LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đa số học sinh phổ thông khi thực hành giải toán, các em thường gặp không ít khó khăn trong việc chọn cách tiếp cận với nội dung của bài toán vì nhiều lý do khác nhau
Trang 1SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: TRƯƠNG NGỌC DŨNG
2 Ngày tháng năm sinh: 17 – 10 – 1959
3 Nam, nữ: NAM
4 Địa chỉ: 257/ 5, KP 9, Tân Biên, Biên Hòa, Đồng Nai
5 Điện thoại: 0918309278;
6 Email: ngocdung.tspv@gmail.com
7 Chức vụ: TỔ TRƯỞNG CHUYÊN MÔN
8 Đơn vị công tác: TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Cử nhân Toán, Đại học sư phạm
- Năm nhận bằng: 1982
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán bậc THPT
- Số năm công tác: 33 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có:
“Giải toán Hình học 11” – Nhà xuất bản Giáo dục năm 2008;
“Giải toán Giải tích 12” – Nhà xuất bản Giáo dục năm 2009;
“Giải toán Hình học 12” – Nhà xuất bản Giáo dục năm 2009;
Kỹ thuật viết câu hỏi trắc nghiệm trong việc đổi mới phương pháp KTĐG – Tập san Giáo dục Trung học Đồng Nai năm 2010;
Đổi mới phương pháp KTĐG trong giảng dạy Toán bậc THPT năm 2011
Một số kinh nghiệm thiết kế ma trận và biên soạn đề kiểm tra tự luận môn Toán bậc trung học phổ thông, năm học 2013 – 2014
Trang 2ngocdung.tspv@gmail.com
- 2 -
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Đa số học sinh phổ thông khi thực hành giải toán, các em thường gặp không ít khó khăn trong việc chọn cách tiếp cận với nội dung của bài toán vì nhiều lý do khác nhau (kiến thức cơ bản có liên quan, khả năng vận dụng kiến thức phù hợp với nội dung bài toán, phép suy luận, …) Vì vậy không kích hoạt được sự hứng thú và lòng đam mê trong quá trình học toán, ảnh hưởng đến kết quả học tập khả năng tư duy sáng tạo của bản thân
Nhằm giúp học sinh tự tin hơn trong việc học toán nói chung và thực hành giải toán nói riêng, tôi chọn đề tài “Tìm tòi lời giải các bài toán về phương pháp tọa độ trên mặt phẳng” gồm có ba phần chính:
- Phần thứ nhất: Các bài toán liên quan đến tam giác;
- Phần thứ hai: Các bài toán liên quan đến tứ giác;
- Phần thứ ba: Các bài toán tổng hợp về đường thẳng, đường tròn và ê-lip
Nội dung đề tài này là Phần thứ nhất của đề tài, bao gồm: 6 ví dụ và 14 bài toán thực hành có gợi ý về cách tìm tòi nhằm tạo điều kiện để học sinh có thể định hướng trong việc tìm lời giải bài toán
II CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Kiến thức cơ bản về hình học phẳng;
- Kiến thức cơ bản về đường thẳng, đường tròn và các vấn đề liên quan trên hệ tục tọa
độ Oxy trong chương trình hình học Lớp 10
Trang 3III NỘI DUNG ĐỀ TÀI
PHẦN THỨ NHẤT: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC
A CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1.1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A và
2
BC , đường cao kẻ từ đỉnh A là d x: y 2 0, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B
