Ôn thi thpt quốc gia môn toán – phần giải tích

Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích PHẦN GIẢI TÍCH Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.. Trong trường hợp này, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm s

Trang 1

Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích

PHẦN GIẢI TÍCH Chủ đề 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên khoảng ( ; ) a b và x0∈( ; )a b

A- Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị :

Nếu ( )f x có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0∈( ; )a b thì f x'( ) 00 =

B- Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị :

1 ĐL 1 :

0

'( ) 0, ( ; )

'( ) 0, ( , )

x

> ∀ ∈



⇒

 là điểm CĐ của ( )f x b)

0 0 0

'( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( , )

x

< ∀ ∈



⇒

2 ĐL 2 :

0

'( ) 0

''( ) 0

f x

x

f x

=

 là điểm cực tiểu của ( )f x b)

0

0 0

'( ) 0 ''( ) 0

f x

x

f x

=

 là điểm cực đại của ( )f x

Ví dụ : Tìm cực trị của các hàm số sau :

y x= + x − b) y x 1

x

(1 )

y x= −x d) y=sin 2x− x

Giải : a) TXĐ : D = R; y' 4= x3+4x=4 (x x2+1), ' 0y = ⇔ =x 0(Lập bảng biến thiên)

Từ bảng biến thiên suy ra x=0 là điểm cực tiểu của hàm số

Bài tập :

1- Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) y=2x3+3x2−36x−10 b) y= +(x 1) (53 −x) c) 2 1

8

x y x

+

=

1

y x

+ −

=

2- CMR hàm số y= | |x không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó

3- CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số y x= −3 mx2−2x+1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

4- Xác định m để hàm số 3 2 2 5

3

y x= −mx +m− x+

  có cực trị tại x=1 Khi đó hàm số đạt cực tiểu hay cực

đại ? Tính cực trị tương ứng

5- Xác định m để hàm số 3 2

y x= − x +mx+ đạt cực tiểu tại x=1

Luyện tập :

1- Tìm cực trị của các hàm số sau :

y x= + x − b) 3 9

2

y x

x

= − +

− c)y x= 3−x e) y=2sinx+cos 2 ,x x∈[ ]0;π

2- Cho hàm số

2

1

y x

− +

= + Xác định m sao cho :

a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có hai cực trị và hai cực trị trái dấu nhau

3- Tìm các số thực m và n sao cho hàm số ( )

1

n

x

= + +

+ đạt cực đại tại điểm x= −2, ( 2)f − = −2.

4- Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x= 3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực tiểu tại điểm x0 =2

5- Cho hàm số

(1)

y

x m

=

− Xác định m để hàm số (1) có một cực đại và một cực tiểu Trong

trường hợp này, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

6- Cho hàm số

3

x

y= +mx + m+ x+

a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Xác định m để hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của trục tung.

Trang 2

Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

1- Định nghĩa : Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D

• Số M =max ( )D f x nếu ( )f x ≤M,∀ ∈x D và tồn tại x0∈D sao cho f x( )0 =M

• Số m=min ( )D f x nếu ( )f x ≥ ∀ ∈m x D, và tồn tại x0∈D sao cho f x( )0 =M

2- Cách tìm GTLN, GTNN trên đoạn [ ; ]a b : ( ) f x liên tục trên [ ; ] a b

• Tìm x i∈[ ; ]a b mà tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

• Tính ( ), ( ); ( )f a f b f x i

• Tìm : GTLN = max{ f a f x( ), ( ), ( )i f b ; GTNN = } min{ f a f x( ), ( ), ( )i f b }

3- Cách tìm GTLN, GTNN trên khoảng ( ; )a b : ( ) f x liên tục trên ( ; ) a b

x a

0

x b x a x b0

'

y

GTNN

Trong đó f x'( ) 00 = hoặc '( )f x không xác định tại x0

Ví dụ : Tính GTLN và GTNN của hàm số :

f x = x − x − x+ trên đoạn [-3; 3] b) 4 2

f x =x − x + trên đoạn [2; 5]

c) f x( )= 25−x2 trên đoạn [-4; 4] d) ( ) 2sinf x = x+sin 2x trên đoạn 0; 3

2

π

Bài tập :

1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau :

a) f x( )= +x3 3x2−9x−7 trên đoạn [-4; 3] b) ( ) 2

1

x

f x

x

−

=

− trên đoạn [-3; -2]

c) ( ) 2

4

x

f x

x

=

+ trên khoảng (−∞ +∞; ) d)

