần phải bồi dưỡng chohọc sinh Tuy nhiên, chúng ta cũng phải biết hình thành ở học sinh khả năng ngược lại;tức là từ những trường hợp đặc biệt rồi cho học sinh dự đoán kết quả khái quát hoá.

h) Năng lực diễn đạt nội dung bài toán theo những cách khác nhau

Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có

ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích trông thấy rõ ràng, nhưng không thể

đạt được ngay Giải toán tức là tìm phương tiện đó

Như vậy, bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi người giải một lời giảiđáp, mà lời giải đáp này về toàn bộ hoặc từng phần không ở trạng thái có sẵn ở ngườigiải tại thời điểm bài tập được đưa ra

Trong tự nhiên và xã hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trong nhữngđiều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau Trong lĩnh vực Toán học cũngvậy, có nhiều loại toán có liên quan với nhau Mối quan hệ giữa chúng trong những

điều kiện nào đó cho phép ta có thể chuyển từ việc giải bài toán này qua việc giải bài toán khác (có nội dung khác nhau).

Ta biết rằng, hiểu sâu vấn đề cần giải quyết là then chốt để giải quyết vấn đề Độ

sâu của sự hiểu biết này chủ yếu thể hiện ở việc nắm vững bản chất vấn đề và biểu đạt

nó dưới những dạng khác nhau Học cách biến hoá, thay đổi sự diễn đạt vấn đề không những có lợi để nối thông các kiến thức liên quan với nhau mà còn có lợi cho việc vận dụng linh hoạt các kiến thức đó.

1.3.2 Đặc trưng của năng lực giải toán

Là tập hợp tất cả những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu để phânbiệt với các năng lực khác, gồm:

- Năng lực giải toán là một dạng năng lực hoạt động của các nhân được nảy sinhxuất hiện những tình huống có vấn đề, có nhu cầu hay mâu thuẫn cần giải quyết; đượchiểu là một biểu hiện của năng lực khám phá trong quá trình giải một bài toán cụ thể

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sángtạo của học sinh; tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến trình giải toán để

đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xác định hướng giảicác bài toán mới có từ bài toán ban đầu.

- Năng lực giải toán của chủ thể (học sinh) luôn thể hiện ở "trạng thái động" bởitính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các phương thức khác nhau

để khám phá giải bài toán

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết quả cao: Pháthiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi kiến thức để đi đến kết quả bài toán

Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực giải toán:

+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra (đối với họcsinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của năng lực giải toán)

+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp giải toánthích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp đó để hoàn tất tiếntrình giải toán (đối với học sinh khá nắm được bản chất của năng lực giải toán,vậndụng cụ thể, sáng tạo các thành phần của năng lực giải toán)

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy sinh các vấn

đề khó khăn hay mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc "phán xét", cách tiếpcận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải toán, (điều này thể hiện năng lực giải toán

ở học sinh khá, giỏi)

1.3.3 Các điều kiện để hình thành năng lực giải toán cho học sinh

Trong dạy học toán, giải bài tập còn được hiểu là hoạt động sáng tạo, hoạt động

" tìm kiếm ", "khám phá" và " phát minh" được quy định bởi các điều kiện sau:

- Điều kiện chung: Trong tiến trình giải toán thì hoạt động giải toán của học

sinh được tích cực hóa trước một tình huống vấn đề, dưới ảnh hưởng của các câu hỏi

có vấn đề, các tình huống nảy sinh vấn đề; các bài toán có tình huống, trên cơ sở đóhọc sinh tiến hành giải quyết vấn đề theo nguyên tắc " Thầy chỉ đạo - Trò chủ động "

- Điều kiện bên ngoài: Nhấn mạnh các tác động khách quan (giáo viên, phương

tiện, môi trường) có ảnh hưởng tích cực đến quá trình giải toán của học sinh Xuất phát

từ đặc điểm hoạt động sáng tạo, khám phá của học sinh thì "Hoạt động của học sinh

mang tính tích cực cao trong một môi trường có dụng ý sư phạm dưới tác động chủ đạocủa giáo viên" Người giáo viên với cấu trúc nhân cách và năng lực sư phạm của mình,trong quá trình dạy học định hướng cho học sinh chiếm lĩnh tri thức bằng hoạt độnggiải toán.