là :x 2 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác, biết rằng đỉnh B có tung độ dương
Tìm tòi
Ta thấy A a( 2; a) và B(2 ); b
Sử dụng BC d và trung điểm của AC thuộc đường thẳng
ta tìm được tọa độ của C theo a và b
Từ BC 2 và AB AC suy ra tọa độ các đỉnh A,
B, C của tam giác
Lời giải
A d A a( 2; a); B B(2 ); b , b 0
Gọi C x y( 0; 0), vì BC d nên BC x0 2; y0 b
cùng phương với n d (1 1); Suy ra y0 x0 b 2
Vì trung điểm của cạnh AC là 0 ; 0 2
M
thuộc đường thẳng , nên ta có
0 4
x a Do đó C(4a; 2a b )
Vậy BC 2 (2a)2 1 a 1 hoặc a 3
Với a 1, ta có: A(1 1); và C(3 1; b) Khi đó AB AC b 1 (loại)
Với a 3, ta có: A(3 1); và C(1; b Khi đó 1) AB AC b 3 (nhận)
Vậy các đỉnh của tam giác là: A(3 1); , B(2 3); , C(1 2);
Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh C có hoành
độ âm và thuộc trục Ox, đỉnh B thuộc đường thẳng d x: 2y 2 0, đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác là : 3x y 5 0 Biết rằng khoảng cách từ C đến đường thẳng bằng 2 10 và BC 82 Tìm tọa độ các đỉnh A và B của tam giác
Tìm tòi
Ta có C t( 0); và d C ( , ) 2 10, suy ra tọa độ của C
Bd B(2 2 b b; ) Sử dụng BC 82 và đường
thẳng là phân giác trong của góc A, tìm được tọa độ của
điểm B
Gọi B là điểm đối xứng của B qua đường thẳng , ta
có B thuộc đường thẳng AC , suy ra tọa độ của điểm A
Lời giải
C Ox C t( 0); , t 0
A
M
A
B
Trang 4ngocdung.tspv@gmail.com
- 4 -
Vậy d C ( , ) 2 10 3 5 2 10
10
t
nhận loại
25 ( )
3
t t
Vậy C ( 5 0);
Bd B(2 2 b b; ) Do đĩ, ta cĩ BC 82
2 2
5b2 28b 33 0 b 1 hoặc 33
5
b
Suy ra: B(4; 1) hoặc 56 33;
B
Vì là phân giác trong của gĩc A, nên ta chỉ nhận được B(4; 1)
Gọi B x y( 0; 0) là điểm đối xứng của B qua và n (3; 1)
Ta cĩ
BB k n
0 0
1
0 0
1
(k 0)
d B( , ) d B( , ) 10k 8 8
0 8 5
k k
Suy ra 8
5
k , vậy 4 3;
5 5
B
Khi đĩ: B (AC) và 21 3;
, nên n (1; 7)
là một vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng (AC Do đĩ () AC) :x 7y 5 0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 3 5 0
x y
nên ta cĩ A(2 1);
Ví dụ 1.3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Đường thẳng chứa cạnh AB cĩ phương trình là x 3y10, đường phân giác trong của gĩc B là : 2x y 2 0
và BC 2AB Viết phương trình của đường thẳng (AC của tam ) giác
Tìm tịi
B AB , suy ra tọa độ điểm B
Tính gĩc giữa hai đường thẳng (AB và ) Sử dụng
là phân giác trong của gĩc B, tìm được phương
trình của đường thẳng (BC )
Sử dụng: A(AB), C (BC), BC 2AB
và là phân giác trong của gĩc B ta tìm được
phương trình của đường thẳng (AC )
Lời giải
Ta cĩ B (AB) B( 1 0) ;
Các đường thẳng (AB và ) lần lượt cĩ vec-tơ pháp tuyến là n AB (1; 3)
và n (2; 1)
cos
2
AB
n n
AB, 450
BC , 450 Vậy BC AB, suy ra n AB (1; 3)
là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng (BC ) Vậy (BC) : 3x y 3 0
A AB A a(3 1 ); a và C (BC) C b( ; 3b 3)
A
Trang 5Ta thấy BC 2AB (b 1)2 4a2 b 1 2a hoặc b 1 2a
Với b 1 2a AC ( a; 7 )a
, nên (AC) : 7x y 210 Khi đĩ 16 7;
