Ôn thi tốt nghiệp THPT môn tóan cực hay

Ôn thi tốt nghiệp THPT môn tóan cực hay tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...

Biên soạn: Đỗ Cao Long

THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2009

A CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

I

· Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số

· Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị

của hàm số: Chiều biến thiên của hàm số Cực trị Tiếp tuyến,

tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị của hàm số Tìm trên đồ

thị những điểm có tính chất cho trước; tương giao giữa hai đồ

thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);

Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh

của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối

lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay;

tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

1,0

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương

trình đó (phần 1 hoặc phần 2)

IV.a

Phương pháp toạ độ trong trong không gian:

- Xác định toạ độ của điểm, vectơ

- Mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

2,0

V.a

· Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức

Căn bậc hai của số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực

có biệt thức D âm

· Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích

khối tròn xoay

1,0

2 Theo chương trình Nâng cao:

IV.b

Phương pháp toạ độ trong trong không gian:

- Xác định toạ độ của điểm, vectơ

- Mặt cầu

- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

- Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

2,0

V.b

· Số phức: Môđun của số phức, các phép toán trên số phức

Căn bậc hai của số phức Phương trình bậc hai với hệ số phức Dạng lượng giác của số phức

· Sự tiếp xúc của hai đường cong

· Hệ phương trình mũ và lôgarit

· Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích

khối tròn xoay

1,0

Chuyên đề I:

Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số Các bài toán liên quan đến ứng

dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số

1 Chiều biến thiên của hàm số

Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y= f x( )

1 Tìm tập xác định

2 Tính đạo hàm y¢= f¢( )x Giải phương trình f¢( )x =0 để

tìm các nghiệm x i i( =1, 2 ,n)

3 Sắp xếp các nghiệm x i theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải

và lập bảng biến thiên của hàm số

4 Kết luận (hàm số đồng biến trên khoảng mà f¢( )x >0 và

· Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến trên khoảng

(-2;0) và nghịch biến rtreen khoảng ( )0; 2

Một lưu ý quan trọng đó là nếu tập xác định là khoảng ( )a b;

hoặc hàm số gián đoạn tại x0 thì ta cần tính các giới hạn

Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng (-2; 0 , 2;) ( +¥)

H/số nghịch biến trên các khoảng (-¥ -; 2 , 0; 2) ( )

Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng (-1;1)

Giải phương trình này tìm được m

· Thử lại (Điều kiện đủ)

Với giá trị của m tìm được, ta tính y¢¢( )x0

- Nếu y¢¢( )x0 >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x=x0

- Nếu y¢¢( )x0 <0 thì hàm số đạt cực đại tại x=x0

Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn

· Kết luận

Còn có cách khác để thử lại đó là lập bảng biến thiên để kiểm

tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x=x0

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số

2

1

x mx y

1

2

m m

hàm số đạt cực tiểu tại x=2 (không thỏa đề bài)

hàm số đạt cực đại tại x=2 (thỏa đề bài)

· Kết luận: Giá trị của m phải tìm là m= -3 Dạng 2: Chứng minh hàm số y= f x m( , ) luôn có cực trị với mọi

giá trị của tham số m

Cách giải:

Chứng tỏ fy x m( , )=0 luôn có nghiệm và đổi dấu khi x chạy

qua các nghiệm đó

- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y¢ có delta dương;

- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để

tìm m để y¢ có 1 nghiệm, hoặc 3 nghiệm

Suy ra y¢=0 có hai nghiệm phân biệt và y¢ đổi dấu (có thể lập

bảng xét dấu với hai nghiệm x x1, 2) khi x đi qua hai nghiệm đó

· Vậy hàm số luôn có một cực đại, một cực tiểu với mọi m

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số y=x3-6x2 +9x có đồ

thị (C) Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng

2

y= +x m -m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm

cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

Câu 2: Tìm m để hàm số 3 2 2

53

Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số A( )3;0 , B( )1; 4

Trung điểm hai cực trị M( )2; 2 Cho M( )2; 2 thuộc đường

Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị ( )C và M x y( 0; 0) là điểm trên

( )C Tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại M x y( 0; 0) có:

- Hoành độ tiếp điểm: x0

- Tung độ tiếp điểm: y0 {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y0 = f x( )0 }

0 2

x = - , y0 =9 ở tọa độ của M (đề đã cho)

Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số 1

1

x y x

-=+

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Tại điểm có tung độ bằng 3

x

=+

Gọi tọa độ tiếp điểm là (x y0; 0) Theo giả thiết có x0 =2

· Tung độ tiếp điểm: 0

0 0

1 2 1 1

1 2 1 3

x y x

x y x

-=+ và tính

đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến k = y x¢( )0 = y¢( )2

x

=+

Gọi tọa độ tiếp điểm là (x y0; 0) Theo giả thiết có y0 =3

0 0

131

x y x

Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó

Dấu hiệu:

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )d :ax+by+ =c 0

- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )d :ax+by+ =c 0

Tính hệ số góc của tiếp tuyến k (theo các dấu hiệu trên)