1 ( ) sin

f x

x

= trên khoảng (0; )π

2- Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

3- Tìm hai số có hiệu bằng 13 sao cho tích của chúng là bé nhất

4- Tính GTLN của các hàm số : a) 4 2

1

y x

=

y= x − x

5- Tính GTNN của các hàm số : a) y= | |x b) y x 4 (x 0)

x

Luyện tập :

1- Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau :

f x = +x x− trên đoạn [- 3; 1] b) ( ) 2 1

1

f x x

x

= + +

− trên khoảng (1;+∞)

( ) sin cos 2 sin 2

e) ( ) 2f x = x trên đoạn [−1; 2] f) f x( ) lnx

x

= trên đoạn [1 ; e 2 ] 2- Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10, hãy xác định tam giác có diện tích lớn nhất

Chủ đề 3 : KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I- Sơ đồ khảo sát hàm số y= f x :( )

1- Tìm TXĐ

2- Sự biến thiên :

a- Chiều biến thiên

• Tính 'y

• Tìm các nghiệm của phương trình ' 0y = và các

điểm tại đó 'y không xác định

Trang 3

Ôn thi thpt quốc gia môn toán – Phần giải tích

• Xét dấu 'y và suy ra chiều biến thiên của hàm

số

b- Tìm cực trị

c- Tìm các giới hạn vô cực : các giới hạn tại +∞,

−∞ và tại các điểm mà hàm số không xác định Tìm các tiệm cận đứng và ngang (nếu có)

d- Lập bảng biến thiên 3- Đồ thị : Vẽ đồ thị hàm số, xác định giao điểm của thồ thị với trục hoành và trục tung (nếu có)

II- Khảo sát một số hàm đa thức và phân thức :

1- Hàm số 3 2

( 0)

Ví dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3 2

y= x − x −

Giải :

1) TXĐ : D = R

2) Sự biến thiên :

• Chiều biến thiên :

2

y = x − x= x x−

0 ' 0

1

x

y

x

=



1

x y

x

<



> ⇔  > ,

y < ⇔ < <x

Suy ra, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0)

và (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (0; 1)

• Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x=0và yCĐ = - 2 Hàm số

đạt cực tiểu tại x=1 và yCT = - 3

• Các giới hạn tại vô cực :

lim ; lim

• Bảng biến thiên :

x -∞ 0 1 +∞

y’ + 0 − 0 +

y

-2 +∞

-∞ -3

3) Đồ thị :

2- Hàm số 4 2

( 0)

Ví dụ 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y x= − x +

TXĐ : D = R

y = x − x= x x −

0 ' 0

1

x y

x

=



3- Hàm số y ax b(c 0,ad bc 0)

cx d

+

Ví dụ 3 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 3

1

x y x

+

=

−

TXĐ : D = R \ {1}

2

4

( 1)

x

−

− y không xác định khi '

1

x=

Tiệm cận :

3 lim lim

1

x y

x

+

−

3 lim lim

1

x y

x

+

−

Do đó, đt x=1 là tiệm cận đứng

3

1

x y

x

+

−

Vậy đt y=1 là tiệm cận ngang

Trang 4

III – Sự tương giao của các đồ thị :

1- Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

Giả sử : ( )C là đồ thị của hàm số 1 y= f x( ) và ( )C là đồ thị của hàm số 2 y g x= ( ) Số nghiệm của phương trình ( )f x =g x( ) bằng số giao điểm của ( )C và 1 ( )C , tọa độ giao điểm là nghiệm của PT 2

( ) ( )

f x =g x

2- Viết phương trình tiếp tuyến :

Giả sử hàm số y= f x( ) có đồ thị là ( )C và M x f x( ; ( )) ( )0 0 ∈ C ; ( )f x có đạo hàm tại x x= 0 Phương

trình tiếp tuyến của ( )C tại M là : y y− 0 = f x'( )(0 x x− 0)

3- Sự tiếp xúc của hai đường cong :

Hai đường cong y= f x( ) và y g x= ( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình :

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

=



 có nghiệm Nghiệm của hệ trên là hoành độ của tiếp điểm.

Ví dụ : Cho hàm số :

4

2

x

y= − x −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số : 2

2

y k= − x

Giải :

a) TXĐ : D = R; y'= −x3 4x x x= ( 2−4), ' 0y = ⇔ =x 0,x= ±2

b)

4

3

x x

x

=



(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3

Ta có : y'= −x3 4x⇒ y'( 3)− = −15, '(3) 15y =

P.trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -3 và x = 3 lần lượt là :

15( 3)

y= − x+ và y=15(x−3) c)

4

x

Từ đó ta có : 9 : 4

k = − (C) và (P) có một điểm chung là 0; 9

4

9:

4

k > − (C) và (P) có hai giao điểm; 9:

4

k< − (C) và (P) không cắt nhau

Bài tập :

1 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :

y= x + −x d) y= −2x2− +x4 3

1

x

y

x

+

=

2

x y x

− +

= +

2- a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y= − +x3 3x+1

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình x3− + =3x m 0 theo tham số m.

