ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIANÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIANÔN THI TỐT NGHIỆP THPTQG PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

I HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

1

A

C

B

R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)

b c

a

A

b c

a – nửa chu vi

– bán kính đường tròn nội tiếp

A

b c

a

2

2

2

bc

ac

ab

+

+

A

 BC2 =AB2 +AC2 (Pitago)

 AH BC =AB AC.

 AB2=BH BC AC , 2=CH CB.

 12 12 12, AH2 HB HC.

AH =AB +AC =

BC

AM =

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2

2

2

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông.

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

3 4

 Chiều cao tam giác đều:

3 2

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2.

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

A

N K

M

2 2

/ /

AMN ABC

k

D D

æ ö÷

* =çç ÷÷=

çè ø (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

A

N M

B

1 2

ABC

SD AB AC

A

B

C

a

h

4 3 2

ABC

a S

a h

D

ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

C D

a O

2

2

HV

ïïï

Þ íï

ïïî

(cạnh)2

đều

(cạnh)

đều

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:

S Hình Thang

1 2

= .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu y: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản

dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích

đa giác

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Quan Hệ Song Song

a/ Chứng minh đường thẳng // d mp a với ( ) (dË ( )a )

 Chứng minh: d d // ' và d' ( )Ì a

 Chứng minh: dÌ ( )b và ( )b // ( )a

b/ Chứng minh mp( )a // mp( )b

 Chứng minh mp a( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b( ).

 Chứng minh mp a( ) và mp b( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc

với 1 đường thẳng.

c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mp a b( ),( ) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

( ) // //

( )a Ç b =Sx a b.



//

//

( )

( )

a mp

b a

a

b

íï Ì

2 Quan Hệ Vuông Góc

a/ Chứng minh đường thẳng d^mp a( )

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp a( ).

3

A

B H C

D

2

AD BC AH

A

B

D

2

H Thoi

 Chứng minh:

( )

// ' '

d d

íï ^

 Chứng minh: ( )

( ) // ( )

b

ìï ^

íï

 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ 3:

( ) ( ) ( ) ( )

P

d

a b

ìï ^ ïï

íï

ïïî

b/ Chứng minh đường thẳng d^d'

 Chứng minh d^( )a và ( )a É d'.

 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

 Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng900

c/ Chứng minh mp( )a ^mp( )b

 Chứng minh ( )

d

d

a

b

ìï É

íï ^

vuông góc với mp kia)

 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900

3/ Góc Và Khoảng Cách.

a/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

//

//

' ( , ) ( ', ') '

a a

íï

b/ Góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng mp a( )

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

( )

·, ( , ')·

(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp a( )). φ

α

d

φ

a

b

'

a

'

b

c/ Góc giữa hai mp a và ( ) mp b( )

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

( )

·

(( );a b ) =( , )a b¶ =f

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

( , )

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp a( )

chứa d' và song song với d.

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( )a , b

lần lượt chứa dvà d'.

5

φ

M

d

'

d

M

M

D H

'

d

A

B

C H O

A

D S

4/ Hinh Chóp Đều

a/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân

đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo

với đáy các góc bằng nhau

Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi đó:

ĐáyABC là tam giác đều.

Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao: SO

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO =SBO· =SCO· .

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

AB

Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

ĐáyABCD là hình vuông.

Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

Chiều cao: SO

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO=SBO· =SCO· =SDO· .

Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

B

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp

a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc

với đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh

bên vuông góc với đáy

Ví du: Hình chópS ABC có cạnh bên

SA ^ ABC thì chiều cao làSA

b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc

với mặt đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của

tam giác chứa trong mặt bên vuông góc

với đáy

Ví du: Hình chópS ABCD có mặt bên

(SAB vuông góc với mặt đáy) (ABCD thì chiều cao của hình chóp)

là chiều cao củaDSAB

c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc

với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến

của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy

Ví du: Hình chópS ABCD có hai mặt bên

(SAB và) (SAD cùng vuông góc )

với mặt đáy(ABCD thì chiều cao )

là SA

d/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng

nối đỉnh và tâm của đáy

Ví du: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCD

thì có đường cao làSO

6/ Thể Tích Khối Đa Diện

1/ Thể tích khối chóp: 1

3

:

B Diện tích mặt đáy.

:

h Chiều cao của khối chóp.

2/ Thể tích khối lăng tru: V =B h

:

B Diện tích mặt đáy.

:

h Chiều cao của khối chóp.