- Điều kiện bên trong: Phản ánh nội lực của quá trình hình thành, phát triển

năng lực giải toán, tự giác chủ động khám phá và giải quyết vấn đề, có ý thức ứngdụng các kiến thức và kỹ năng thu nhận được vào các tình huống đặt ra, trở thành vị tríchủ thể của quá trình nhận thức, từ người " tiêu thụ " kiến thức thành người "sản sinh"

ra kiến thức

Như vậy các điều kiện trên cho phép khẳng định:

Một là hoạt động giải toán của học sinh trên cơ sở tự lực giải quyết các vấn đề,theo nghĩa:"Vấn đề nhận thức đặc trưng ở chỗ nó đưa học sinh ra ngoài giới hạn củanhững kiến thức vốn có, bao hàm một cái gì chưa biết, đòi hỏi phải có sự tìm tòi sángtạo"

Hai là tính tích cực của học sinh theo chu trình: Học sinh khám phá, tự nghiêncứu (giáo viên hướng dẫn, cung cấp thông tin); Học sinh tự trả lời, tự thể hiện (giáoviên làm trọng tài); Học sinh hành động, tự kiểm tra, tự điều chỉnh (Giáo viên hướngdẫn); Chu trình này dựa trên nguyên tắc:"Giáo viên xác định từ trước một cách chínhxác bước đi sao cho sự nỗ lực tìm tòi của các em được đúng hướng và tập trung giảiquyết vấn đề cơ bản"

1.4 Vai trò và chức năng của bài tập toán học

1.4.1 Vai trò của bài tập toán học

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có một vai trò hết sức quan trọng

Thứ nhất, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung

của giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần phát triển nhân cách Cùng với việc tạođiều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng Toán học cần thiết,môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích,tổng hợp, trừu tượng hoá, khai thác hoá, , rèn luyện những đức tính, phẩm chất của

người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sángtạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.

Thứ hai, môn Toán cung cấp vốn văn hoá Toán học phổ thông và tương đối hoàn

chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp tư duy

Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học khác Do

tính trừu tượng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng Những tri thức và kĩ năngtoán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công

cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế

và vì vậy là một thành phần không thể thiếu của trình độ văn hoá phổ thông của conngười mới Cùng với việc kiến tạo tri thức, môn Toán trong nhà trường còn rèn luyệncho học sinh những kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng sử dụng những dụng cụ Toánhọc và máy tính điện tử Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển nhữngphương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như: toán học hoá tình huống thực tế,thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề Trong thời kì pháttriển mới của đất nước, môn Toán càng có vai trò quan trọng hơn

1.4.2 Chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh, trong đó

giải Toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán có tầm quan trọng đặcbiệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học toán ở trường phổthông Đối với học sinh có thể coi việc giải bài toán là một hình thức chủ yếu của việchọc Toán, vì bài tập Toán có những chức năng sau:

a) Chức năng dạy học

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý thuyết đãhọc Trong nhiều trường hợp giải Toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tựmình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì một lí do nào đókhông đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập mà học sinh mở rộng được tầmhiểu biết của mình

b) Chức năng giáo dục

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vậtbiện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới Qua những bàitoán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất thực tiễn củaToán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ cuộc sống chiến đấu vàxây dựng của dân tộc Đồng thời, học sinh phải thể hiện một số phẩm chất đạo đức củangười lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận, chínhxác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dámnghĩ dám làm trung thực khiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong Toán học vàtrong thực tiễn.

c) Chức năng phát triển

Giải bài tập Toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rènluyện những thao tác tư duy, hình hình những phẩm chất tư duy khoa học

d) Chức năng kiểm tra

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng học Toán vàtrình độ phát triển của học sinh và vận dụng kiến thức đã học Trong việc lựa chọn bàitoán và hướng dẫn học sinh giải Toán, giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng vềnhiều mặt của bài toán

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến phát huy tác dụnggiáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiềubài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán là chưa đủ

mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán Lời giải của bài tập toán phảiđảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận.