3- Cho hàm số 3 1

2

x y x

+

= +

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x= −1

4- Cho hàm số y x= +3 (m+3)x2+ −1 m có đồ thị là (C m)

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x= −1

Trang 5

Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích

b) Xác định m để (C cắt trục hoành tại m) x= −2

2 1

x y x

+

=

−

b) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y x= +2

BÀI TẬP TỔNG HỢP :

1- Cho hàm số ( ) 1 3 2 2 3 1

3

f x = − x + x − +x

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

2- Cho hàm số y= − − +x4 x2 6

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

6

y= x− 3- Cho hàm số 2 1

2

x y x

+

=

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −5

4- Cho hàm số y = 1 4 3 2 5

2x − x +2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 0)

y x= − x + x−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm (2; 4)− và có hệ số góc bằng k Tìm các giá trị của k

để d là tiếp tuyến của (C).

6- Cho hàm số y x= 4−2x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Xác định m để phương trình : 4 2

x − x − =m có 4 nghiệm thực phân biệt

y= f x =x − mx +m −m

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=1

b) Xác định m để đồ thị ( C của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt m)

1

x y x

+

=

b) Tìm m để đường thẳng y= − +2x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 ( O là gốc tọa độ)

9- Cho hàm số y x= −3 (m+4)x2−4x m+

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số đi qua với mọi giá trị của m

b) CMR với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số luôn luôn có cực trị.

c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y kx= tại ba điểm phân biệt

10- Cho hàm số 1

x y x

− +

=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y x m= + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm m để tổng 1, 2 k1+k2 đạt giá trị lớn nhất

Trang 6

Chủ đề 4 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

I- PHƯƠNG TRÌNH MŨ :

1 Phương trình cơ bản : x ( 0, 1)

a =b a> a≠

Nếu b≤0 : PT vơ nghiệm

Nếu b>0 : PT cĩ nghiệm duy nhất x=loga b

2 Phương trình mũ đơn giản :

a) Phương trình cĩ thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng

cơ số, đặt ẩn phụ, lấy lơgarit hai vế (lơgarit hố)

b) Phương trình cĩ thể giải bằng phương pháp đồ thị

c) Phương trình cĩ thể giải bằng cách áp dụng tính chất của hàm số mũ

II – PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT :

1 Phương trình cơ bản : loga x b a= ( >0,a≠1)

Điều kiện của PT : x>0, PT luơn cĩ nghiệm duy nhất x a= b

2 Phương trình mũ đơn giản :

a) Phương trình cĩ thể đưa về phương trình cơ bản bằng cách áp dụng các phương pháp : đưa về cùng

cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hố hai vế

b) Phương trình cĩ thể giải bằng phương pháp đồ thị

Các ví dụ :

1 Giải các phương trình mũ sau :

3

(0,5) (0,5)x x 2 2x 2 8 1 9

2 Giải các phương trình mũ sau :

a) 32x− 1+32x=108⇔4.32x =3.108⇔32x=34 ⇔ =x 2

x

x VN

 = ⇔ =

= −



    Đặt

2 0 3

x

t=  >

 ÷

  , PT trở thành :

2

1 (

3 loại)

x

t

 



= −





3 Giải các phương trình lơgarit sau :

a) log (53 x+ =3) log (73 x+5), ĐK : 3

5

x> − PT⇔5x+ =3 7x+ ⇔ = −5 x 1 (loại) b) log (2 x− +5) log (2 x+ =2) 3, ĐK : x>5

6

3 ( loại)

x

=



c) log(x2−6x+ =7) log(x−3); ĐK :

hoặc

x



>



2 ( loại)

x

=



Trang 7

Ơn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích

log( 5) log 5 log

2

x> −

3 ( loại)

x

=



b) log 2 x+4log4x+log8x=13; ĐK : x>0

Bài tập :

