Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác : - Trong công thức trên, ta chỉ cần biết góc và số điểm nghiệm mà thôi.. Bạn chỉ cần nhớ số điểm nghiệm tạo ra hình gì để xác định nghiệm đ
Trang 1Quy trình giải phương trình lượng giác thi đại học
ĐỀ BÀI
DẠNG TÍCH / GHẫP
PT CHÍNH TẮC
PT CƠ BẢN
CT 2: pt đẳng cấp
CT 3: dạng đối xứng, tổng - tớch
A, B: pt chớnh tắc hoặc pt cơ bản
DẠNG GHẫP:
A, B: pt chớnh tắc hoặc pt cơ bản
HỢP NGHIỆM
CB 1: ; CB 2:
CB 3: ; CB 4:
KẾT LUẬN
= + 2 2 ≈ 360°
∈ Dấu (+) hoặc (-)
Góc ban
đầu (rad)
Số điểm nghiệm
Trang 2TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG
Quy tắc hợp nghiệm phương trình lượng giác
Số
điểm
Công
thức
Hình
n= 1
Dạng biểu
diễn:
Có góc ở
tâm =360O
1 điểm
nghiệm, có dạng
Hình tròn
1 Biểu diễn nghiệm trên vòng tròn lượng giác :
- Trong công thức trên, ta chỉ cần
biết góc và số điểm nghiệm
mà thôi Bạn chỉ cần nhớ số
điểm nghiệm tạo ra hình gì để xác định nghiệm đó trên vòng tròn lượng giác
- Hình ảnh bên cạnh chỉ mang tính chất minh họa để bạn hiểu hơn chứ không yêu cầu bạn nhớ Chúng ta có thể suy luận ra nó
bằng cách “làm đầy” trước nhé Khi đó sẽ xuất hiện là bao nhiêu để cho bạn biết số điểm cần thể hiện trên vòng tròn lượng giác Còn nhớ được hình thì càng tốt !
- Chiều (+) của vòng tròn
lượng giác là ngược chiều kim
đồng hồ nhé!
VD:
=
2
→ =
4 ; n = 2
2 Hợp nghiệm:
Nghiệm chỉ có thể hợp lại khi các điểm thể hiện trên cùng một vòng tròn lượng giác tạo thành
đa giác giác đều (như hình vẽ minh họa) Tức là các góc ở tâm
đều bằng nhau
VD:
= += ,
ta được 4 điểm sau khi nối lại thành hình vuông nên ta có thể hợp nghiệm lại được thành:
=2
4 =
ở đây, góc ban đầu trùng với
điểm gốc A nên = 0
n= 2
Dạng biểu
diễn:
=
Có góc ở
tâm =180O
2 điểm
nghiệm chia hình tròn thành
nửa hình tròn
n= 3
Dạng biểu
diễn:
Có góc ở
tâm =120O
3 điểm
nghiệm chia hình tròn thành
tam giác
đều
n= 4
Dạng biểu
diễn:
=
Có góc ở
tâm = 90O
4 điểm
nghiệm chia hình tròn thành
Hình vuông
n= 5
Dạng biểu
diễn:
Có góc ở
tâm = 72O
5 điểm
nghiệm chia hình tròn thành
ngũ giác
đều
n= 6
Dạng biểu
diễn:
=
Có góc ở
tâm = 60O
6 điểm nghiệm chia hình tròn thành
lục giác
đều
Trang 3CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
1 Công thức lượng giác cơ bản nên nhớ
∎ sin + cos = 1 ∎ = 1 ; đ : ≠
2 , ∈
∎ tan + 1 = 1
cos ; đ : ≠ 0 ∎ + 1 =
1 sin ; đ : ≠ 0
2 Giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung hơn kém nhau Cung phụ nhau
∎ sin(− ) = −
∎ cos(− ) =
∎ sin( − ) =
∎ cos( − ) = −
∎ sin( + ) = −
∎ cos( + ) = −
∎ sin
∎ cos
Các cung khác
∎ sin +
2 = −sin +2− = − sin −2 = + sin 2− =
∎ cos +
2 = −cos +2− = − cos −2 = − sin 2− = −
∎ sin +3
4 = −sin +
3
4 − = − sin −4 = −
1
4
∎ cos +3
4 = −cos +
3
4 − = − cos −4 = −
1
4
Giá trị lượng giác đặc biệt
∎sin0 = π
2= 0 ∎ sin
π
6=
π
3=
1
2 ∎ sin
π
4=
π
4=
√2
2
∎sinπ
3=
π
6=
√3
2 ∎ sin
π
2= 0 = 1 ∎ tan0 =
π
2= 0
∎tanπ
6=
π
3=
1
√3 ∎ tan
π
4=
π
4 = 1 ∎ tan
π
3=
π
6= √3
3 Công thức lượng giác
Trang 4TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG
Công thức cộng
∎ sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
∎ sin(a − b) = sina cosb − sinb cosa
∎ cos(a + b) = cosa cosb − sina sinb
∎ cos(a − b) = cosa cosb + sina sinb
∎ tan(a + b) = +
∎ tan(a − b) = −
Công thức nhân đôi, nhân ba
∎ sin2a = 2 sina cosa
∎ cos2a = cos − sin
= 2 cos − 1
= 1 − 2 sin
∎ tan 2a = 2
1 − tan
∎ sin3a = 3sina − 4 sin
∎ sin3a = −3cosa + 4 cos
∎ tan 3a =3 − tan
1 − 3tan
Công thức hạ bậc
∎ cos =1 + cos2a
∎ sin =1 − cos2a
∎ tan =1 − cos2a
1 + cos2a
∎ sin =3sina − sin3a
∎ cos =3cosa + cos3a
Công thức biến tổng thành tích (a>b)
2 .
