Tài liệu hướng dẫn tự học hình học 11

Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khơng thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d

Trang 1

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

oOo

1 Vectơ:

a) Các định nghĩa:

• Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ dài đoạn thẳng AB.

• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song

song hoặc trùng nhau.

• Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và

cùng độ dài.

• Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và

cùng độ dài Vectơ đối của vectơ a  kí hiệu là - a  ; vectơ đối của MN

• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta cĩ:

AC BC

CB AC

• A, B, C thẳng hàng  AB = k AC , k ∈ R

• I là trung điểm AB  IA + IB = 0 

• G là trọng tâm ∆ABC  GA + GB + GC = 0  b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:

Cho hai vectơ u  = (u1; u2), v  = (v1; v2), ta cĩ:

1 1

v u

v u v

có

) y

; M(x qua

at x x

có

) y

; M(x qua

n là: A(x - x0) + B(y - y0) = 0.

Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng ∆ cĩ vectơ pháp tuyến n  = ( B A ; )

• Nếu đường thẳng d cĩ vectơ chỉ phương u  = ( b a ; ) thì d cĩ một vectơ pháp tuyến n  = ( − b ; a ) Nếu đường thẳng ∆ cĩ vectơ pháp tuyến n  = (A; B) thì ∆ cĩ một vectơ chỉ phương là u  = ( − B ; A )

• Đường thẳng song song đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 cĩ dạng: Ax + By + C1 = 0 (C ≠ C1).

Trang 2

3 Đường trịn:

• Đường trịn (C):







R kính bán

b a I tâm ( ; )

cĩ phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2.

• Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường trịn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0 Khi đĩ (C) cĩ tâm I(a; b) và bán kình là R = a2 + b2 − c

 Ghi chú:

Trang 3

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

§1 PHÉP BIẾN HÌNH

bao nhiêu điểm M' như thế?

ĐỊNH NGHĨA:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình

F.

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?

 Ghi chú:

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 4

§2 PHÉP TỊNH TIẾN

I- ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng cho vectơ v  Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M' sao cho MM = v '  được gọi là phép tịnh tiến

theo vectơ v 

• Phép tịnh tiến theo vectơ v  thường được kí hiệu là Tv, v  được gọi là vectơ tịnh tiến.

• Vậy: Tv( M ) = M ' ⇔ MM ' = v 

• Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng chính là phép đồng nhất.

phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba

điểm B, C, D.

Phép tịnh tiến theo vectơ v  biến hình H thành hình H'

Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tịnh theo vectơ v 

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Nếu Tv( M ) = M ' , Tv( N ) = N ' thì M ' N ' = MN và từ đó suy ra M'N' = MN Hay phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  = (a; b), với mỗi điểm M(x; y) Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua

phép tịnh tiến theo vectơ v  , khi đóù:







+

=

+

=

b y y

a x x

'

(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv)

Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  = (-2; 3) và đường thẳng d cĩ phương trình 3x - 5y + 3 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv.

Giải:

Trang 5

Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (-2; 3) Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD

Bài 2: Cho tam giác ABC cĩ G là trọng tâm Xác điïnh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ

AG Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  = (2; -1), điểm M(3; 2) Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:

Trang 6

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  = (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0.

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ v 

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo v 

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v 

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 Tìm ảnh của

(C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (-2; 5).

Bài 6: Chứng minh rằng: M' = Tv( M ) M T v( M )'

−

=

Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v  = (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d1

có phương trình 2x - 3y - 5 = 0.

a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua Tv.

b) Tìm tọa độ của w  có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tw.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ

có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d'.

Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O) Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.

Trang 7

§3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nĩ, biến mỗi điểm M khơng thuộc

d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng

trục hoặc đơn giản là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta cịn nĩi H đối xứng với H' qua d, hay H và H'

đối xứng với nhau qua d.

* Nhận xét:

• Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuơng gĩc của M trên đường thẳng d Khi đĩ: M' = Đd(M) ⇔ M0M ' = − M0M

• M' = Đd(M) ⇔ M = Đd(M').

Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.

Giải:

Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đd:

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trang 8

1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng

với đường thẳng d Với mỗi điểm M(x; y), gọi

M' = Đd(M) = (x'; y') thì:







−

=

y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng

với đường thẳng d Với mỗi điểm M(x; y), gọi

M' = Đd(M) = (x'; y') thì:







=

−

=

y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d cĩ phương trình x - 2y + 4 = 0 và đường trịn (C) cĩ phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Giải:

III- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH: Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nĩ Khi đĩ ta nĩi H là hình cĩ trục đối xứng. Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu cĩ) của các hình sau đây:  Ghi chú:

Trang 9

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1) Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy

Bài 3: Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng? V I E T N A M W T O 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0 Tìm ảnh của M qua Đd Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0 Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d' Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 10

§4 PHÉP QUAY

Cho điểm O và góc lượng giác α Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

Điểm O được gọi là tâm quay còn được gọi là góc 

quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là Q  (O, ) .

* Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của

đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của

kim đồng hồ.

Chiều quay dương Chiều quay âm 2) Với k là số nguyên ta luôn có:

• Phép quay Q(O; 2k π ) là phép đồng nhất.

• Phép quay Q(O; (2k + 1) π ) là phép đối xứng tâm O.

Chứng minh AB = A'B'.

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành

đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng

nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường

tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

* Nhận xét: Phép quay góc với 0 < <   π, biến

đường thẳng d thành đường thẳng d' sao cho góc giữa

Trang 11

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4) Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 900.

Giải:

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900 b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0 Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 900

Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 900 Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200 b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 600 b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC Chứng minh ∆BMN đều Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ∆ABC là tam giác đều CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 12

§5 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:

Định nghĩa:

Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N'.

* Nhận xét:

1) Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là các phép dời hình 2) Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.

Ví dụ: Cho tam giác ABC Tìm ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm B góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ AB

cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép đối xứng qua đường thẳng BD.

Phép dời hình biến:

1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;

4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

* Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC

thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm,

trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của

tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm,

tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác

A'B'C'.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đường

tròn ngoại tiếp của nó Tìm ảnh của tam giác OAB qua

phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp

phép quay tâm O, góc 600 và phép tịnh tiến theo vectơ

OE

Giải:

Trang 13

 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH. III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU: Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia  Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I là giao điểm của AC và BD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.  Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3) a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc -900 b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A1B1C1 Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  =(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y = 0 Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v  2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I Trên tia BC lấy điểm e sao cho BE = AI Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E, dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§6 PHÉP VỊ TỰ

Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM ' = k OM

được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k.

Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O,k).

Ví dụ:

Trang 14

Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự tâm O tỉ số

* Nhận xét: 1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nĩ 2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất 3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự 4) M' = V(O,k)(M) ⇔ M = V( ,1)( M )' k O  Cho tam giác ABC Gọi E và F tương ứng là trung điểm AB và AC Tìm một phép vị tự biến B và C tương ứng thành E và F. II- TÍNH CHẤT: • Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì M ' N ' = k MN và M'N' = k .MN • Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự giữa các điểm; b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nĩ, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng; c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nĩ, biến gĩc thành gĩc bằng nĩ; d) Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính k R.  Cho tam giác ABC cĩ A', B', C' theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Ví dụ 1: Cho điểm O và đường trịn (I; R) Tìm ảnh của đường trịn đĩ qua phép vị tự tâm O tỉ số -2 Giải:

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 Giải:

Trang 15

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số 2 1 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2 + (y + 1)2 = 9 Hãy viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2 Bài 3: Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O

2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho tam giác ABC có hai góc B, C đều nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có EF = 2DE với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G lần lượt nằm trên AC, AB Bài 2: Cho nửa đường tròn đườn kính AB Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 16

§7 PHÉP ĐỒNG DẠNG

Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k

(k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N'

tương ứng của chúng ta luôn có M'N' = kMN.

* Nhận xét:

a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .

c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.

Phép đồng dạng tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

* Chú ý:

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'.

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

2

1

và phép quay tâm I góc quay 900 Nhận xét hai tam giác trên.

III- HÌNH ĐỒNG DẠNG:

Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình

kia.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD,

BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau.

Giải:

Trang 17

 Ghi chuù:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho tam giác ABC Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số 2 1 và phép đối xứng qua đường thẳng trung trực BC Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm AD, BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2 Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định Gọi I là giao điểm của hai đường chéo a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a) CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 18

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

Trang 19

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm ảnh của tam giác AOF a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB ; b) Qua phép quay tâm O góc 1200 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0 Tìm ảnh của A và d a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (2; 1); b) Qua phép quay tâm O góc 900 Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(3; -2), bán kính 3 a) Viết phương trình của đường tròn đó; b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (-2; 1) Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính 2 Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox Bài 5: Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định 2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài bằng 2 1 Chứng minh rằng luôn có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia Bài 2: Cho tam giác ABC Tìm một điểm M trên cạnh AB và một điểm N trên cạnh AC sao cho MN song song với BC và AM = CN CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 20

CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN.