1 Giải các phương trình mũ sau : a) 5x2 − − 5x 6 =1 b)

2 2 3

1

7 7

x x

x

− −

+

 ÷

1

7x− =2x

d) 2x+ 4+2x+ 2 =5x+ 1+3.5x e) 4.9x+12x−3.16x =0 f) 8− +x 2.4x+ − =2x 2 0

g) 32x+ 5 =3x+ 2+2 h) 52x+ 1+126.5x+25 0= i) 27x+12x=2.8x (chia cho 23x)

a) logx4+log 4x= +2 logx3 b) log (3 x−2).log5x=2log (3 x−2) c) xlog9+9logx =6

log (2x+1).log (2x+ + =2) 2 e) 1 2 log+ x+25 log (= 5 x+2)

3 CMR các phương trình sau chỉ cĩ một nghiệm x=1:

a) 4x+ =5x 9 b) 9x+2(x−2).3x+2x− =5 0 c) 2 (x x− + − + =2) x2 3x 2 0

Chủ đề 5 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

I Bất phương trình mũ :

1) BPT mũ cơ bản : x

a >b (hoặc a x≥b a, x<b a, x≤b) với a>0,a≠1.

Xét BPT a x >b:

• Nếu b≤0, tập nghiệm của BPT là ¡

• Nếu b>0 và : (BPT ⇔a x >aloga b)

+ a>1: nghiệm của BPT là : x>loga b

+ 0< <a 1: nghiệm của BPT là : x<loga b

2) BPT mũ đơn giản : Ta biến đổi về BPT mũ cơ bản hoặc BPT đại số.

II Bất phương trình lơgarit :

1) BPT lơgarit cơ bản : loga x b> (hoặc loga x b≥ , loga x b< , loga x b≤ ) với a>0,a≠1.

Xét BPT loga x b> :

+ a>1: loga x b> ⇔ >x a b

a x b> ⇔ < <x a

2) BPT lơgarit đơn giản : Ta biến đổi về BPT lơgarit cơ bản hoặc BPT đại số.

Các ví dụ :

1 Giải các BPT mũ sau :

2

x

3x 3x 28 28.3x 3.28 3x 3 1

x

1

x

x x

 <  <

2 Giải các BPT lơgarit sau :

a) log (4 2 ) 28 − x ≥ ⇔ −4 2x≥64⇔2x≤ − ⇔ ≤ −60 x 30

Trang 8

b) 0,2 5 0,2 2

2 2

log log ( 2) log 3

x x

>

x

>



3



Bài tập :

1 Giải các BPT mũ sau :

a)

2

−

4

4 3

x

x x <

| 2|

2 Giải các BPT lôgarit sau :

a) 1

3

log (x− ≥1) 2 b) 2

1 2

log (x +2x− ≥ −8) 4 c) 2

log x−5log x< −6 d)

4

4log x−33log 4 1x ≤

3 Cho a b c , với + = a>0, b>0

a) CMR : a m+b m <c , nếu m m>1 b) CMR : a m+b m >c , nếu m 0< <m 1

HD : Sử dụng tính chất của hàm số mũ : y a= x, khi a>1 hàm số luôn đồng biến, 0< <a 1 hàm số luôn nghịch biến

a) Ta có : + < ⇔  +  <

 ÷  ÷

Do : a 1, b 1

c < c < Suy ra : nếu m>1 thì

1

m

> ⇔ ÷ < ÷ =

m

  <

 ÷

 

Suy ra :   +  < + = + =

 ÷  ÷

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT

Bài 1 : Rút gọn :

1/

1 2

A

a

−

2/

3

2

:

−

3/

C

−

=

4

:

a b

−

− +

Bài 2 : Giải các phương trình sau :

1/ 4x =51024 2/ 81 3 1

32

x

2 5 6

3

1 2

x− +x

 ÷

5/ 1 1 1

7 4

28

− − = 6/ 2x+2x+ 2 =20 7/ 3.9x−2.9−x+ =5 0 8/ 4x+2x+ 1−24 0=

Bài 3 : Tính

1

log log 9

25

A= 2/ log 32 log 3 2

C= + 4/ D=log 6.log 9.log 23 8 6

Bài 4 : Thực hiện phép biến đổi :

Trang 9

Ôn thi tốt nghiệp 2012 – Phần giải tích

1/ Cho log 725 =a, log 52 =b Tính 5

49 log

8 theo ,a b 2/ Cho log 52 =a, log 32 =b Tính log 135 theo ,3 a b

Bài 5 : Tính đạo hàm các hàm số sau :

1/ y=(x2−2x+2)e x 2/ y=(x2+2)e−x 3/ y=2x ecosx 4/ 3

1

x

y x

= +

5/ y=ln(2x2+ +x 3) 6/ y=(2x−1) ln(3x2+x) 7/ ln(2 1)