−
2
2 .
−
2
2 .
−
2
2 .
−
2
Công thức biến tích thành tổng (a>b)
∎ a b =1
2 [ ( + ) + ( − )]
∎ a b = −1
2 [ ( + ) − ( − )]
∎ a b =1
2 [ ( + ) + ( − )]
∎ a b =1
2 [ ( + ) − ( − )]
3 Các biến đổi hay dùng (sử dụng hằng đẳng thức)
Hằng đẳng thức đáng nhớ (a>b)
ố 1: ( + ) = a + 2ab + b
ố 2: ( − ) = a − 2ab + b
ố 3: − b = (a + b)(a − b)
ố 4: ( + ) = a + 3a b + 3ab + b
= a + + 3 ( + )
ố 5: ( − ) = a − 3a b + 3ab − b
ố 6: + b = (a + b)(a − + )
= ( + ) − 3 ( + )
ố 7: − b = (a − b)(a + + )
= ( − ) + 3 ( − )
Công thức biến tích thành tổng (a>b)
∎ sin + cos = (sinx + cosx)(1 − sinxcosx) ( Đ ố , )
= (sinx + cosx) − 3sinxcosx(sinx + cosx)
∎ sin − cos = (sinx − cosx)(1 + sinxcosx) ( Đ ố , )
= (sinx − cosx) + 3sinxcosx(sinx − cosx)
∎ sin + cos = 1 − 2(sinx cosx) = 1 −1
2sin 2
∎ sin − cos = −(cos − sin )(cos + sin )
= −cos2x ( Đ ố )
∎ sin + cos = 1 (sin + cos − sin cos )
= 1 − 3(sinx cosx) = 1 −3
4sin 2 ( Đ ố )
∎ sin − cos = −cos2x (sin + cos + sin cos )
= −cos2x[1 − (sinx cosx) ]
= −cos2x 1 −1
4sin 2 ( Đ ố )
∎ sin3x − cos3x =
Trang 5Bài tập phương trình lượng giác
4 = 1
GỢI í
∎ + 1 = + ∎ −7
∎ 1 = + 1 ∎ 3 − 4 = 0
+ + 1 = 0
4 = 1
GỢI í
+ + 1 = 0
2− √3 2 = 1 + 2 cos −
3 4
GỢI í
3
2 = 1 − 2
∎4
2= 2(1 − )
∎ ℎươ ỡ ℎ ạ ℎộ =
4
2 cos + √3 2 + 3
2 cos sin +3 = 3(tan + 1)
GỢI í
∎ tan + 1 = 1
cos ∎ √3 2 + 2 + 4 = 3 sin +3
∎ ≠ 0 ∎ 2 cos = 2 + 1
∎ √3 2 + 2 = 2 cos
3− 2 = 2 2cos 6− − 1
∎ sin +
3 = sin 2− 6− = 6−
∎ ℎươ ỡ ℎ ạ ậ 2 ớ =
6−
5 + 3 = 1 + √2 sin 2 +
4
∎ 1 + 2 = 2 cos ∎ 2 = 2 ; 2 = cos − sin
GỢI í
∎ ươ ự à ố 4 ỏ ợ ý à 4
∎ Đư ề ℎươ ỡ ℎ ạ ậ 2 ớ =
6−
∎ 1 + = + ∎ 2 = ( + )( − )
Trang 6TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG
− 1
GỢI Ý
1
GỢI Ý
2 2
∎ Đư ề ℎươ ì ℎ ậ 2 ớ ẩ = 2
1
√2
GỢI Ý
4 =
1
√2( + ) ∎ + 1 = +
∎ Đư ề ℎươ ì ℎ í ℎ ó ạ : ( + 2 ) = 0
11
1
sin −32
= 4 sin 7
4 −
3
7
4 − − 2 = sin − −4 = − sin +4 = −( + )
GỢI Ý
∎ Đư ề ℎươ ì ℎ í ℎ ó ℎâ ử ℎ à ( + )
13
2(sin + cos ) −
GỢI Ý
2 2
∎ Đư ề ℎươ ì ℎ ậ 2 ớ ẩ = 2 , ℎú ý đ ề ệ ở ẫ
Trang 72 cos
∎ 2
4− = 1 + cos 2− 2 = 1 + 2
∎ Đế đâ ấ á í ℎ ℎ + để đ á ℎ ệ đượ ℎ ệ
= 0, ℎĩ à ó ℎâ ử ℎ à − 1 = 0
Trang 8TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN – TH.S PHÙNG QUYẾT THẮNG