A
và 9; 42
C
nằm về cùng một phía đối với , suy ra là phân giác ngồi của gĩc B
Với b 1 2a AC ( 5 5 )a a;
, nên (AC) :x y 3 0 Khi đĩ A(2 1); và C ( 3 6); nằm về hai phía đối với , suy ra là phân giác trong của gĩc B
Do đĩ đường thẳng cần tìm là (AC) :x y 3 0
Ví dụ 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn ( )C :x2 y2 x 2y30 0; đường phân giác trong của gĩc A cắt cạnh BC tại điểm ; 3
2 2
D
và đỉnh A thuộc đường thẳng d : 4x y 20 Viết phương trình của đường thẳng BC , biết rằng đỉnh A cĩ hồnh độ dương
Tìm tịi
Ta cĩ A d C ( )
Gọi I là tâm của đường trịn ( )C , E là giao điểm thứ
hai của ( )C và đường phân giác trong AD Khi đĩ ta cĩ
BAE CAE BE CE, nên BC IE
Lời giải
A d A t t( 4; 2), t 0
( )
A C 17t2 23t 22 0
2 11 7
t t
Vì t 0, nên ta nhận được A(2 6); Khi đĩ ; 15
0 2
AD
nên (AD) :x 2 0
E AD E(2; m), m 6
( )
(nhận)
6 4
m m
Vậy E(2; 4)
Đường trịn ( )C cĩ tâm là 1;
1 2
I
và BAE CAE
nên BE CE
, suy ra BC IE
5 2
IE
là một vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng (BC )
Do đĩ đường thẳng cần tìm là (BC) :x 2y 5 0
Ví dụ 1.5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cĩ đỉnh A thuộc đường trịn ( )C : (x 1)2 (y 2)2 25; hai đỉnh B C cùng thuộc đường thẳng ,
d x y và trực tâm của tam giác trùng với tâm của đường trịn ( )C Biết rằng đường trịn ( )C cắt cạnh AB tại điểm thứ hai M sao cho MB 2MA và B cĩ hồnh độ dương Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
A
I
E
C
Trang 6ngocdung.tspv@gmail.com
- 6 -
Tìm tịi
Gọi I là tâm của đường trịn ( )C Ta cĩ:
AI d và A C , suy ra tọa độ điểm ( ) A
Bd và MB 2MA
, kết hợp với M C , ( ) suy ra tọa độ điểm B
Sử dụng AC BI , suy ra tọa độ điểm C
Lời giải
Ta thấy ( )C cĩ tâm là I(1; 2); d cĩ một
vec-tơ pháp tuyến n d (3 4);
Vì I là trực tâm của ABC và B C, nên d
d
IA k n
A A
A A
( )
;
Ta thấy Bd nên ; 3 55
4
b
B b
Vì M thuộc đoạn AB và MB 2MA, nên MB 2MA
3
12
A M
A M
x
x
Với A(4 2); , ta cĩ 8; 13 ( )
M
25
2
(loại)
7 17
b b
Khi đĩ IB (6 21); là một vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng (AC , suy ra ) (AC) : 2x 7y 6 0
C d AC nên ta cĩ 361 92;
C
Với A ( 2; 6), ta cĩ 4; 3 103 ( )
M
nên
25
(vơ nghiệm)
Do đĩ các đỉnh của tam giác là: A(4 2); , B(7; 19), 361 92;
C
Ví dụ 1.6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A cĩ trực tâm
là H ( 3 2); Gọi D E lần lượt là chân đường cao kẻ từ , B và C của tam giác với
2
HD Biết rằng đỉnh A cĩ hồnh độ dương và thuộc đường thẳng d x: 3y3 0,
I
A
C
B
M
Trang 7khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng (DE bằng ) 9 10
5 Viết phương trình của đường
thẳng BC
Tìm tịi
Vì AB AC và H là trực tâm của tam giác ABC
nên ta cĩ HD HE
Ta cĩ A a(3 3 ); a và HD AD, HE AE suy ra
phương trình của đường thẳng DE theo a
5
d A DE và a 1 ta tìm được a
Khi đĩ xác định được tọa độ của B (hoặc C ) Từ đĩ viết
được phương trình của đường thẳng BC
Lời giải
Gọi D x( D; y D) và E x( E; y E)