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

1.4.3 Các quan điểm xây dựng hệ thống bài tập từ bài toán sách giáo khoa

Trong mục này, Luận văn sẽ đưa ra các quan điểm cho việc xây dựng và sử dụng

hệ thống bài toán hình học trong giảng dạy Toán ở trường THCS, với chủ ý làm đậmnét hơn nữa các ứng dụng của của sách giáo khoa trong bồi dưỡng năng lực giải toán

cho học sinh khá, giỏi Các quan điểm Luận văn đưa ra sẽ nhằm vào tính hệ thống, tính vừa sức, tính đa dạng, tính kế thừa, phát huy tính tích cực, tính phát triển của

việc xây dựng hệ thống bài tập toán trong giảng dạy Toán ở trường THCS Cụ thể cácquan điểm đó được thể hiện như sau:

a) Quan điểm 1: Tính hệ thống

Việc xây dựng bài tập cho học sinh phải đảm bảo tính hệ thống Tuy nhiên khi lựachọn phải bám sát các chủ đề kiến thức Trong hệ thống bao gồm các dạng bài tập đãtiềm ẩn ở trong chương trình sách giáo khoa hiện hành, hay nói rộng hơn, cần có nhiềubài tập mà qua hoạt động dạy học chúng có tác dụng trang bị dần dần về phương phápluận, nhằm góp phần giải quyết những vấn đề cơ bản, vừa có tác dụng tích cực bồidưỡng về năng lực cho học sinh Khai thác tốt được các loại bài tập này thì sẽ góp phầnlàm cho hệ thống bài tập trở nên toàn diện hơn và việc bồi dưỡng năng lực giải Toán củahọc sinh ở bậc THCS một cách đầy đủ hơn

Hơn nữa hệ thống bài tập đưa ra phải đảm bảo tính hệ thống về nội dung cũng như

về số lượng, nhằm mục đích đảm bảo tính khả thi cho đối tượng học sinh khá, giỏi Hệthống bài tập phải được sắp xếp theo mức độ tăng dần từ đơn giản đến phức tạp, từ thấpđến cao, từ ít đến nhiều, từ mỗi phần đến tổng thể, tất nhiên là với liều lượng vừa phảisát với quỹ thời gian học tập của học sinh ở nhà và ở lớp Qua hệ thống bài tập học sinh

có thể đúc rút ra được kiến thức trọng tâm là gì và nắm được các kiến thức đó một cách

có hệ thống và được sắp xếp theo một trình tự nhất định Từ đó giúp các em học sinh có

lòng say mê học môn Toán hơn và vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn đời sốngcũng như việc ứng dụng vào các môn khoa học khác một cách dễ dàng và linh hoạt.

b) Quan điểm 2: Tính vừa sức

Việc xây dựng và đưa vào giảng dạy hệ thống bài tập nhằm đạt được mục đíchdạy học đã nêu ở trên, không được làm thay đổi lớn tới hệ thống chương trình, sáchgiáo khoa cũng như kế hoạch dạy học hiện hành Đây là một trong những điều kiện cơ

bản để có thể đảm bảo được tính khả thi của hệ thống Vì vậy, Hệ thống các bài tập

cần phải được tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và mức độ

Không thể đạt được các mục đích đã đặt ra cho hệ thống các bài tập nếu ta chỉđưa ra một số ít bài tập Trái lại, nếu bổ sung quá nhiều các bài tập sẽ dẫn tới tìnhtrạng quá tải, không đủ thời gian để thực hiện, ảnh hưởng đến kế hoạch chung củamôn học Nói cách khác, hệ thống bài tập như vậy không có tính khả thi Đồng thờichúng ta cũng thấy rõ ràng về mức độ, các bài tập cần được lựa chọn để phù hợp vớitrình độ nhận thức chung của học sinh

