Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

A. TÊN ĐỀ TÀI: “Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số” B. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Học toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một vấn đề trừ tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất cần thiết cho mỗi học sinh trong đó quá trình học toán ở trường THCS. Trong môn toán trong trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán, phải cố gắng hướng dẫn cách học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có nhiều thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có long tận tâm và phương pháp đúng đắn. Đây là những cơ hội rất tốt để trang bị cho học sinh một số tri thức, phương pháp giải toán nhằm rèn luyện phát triển ở các em năng lực tư duy. Biết ra đề cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng học sinh. Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần thiết phải có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tích lũy được qua quá trình học tập, rèn luyện. Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán, bài tập trong học tập ta phải tìm một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều cách thử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc kết hợp nhiều cách giải cho một bài tập. Nhưng không ai cũng biết được hết cách giải các bài toán trong toán học, ngoài ra biết rồi còn phải áp dụng chúng như thế nào lại là một vấn đề khó. Nhằm cung cấp cách giải cho các dạng toán tìm cực trị của biểu thức đại số tôi tiến hành nghiên cứu đề tài “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số”. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này. Để giải các bài toán cực trị đại số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các biểu thức biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng đơn giản đến phức tạp. Biết sử dụng một cách linh hoạt bất đẳng thức Côsi. Bởi thế, có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp hai tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số. C. PHẠM VI, THỜI GIAN THỰC HIỆN. Phạm vi: Học sinh lớp 9A1, 9A4 Thời gian: 1 năm. D. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI. I. Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài. 1. Đặc điểm tình hình: Thuận lợi: + Các em đều có ý thức học toán, muốn tìm tòi các dạng toán mới. + Có đầy đủ các loại sách tham khảo. Khó khăn: Dạng toán tìm cực trị đòi hỏi phải sử dụng các phép biến đổi khác nhau, các em khó phát hiện ra phương pháp giải. Chính vì vậy khi gặp dạng toán tìm cực trị các em rất lúng túng và dẫn tới chán nản.

MỤC LỤC

Phần I: Sơ yếu lý lịch Trang 2

Phần II: Nội dung đề tài Trang 3

A Tên đề tài Trang 3

B Lý do chọn đề tài Trang 3

C Phạm vi, thời gian thực hiện Trang 4

D Quá trình thực hiện đề tài Trang 4

I Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài Trang 4

II Những nội dung biện pháp đã thực hiện Trang 5

1 Phương pháp chung Trang 5

2 Các dạng bài tập tìm GTNN, GTLN thường gặp Trang 6

Phần III Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau quá trình

thực hiện đề tài Trang 23

Phần IV: Kết luận Trang 24

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm 2013- 2014 PHẦN I: SƠ YẾU LÝ LỊCH

Họ và tên: Đỗ Thị Xuân

Ngày sinh: 10- 6- 1972

Năm vào ngành: 9/ 1993

Chức vụ: Tổ trưởng tổ khoa học tự nhiên

Đơn vị công tác: Đại học

Ngày vào Đảng: 01- 07- 1996

Nhiệm vụ được giao: Dạy toán lớp 9A1, 9A4

Thành tích: Năm học 2012- 2013: Lao động tiên tiến

PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Trong môn toán trong trường THCS có rất nhiều bài toán chưa hoặckhông có thuật toán để giải Đối với những bài toán, phải cố gắng hướng dẫncách học sinh suy nghĩ, tìm tòi lời giải Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải cónhiều thời gian và kinh nghiệm sư phạm, phải có long tận tâm và phương phápđúng đắn Đây là những cơ hội rất tốt để trang bị cho học sinh một số tri thức,phương pháp giải toán nhằm rèn luyện phát triển ở các em năng lực tư duy Biết

ra đề cho học sinh đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi mở sâu sắc, phù hợpvới trình độ đối tượng học sinh

Để giải các bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức còn cần thiết phải

có phương pháp suy nghĩ khoa học cùng với những kinh nghiệm cá nhân tíchlũy được qua quá trình học tập, rèn luyện