Vì AB AC và H là trực tâm của tam giác ABC , nên ta cĩ:
HD HE 2 nên D E cùng thuộc đường trịn tâm , H bán kính HD 2 Suy ra:
2 2 6 4 9 0
x y x y (1a);
2 2
x y x y (1b)
A d A a(3 3 ); a với a 1 và AD HD 0
, AE HE 0
Suy ra:
2 2
x y ax a y a (2a);
2 2 3 ( 2) 7 9 0
x y ax a y a (2b)
Trừ theo vế (1a) và (2a), (1b) và (2b) suy ra phương trình của đường thẳng DE cĩ dạng
(3a 6)x (a 2)y7a 18 0
5
5
Đặt t 10a2 32a 40, t 0 Phương trình (*) trở thành
2
2
0
t
2 10 10 5
t t
+ Với t 2 10, ta cĩ 5a2 16a 0
(nhận) (loại)
0 16 5
a a
5
t , ta cĩ 25a2 80a 99 0 (vơ nghiệm)
Vậy A(3 0); và DE : 3x y 9 0, suy ra y D 3x D 9 Thế vào (1a), ta nhận được
2
5x D 24x D 27 0 9
5
D
x
hoặc x D 3
A
H
D
E
Trang 8ngocdung.tspv@gmail.com
- 8 -
Suy ra 9 18;
D
và E ( 3 0); Gọi B x y( 0; 0), ta có AB (x0 3; y0)
vuông góc với HE (0 2); nên suy ra B x( 0; 0)
HD
nên (HD) : 7x 6y9 0
7
x
0 7
B
Vì BC / /ED nên ( ) : 3 27 0
7
BC x y
Do đó phương trình của đường thẳng BC là 21x 7y27 0
B BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài toán 1.1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường thẳng chứa các cạnh AB và AC tương ứng là d1 : 2x y4 0 và d2 : 3x 4y 4 0, đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm M ( 1; 2) Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác, biết rằng 3MB 2MC
Gợi ý tìm tòi
Ta có A d 1 d2, Bd1 B b( 4 2 ); b , C d2 C c(4 ; 1 3 )c
Vì 3MB 2MC , nên ta có 3MB 2MC
hoặc 3MB 2MC
suy ra tọa độ của B và C
Bài toán 1.2 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh
;
(2 3)
C , đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình x 2y6 0 và trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng d x: y 1 0 Tìm tọa độ các đỉnh A và B
Gợi ý tìm tòi
Trọng tâm của ABC là Gd G t( 1; t)
Gọi M là trung điểm của AB, ta có 1
3
GM CM Khi đó
3
d G AB d C AB suy ra tọa độ của điểm G
Viết được phương trình đường thẳng (CG , suy ra tọa độ )
của M (AB)(CG)
Ta có: A(6 2 a a; ), B x(2 M x A; 2y M y A)
3
ta tìm được tọa độ các đỉnh A và B
Bài toán 1.3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm là
;
( 1 1)
G ; đỉnh B có tung độ dương và thuộc đường thẳng d x: 2y 10, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A là : 3x 8y20 0; trung điểm của cạnh AC là
M và GM 2 2 Tính diện tích của tam giác ABC
A
M
G
Trang 9 Gợi ý tìm tòi
Bd B(1 2 b b; ), b 0 và BG 2GM
tìm được tọa độ của B, M
Sử dụng BC suy ra phương trình đường thẳng (BC )
A A a(8 4 3; a 1);
Sử dụng C x(2 M x A; 2y M y A) ( BC) suy ra tọa độ của
các đỉnh A và C
Diện tích tam giác ABC là 1 ,
( ( )) 2
S BC d A BC
Bài toán 1.4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh
;
(1 3)
A , đỉnh B thuộc trục Ox và đỉnh C thuộc đường thẳng d x: y 3 0 Viết phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC
Gợi ý tìm tòi
B Ox B b( 0); ; C d C c c( ; 3)
Khi đó: AB (b 1; 3)
và AC (c1; c6)
Sử dụng: + AB AC , ta có 6
1
c b
c
(1)
+ AB AC , ta có (b1)2 9 (c 1)2 (c 6)2 (2)