Đây cũng là một yêu cầu quan trọng để có thể đảm bảo được tính khả thi và tínhhiệu quả của hệ thống bài tập

Các bài toán cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, nhất lànhững bài toán đầu tiên Người học tự mình giải được một bài tập có ý nghĩa rất lớn

về mặt tâm lý Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài tập đầu tiên dễ làm cho học sinhmất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình luyện tập tiếp theo Kinh nghiệmcho thấy rằng, nguyên nhân không thành công ngay từ bài tập đầu tiên thường do thầygiáo vội vã yêu cầu vận dụng quá nhiều tri thức và kĩ năng của những nội dung trước

đó hơn là do những thiếu sót ngay trong cách tiến hành giải bài tập này hoặc trongcách dạy phần lý thuyết trực tiếp của bài tập đó Sự trải nghiệm thành công ở nhữngbài tập đầu tiên tạo cho học sinh thêm tự tin phấn khởi, hào hứng thực hiện những yêucầu luyện tập tiếp theo đạt kết quả cao hơn

c) Quan điểm 3: Tính đa dạng

Trong phạm vi nhà trường, việc tăng cường rèn luyện và bồi dưỡng năng lựcgải toán cho sinh được thực hiện chủ yếu thông qua các bài tập Qua các bài tập này,học sinh được luyện tập sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết bàitoán thực tiễn trong đời sống sản xuất Để đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả,những tình huống này phải đơn giản, gần gũi, quen thuộc với học sinh, nói chung chỉmang tính mô phỏng Vì vậy, khi xây dựng hệ thống bài tập, cần phải chọn lọc nhữngbài toán là những tình huống sát hợp với sách giáo khoa hay những tình huống sát hợpvới vốn kinh nghiệm trong đời sống, lao động sản xuất của học sinh

Sự đa dạng về nội dung của hệ thống các bài tập được thể hiện ở sự đa dạng vềcác tình huống Sự đa dạng đó làm cho học sinh thấy được ứng dụng rộng rãi và sâusắc của các bài tập và những bài tập trong nhiều lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ýnghĩa ứng dụng của Toán học

d) Quan điểm 4: Tính kế thừa

Chương trình và sách giáo khoa môn toán được xây dựng trên cơ sở kế thừanhững kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước, theo một hệ thống quan điểm nhấtquán về phương diện toán học cũng như về phương diện sư phạm, thực hiện thống nhấttrong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nhiều lần cho phù hợpvới thực tiễn giáo dục ở nước ta

Trong hệ thống các phương tiện dạy học nói chung, sách giáo khoa Toán chiếm

vị trí trọng tâm, là hạt nhân Vì vậy dạy học theo hướng vận dụng các phương tiện trựcquan phải phù hợp với chương trình sách giáo khoa hiện hành Khai thác triệt để nhữngtình huống còn ẩn tàng trong sách giáo khoa sẽ thực hiện được mục đích của giờ dạyToán

Sau khi học sinh đã học xong khái niệm và một số tính chất cơ bản cơ bản cótrong sách giáo khoa, giáo viên có thể ra thêm bài toán sau nhằm áp dụng các kết quả

và khắc sâu thêm những kiến thức đã biết của học sinh

e) Quan điểm 5: Phát huy tính tích cực

Để xây dựng hệ thống bài tập trước hết phải đổi mới nhận thức về vai trò, chứcnăng của người giáo viên trong quá trình dạy học Giáo viên phải là người hướng dẫn, tổchức cho học sinh tự mình khám phá kiến thức mới Thông qua việc xây dựng hệ thốngbài tập dạy cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp học trong đó cốt lõi làphương pháp tự học Ở trường THCS, thông qua dạy học toán cần quan tâm và hướngdẫn học sinh xây dựng hệ thống bài tập nhằm tạo cho học sinh hứng thú tiến hành cáchoạt động toán học, tự giác tìm tòi kiến thức mới

Định hướng quan trọng trong đổi mới phương pháp dạy học, hiện nay là:“Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động”, bao hàm một loạt ý tưởng lớn đặc trưng cho

phương pháp dạy học hiện đại, đó là:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác tích cực là chủ thểchiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ chứ không phải là nhân vật bịđộng hoàn toàn theo lệnh của thầy giáo

- Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thứcsẵn có của người học

- Dạy việc học, dạy cách học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

- Dạy tự học trong quá trình dạy học

- Xác định vai trò mới của người thầy với tư cách người thiết kế, ủy thác, điềukhiển và thể chế hóa

Vì vậy, việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập phải dựa trên định hướng đổimới phương pháp dạy học hiện nay

f) Quan điểm 6: Tính phát triển

Đây là hình thức kích thích các em tiếp tục quá trình nghiên cứu, củng cố vàphát hiện những kiến thức mới mẻ sau giờ học Lúc có thời gian, học sinh nghiềnngẫm, kiểm nghiệm cũng như tổng hợp lại toàn bộ kiến thức thu nhận được từ sáchgiáo khoa, từ tư liệu, từ bạn bè, thầy giáo Kết quả một giờ học không chỉ được đánhgiá ở học sinh thu nhận được khối lượng tri thức phong phú, sâu sắc mà quan trọng hơn

là khả năng vận dụng những tri thức đó vào tình huống cụ thể Chỉ khi nào học sinhbiết biến hóa nhào nặn những tri thức đã thu nhận được, biết điều khiển sử dụng nó,giải quyết tốt một vấn đề thì khi đó học sinh mới thật sự hiểu thấu đáo vấn đề và làmchủ tri thức của mình Thông qua hình thức này năng lực của học sinh được bộc lộ toàndiện và quan trọng hơn là sự bộc lộ này không cần những gợi ý hướng dẫn của giáoviên mà hoàn toàn do sự tự huy động vốn tri thức của học sinh.

Để giúp học sinh vận dụng kiến thức tốt, giáo viên đưa ra những vấn đề vừamang tính khái quát, vừa mang tính hấp dẫn gợi tò mò, hứng thú để học sinh tự lựckhai thác, suy nghĩ tìm tòi, phát hiện những vấn đề mới và tự mình giải quyết vấn đềđó

1.5 Thực trạng việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi ở trường THCS hiện nay

Thực trạng hoạt động bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi hiệnnay ở nhiều trường THCS có thể mô tả như sau:

Dạy học phần lý thuyết: Giáo viên dạy từng chủ đề theo các bước, đặt vấn đề,

giảng giải để dẫn học sinh tới kiến thức, kết hợp với đàm thoại nhằm uốn nắn nhữnglệch lạc nếu có, củng cố kiến thức bằng ví dụ

Dạy phần bài tập: Học sinh được chuẩn bị một lượng bài tập nâng cao để luyện

tập ở lớp, giáo viên gọi một vài học sinh lên bảng trình bày lời giải, những học sinhkhác nhận xét lời giải, giáo viên chữa bài và đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiếnthức cho học sinh Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng đặc biệt hóa, kháiquát hóa, tương tự hóa

Từ thực tế của việc dạy học và cách dạy học trên đã cho thấy những tồn tại nhưsau:

Việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý đến việcrèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp Giáo viên ít chú ý đến bồidưỡng năng lực giải toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề, đòi hỏi dự đoán,nêu giả thuyết, tranh luận những ý kiến trái ngược hay các tình huống chứa các điều

kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp Chưa chú ý đến nhu cầu,húng thú của học sinh trong quá trình học

Hình thức dạy học chưa đa dạng, chưa phong phú, cách thức truyền đạt chưasinh động, chưa tạo ra được sự hứng thú cho học sinh Học sinh tiếp nhận kiến thứcchủ yếu còn bị động Những kỹ năng cần thiết của việc tự học chưa được chú ý đúngmức Do vậy việc dạy học toán ở trường phổ thông hiện nay còn bộc lộ nhiều điều hạnchế mà cần đổi mới Đó là học trò chưa thật sự hoạt động một cách tích cực, chưa chủđộng và sáng tạo, chưa được thảo luận để đưa ra khám phá của mình, kỹ năng vậndụng kiến thức vào thực tiễn còn yếu Vai trò của thầy vẫn chủ yếu là người thông báo

