Hàm đánh giá trên dàn các tập hợp và ứng dụng của chúng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHLA THANH TÍN HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc NGHỆ AN, 2013 BỘ GIÁO DỤC V

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LA THANH TÍN

HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc

NGHỆ AN, 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LA THANH TÍN

HÀM ĐÁNH GIÁ TRÊN DÀN CÁC TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LỜI MỞ ĐẦU

“Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học,được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu Tập lồi là kháiniệm toán học có nhiều ứng dụng trong hình học, giải tích vànhiều ngành khoa học khác Các kết quả tổng quan về tập lồi đãđược các nhà toán học như Frederick A Valentine, L Klee,C.Caratheodory, H Minkowski trình bày Các vấn đề định tínhnhư: cấu trúc các tập lồi, các quan hệ giữa chúng, giao của cáctập lồi, tính hội tụ của dãy tập lồi đã được nhiều tài liệu vàgiáo trình cơ sở đề cập đến

Song song với lý thuyết định tính các tập lồi, vấn đề địnhlượng các tập lồi cũng được quan tâm Trong lĩnh vực lý thuyếtđịnh lượng các tập lồi có một vấn đề có ý nghĩa quan trọng vềphương diện độ đo, đó là vấn đề thể tích của thể lồi Cách thứcxây dựng khái niệm và các tính chất của thể tích các thể lồi đượcxuất phát từ khái niệm và các tính chất của đa diện lồi Xuấtphát từ việc xấp xỉ của một thể lồi với các đa diện lồi ta đặc biệtchú ý đến cấu trúc của các đa diện lồi Trên cấu trúc này, người

ta xây dựng khái niệm “hàm đánh giá”, đây là một khái niệmchung của hình học lồi và lý thuyết tổ hợp “Hàm đánh giá” thỏamãn cả hai tính chất vừa là sự tương tự hóa vừa là sự khái quáthóa của khái niệm độ đo trong giải tích

Trên cơ sở tham khảo các tài liệu tham khảo có thể có đượctrong điều kiện hiện nay, trong đó tài liệu tham khảo chính là[9], luận văn trình bày một số vấn đề về hàm đánh giá trên họcác thể lồi trong không gian Euclide n, trình bày cách xâydựng khái niệm thể tích của thể lồi, các tính chất cơ bản của thể

tích của thể lồi và ứng dụng của chúng trong hình học sơ cấp.Các kết quả này đã có trong tài liệu tham khảo theo các mức độkhác nhau, trong đó có nhiều tính

chất, định lí, hệ quả không được chứng minh hoặc chỉ đượcchứng

minh sơ lược

Nội dung luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quancác vấn đề liên quan như tập lồi, hình đa diện lồi và các phéptoán trên chúng; metric và độ đo…

Chương 2 Trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đếnhàm đánh giá và các tính chất của hàm này Tiếp theo chúng tôitrình bày một số ứng dụng của hàm đánh giá trong hình học sơcấp

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học TrườngĐại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo củathầy giáo PGS.TS NGƯT Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thànhluận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới cácthầy giáo trong tổ Hình học đã giảng dạy và chỉ dẫn tận tìnhtrong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả cũng xin chânthành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đạihọc, Trường Đại học Vinh, các bạn bè và gia đình đã tạo điềukiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quýthầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Nghệ An, Ngày 05 tháng 10 năm 2013

C A : Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của tập hợp ( ) A

NỘI DUNG LUẬN VĂN

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này chúng tôi xét không gian Euclide n,

có số chiều bằng n, trên trường số thực 

Tập lồi là một khái niệm có nhiều ứng dụng trong hình học,giải tích và nhiều ngành toán học khác Trong phần này ta nhắcđến một số vấn đề định tính của tập lồi và chú ý đến hai tập lồiđặc biệt là thể lồi và đa diện lồi, đây là những đối tượng thườngxuất hiện trong hình học sơ cấp

1.1 Tập lồi, thể lồi và hình đa diện lồi

i Giao một họ tùy ý các tập lồi là một tập lồi.

ii Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là tập lồi.