· Gọi (x y0; 0) là tọa độ tiếp điểm

· Hệ số góc của t/tuyến k = y x¢( )0

- Giải ph/trình này tìm được x0

- Thay vào y0 = f x( )0 để tính tung độ tiếp điểm

· Viết p/trình t/tuyến

Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số 2

1

x y x

2

21

Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến k = y x¢( )0 = -2 (đề cho)

b) T/tuyến song song với ( )d nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của ( )d , bằng 1

21

63

2

x y

21

2

x y

x

Tr/hợp này ta có p/trình t/tuyến tại 1

; 22

· Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là

+

=+ tại

điểm thuộc đồ thị có hoành độ x0 = -3

Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

(C) hàm số y=x3-3x+2 tại điểm A(2;4)

Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):

2

x y x

-=+ , gọi đồ thị của hàm số là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của

-=+ , gọi đồ thị của hàm số là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng y0 = -2

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( )để biện luận theo m số

nghiệm của phương trình f x( )=m

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

x y

3

- 3

-2 -1

y= x - x với đường thẳng ( )d :y= -m 1 (song song với trục

hoành) nên số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của ( )d và ( )C

· Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau:

ë ë , ta thấy ( )d cắt ( )C tại một điểm

và tiếp xúc tại một điểm Suy ra (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn

î î , ta thấy ( )d cắt ( )C tại ba điểm

phân biệt Suy ra (2) có 3 nghiệm phân biệt

· Kết luận:

* Với m< -1 hoặc m>3, p/trình (1) vô nghiệm

* Với m= -1 hoặc m=3, p.trình (1) có hai nghiệm

* Với - < <1 m 3, p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

và kết luận (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Suy ra ( )d cắt

( )C tại hai điểm phân biệt

- Tương tự, kết luận cho tr.hợp D < D =0; 0

Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng ( )d :y=2x+m luôn cắt

đồ thị ( )C của hàm số 3

1

x y x

+

=+ tại hai điểm phân biệt M, N

Gợi ý – Giải:

· P/trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C là

321

x

x m x

Mặt khác, thay x= -1 vào vế trái của (2) ta được

2 -1 - +1 m + - = - ¹m 3 2 0 với mọi m (b)

· Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt

thỏa x¹ -1 Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy đ/thẳng ( )d luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt với mọi

· Phân tích bài toán:

- Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ y=0

- Vậy ( )C m cắt trục hoành tại điểm ( ) (x y; = -2;0)

- Điểm này thuộc ( )C m nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình ( )C m

Lời giải:

· Từ giả thiết ta suy ra ( )C m cắt trục hoành tại điểm (-2;0), thay

tọa độ điểm này vào p/trình của ( )C m ta được:

2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

3 2

2x +3x - =1 m

Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB):

Cho hàm số y=x3-3x2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

5 Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số

-=+ có tọa độ là

những số nguyên

Giải:

· Đ/k xác định: x+ ¹ Û ¹ -1 0 x 1

· Chia tử cho mẫu ta có 1 4

Các trường hợp xảy ra:

cx d

+

=+

Và

( )

lim

d x c

®±¥ = , suy ra tiệm cận ngang là đ/t y a

c

=

· Bảng biến thiên (điền đầy đủ các thông tin, chú ý giá trị các

giới hạn đã tính)

· Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

- Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) của hàm số;

- Cực trị của hàm số (nếu có)

· Vẽ đồ thị:

- Xác định giao điểm với trục hoành: Cho y=0, tìm x

- Xác định giao điểm với trục tung: Cho x=0, tìm y

- Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ

thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung điểm hai cực trị; hàm bậc

bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao điểm 2 t/cận)

Giải phương trình f¢( )x =0 và tìm các nghiệm x0 thuộc

đoạn [ ]a b; (các nghiệm nằm ngoài đoạn này không lấy )

x y

y x

hàm số f x( )= +x 2 cosx trên đoạn 0;

x y x

a =a Û f x = g x

( ) 1 ( ) 0

f x

a = Û f x = ;

· Kết luận, nghiệm của (1)

Ví dụ: Giải các phương trình sau

Giải p/trình này được t =6 (thỏa); t = - <1 0 (không thỏa)

có cùng chiều) Để giải BPT x2-3x+ £2 0, ta tìm nghiệm tam

thức x2-3x+2 và xét dấu rồi chọn miền nghiệm

1log loga

a

=

Cộng, trừ logarit : loga b+loga c=loga b c ;

loga b loga c loga b

a

b b

loga f x = Ûc f x =a c

Chú ý: log10a=loga=lga; loge a=lna

Dạng 1: Biến đổi về phương trình loga f x( )=loga g x( )

Cách giải:

- Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi

- Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit

Giải p/trình này dược x=6 (thỏa đ/k); x= -1 (không thỏa đ/k)

· Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất x=6 Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit

Điều kiện xỏc định: ( )

( )

00

f x

g x

ỡ >

ùớ

{ Cơ số a= >2 1 nờn cú BPT cựng chiều}

ã Vậy tập nghiệm của bất p/trỡnh đó cho 1 1;

a= < nờn BPT đổi chiều}

ã Vậy tập nghiệm của bất p/trỡnh đó cho 1;3

2

T ổ ử

= ỗố ữứ

Bài tập:

Cõu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phõn ban):

Giải phương trỡnh log4x+log2( )4x =5

Cõu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phõn ban):

Giải phương trỡnh log3(x+2)+log3(x-2)=log 53 (xẻĂ)

Cõu 3: Giải cỏc bất phương trỡnh

.3

cầu

V = p R

Thể tớch khối lăng trụ VL/trụ =Sđáy.h

Thể tích khối nón tròn xoay : 1 2.