sự kiện, cùng lắm nữa thì là người dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một thóiquen làm việc nhất định chứ chưa phải là người "khơi nguồn sáng tạo, kích thích họcsinh tìm đoán" Thực tế đó nói lên rằng còn có nhiều vấn đề về mặt phương pháp dạyhọc cần được quan tâm nghiên cứu về cả lý luận và triển khai ứng dụng trong thực tiễn.Việc nghiên cứu đề tài này dựa trên cơ sở phân tích về lý luận và thực tiễn dạy họcmôn Toán hiện nay ở các trường phổ thông

6.1 Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã trình bày một số cách hiểu biết về khái niệm nănglực, năng lực toán học và một số vấn đề về năng lực giải toán, của một số nhà khoahọc; nêu được vị trí và chức năng của bài tập toán trong việc rèn luyện năng lực giảitoán cho học sinh khá, giỏi

Việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh là rất cần thiết bởi qua đó giúphọc sinh học tập tích cực, kích thích tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trongcuộc sống

CHƯƠNG 2 CÁC ĐỊNH HƯỚNG KHAI THÁC NỘI DUNG HÌNH HỌC TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 9 NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN

CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI 2.1 Giới thiệu nội dung hình học trong sách giáo khoa Toán 9

2.1.1 Sơ lược về chương trình sách giáo khoa mới hiện nay

Chương trình sách giáo khoa mới hiện nay so với chương trình sách giáo khoa

cũ đã có những thay đổi về nội dung và cách trình bày Việc đổi mới chương trình hiệnnay là do những nguyên nhân sau đây:

- Chương trình sách giáo khoa cũ còn có những chỗ chưa hợp lý, chưa bảo đảmđược tính liên môn Một số nội dung Toán học cần bổ sung cho hoàn chỉnh chươngtrình toán THCS

- Cách viết trong sách giáo khoa cũ còn mang tính hàn lâm: thông báo kiến thức,trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đưa ra nhiều các bài toán khó nên còn thiếutính sư phạm sách giáo khoa cũ chưa thể hiện được phương pháp dạy học tích cực.Sách giáo khoa năm cũ để giáo viên tạo điều kiện cho học sinh chỉ nghe và chép Theocách giảng dạy cũ, sách giáo khoa chỉ đơn thuần là một tài liệu khoa học dùng chogiáo, nội dung các tiết dạy thường được viết cô đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa củamột khái niệm mới, sau đó là các tính chất và chứng minh, rồi các định lý và chứngminh, cuối cùng là các ví dụ và các bài toán Theo định hướng đổi mới, sách giáo khoaphải trình bày và hướng dẫn như thế nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinhcũng có thể tự học được, cố nhiên là khó khăn và vất vả hơn

- Sách giáo khoa theo tinh thần mới phải giúp thầy giáo tạo điều kiện cho học

sinh suy nghĩ và hoạt động Do đó sách giáo khoa mới được đưa vào một hệ thống các câu hỏi và các hoạt động Câu hỏi nhằm giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó

hoặc để gợi ý, hoặc để định hướng cho những suy nghĩ của họ Các câu hỏi này nóichung là dễ, vì thế không đưa ra câu trả lời trong sách giáo khoa Các hoạt động đòi hỏi

học sinh phải làm việc, phải tính toán để đi đến một kết quả nào đó Đối với những chứng

minh hoặc tính toán không quá khó, một vài bước hoạt động của học sinh có thể thay thếcho lời giảng của thầy giáo.

