Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán- Dãy phép thử Bernoulli - Nguyễn Thị Hồng Nhung

HỌc phẦn : Lý thuyẾt xác suẤt và thỐng kê toán Tên bài học: Dãy phép thử Bernoulli Tiết theo chương trình: Tiết thứ 8 Lớp dạy: Lý tin K30 Giảng viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Nhung.

HỌc phẦn :

Lý thuyẾt xác suẤt

và thỐng kê toán

Tên bài học: Dãy phép thử Bernoulli

Tiết theo chương trình: Tiết thứ 8

Lớp dạy: Lý tin K30

Giảng viên thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Nhung

Một xạ thủ bắn 3 viên đạn độc lập vào bia, xác suất bắn trúng không đổi trong mỗi lần bắn là 0,8 Tìm xác suất để:

a Cả ba viên đều trúng đích

b Hai viên trúng đích

c Một viên trúng đích

d Cả ba viên đều bắn trượt

3

2

2

3

L

Jacob Bernoulli

• Sinh:

27 tháng 12 , 1654 ,

tại Basel , Thụy Sĩ

• Mất :

16 tháng 8 , 1705 (50 tuổi),

• Nổi tiếng vì:

Phép thử Bernoulli , Số Bernoulli

Lời giải

a Cả ba viên đều trúng đích

b Hai viên trúng đích

3

0,8 0,512

P AAA  P A P A P A

Gọi A là biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia trong mỗi lần bắn”

2 1

3 ( ) ( ) ( ) 3.0,8 0, 2 0, 384

P AAA AAA AAA

P AAA P AAA P AAA

P A P A P A



Bài toán: Một xạ thủ bắn 3 viên đạn độc lập vào bia, xác suất bắn trúng không đổi trong mỗi lần bắn là 0,8

Gọi A là biến cố “xạ thủ bắn trúng vào bia trong mỗi lần bắn”

c Một viên trúng đích

d Cả ba viên đều bắn trượt

3 ( ) ( ) ( ) 3.0,8 0, 2 0, 096

P AAA AAA AAA

P AAA P AAA P AAA

P A P A P A



3

( ) ( ) ( ) ( )

0, 2 0, 008

P AAA  P A P A P A

Nhận xét đặc điểm của dãy phép thử trong bài toán trên

- Số biến cố trong mỗi phép thử

- Xác suất của các biến cố :

{ , } A A

Không đổi Dãy phép thử

Bernoulli

Tiết 8 DÃY PHẫP THỬ BERNOULLI

1 Định nghĩa dóy phộp thử Bernoulli

Dãy phép thử G1, G2, , Gn mà trong mỗi phép thử tơng ứng với không gian các biến cố sơ cấp có 2 biến cố

đợc gọi là dóy phép thử Becnuli nếu thoả mãn:

(i) Dãy phép thử đó là độc lập

(ii) Xác suất để A xảy ra trong các phép thử không đổi và bằng p

{ , } A A

2 Công thức xác suất nhị thức

AA A

k n k

AA A



k n

C

( ) k k.(1 )n k

P k  C p  p 

Bài toán : Tỡm xác suất để trong dãy n phép thử Bernouli

biến cố A xuất hiện đúng k lần ( k = 0,1, n)

Hướng dẫn giải:

- Cú tất cả bao nhiờu dóy biến cố A xuất hiện đỳng k lần ?

AA A k.(1 )k

k n k



- Mỗi dóy phộp thử Bernoulli cú xỏc suất là bao nhiờu ?

Cụng thức xỏc suất nhị thức

Ví dụ 1:

Một bác sĩ có xác suất chuẩn đoán đúng bệnh là 0,7 Có 5 người đến khám, tính xác suất để:

a) Không có ai được chuẩn đoán đúng bệnh

b) Có 2 người chuẩn đoán đúng bệnh

c) Có 4 người chuẩn đoán đúng bệnh

d) Có người cho rằng: Cứ 5 người đến khám thì có 4

người được chuẩn đoán đúng bệnh” điều này có đúng không?

Lời giải

5(2) 5.0, 7 (1 0, 7) 0,1323

5(0) 5 0, 7 (1 0, 7) 0, 243

P  C  

a) Không có ai được chuẩn

đoán đúng bệnh

b) Có 2 người chuẩn đoán

đúng bệnh

c) Có 4 người chuẩn đoán

đúng bệnh

- Nhận xét: Phép thử Bernoulli với n=5, p=0,7

- Gọi A là biến cố ”chuẩn đoán đúng bệnh”

5 (4) 5 0, 7 (1 0, 7) 0,36015

d) Có người cho rằng: Cứ 5 người đến khám thì có 4

người khỏi bệnh” điều này có đúng không ?

- Không đúng!

- Chỉ có thể khẳng định có 5 người đến khám thì xác suất

để 4 người khỏi bệnh là cao nhất

Có cách nào tìm xác suất

cao nhất mà không phải

tính tất cả các khả năng

xảy ra không?

Khảo sát sự biến thiên của hàm xác suất, biến k

Gợi ý:

1 ( )

n

n

P k

P k

( 1)

1 ( )

n

n

P k

P k





( ) k. k.(1 )n k

P k  C p  p 

Hàm đồng biến

Hàm nghịch biến

k

Pn(k)

max

1

n

n

P k n k p

 

 (n - k) p  k q + q (q=1-p)

 k  np - q

Vậy Pn(k) tăng khi k tăng từ 0 đến np – q

T-ơng tự ( 1) ( ) 1

n

n

P k n k p

  với k > np – q

Vậy khi k tăng từ np – q đến n thì Pn(k) giảm

Khi k = np – q thì ( 1) 1

( )

n

n

P k

P k



 , nghĩa là Pn(k+1) = Pn(k)

Song k chỉ nhận giá trị nguyên, vậy:

- Nếu np – q là số nguyên thì k có hai giá trị k0 = np – q và k1 = np – q + 1 mà tại đó Pn(k) đạt cực đại

- Nếu np – q không nguyên thì k có một giá trị k0 = [np – q] + 1 tại đó Pn(k)

đạt cực đại

d) Cú người cho rằng: Cứ 5 người đến khỏm thỡ cú 4 người

khỏi bệnh” điều này cú đỳng khụng ?

5.0, 7 0,3 3, 2 , ( ) (4)

np q      Z MaxP k  P

Ví dụ 2

Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập nhau

Xác suất thu được mỗi lần là 0.4

a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần

b) Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó

c) Nếu muốn xác suất thu được tin ≥ 0,9 thì phải phát đi ít nhất bao nhiêu lần

Có thể xem mỗi lần phát tin là một phép thử Bernoulli mà

sự thành công của phép thử là nguồn thu nhận được tin, theo giả thiết xác suất thành công của mỗi lần thử là 0,4 Vậy:

a) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đúng 2 lần

là

   2

2

2 (3) 3 0, 4 0, 6 0, 288

b) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin là

 3

1 0, 6 0, 784

c) Xác suất để nguồn thu nhận được thông tin khi phát n

lần là

 

1 0, 6 n

P  

Vậy nếu muốn xác suất thu được tin ≥ 0,9 thì phải phát

đi ít nhất n lần sao cho:

 

 

1 0, 6 0, 9 0,1 0, 6

4, 504

lg 0, 6 0, 778 5

n n







Tổng kết bài học

- Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli

- Công thức tính xác suất nhị thức

- Giá trị max của xác suất nhị thức