Chứng minh i Giả sử {A }i i I là một họ tùy ý các tập lồi trong

Thật vậy, lấy ,x y A khi đó x y A ,  i,   i I

Do đó với [0,1] và Ai là tập lồi với mọi i I  nên

Thật vậy, lấy ,x y f A( ) và [0,1] Khi đó tồn tại a b A,  saocho

i Giả sử A   n, tập lồi nhỏ nhất trong n

 chứa A được gọi

là bao lồi của A, kí hiệu conv A.

ii Tổ hợp lồi của hữu hạn các điểm 1, , ,2 n, *

iii Một tập con P của  n

ii A   n là tập lồi khi và chỉ khi conv A A 

1.1.4 Định lí Nếu A là tập compact trong n

 thì conv A là tập lồi compact trong n Suy ra mỗi hình đa diện lồi là một tập lồi compact

Chứng minh Gọi ( ) F A là họ tất cả tập lồi trong n

 , chứa A

vàF A0( ) là họ tất cả các tập compact trong n

 , chứa A Do giao

của họ các tập lồi là tập lồi nên: convA F A0 

Mặt khác với mỗi X F A  tồn tại tập hợp X0F A0  chứa trong X.Chẳng hạn, X0  B clX, trong đó B là hình cầu chứa A (X0 compact vì nó

là tập đóng, bị chặn của và vì giao của hai tập lồi là tập lồi nên nó là tậplồi)

Do đó convA F A0 

Từ hai bao hàm thức trên suy ra tập hợp convA là giao tất cả tập hợp con

compact của n, chứa A từ đó nó là compact.

Khi nghiên cứu thể tích các thể lồi Ta xuất phát từ khônggian Euclide hữu hạn chiều n Sau đó trang bị cho không gian

các thể lồi một metric Metric này gọi là metric Hausdorff.

và B  ( ) A 0

.Tương tự: B  ( ) C 0

Ta trang bị cho họ tất cả các tập con của n hai phép toán đểchúng trở thành một cấu trúc không gian Hai phép toán đó gọi

chung là phép toán Minkowski.

i Tổng Minkowski liên tục trên C n C n

ii Tích Minkowski của A với một số không âm liên tục trên

minh mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh rằng :

  0,  0,A A B B1, , ,2 1 2C n,A B i, i ,i1,2

  A1 A B2, 1B2 

ii Nếu t  0 thì tA {0}, A C  n Suy ra phép nhân trên C n

liên tục với t = 0 Giả sử t  0    0 chọn t



Nếu H( , ) A B   thì A  ( ) B  và B  ( ) A 

Chứng minh.Theo 1.3.3 phép toán Minkowski bảo toàn tính

k i i

không

1.3.6 Định lí Giả sử A  n, khi đó ta có conv A C A ( ).

Chứng minh Vì conv A là tập lồi nên conv A chứa mọi tổ

hợp lồi các phần tử của A.Suy ra conv AC A( ).

Suy ra x(1 )y C A ( ) suy ra ( )C A là tập lồi.

Ta lại có ( )C A là tổ hợp lồi các phần tử của A nên AC A( )

Do convA là tập lồi nhỏ nhất chứa A, suy ra conv AC A( ).

1.3.7 Định lí P n khép kín đối với phép toán Minkowski.

Chứng minh:

- Giả sử ,P Q P n vàP conv{a ,a , ,a }, Q =0 1 k conv{b ,b , ,b }.0 1 l

Theo 1.3.5 i và 1.3.6 ta có P Q conv{a +bi j i 1, ,k j 1, }.l

Suy ra P Q P  n

- Giả sử P P n và   0 vàP conv{a ,a , ,a }0 1 k .

Theo 1.3.5 ii và 1.3.6 ta có   P conv{ a , a , , a }  0  1  k

Suy ra P P n.

1.4 Siêu phẳng tựa

1.4.1 Định nghĩa

i Phẳng của n là tập hợp có dạng A = x + L, trong đó L là mộtkhông gian vectơ con của n Số chiều của L được lấy làm số chiều của A

Siêu phẳng trong n là phẳng có số chiều là n-1

ii Trong n cho siêu phẳng H Gọi hai nữa không gian bờ

H lần lượt tương ứng là H

và H

Khi đó H được gọi là siêu

CH  Nếu C H (tương ứng C H

 ) thì H

(tương ứng

H

) được gọi là không gian tựa của C

* Ví dụ Trong 3, cho tứ diện ABCD Khi đó các mặt phẳng

(ABC), (ACD), (ABD), (BCD là các siêu phẳng tựa của tứ diện)

với tứ diện ABCD là siêu phẳng tựa của tứ diện ABCD Mặt

phẳng đi qua một cạnh nào đó của tứ diện ABCD và chỉ có các

điểm chung đó với tứ diện ABCD là siêu phẳng tựa của tứ diệnABCD.