- Sách giáo khoa theo tinh thần mới cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu làgiảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý Các tính chất và định lý nàynhiều lúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng chứng minhlại không đơn giản Đối với đa số học sinh, một chứng minh phức tạp, dài dòng vàkhông mang lại lợi ích gì nhiều Bởi vậy, sách giáo khoa theo tinh thần mới khôngtrình bày những chứng minh quá phức tạp mà chỉ nêu ra những trường hợp cụ thể đểkiểm chứng Ngoài ra, nếu một số tính chất nào đó quá hiển nhiên thì ta cũng khôngnêu ra, vì nếu nói ra đôi khi lại gây thêm thắc mắc cho học sinh

- Ngoài ra, sác giáo khoa mới còn đưa thêm các phần như: có thể em chưa biết,

em có biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị, hoặc những liên hệ vớicuộc sống thực tế

Tóm lại, đối với sách giáo khoa cũ thì sách giáo mới này không phải thay đổinhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh học tập một cáchtích cực hơn

2.1.2 Nội dung hình học trong sách giáo khoa Toán 9

Nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 gồm bốn chương và tập trung trình bày ba nội dung kiến thức, trong đó.

Nội dung 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông

+ Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Nội dung 2: Đường tròn

+ Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn

+ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

+ Vị trí tương đối của hai đường tròn

+ Các loại góc: Góc ở tâm, Góc nội tiếp, Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây đi

qua tiếp điểm, Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, Góc có đỉnh nằm bên ngoàiđường tròn

+ Quỹ tích cung chứa góc

+ Tứ giác nội tiếp đường tròn

+ Chu vi đường tròn, cung tròn, diện tích hình tròn, quạt tròn

Nội dung 3: Hình học không gian

2.2 Một số định hướng khai thác nội dung hình học trong sách giáo khoa toán 9 nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi

2.2.1 Định hướng 1: Mở rộng các công thức, định lý trong sách giáo khoa

Trên cơ sở các công thức, định lí, tính chất từ sách giáo khoa, chúng ta có thể mở

rộng thêm các kiến thức mới phù hợp với sự phát triển của học sinh THCS Mở rộng kiến thức sách giáo khoa có nghĩa là từ một nội dung trong sách giáo khoa mà phát triển rộng hơn, sâu hơn, cho ra nhiều kết quả mới, đẹp và thú vị Nói cách khác mở rộng kiến thức

trong sách giáo khoa tức là khai thác tiềm năng sách giáo khoa Có thể khai thác tiềm năngsách giáo khoa về phương diện lí thuyết và về phương diện các dạng Toán

Trong Định hướng 1 chúng tôi mở rộng kiến thức sách giáo khoa về phương

diện lí thuyết tức là qua các bài toán, giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng của các khái niệm, các định lí, quy tắc, định lí để sáng tạo thêm các định lí, tính

chất, công thức mới Từ đó có thể đưa ra các dạng Toán bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi.

Trong quá trình giải toán luôn nảy sinh những vấn đề mới cần được giải quyếtngay Chẳng hạn:

- Học sinh dễ dàng tính được tỷ số lượng giác của các góc 30 , 45 , 60 nhưng0 0 0

tỉ số lượng giác của 150 hay 750 được tính như thế nào?

- Học sinh được học các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giácvuông Vậy với các tam giác nhọn, tam giác tù thì có hệ thức liên hệ liên hệ tương tựnhư vậy hay không? Các công thức liên hệ đó được tìm như thế nào?

- Học sinh được học về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, bàng tiếp tam giác.Nhưng có tính chất nào liên hệ các đường tròn này với nhau không?

Vậy khi mở rộng các kiến thức mới cho học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏithì giáo viên có thể thực hiện theo cách thức nào?

- Nêu trực tiếp kết quả cho học sinh mà không chứng minh

- Giáo viên trực tiếp nêu và chứng minh các kiến thức mới

- Giáo viên nêu các kiến thức mới dưới dạng bài tập và gợi ý cho học sinhchứng minh, từ đó học sinh tự rút ra kiến thức mới

- Giáo viên giao nhiệm vụ cho học sinh tự tìm hiểu sách giáo khoa để tìm rakiến thức mới

Để rèn luyện năng lực giải toán cho đối tượng học sinh khá, giỏi giáo viên cóthể mở rộng và phát triển kiến thức mới từ sách giáo khoa thể hiện qua một số ví dụsau đây

Ví dụ 1: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi AB2 AC2 BC2 Vậy với tamgiác ABC không vuông thì hệ thức liên hệ giữa các cạnh sẽ như thế nào?