Thế (1) vào (2) ta nhận được (c 1)2 9 và suy ra phương trình của đường thẳng (BC )
Bài toán 1.5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là x 3y 8 0, điểm M ( 3 0); thuộc cạnh AB và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm N(1 3); Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Gợi ý tìm tòi
Gọi n AB (a b; )
và n BC (1; 3)
tương ứng là vec-tơ pháp tuyến của các đường thẳng (AB và () BC )
Sử dụng
2
AB BC
2 2
b a
Suy ra phương trình các đường thẳng (AB và () AC )
Tọa độ các đỉnh A, B, C thỏa mãn yêu cầu bài
toán khi hai vec-tơ MA và MB ngược hướng
Bài toán 1.6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tâm của đường tròn ngoại tiếp là I ( 1 2); ; các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến đi qua đỉnh A lần lượt là d x1 : 2y11 0 và d2 : 13x 6y 37 0 Tìm tọa độ các đỉnh B,
C của tam giác
Gợi ý tìm tòi
Ta có A d 1 d2 và n1 là một vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng d1
A
M
N
A
M
G
Trang 10ngocdung.tspv@gmail.com
- 10 -
Gọi M là trung điểm của BC , suy ra n1 là một
vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng (IM và ) M (IM)d2
Đường thẳng (BC đi qua ) M và nhận n1 làm một
vec-tơ chỉ phương, suy ra phương trình đường thẳng (BC )
Ta có B(BC) B b( 2 2 ); b
Sử dụng IB IA suy ra tọa độ các đỉnh B, C
Bài toán 1.7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm là
;
(1 1)
G , đường thẳng chứa cạnh AB là d : 10x 3y3 0, đường trung trực của cạnh
BC là : 3x y 9 0 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Gợi ý tìm tòi
Gọi M là trung điểm của BC, ta có M nên
;
( 3 9)
M t t và GA 2GM
; (3 2 21 6 )
Sử dụng A d , tìm được tọa độ của A và M
Vì BC , nên suy ra phương trình của đường
thẳng (BC )
Khi đó: B d (BC) và C x(2 M x B; 2y M y B)
Bài toán 1.8 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A là d : 3x 4y 8 0, đường thẳng chứa đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B là :x y 2 0 Đường thẳng (AB đi qua điểm ) M ( 2 3); và
2
MC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Gợi ý tìm tòi
Gọi N là điểm đối xứng của M qua , tìm được
tọa độ của N Sử dụng BC d và N (BC), tìm được
phương trình của (BC ) B (BC)
Đường thẳng (AB đi qua ) B và M A d (AB)
C BC C t(3 1 4; t 6)
Sử dụng MC 2 và A, C nằm về hai phía đối với
đường thẳng , tìm được tọa độ của đỉnh C
Bài toán 1.9 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh C thuộc đường thẳng d x: 2y 3 0, đường thẳng chứa đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là
Biết rằng diện tích của tam giác là S 9 và M ( 1 0); là trung điểm của cạnh AC , viết phương trình của đường thẳng (BC )
Gợi ý tìm tòi
C d C t(2 3 ); t Khi đó
;
A x x y y suy ra tọa độ của A và C
Viết được phương trình đường thẳng (AC )
Gọi N là điểm đối xứng của M qua , tìm được
tọa độ của N Vì N (AB) nên tìm được phương trình
đường thẳng (AB Ta có ) B(AB) B b( ; 2b 5)
A
M d
N
C
M
N
A
G
A
M
1
d I
2
d