Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

Mục lục 1 Mở đầu 3 1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Mục đích của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Phạm vi của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Điểm mới của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Một số kiến thức lý thyết 5 2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp . . . . . . . 5 2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.4 Định lí cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.6 Định lí sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . . 8 2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.3 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.5 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.6 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn . . . . . . . . . . . 12 3 Các bài toán 13 3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước . . 13 3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước . . . . . . 13 3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1

Mục lục

1.1 Lý do chọn đề tài 3

1.2 Mục đích của đề tài 3

1.3 Phạm vi của đề tài 3

1.4 Điểm mới của đề tài 4

2 Một số kiến thức lý thyết 5 2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn 5

2.1.1 Định lý Thales 5

2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp 5

2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 7

2.1.4 Định lí cosin 8

2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến 8

2.1.6 Định lí sin 8

2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung 8

2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng 9

2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ 9

2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng 9

2.2.3 Phương trình đường thẳng 10

2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 11

2.2.5 Góc 11

2.2.6 Phương trình đường tròn 12

2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn 12

3 Các bài toán 13 3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng 13

3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước 13

3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước 13

3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác 15

3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc cho sẵn 17

3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn 193.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn 193.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết 203.5 Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường tròn và dây cung 223.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, diện tích tam giác vuông 243.7 Sử dụng các điểm cùng thuộc một đường tròn 263.8 Kĩ thuật tổng hợp 273.9 Bài tập 28

đã được học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Tuy nhiên, các bài toán mà học sinh gặp

ở lớp 10 chỉ dừng lại ở việc sử dụng toạ độ như toạ độ của điểm, vectơ, phương trình đườngthẳng, phương trình đường tròn, góc, khoảng cách Bài toán trong đề thi thì khác hẳn, đó làbài toán tổng hợp đòi hỏi phải huy động nhiều kiến thức hình học phẳng mà đa số nằm ởcấp 2 (trung học cơ sở) Nhiều bài toán đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các tính chất hìnhhọc để đi đến lời giải nhanh hơn, còn nếu chỉ sử dụng thuần tuý toạ độ thường được lời giải

sẽ dài dòng, có khi không thể giải được Đây là một khó khăn thực sự của học sinh trongviệc ôn thi kì thi quốc gia năm 2015 sắp tới Để giúp học sinh có tài liệu học tập, luyện tập

cho kiểu bài toán này, giáo viên có tài liệu tham khảo, chúng tôi viết chuyên đề “sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ”.

1.2 Mục đích của đề tài

Chuyên đề này nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập, bài tập luyện tập cho học sinh, vàcũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên Khi đọc tài liệu này, học sinh sẽ được nhắc lạicác kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 về tam giác, đường tròn mà có thể các em đã quên, sửdụng một cách hợp lí các tính chất đó để giải bài toán Đây còn là một tài liệu tham khảocho giáo viên, cung cấp cho giáo viên một phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân

chia các dạng bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng.

1.3 Phạm vi của đề tài

Mảng kiến thức liên quan trực tiếp của đề tài là chương 3 hình học lớp 10: phương pháp toạ độ trong mặt phẳng.Tuy nhiên, đề tài liên quan đến các kiến thức hình học phẳng ởcấp 2 như: tam giác, đường tròn, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hìnhvuông, định lý Thales, tiếp tuyến của đường tròn, góc nội tiếp,

1.4 Điểm mới của đề tài

Chúng ta thường thấy bài toán toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi đại học các nămtrước, các để thi thử đại học của các trường Tuy nhiên đó là các bài toán riêng lẻ trong một

đề thi tổng hợp Tài liệu hệ thống hoá các dạng bài, các phương pháp giải rất hiếm Điểmmới của chuyên đề là cố gắng phân loại (chỉ tương đối) các bài toán Một điểm mới nữa làtrước khi giải bài toán, chúng tôi phân tích các tính chất hình học để định hướng việc tìmlời giải Việc này theo chúng tôi nghĩ là cần thiết, việc phân tích này sẽ giúp cho học sinhbiết tại sao ta lại giải như vậy, cung cấp kinh nghiệm sử dụng từng loại giả thiết về tính chấthình học khi giải bài toán khác