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng

là cạnh bên

7

C D S

O

C A

B

B’

A

B

C

A’

B’

C’

a b

c

a

S

A

’

B

’ C

’

C

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật:

Þ Thể tích khối lập phương: V =a3

4/ Tỉ số thể tích:

' ' '

.

S A B C

S ABC

5/ Hình chóp cut A’B’C’.ABC

( ' ')

3

h

Với , ',B B h là diện tích hai đáy và chiều

cao

B BÀI TẬP MẪU

Thí du 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại

B BAC = SA=AC = và SA vuông góc với a mp ABC( )

.Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABC

* Ta có: . 1. . ( )1

3

S ABC ABC

* Trong đó: SA=a ( )2

* Tìm SDABC?

TrongDABCvuông tạiB , ta có:

0 0

.sin30 sin30

2 3

2

a

AC

AC

ì

( )

2

ABC

S

B

3

0 0

a

* Thay( ) ( )2 , 3 vào( ) . 2 3

S ABC

Tính khoảng cách từA đến mp SBC ( )

.

3

3

S ABC

SBC

V

S

D

D

* Tìm DSBC ?

SBC

( )

2

* Thế( ) ( )4 , 6 vào( )5 ,( ) 3 3 3 28 21

d A SBC

a

Thí du 2 Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật có

AB =a BC = a Hai mp SAB và ( ) mp SAD cùng vuông góc với mặt ( )

phẳng đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp0

S ABCD theoa

Bài giải tham khảo



ïï

íï

ïïî

Þ Hình chiếu củaSC lên mp ABCD là( )

AC

3

S ABCD ACBD

 TìmSA ?

9

S

6

0 0

TrongDSAC vuông tạiA : tanSCA· SA SA AC.tanSCA·

AC

( )

2 2.tan600 2 (2 ) 32 15 2

= + = + =

 Ta lại có: S ABCD =AB BC =a a.2 =2a2 ( )3 .

 Thay( ) ( )2 , 3 vào( )1 1 15 2 2 2 3 15

ABCD

a

Thí du 3 Hình chóp S ABC có BC =2a , đáy ABC là tam giác vuông tại , C SAB là

tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy

Gọi I là trung điểm cạnhAB

a/ Chứng minh rằng, đường thẳng SI ^mp ABC( ) .

b/ Biết mp SAC hợp với( ) mp ABC một góc( ) 60 Tính thể tích khối chóp0

S ABC

Bài giải tham khảo

a/ CM: SI ^mp ABC( )

 DoDSABvuông cân tại cóSI là trung tuyếnÞ SI cũng

đồng thời là đường caoÞ SI ^AB

ïï

íï

ïïî

(đpcm)

b/ Tính thể tích khối chópS ABC

 GọiK là trung điểm của đoạnAC

SK

Þ vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong

 TrongDABCvuông tạiC có KI là đường trung bình.

//

KI BC

ìïï

 Mặt khác:

ï

ïïî

 Mà: . 1 . ( )1

3

S ABC ABC

 TìmSI ?

S

C

I K

6

0 0

2 a

TrongDSKI vuông tạiI , ta có:

2

SI

IK

 TìmSDABC ?

( )2

ABC

( ) ( ) ( )

1.2 2 32 2 2 2 2 2 3

Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) 2 3

.

S ABC

a

Thí du 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáyABC là tam giác đều cạnh bằnga ' ' '

Hình chiếu vuông góc của A xuống' mp ABC là trung điểm củaAB Mặt ( )

bên(AA C C tạo với đáy một góc bằng 45' ' ) o Tính thể tích của khối lăng

trụ này.

Bài giải tham khảo

 Gọi , ,H M I lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng AB AC AM , ,

V ABC A B C ' ' ' =B h =SDABC 'A H ( )1

 DoDABCđều nên: 2 3 2 3 ( )2

ABC

 TìmA H ?'

DoIH là đường trung bình trong đều AMBD ,

đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường

cao

Do đó: IH // MB

'

ïî

ïïî

Trong DA HI' vuông tạiH , ta có:

( )

o

HI

11

A

C

’

C M

I

H

a

 Thay( ) ( )2 , 3 vào( ) ' ' ' 2 3

ABC A B C

V

Thí du 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáyABC là tam giác vuông tại ' ' '

A AC =a ACB = Đường chéo BC của mặt bên ' (BC C C tạo với ' ' )

mặt phẳng mp AA C C một góc ( ' ' ) 300 Tính thể tích của khối lăng trụ theo

a

Bài giải tham khảo

 Ta có: AB AC AB (ACC A)

ìï ^

vuông góc của BC ¢ lên ( ACC A¢ ¢ )

Từ đó, góc giữaBC ¢và ( ACC A¢ ¢là ) BC A· ¢ =300.