QUAN HỆ SONG SONG

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1 Hình học phẳng: a) Định lí Talet: MN// BC ⇔ AM AB = AN AC b) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a, b: c) Một số tính chất thường sử dụng: Tính chất bắc cầu: • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song nhau • Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau 2 Một số hình hình học khơng gian: Hình chĩp đều Lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật  Ghi chú:

Trang 21

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

I- KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU:

1 Mặt phẳng:

Mặt phẳng là một đối tượng của tốn học Mặt phẳng khơng cĩ bề dày và khơng cĩ giới hạn.

• Để biểu diễn tả mặt phẳng ta thường dùng hình

bình hành hay một miền gĩc và ghi tên của mặt

phẳng vào một gĩc của hình biểu diễn.

• Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc

"( )" Ví dụ mặt phẳng (P)  viết tắt mp(P) hay (P); mặt phẳng (α)  viết tắt mp(α) hay (α);

2 Điểm thuộc mặt phẳng: Cho điểm A và mặt phẳng (α) • Điểm A thuộc mặt phẳng (α ) ta nĩi A nằm trên ( α ) hay ( α ) chứa A hoặc ( α ) đi qua A. • Kí hiệu: A ∈ (α) • Điểm A khơng thuộc mặt phẳng (α ) ta nĩi A nằm ngồi ( α ) hay ( α ) khơng chứa A hoặc ( α ) khơng đi qua A. • Kí hiệu: A ∉ (α) 3 Hình biểu diễn của một hình không gian: Để nghiên cứu hình học khơng gian người ta thường vẽ các hình khơng gian lên bảng, lên giấy Ta gọi hình vẽ đĩ là hình biểu diễn của một hình khơng gian Hình biểu diễn được vẽ dựa vào các quy tắc: • Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn là đoạn thẳng; • Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau; • Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa các điểm và đường thẳng; • Dùng nét vẽ liền " " để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn "- - - -" biểu diễn cho đường bị che khuất Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của một hình lập phương Giải:

II- CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN:

Tính chất 1: Cĩ một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

Tính chất 2: Cĩ một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm khơng thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng cĩ hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đĩ.

Trang 22

Nếu đường thẳng d có hai điểm thuộc mp(α) thì khi đó mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mp(α) ta

nói d chứa trong (nằm trong) mp(α ) hay mp( α) chứ d và kí hiệu d ⊂ ( α ) hay ( α) ⊃ d.

AM có nằm trong mp(ABC) không?.

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.

Đường thẳng chung của hai mặt phẳng phân biệt (  và ( β) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và (  β) và kí hiệu là:

d = ( )  ∩ ( β )

S nằm ngoài mặt phẳng (P) Hãy chỉ ra một điểm chung của hai

mp(ABC) hoặc (ABC)

b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua

một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d, khi đó

ta xác định được mặt phẳng, kí hiệu là:

mp(A, d) hay (A, d)

c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai

đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b Khi đó hai đường

thẳng a và b xác định một mặt phẳng và kí hiệu là:

mp(a, b) hay (a, b), hoặc mp(b, a) hay (b, a).

2 Một số bài toán cơ bản:

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao

Trang 23

Phương pháp:

b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

Ví dụ: Cho bốn điểm khơng đồng phẳng A, B, C, D Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng.

Phương pháp:

c) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng:

Ví dụ: Cho tam giác BCD và điểm A khơng thuộc mặt phẳng (BCD) Gọi K là trung điểm của đoạn

AD và G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).

Trang 24

Phương pháp:

A 1 2 ta được n tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1 Hình gồm đa giác A 1A2 An và n tam giác SA1A2, SA2A3,

…, SAnA1 gọi là hình chĩp, kí hiệu là S.A1A2 An Ta gọi S là đỉnh và đa giác A 1A2 An là mặt đáy Các tam

giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 được gọi là các mặt bên; các đoạn SA1, SA2, , SAn là các cạnh bên; các cạnh của

đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chĩp Ta gọi hình chĩp cĩ đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chĩp tam giác, hình chĩp tứ giác, hình chĩp ngũ giác,…

• Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình

tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện Các

đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện Hai cạnh khơng đi qua một đỉnh gọi là hai

cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi là các mặt của tứ diện Đỉnh khơng nằm trên một mặt

gọi là đỉnh đối diện với mặt đĩ.

* Đặt biệt: Hình tứ diện cĩ bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ diện đều.

Ví dụ: Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,

AD, SC Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chĩp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chĩp.

