Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông. Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không còn mới mẻ. Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế. Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh còn lúng túng, bỡ ngỡ. b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên việc vận dụng nó một cách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Trong đề thi học kì Học sinh giỏi, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó còn cần sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức tạp. Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động. vì thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức rất khó khăn. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “sử dụng vec tơ và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức”. Nhằm giúp học sinh bổ sung thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

––––––––––––––––––

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị Trương THPT Bình Sơn

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Nguyễn Cảnh ThắngLĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục 

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

(Ghi rõ tên bộ môn)

- Lĩnh vực khác: 

(Ghi rõ tên lĩnh vực)

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2014-2015

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

8 Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán, lớp 10A5, 11B3, 11B8:

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn

- Học vị : Cử nhân :

- Năm nhận bằng: 2005

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học

Số năm có kinh nghiệm: 9

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

- Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh.

- 2 Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán.

- 3 Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

và được bộ khuyến khích Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạytheo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông

Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phươngtrình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thiđại học, kì thi học sinh giỏi Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không còn mới

mẻ Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương

pháp để giải toán Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: "Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình"

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh

Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bàitoán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế

Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khảnăng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh cònlúng túng, bỡ ngỡ

b Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng

Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụngnhững phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình

thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao Tuy nhiên việc vận dụng nó mộtcách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn.

Trong đề thi học kì Học sinh giỏi, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giảiphương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thểthiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bấtphương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó còn cần sự ápdụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phứctạp Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động vìthế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳngthức rất khó khăn

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì

vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “sử dụng vec tơ và tọa độ để giải phương trình,

hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức” Nhằm giúp học sinh bổ sung

thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khigiải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nóiriêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung

III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

Giải pháp

-Tùy vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, phù hợpvới nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài họcmột cách thành thạo Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tếcủa trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môntoán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớpcho một tiết bài tập

a.Đối với lý thuyết:

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây

là một quá trình rất khó khăn đòi hỏi người dạy và người học đều phải cố gắng nổ lực

Để cho việc cung cấp lý thuyết được nhẹ nhàng mà học sinh hứng thú học thì giáo viêncần thực hiện các bước sau

Bước 1: Tổ chức cho học sinh quan sát tiếp thu

Bước 2: Giáo viên cho các em thảo luận nhóm

Bước 3: Khắc sau kiến thức

b Đối với bài tập

Đối với tiết làm bài tập giáo viên phải tổ chức, điều khiển học sinh vận dụng kiến thức

đã học vào giải bài tập để khắc sau kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa lý thuyết vàbài tập Đồng thời qua tiết học giải bài tập rèn luyện cho học sinh kỉ năng giải toán vàdiễn đạt vấn đề toán học thông qua ngôn ngữ của bản thân, hình thành phẩm chất tínhcách của học sinh Để làm được như vậy chúng ta thực hiện các bước sau

Bước 1: Tạo tiền đề xuất phát

Tổ chức đàm thoại để đưa ra hệ thống lý thuyết của bài cũ

Chỉ ra những kỉ năng sẽ cần vâng dụng kiến thức vào giải bài tập

Bước 2: Thực hiện chương trình giải

-Đọc đề để hiểu vấn đề của đề bài

-Tổ chức cho học sinh độc lập giải bài tập trên cơ sở huy động vốn kiểu

biết của học sinh Giáo viên quan sát theo dõi, giúp đỡ các em khi gặp khó khăn nảy sinh và tổ chức cho tập thể học sinh khai thác các bài tập theo định hướng đã chuẩn bị

và dự đoán trước

b.Tích vô hướng của hai vec tơ :

Cho hai véc tơ 1 2 1 2

d Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ:

Với hai điểm

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

* Tính chất 1:

2 2

⇔ − + + − + = − + − +

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt

Dấu đẳng thức “xảy ra” khi và chỉ khi : x=2

Vậy x=2 là nghiệm của phương trình

Bài 2: Giải phương trình : x+ 6 x-1 + 24 - x- 2 x-1 +1 = 5 (1)

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Theo đẳng thức vec tơ ta có:

Bài 3: Giải phương trình:

x + 2x+ 5 + x - 6x+13 = 4 2

(1) Giải:

2 2(x+1) + 4 + (3 - x) + 4 4 2

Vậy phương trình có nghiệm là x=1

Bài 4: Giải phương trình:

x - 4x+ 5 + x - 4x+13 = 4

(1) Giải:

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

1

3x- 2 = k(2 - x)

Vậy phương trình có nghiệm là x=2

Bài 5: Giải phương trình:

Bài 6:Giải phương trình :

2

x x+1 + 3 - x = 2 x +1

Giải:

So với điều kiện vậy nghiệm của phương trình:x=1 ; x= 1+ 2 và x=1- 2

Bài 7: Giải phương trình: x

1+ x + 8 - x = 3 x +1

Giải:

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Vậy nghiệm của phương trình : x=0

Bài 9 : Giải phương trình:

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

a + b = a + br r r r

1

k =x-1 = k(2 x+ 3) 4

a = k b(k > 0)

x =2

C GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải hệ phương trình:

3x+1 + 3y+1 = 4 (1)3x+13 + 3y+13 = 8 (2)

-13

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (1;1)

Bài 2: Giải hệ phương trình:

-32

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trìnhVậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)

Bài 3: Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)

Bài 4:Giải hệ phương trình:

Bài 5: (Đề thi đại học năm 2014)

Giải hệ phương trình:

2 3

10 - x +1

⇔

x = 3(x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*)



⇔ 



Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2

Bài 2: Giải bất phương trình: x− +1 2 3− ≥x 10

Theo đề bài ta có:

a.br r≥ 10 = a br r

Theo BĐT vec tơ ta có:

a.b a br r≤ r ra.b a b

Bài 3: Giải bất phương trình:3 x+ 3 + 7 - x 10≤

2

a br ur ≥ a buurur ⇒ a br ur ≥ (a b)uurur

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trìnhVậy (x2 +y2) (z2 +t2)≥

Theo BĐT vec tơ

r

=(y;

1y), c

r

=(z;

1z), a

1y+

1z)

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trìnhVậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

1.Kinh nghiệm thực tiễn

- Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp vàtổng hợp các phương pháp giải thích hợp Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc kết vàrút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học,” Sử dụng phương pháp véctơ vàtọa độ để giải một số bài toán về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình”vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức cho học sinh Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xinđưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học của mình nhằm nâng cao chất lượng học tậpmôn toán cho học sinh THPT Bình Sơn"

- Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số bài toán mà giáo viên toán cụthể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt những ví dụ minh họaphù hợp với trình độ học sinh Một số bài tập chọn lọc về phương trình, Hệ phươngtrình và bất phương trình” nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng củamình

- Bên cạnh đó việc nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đãthực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diệnvùng sâu, vùng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai

- Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT,thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán,

để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh vàthực hiện tốt mục tiêu giáo dục

- Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế vàthiếu sót Rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp để đề tài được hoànthiện và có tác dụng hơn

Trước sau Trước sau Trước Sau Trước sau10a5

Tỉ lệ

00%

26%

26%

824,3%

1545,5

%

1957,6%

1648,5%

412,1

%

V.ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Trong năm qua tôi đã vận dụng “ véc tơ và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình

và bất phương trình”cho đối tượng học sinh trung bình (với những bài đơn giản), học sinh khá giỏi (với những bài từ cơ bản đến nâng cao) của trường THPT Bình Sơn trong các tiết dạy, đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thi đại học cao đẳng và thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động; tích cực và hứng thú học tập, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các bài tập

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình Trong quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tôi thấy đề tài này có phạm vi áp dụng trong thực tế giảng dạy toán đạt hiệu quả tại đơn vị trường THPT Bình Sơn Vận dụng sáng kiến này giúp học sinh tư duy tốt, nâng cao khả năng sáng tạo, hiểu rõ bản chất từ những dạng bài đơn giản đến nâng cao, có khả năng phân tích và giải thích tốt

Từ đó, làm cơ sở cho học sinh tiếp tục phát huy khả năng học trong các dạng bài tập khác nhằm giúp các em có cái nhìn rộng lớn và tổng quát hơn; các em đạt kết quả tốt trong học tập và các kì thi Do đó, đề tài này có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng đạt hiệu quả

Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp đểgiúp đỡ học sinh làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như rèn luyện cho họcsinh tính năng động, tích cực, tư duy, sáng tạo và vận dụng sau này

Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mongnhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để các đề tàisau của tôi được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập 10 ; Nhà xuất bản Đại học quốc gia