1.4.2 Định nghĩa Giả sử P là một đa diện lồi và H là một

siêu phẳng tựa của P Khi đó tập F  P H được gọi là diện

của P Diện của P có số chiều lớn nhất được gọi là mặt của P

* Ví dụ Trong 3, cho tứ diện ABCD Khi đó các tam giác

D là các diện của tứ diện ABCD; các tam giác ABC ACD, ,,

1.4.3 Định lí Giả sử A K n, 0 và X là một hình đa diện lồi bị chứa trong A Khi đó tồn tại P P n sao cho

cầu { , , , } B B1 2 Bk có tâm trong A sao choBi  ({x })i 

và các đỉnhcủa X thuộc tập{x ,x , ,x }1 2 k .

Đặt P = conv{x ,x , ,x }1 2 k

thì X PA (Vì A là lồi và hình

đa diện lồi X là bao lồi của tập các đỉnh của nó).

Lấy x A  Khi đó tồn tại i {1,2, ,k} sao cho x B  i

[O, ]x bd(P( )) {y} 

Suy ra tồn tại một mặt F của ( )P  sao cho yF

Gọi H là siêu phẳng chứa F suy ra H là siêu phẳng tựa của

Khái niệm liên hệ mật thiết với hàm đánh giá là khái niệm

độ đo, đặc biệt là độ đo Lebesgue mà luận văn trình bày ở phần

.Ánh xạ ( ) ( , ') x  r x là song ánh liên tục từ n \{0}

1.5.2 Định lí.Tồn tại duy nhất độ đo Borel   n1trên Sn1

sao cho V*   Nếu f là đo được Borel trên   n

 và f 0

hoặc f là hàm khả tích Lebesgue trên n thì

1

1 0

Chứng minh Nếu f là hàm đặc trưng thì đẳng thức trong

định lí đúng vì đó là biểu diễn của V*    Từ đó nó đúng với

Cố định E thuộc σ-đại số Borel của Sn1 và giả sử AE là họ

các hợp hữu hạn rời nhau của các tập dạng ( , ]a b  Suy ra E AE

là một đại số trên ( , ]a b  , nó sinh ra σ-đại số E E  {A E  A

thuộc σ-đại số Borel của (0, )} Suy ra V*   trên   AE suy ra

CHƯƠNG 2 HÀM ĐÁNH GIÁ VÀ ỨNG DỤNG

CỦA CHÚNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Như đã nói trong phần mở đầu thì hàm đánh giá là một kháiniệm khái quát của khái niệm độ đo, vì vậy nó cũng là kháiniệm mở rộng của khái niệm độ dài, diện tích và thể tích Ta sẽ

đi xây dựng khái niệm tổng quát là thể tích của một thể lồi

2.1 Hàm đánh giá

2.1.1 Định nghĩa Xét họ các tập hợp L với quan hệ thứ tự

trên L là quan hệ bao hàm Nếu với hai phần tử bất kì A B L, 

mà A B và A B cũng thuộc L thì L được gọi là một dàn Ký

hiệu: ( , , )L  

Giả sử S là một họ các tập hợp Nếu tồn tại một họ L S( )chứa S sao cho ( ( ), , )L S   là một dàn thì ta gọi ( ) L S là dàn sinh bởi S .

Giả sử S là một họ các tập hợp, S được gọi là có tính chất

* Ví dụ Độ đo trên   đại số S là một hàm đánh giá trên S.