Định lý thuận Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh

còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC củatam giác ABC lần lượt tại M và N Khi đó ta có các tỉ số bằng nhau sau

và các tỉ số tương ứng khác

Định lý đảo Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh

này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại củatam giác

Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng d cắt 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC tại

M, N Nếu AM

AB =

AN

AC (hoặc tỉ số bằng nhau khác tương ứng) thì MN k BC

2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp

1 Trọng tâm:

B C

A

M

N P

G

• Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng qua đỉnh và trung điểm của cạnhđối diện

• Giao điểm 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

• Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G thì

• Giao điểm 3 đường cao gọi là trực tâm của tam giác.

3 Tâm đường tròn ngoại tiếp:

A

I M

• Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của

ABvà vuông góc với AB Mọi điểm I thuộc trung trực của AB đều có IA = IB

• Gọi I là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC thì ta có IA = IB =

IC, điểm I gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn ngoạitiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác đó

4 Tâm đường tròn nội tiếp:

• Nếu gọi K là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC thì khoảng

cách từ K đến 3 cạnh của tam giác bằng nhau Khi đó K là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3

cạnh của tam giác đó

2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, ta có

asin A =

bsin B =

csinC = 2RTrong đó a = BC, b = CA, c = AB Tỉ số giữa cạnh và sin góc đối diện bằng 2 lần bán kínhđường tròn ngoại tiếp

2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

A

B

C

I x

Cho đường tròn tâm I và dây cung AB, C là một điểm trên đường tròn Ax là tiếp tuyến củađường tròn tại A sao cho dxABlà góc nhọn Khi đó:

• Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó, nghĩa là dACB= 1

2AIB.d

• Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó, nghĩa là dxAB=d

ACB

2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ

1 Hai vectơ bằng nhau: Cho các vectơ−→a = (a1; a2) và−→b = (b1; b2

2 Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng:

• Hai vectơ gọi là cùng phương khi giá của chúng là hai đường thẳng song songhoặc trùng nhau

• Hai vectơ−→a và−→b (với−→b 6=−→0) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho

−

→a

1 Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ −→a và −→b Gọi O là điểm tuỳ ý, vẽ −OA→= −→a và

−→

OB =−→

b Khi đó góc dAOB gọi là góc giữa hai vectơ −→a và −→b kí hiệu là −→a;−→

b.Nhận xét 0◦≤−→a;−→

−

→a .

−

→b

cos−→a;−→

b

3 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các

vectơ −→a = (a1; a2),−→b = (b1; b2) Tích vô hướng của−→a và−→b được tính bởi

−

→a

−→AB

=p(xB− xA)2+ (yB− yA)2

2.2.3 Phương trình đường thẳng

1 Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng đi

qua điểm M(x0; y0), có một vectơ chỉ phương−→u = (a; b) 6=−→0 là

3 Phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng của đường thẳng đi

qua điểm M(x0; y0), có một vectơ pháp tuyến−→n = (A; B) 6=−→0 là

A(x − x0) + B(y − y0) = 0

Chú ý: Vectơ chỉ phương−→u và vectơ pháp tuyến→−n của cùng một đường thẳng vuônggóc nhau, khi đó−→u.−→n = 0 Nếu đường thẳng có một vectơ chỉ phương là−→u = (a; b)thì nó có một vectơ pháp tuyến là−→n = (−b; a) hoặc−→n = (b; −a)

2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0 là

−→AB

−→AC

... trước điểm M chưa biếttoạ độ (các điểm khác có mặt đẳng thức biết toạ độ) ta tìm toạ

độ điểm M

Bài Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vng góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có... data-page="19">

3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ điểm cho sẵn

3.4.1 Sử dụng đường thẳng qua hai điểm cho sẵn

Bài Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung...

3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác

Cách sử dụng giả thiết đường phân giác thơng thường sử dụng góc Cách nàythường thu phương trình phức tạp, giải nhiều nghiệm phải tìm cáchloại nghiệm