 Trong tam giác vuôngABC : AB =AC.tan600=a 3.

 Trong tam giác vuôngABC : ' AC¢=AB.cot 300=a 3 3=3a.

 Trong tam giác vuông ACC :'

' ' (3 ) 2 2

CC = AC - AC = a - a = a

(đvdt)

Thí du 6 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy

bằng 60 Tính thể tích của hình chóp 0 S ABCD

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABCD

 GọiO là tâm của mặt đáy thì SO ^mp ABCD( )

nênSO là đường cao của hình chóp và gọiM là

trung điểm đoạnCD

ïï

íï

ïïî

(góc giữa mặt(SCD)và mặt đáy)

3

S ABCD ABCD

 TìmSO ?

B

’

B

’

A

a 6

0 0

3

0 o

S

TrongDSMOvuông tạiO , ta có: tanSMO· SO

OM

=

2

BC

 Mặt khác: S ABCD =BC2=( )2a 2=4a2 ( )3

 Thế( ) ( )2 , 3 vào( )1 1.4 32 4 3 3

ABCD

a

C BÀI TẬP

Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tại

B AB =a SA ^ ABC , góc giữa mp SBC và( ) mp ABC bằng( ) 30 GọiM0

là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích khối chóp S ABM theo a

HD: Cm : BC ^(SAB), KeMN // BC ,

1

3

S ABM M SAB SAB

3 2

36

S ABM M SAB

a

Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCD cạnha , mặt bênSAD là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD Gọi , , M N P lần

lượt là trung điểm củaSB BC CD Tính thể tích khối tứ diệnCMNP , ,

HD: GọiH là trung điểm củaAD thì

//

3

CMNP CNP

13

S

H

A

B M

N

P

K

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật

vớiAB =a AD, =a 2,SA = và SA vuông góc với a

mặt phẳng đáy Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của

,

AD SC vàI là giao điểm của BM vàAC Tính thể tích

khối tứ diệnANIB

HD: GọiO là tâm của của đáyABCD

 TrongDSAC , ta cóNO là đường trung bình nên:

//

NO SA

íï ^

ïïî

.

1. . 3

ANIB N AIB AIB

 Tìm SDAIB =?

DoI là trọng tâm ABDD nên

2

ïïï

ïî

AB =a =æççç ö÷÷÷÷+æççç ö÷÷÷÷=AI +BI Þ DAIB

.

N AIB

Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C có ' ' ' BB'= , góc giữa đường thẳnga

'

BB và mp ABC bằng ( ) 60 , tam giácABC vuông tạiC và góc0

BAC = Hình chiếu vuông góc của điểmB lên ' mp ABC trùng với ( )

trọng tâm củaDABC Tính thể tích của khối tứ diệnA ABC theo a '

HD:

Gọi ,M N là trung điểm của AB AC Khi đó,G là trọng tâm của ABC, D

Do hình chiếu điểmB lên ' mp ABC làG nên( ) B G' ^(ABC)

C D

M I

S

A

B M

N

I O

A

’

B

’

C

’

Ta có: ' 1 1 ( )

A ABC ABC

TìmB G ?'

Trong DB BG' vuông tạiG và có · B BG =' 600nên nó là nữa tam giác đều cạnh là

'

a

 TìmAB BC ?,

ĐặtAB =2x TrongDABCvuông tạiC có · BAC =600nên nó

cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC

2

AB

a

TrongDBNCvuông tạiC : BN2=NC2+BC2

( )

2 2

3

2 13

a AC

a BC

ìïï = ïï ïï

ïï = ïï ïïî

6 2 13 2 13 2 108

A ABC

V

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách

đều A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp

S.ABC

HD:

15

6

0 0

B

M

G

Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng

3

a và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’ ABC

HD:

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,

· 600

ACB= Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300

a) Chứng minh tam giác ABC' vuông tại A

b) Tính độ dài đoạn AC’

c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC

HD:

Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)

Cho hình lập phươngABCD A B C D có cạnh bằng 1 Gọi , ' ' ' ' M N lần lượt là

trung điểm củaAB và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ' A C và

MN

HD: PP tọa độ ĐS: ( , ') 2

4

d MN AC =

Bài 9 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tại B SA, ^mp ABC( )

Biết rằng: AB = a, AC =2a, góc giữa hai mặt phẳng(SBC và) (ABC bằng)

0

60 Tính thể tích khối chóp S ABC theoa

ĐS: V = a32.

,