2.1.3 Định nghĩa Giả sử ( , , )L   là một dàn các phép toán

của dàn là giao và hợp  : L   là hàm đánh giá trên L Khi

đó ta có công thức sau:

Công thức (2.1) hoặc (2.2) được gọi là công thức bao hàm loại trừ Hàm  có tính chất (2.1) hoặc (2.2) được gọi là thỏa

-mãn công thức bao hàm loại trừ trên ℝ

2.1.4 Định lí Giả sử S là một họ các tập có tính chất

sau tương đương:

i  thỏa mãn công thức bao hàm- loại trừ trên S

ii  có mở rộng duy nhất thành hàm đánh giá trên ( ) L S Chứng minh ii => i Vì S có tính chất giao nên ( )L S

bao

Nếu  có thể mở rộng thành hàm đánh giá trên ( )L S

thì sự

mở rộng này thỏa mãn công thức bao hàm - loại trừ trên L Suy

ra hàm đánh giá  trên S phải thỏa mãn công thức này trên một

được thành hàm đánh giá trên L S ( )

ở đây ở vế phải theo nghĩa là hàm đánh giá  cho trên S Do(2.4) nên hàm  này xác định

Ta chỉ ra rằng:  là hàm đánh giá trên L(S).(2.6)

Để chứng minh (2.6) trước hết chứng minh mệnh đề sau:

Giả sử L là tập hợp hữu hạn không rỗng khi đó

Với L = 1, (2.7) đúng hiển nhiên.

Giả sử L = l>1 và (2.7) đúng cho l – 1.Ta giả sử l = {1,2,…,m}.

1 1 ,

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề:

   được gọi là bất biến đối với G nếu: A B S A,  , G B

suy ra ( ) A ( )B Nếu  bất biến đối với phép đẳng cự thì

 được gọi là bất biến

ii Hàm  : S   được gọi là tăng nếu

iii Cho p   Một hàm  : S   được gọi là thuần nhất

bậc pnếu: A S,   0 thì ( A) p( )A  được gọi là

thuần nhất nếu nó thuần nhất bậc 1.

* Ví dụ Độ đo Lebesgue trong n là bất biến, tăng và thuần

nhất bậc n

2.1.6 Mệnh đề Tập các hàm đánh giá, tập các hàm bất biến

trên S là không

toán cộng và nhân một số với hàm số.

Tập các hàm tăng là khép kín đối với phép cộng và nhân vô

hướng bởi một đại lượng dương.

Chứng minh i Giả sử  1, 2: S   là các hàm đánh giá

Khi đó A B A B A B S, ,  ,  

 

    ta có (    1  2)( ) ( A      1  2)( ) B

 

iii Giả sử  1, 2: S   là các hàm thuần nhất bậc p Khi

Giả sử  : S   là các hàm tăng Khi đó A B S,  sao cho

2.1.7 Định lí Hàm đánh giá trên P n thỏa mãn công thức bao hàm loại trừ Suy ra có thể mở rộng duy nhất  trên dàn đa diện lồi ( ( L P n), , ) 

Chứng minh Theo Định lý 2.1.4 ta chỉ cần chứng minh 

thoả mãn công thức bao hàm-loại trừ trên P n:

Các bước chứng minh (2.10) thỏa mãn trong các trường hợpsau:

(i) Một trong các đa diện P P1, , ,2 P m có số chiều nhỏ hơn

n, chẳng hạn P m.

(ii) Một trong các đa diện P1 , ,P m trùng P, chẳng hạn P1

Trong trường hợp i Nếu P có số chiều nhỏ hơn n , (2.10)thỏa mãn giả thiết quy nạp.

Vì vậy ta giả sử P có số chiếu bằng n Khi đó trong mỗi trườnghợp (i), (ii) ta có Q P 1 P2  Pm-1 P và P = Q (chú ý rằng

P lồi) Vì vậy P = Q P m , vì  là hàm đánh giá nên:

có số chiều n và là đa diện con thực sự của P Bây giờ ta làm

như sau: Rõ rằng P1 có các mặt cắt int P Giả sử H là siêu phẳng

 , có số chiều n, là hình đa diện con

n n

A A

Lấy A B K A,  n, B thì {0(P) PB} { 0(A) PA}

i Nếu 0 là hàm tăng, bất biến đối với phép tịnh tiến và thuần nhất bậc p thì  

ii Nếu 0 là liên tục đều thì  là liên tục là nó là hàm liên tục duy nhất là mở rộng của 0 trên K n .

Chứng minh i Lấy A K n, vì 0 là tăng nên

ii Giả sử 0 liên tục đều Lấy A iK n với i  và

cho Alim ( )H P k và A i lim (H P i k, )

Theo tính chất của giới hạn tồn tại một dãy tăng của chỉ số( ( ))k i i

sao cho AlimH P i k i, ( ) Suy ra lim H( i k i, ( ), ) 0.i