Hà Nội Th.s Nguyễn Kiếm-Lê Thị Hương

2 Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB trẻ -Võ Đại Mau

3 Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Trần Đình

Thì

4 Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10 : NXB Đại học quốc gia Hà Nội –Hà Văn

Chương

5 Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB trẻ -Võ Đại Mau

6 Tuyển tập các bài toán hay và khó đại số 1, NXB Đại học quốc gia Thành Phố Hồ

Chí Minh- PGS TS Đậu Thế Cấp

VII PHỤ LỤC

1 Phiếu thăm dò ý kiến của học sinh về việc học toán

Học sinh: Số phiếu phát ra là 386; Số hiếu thu về hợp lệ: 318

Câu 1: Hứng thú học tập môn toán của em?

Bảng 1 Hứng thú học tập môn toán

- Về mức độ hứng thú học tập môn toán của HS: theo kết quả khảo sát thì có 6,3% HSkhông thích môn toán, đa số các em thấy môn toán bình thường như các môn học khác,nghĩa là các em chỉ học tập môn toán như một nhiệm vụ chứ chưa thực sự yêu thích.

- Tuy nhiên cũng có 23% HS rất yêu thích môn toán, điều này cho thấy môn toán là mộtmôn học rất hấp dẫn với các em

Câu 2: Thời gian tự học bộ môn toán mỗi ngày của em?

Bảng 2 Thời gian tự học toán mỗi ngày

Câu 3: Mức độ chuẩn bị bài của em trước khi học bài mới?

Bảng 3 Mức độ chuẩn bị bài của học sinh

Không chuẩn bị Chuẩn bị bài theo hướng

dẫn của thầy cô

Chuẩn bị theo hướng dẫn

và đọc thêm tài liệu khác

Ý kiếnkhác

- Tỉ lệ HS có chuẩn bị bài chiếm khá cao, chứng tỏ các em đã có ý thức học tập, việc

chuẩn bị bài theo hướng dẫn của GV là có tỉ lệ cao nhất

- Tỉ lệ HS không chuẩn bị bài cũng là một con số không nhỏ nên việc tạo hứng thú chocác em học tập là rất cần thiết

Câu 4: Cách giải quyết của em khi gặp bài tập khó?

Bảng 4 Giải quyết của HS khi gặp bài tập khó

Hỏi bạn bè, anh

chị hoặc thầy cô

Mượn bài giải củabạn để chép

Chờ thầy cô sửabài

Đọc lại lý thuyết, tìm tài liệu để giải

Ý kiếnkhác

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

- Đa số các em đều cố gắng tìm cách để làm được bài, điều này cho thấy HS đã có ý

thức học tập, cố gắng để hoàn thành nhiệm vụ được giao, có 2,2% HS không làm bàitập

- Có khoảng 12,9% HS khảo sát đã tự cố gắng tìm tòi cách giải quyết, các em đã chủđộng khám phá kiến thức, chứng tỏ các em rất yêu thích môn toán

Câu 5: Lý do em yêu thích bộ môn toán?

Bảng 5 Lý do thích học toán

Là môn học có tính

logic

Có nhiều ứng dụng thiếtthực trong cuộc sống

Giáo viên dạy hay,

dễ hiểu

Ý kiếnkhác

- Các em đều yêu thích môn học vì toán là môn có tính lôgic và có nhiều ứng dụngtrong cuộc sống, đây là yếu tố cần khai thác để tạo hứng thú lâu dài trong học tập chocác em

Câu 6: Những khó khăn thường gặp khi học tập môn toán?

Bảng 6 Khó khăn thường gặp khi học toán

Khối lượng bài

nhiều, ít thời gian

Thiếu tài liệu

hỗ trợ

Giáo viên dạykhó hiểu

Chưa yêuthích

Ý kiếnkhác

Câu 7: Em có tham khảo thêm các tài liệu ngoài tài liệu thầy cô cho không?

Bảng 7 Mức độ tìm hiểu thêm tài liệu

- Phần lớn các em không tham khảo thêm các tài liệu khác lý do là thời gian học tập ít

mà khối lượng bài học rất nhiều, hơn nữa các em chưa thấy hứng thú với môn học nên

ít đọc thêm các tài liệu khác Tuy nhiên cũng có một số em đã thường xuyên xem thêmtài liệu khác, điều đó cho thấy những em này rất yêu thích môn hóa

Câu 8: Những dạng bài tập mà em đã được làm?