Mỗi bài toán trong thực tế cũng như những bài toán, bài tập trong học tập

ta phải tìm một cách tiếp cận, một cách giải, nhiều khi phải trải qua nhiều cáchthử giải ta mới chọn được một cách giải thích hợp nhất hoặc kết hợp nhiều cáchgiải cho một bài tập Nhưng không ai cũng biết được hết cách giải các bài toántrong toán học, ngoài ra biết rồi còn phải áp dụng chúng như thế nào lại là mộtvấn đề khó Nhằm cung cấp cách giải cho các dạng toán tìm cực trị của biểuthức đại số tôi tiến hành nghiên cứu đề tài “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức đại số”

Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối vớihọc sinh ở bậc học này

Để giải các bài toán cực trị đại số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củabiểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các biểu thức biến đổi đồng nhấtcác biểu thức đại số phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng đơn giản đếnphức tạp Biết sử dụng một cách linh hoạt bất đẳng thức Côsi Bởi thế, có thể nóicác bài toán cực trị đại số ở cấp hai tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiệnrèn luyện kĩ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số.

C PHẠM VI, THỜI GIAN THỰC HIỆN.

- Phạm vi: Học sinh lớp 9A1, 9A4

- Thời gian: 1 năm

D QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.

I Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài.

1 Đặc điểm tình hình:

- Thuận lợi:

+ Các em đều có ý thức học toán, muốn tìm tòi các dạng toán mới

+ Có đầy đủ các loại sách tham khảo

- Khó khăn: Dạng toán tìm cực trị đòi hỏi phải sử dụng các phép biến đổikhác nhau, các em khó phát hiện ra phương pháp giải Chính vì vậy khi gặpdạng toán tìm cực trị các em rất lúng túng và dẫn tới chán nản

2 Bảng điều tra bài kiểm tra 15’:

1 Phương pháp chung khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu

thức đại số

Nếu với mọi giá trị của biến thuộc khoảng xác định nào đó mà giá trị của

A ≥ k (≤ k) và tồn tại giá trị biến để A = k thị k gọi là GTNN (GTLN) của biểuthức A ứng với giá trị của biến thuộc khoảng xác định trên

Để tìm GTNN của biểu thức A ≥ k với k là hằng:

Dạng 1:

Tìm GTNN, GTLN của tam thức bậc hai dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của A= 3x2 - 30x + 88

GiảiĐKXĐ: x  R

A = 3x2 - 30x + 88

A = 3(x2 - 10x) + 88

A = 3(x2 - 10x + 25) – 75 + 88

A = 3(x - 5)2 + 13  min A = 13 ↔ x = 2

+ Bước 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung

+ Bước 4: Thêm bớt vào trong ngoặc để bài toán trở thành bìnhphương một nhị thức và một hạng tử tự do

+ Bước 5: Dựa vào “ phương pháp chung” kết luận GTNN, GTLN

* Tổng quát: Cho tam thức bậc hai: P = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

Do

2

2

b x a

 = 0  x = -

2

b a

Nếu a ≤ 0 thì a

2

2

b x a

 = 0  x =

-2

b a

Dạng 2: Đặt ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

GiảiĐKXĐ: x – 3 ≥ 0  x ≥ 3Đặt t = x  3 (t ≥ 0)

+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định

+ Bước 2: Tìm mối lien hệ đặt ẩn phụ và đặc biệt chú ý điều kiện của ẩnphụ

+ Bước 3: Đưa về dạng tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a ≠ 0) rồi tìm giá trịnhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

+ Bước 4: Kết luận (chú ý các điều kiện xảy ra dấu “ = ”)

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số có dấugiá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ 5

Giải:

Đặt │3x - 1│= y (y ≥ 0) thì A = (3x – 1)2 - 4│3x - 1│+ 5 = y2 – 4y +5

= (y – 2)2 +1 ≥ 1Vậy Min A = 1 Khi y = 2 (Thỏa điều kiện)

So sánh (1), (2), (3) ta được Min B = 1 khi 2 ≤ x ≤ 3

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |x – 2y + 1| + |x – 2y|

Giải

Ta có C = |x – 2y + 1| + |x – 2y|

= |x – 2y + 1| + |2y – x| ≥ |x – 2y + 1 + 2y – x | = 1

Do đó Min C = 1 khi (x – 2y + 1)(2y – x) ≥ 0  2y – 1 ≤ x ≤ 2y

Nhận xét: Qua các Ví dụ trên, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củabiểu thức đại số có dấu giá trị tuyệt đối ta có thể làm như sau:

Khử dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng các tính chất của dấu giá trị tuyệtđối