2 1

x y

x

+

=

+ 8/ y=ln(x+ 1+x2)

Bài 6 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) :

1/ 5.3x+3.2x =7.2x−4.3x 2/ 5x+5x− 1+5x− 2 =3x+ 1+3x− 1+3x− 2

Bài 7 : Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) :

1/ 5 3

3x =5x 2/ 3x =25 2 − x 3/ (x+2) x− 1 = +(x 2)x− 3 4/ ( 2 ) 2 5 4 ( 2 ) 4

x + − + = x + +

Bài 8 : Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ) :

1/ 9x−5.3x+ =6 0 2/ 2.22x+15.2x− =8 0 3/ 5x+ 1−52 −x =124

4/ 2 2 2

3− x−2.3−x−27 0= 5/ (7 4 3+ ) (x+ +2 3)x=6 6/ 9sin 2x+9cos 2x =6

Bài 9 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về tích số) :

1/ 25.2x−10x+ =5x 25 2/ 12.3x+3.15x−5.5x=20

Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) :

1/ log (23 x− = −1) 2 2/ log (2 x+ −2) log (2 x− =2) 2 3/ 2

5

x

+

4/ log (9 2 ) 32 − x = −x 5/ log (33 x+1−26) 2= −x 6/ log (4 x+ −3) log2 x− = −1 2 log 84 Bài 11 : Giải các phương trình logarit sau (đặt ẩn phụ) :

3

log (2x+1).log (2 x+ + =2) 2 3/ 3 9

3

4

1 log

x

−

Bài 12 : Giải các bất phương trình sau :

1/ 23 6 − x >1 2/ log (35 x− <1) 1 3/ log (0,5 x2−5x+ ≥ −6) 1 4/ log31 2x 0

x

2x+2− +x − <3 0 6/ log20,5x+log0,5x− ≤2 0 7/ 1 2 3

3

log (x −6x+ +5) 2log (2− ≥x) 0

Chủ đề 6 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I- Nguyên hàm :

1 Phương pháp đổi biến số : ∫ f u x u x dx F u x[ ( )] ( )′ = [ ( )]+C

2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : ∫udv uv= − ∫vdu

II- Tích phân : ∫b ( ) = ( )b= ( ) − ( )

a a

f x dx F x F b F a

1 Phương pháp đổi biến số : b [ ]

a

f x dx( ) βf ( ) ( )t t dt

α

=

u(a) a

f u x u x dx′ = f u du

2 Phương pháp tích phân từng phần : b b a b

udv uv= − vdu

III Diện tích hình phẳng :

Trang 10

1 Giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành :

b a

S=∫ f x dx( )

2 Giới hạn bởi hai đường cong : b

a

S=∫ f x1( ) −f x dx2( )

Nếu trên [α; β] biểu thức f 1 (x) – f 2 (x) không đổi dấu thì: β f x1( ) f x dx2( ) β f x1( ) f x dx2( )

IV Thể tích khối tròn xoay : b

a

V= π∫f x dx2( )

BÀI TẬP :

NGUYÊN HÀM

1- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) ( ) 3 2

2

x

f x = x + b) f x( )=x13 c) f x( ) cos= 2 x d) f x( ) 10= 2x e)

2

( )

f x

=

2- Tìm :

a) ∫( x+3 x dx) b) x x 2 x dx

x

+

2 xdx

+

∫ d)∫4sin xdx2 e) 22 1

+

∫

3- Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của :

a)

2

3

9

( )

1

x

f x

x

=

1 ( )

f x

x

=

1 ( )

f x

=

+

4- Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của :

a) ( ) sin

2

x

f x =x b) f x( )=x2cosx c) f x( )=xex d) f x( )=x3ln(2 )x

Bài tập tổng hợp : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

1- a) f x( ) 3 7 3= x − x2 b) ( ) cos(3f x = x+4) c) ( ) 2 1

cos (3 2)

f x

x

=

+ d) ( ) sin5 3cos3

f x =

2- a)

5 3 2

18

x

f x =x  − ÷

( ) sin cos

f x

3- a) f x( )=x2cos2x b) f x( )= x xln c) f x( ) sin cos= 4 x x d) f x( )=xcos( )x2

4- Tìm :

a)

2

ln x dx

x

4 cosx dx

x

−

∫ c) ∫(x+sin )cos2x xdx d) ∫ln(x2−x dx) e) 2dx 2 (a 0)

−

cos 1 sin

sin

dx x

∫ h) ∫e2xsin 3xdx

TÍCH PHÂN

1- Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,64 MB