Với câu hỏi này giáo viên có thể ra cho học sinh bài toán như sau.

Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC có đường cao BH Chứng minh rằng:

a) Nếu A 90 0 thì BC2 AB2 AC2 2AC.AH

Với gợi ý này học sinh có thể giải được bài toán sau:

Bài toán 1.2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC bất kì ta luôn có:

Từ tính chất trên học sinh dễ dàng rút ra hệ quả sau:

Hệ quả: Với ABC nhọn bất kì thì:

Giáo viên tiếp tục nêu câu hỏi gợi ý cho học sinh Nếu có định lí Côsin trong tam giác, vậy có định lí Sin trong tam giác không?

Học sinh giải bài tập sau đây

Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC nhọn có AB = c và AC = b

Chứng minh rằng: b c

sin B sin CVới bài toán này học sinh vẽ hình và giải theo hướng dẫn sau đây.

Thay vào hệ thức trên ta được:

AC.sinC = AB.sinB Hay AB AC

sin C sin B

F

E

C B

A

Hình 1

Từ bài toán trên học sinh rút ra nội dung tính chất về định lí Sin

Tính chất 1.3: Trong tam giác ABC nhọn ta có: a b c

sin A sin B sin CCâu hỏi mà giáo viên đặt ra cho học sinh sau khi có định lí Sin là: các tỉ số

sin A sin B sin C không đổi, vậy các tỉ số đó bằng bao nhiêu.

Giáo viên cho học sinh làm bài tập sau

Bài toán 1.4: Chứng minh rằng nếu tam giác nhọn ABC nội tiếp (O; R) thì

a = 2R sinA.

- Học sinh có thể áp dụng định lí hàm số sin để giải

bài toán trên như sau: Vẽ đường kính BD

Khi đó BAC BDC và BC = 2R sinD

Mà sinR = sinA hay BC =2RsinA

a 2R sin A

Chứng minh tương tự ta có: b 2R sin B,c 2R sin C 

Từ bài toán trên ta có định lí Sin đầy đủ như sau:

D

C B

A

Hình 2

Định lý: Trong tam giác ABC nhọn thì: a b c 2R

sin A sin B sin C 

Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.

Kết hợp giữa định lí sin và cosin học sinh sẽ có kết quả sau đây.

Tính chất: Trong tam giác ABC nhọn ta có:

Đặc biệt với kết quả trên ta có bài toán khó cho học sinh khá giỏi như sau.

Bài toán 1.4.1: Cho tam giác nhọn ABC nhọn Chứng minh rằng với S là diện tích tam

giác ABC thì cotA + cotB + cotC =

2 2 2

a b c4S

 

- Giáo viên tiếp tục cho học sinh làm các bài tập sau

Bài toán 1.5: Cho  ABC vuông tại A có C  < 450 và AB < AC, đường cao AH, trung tuyến AM = a

a) Chứng minh rằng : sin2 = 2 sin cos

b) Chứng minh rằng : 2cos2 = 1 + cos2

Hướng dẫn a) Xét  AHC có AHC 90 ;C  0    sin = AH

AC ; cos =

CHAC

Vì AM là trung tuyến ứng với BC  AMB 2 Xét  AHM có

Từ (1) và (2)  Sin2 = 2 sin cos

Vậy Sin2 = 2 sin cos

C B

Hình 3b) Xét  AHM có AHM 90 ;AMH 2 0    cos2 = HM HM

AM  a

a) sin2 = 2 sin cos b) 2cos2 = 1 + cos2

Bài toán 1.6: Cho hai góc , và   900 Chứng minh rằng: sin  sin cos  cos sin 

K

B

C H

Hình 4

Hay sin  sin cos  cos sin 

Tính chất 1.6: Cho hai góc , và   900 Ta có

sin  sin cos  cos sin 

Bằng cách tương tự hóa ta có các tính chất sau:

Tính chất 1.7: Cho hai góc , và   900 Ta có

cos  cos cos   sin sin 

Tính chất 1.8: Cho hai góc , nhọn và    0 Ta có