3

nãn

V = pR h

Thể tích khối trụ tròn xoay: Vtrô =pR h2

· Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay: SXq-nãn =pR l

Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: SXq-trô =2pR l

Một số hình cần chú ý:

- Hình chóp đều có đáy là tam giác, hình vuông

- Hình chóp có một cạnh vuông góc với đáy (hình chữ nhật, hình

vuông, tam giác vuông)

- Hình nón tròn xoay, biết chiều cao, hoặc đường sinh, bán kính

đường tròn đáy, góc phẳng ở đỉnh

- Hình nón bị cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh giao với đường tròn

đáy tại hai điểm A, B, biết AB và giả thiết khác

Yêu cầu: Giải lại các bài toán trong SGK HH12 có dạng trên, ghi

nhớ cách tính các yếu tố cần thiết và mối quan hệ giữa các yếu tố

dựa vào hình vẽ, tính chất của hình

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

cạnh bên SB bằng a 3

1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

2 Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp S.ABCD

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hình chóp tứ giác

S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA

vuông góc với đáy và SA =AC Tính thể tích của khối chóp

S.ABCD

Câu 3 (Đề TN 2008, Lần 1, Phân ban):

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên

bằng 2a Gọi I là trung điểm

của cạnh BC

1) Chứng minh SA vuông góc với BC

2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Phân ban):

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB=a, BC= a 3

và SA=3a

1 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

2 Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a

Chuyên đề V:

Phương pháp toạ độ trong trong không gian

1 Tọa độ của điểm, vectơ

y y

I y

z z z

+

ì =ïï

+

ï =íï

+

ï =ïî

;

333

y y y

G y

z z z z

+ +

ì =ïï

+ +

ï =íï

+ +

ï =ïî

- Tính tọa độ vecto uuurAB

( ; ; )

I a b c , bán kính R= a2+b2+c2-d

Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ) và đi qua một

điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không

đồng phẳng

Chú ý: Khoảng cách từ điểm M x( M;y M;z M) đến đường thẳng

( )D :Ax+By+Cz+ =D 0 được tính theo công thức

y y y

z z z

ïï

-íï

ï = + = - + - = ïî

-Hay i(2; 1; 2- - )

- Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp( )P

Ví dụ 3: Viết ph/trình mặt cầu có tâm M(0; 1;1- ) và tiếp xúc với

Câu 1 (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ

độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7)

1 Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E

2 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF

Một số dấu hiệu:

- Mặt phẳng ( )P vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường thẳng

( )d Khi đó vecto uuurAB

hoặc vecto chỉ phương uuurd

của ( )d là vecto pháp tuyến của mp( )P

- Mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )Q , khi đó vecto pháp tuyến nuurQ

của mp( )Q cũng là vecto pháp tuyến của mp( )P

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )P đi qua điểm A(1; 2; 3- ) và :

b) song song với mặt phẳng ( )Q :x- -y 3z=0

c) vuông góc với đường thẳng AB với A(0;1;1), B(-1; 2;0)

Mặt khác ( )P đi qua điểm A(1; 2; 3- )

· Vậy p/trình tổng quát của ( )P :

2 x- + -1 1 y-2 +3 z- -3 =0

Hay 2x- +y 3z+ =9 0

b) · ( ) ( )P || Q nên vecto pháp tuyến của ( )Q , nr =(1; 1; 3- - )

cũng

là vecto pháp tuyến của ( )P

· Mặt khác ( )P đi qua điểm A(1; 2; 3- )

· Vậy p/trình tổng quát của ( )P :

· Vậy p/trình tổng quát của ( )P :

Một số dấu hiệu thường gặp:

- Mp( )P song song với hai đường thẳng ( ) ( )d1 , d2 không cùng

2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz

cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4)

1 Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

2 Gọi M là điểm sao choMBuuur= -2MCuuuur

Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC

x x at

y y bt

z z ct

= +ì

ï = +í

ï = +î

Yêu cầu: Từ các p/trình tham số và p/trình chính tắc của đ/thẳng

phải biết lấy vecto chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng

Dạng 1: Đường thẳng đi qua điểm M x( M;y M;z M ) và có vecto chỉ phương xác định trước

Một số dấu hiệu thường gặp:

- Đường thẳng ( )D đi qua hai điểm M N, , khi đó vecto MNuuuur

là vecto chỉ phương của ( )D

- Đường thẳng ( )D vuông góc với mặt phẳng ( )P Khi đó vecto pháp tuyến nuurP

của ( )P là vecto chỉ phương của ( )D