Giải:

Trang 25

* Các bước giải bài toán hình học không gian:

 Ghi chú:

Trang 26

Bài 1: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) chứa tam giác BCD Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC.

a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).

b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh rằng AGA, BGB, CGC, DGD đồng quy.

Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).

d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm của đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.

Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD, BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và(DMN).

Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm

P không trùng với trung điểm của AD.

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C’AE)

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE).

Bài 1: Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) Chứng minh M là điểm chung của (α) với một mặt phẳng bất kì chứa d.

Bài 2: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Trang 27

Trang 28

§2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN:

Trường hợp 1: Cĩ một mặt phẳng chứa a và b Khi đĩ ta nĩi a và b đồng phẳng, cĩ ba khả năng xảy ra:

i) a và b cĩ điểm chung duy nhất M Ta nĩi a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là a ∩ b = {M} Ta cĩ thể

Trường hợp 2: Khơng cĩ mặt phẳng nào chứa a và b Khi

đĩ ta nĩi a và b chéo nhau hay a chéo với b.

a và b chéo nhau

II- TÍNH CHẤT:

Định lí 1: Trong khơng gian, qua một điểm khơng nằm trên đường thẳng cho trước, cĩ một và chỉ một đường

thẳng song song với đường thẳng đã cho.

* Nhận xét:

Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b)

khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của ( α ) và ( β )

Định lí 2: (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo

ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc

đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt

chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của

chúng (nếu cĩ) cũng song song với hai đường thẳng

đĩ.

Ví dụ 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình bình hành ABCD Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Giải:

Trang 29

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC,

AD lần lượt tại M, N Chứng minh rằng tứ giác IJNM là hình thang Nếu M là trung điểm của AC thì tứ giác IJNM là hình gì?

Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Khi hai đường thẳng a và b cùng song song

với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba

đường thẳng song song.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB,

CD, AD và BC Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn.

 Ghi chú:

Trang 30

a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy.

b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy

Bài 2: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S của

AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây:

Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD và G là trung điểm của cạnh MN.

a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD).

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’ Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng và BM’ = M’A’ = A’N.

c) Chứng minh GA = 3GA’.

Bài 4: Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC Chứng minh rằng MG // (ACD).

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA Tìm thiết diện của mặt pẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và đồng thời song song với

SC và AD.

§3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) Tùy theo số điểm chung của d và (α), ta có ba trường hợp:

• d và (α) không có điểm chung Khi đó ta nói d

song song với ( α ) hay ( α) song song với d và kí hiệu là:

d // ( α ) hay ( α) // d.

• d và (α) có một điểm chung duy nhất M Khi đó ta

nói d và (α) cắt nhau tại M và kí hiệu là:

d ∩ (α) = {M} hay d ∩ ( α ) = M

• d và (α) có từ hai điểm chung trở lên Khi đó, d

nằm trong ( α ) hay ( α) chứa d và kí hiệu:

d ⊂ ( α ) hay ( α) ⊃ d II- TÍNH CHAÁT:

Trang 31

Định lí 1: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d

song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α).

Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Nếu mặt 

phẳng ( ) chứa a và cắt ( ) theo giao tuyến b thì b song song với a  

Ví du: Cho tứ diện ABCD Lấy M là điểm thuộc miền trong của tam giác ABC Gọi (α) là mặt phẳng qua M

và song song với các đường thẳng AB và CD Xác định thiết diện tạo bởi (α) và tứ diện ABCD Thiết diện đĩ là hình gì?

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng

thì giao tuyến của chúng (nếu cĩ) cũng song song với đường thẳng đĩ.

Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song

song với đường thẳng kia.

 Ghi chú:

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF Chứng minh rằng đường thẳng

Trang 32

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ABE Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy một điểm M Cho (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD.

a) Tìm giao tuyến của (α) với các mặt của tứ diện.

b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) là hình gì?

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC

và BD Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua O, song song với AB và SC Thiết diện

đó là hình gì?

Bài 4: Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy điểm M sao cho MB = 2MC Chứng minh rằng MG // (ACD).

Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và đồng thời song song với SC và AD.

§4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

I- ĐỊNH NGHĨA:

Hai mặt phẳng ( ), (  β) được gọi là song song với nhau nếu chúng

không có điểm chung

Khi đó ta kí hiệu: ( ) // (  β) hay (β) // ( ) 

II- TÍNH CHẤT

Định lí 1: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a,

b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β).

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (DBC)

Định dạng
Số trang	65
Dung lượng	2,11 MB