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số dựa vào “Phương pháp

Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng:

P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c >0) ta làm như sau:

Bước 1: Biến đổi

d x k

d x k a

2 2

2 2

2

4 4

2

2 )

) 2

(

2 2

2 2

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P

Bước 3: Kết luận (chú ý điều kiện xảy ra dấu “=”)

Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu là

Vậy Min B = -3 khi x = 2

Chú ý: Với hai số cùng dấu a và b (a, b ≠ 0)

số, mẫu số là tam thức bậc hai ta làm như sau:

Bước 1: Xét mẫu thức, biến đổi mẫu thức trở về dạng bình phương một nhịthức và một hạng tử tự do

Bước 2: Dựa vào bất đẳng thức

Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một số phân thức dạng khác

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

3  1 x Giải:





Giải ĐKXĐ:  x

Ta có B = 3 42

1

x x



 =

2 2

11

B = 3 42

1

x x



 = 4 -

2 2

4

x x

* Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a 3 + b 3 + c 3

Biết a ≥ - 1 ; b ≥ - 1 ; c ≥ - 1 và a + b + c = 0

* Nếu a + b = k không đổi thì Max(ab) =

Trong quá trình giải các bài toán thì nhiều bài ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức

Cô si mà có khi phải biến đổi các biểu thức sau đó mới áp dụng bất đẳng thức Cô si.

Biện pháp 1: Tìm cực trị của 1 biểu thức ta dựa vào tìm cực trị của bình phương biểu

Vậy Max A 2 = 4 => MaxA = 2  x = 2

Biện pháp 2: Nhân và chia cùng 1 biểu thức số khác 0

5

x x



Giải ĐKXĐ: x  9

1 Tách 1 hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau.

Ví dụ 4: Cho x > 0 Tìm giá trị lớn nhất của A =

4 3

Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho

Ví dụ: Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x x

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số âm

Nhìn vào đồ thị ta thấy được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

3 Những sai lầm thường gặp trong khi giải toán cực trị

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của

A = xyz (x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1

Lời giải sai:

Vậy Max A = 1

64 Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra đẳng thức Điều

kiện để A = 1

64 là:

0 1

Ví dụ 2: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(Đề thi chọn học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2013 – 2014)

* Lời giải sai:

Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra đẳng thức Điều

kiện để M = 4 là

2 2

2 2

1 1

Ví dụ 3: Cho a > b, b > 0, và a + 1

1

Tìm Min A = a b

(Đề thi HSG huyện năm 2010 – 2011)

* Lời giải sai một số em hay gặp

Lớp Sĩ số Yếu TB Khá Giỏi

Trong kỳ thi học sinh giỏi Huyện có 6 em đạt danh hiệu học sinh giỏimôn Toán

* Điều kiện áp dụng:

- Dùng cho học sinh có học lực từ trung bình khá trở lên

- Dành cho chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi

- Với học sinh giỏi cần có những bài tập khó để phát huy tính sáng tạo củahọc sinh

- Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên đưa ra từng dạng bài tập nhiềuhay ít

PHẦN III:

NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KIẾN NGHỊ SAU

QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI.

Dạy học vừa là khoa học vừa là nghệ thuật Người dạy không chỉ là thầycủa những con tim đầy nhiệt huyết mà còn là thầy của bộ óc trí tuệ khao khátkhoa học Vì vậy để nâng cao hiệu quả giảng dạy người dạy phải:

- Nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, chuẩn bị tốt chương trình giảng dạy đổimới phương pháp nghiên cứu và giảng dạy

- Hệ thống bài tập phải được chọn lọc, sắp xếp theo 1 trình tự, có lôgic từ

dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và qua mỗi hệ thống bài tập giáo viên phảikhái quát hóa cách giảng bài tập đó

- Dạy theo chuyên đề

- Cần tạo ra không khí sôi nổi, tích cực làm việc, người dạy phải chú ý tớimức độ tiếp thu và kỹ năng trình bày của từng học sinh

* Để học sinh có tính tích cự học hơn cần tăng cường tài liệu, sách thamkhảo, băng hình tiết dạy mẫu về đổi mới phương pháp dạy

- Cung cấp đồ dùng dạy học đẩy đủ, kịp thời

PHẦN IV: KẾT LUẬN

Trên đây là một vài kinh nghiệm, ý kiến của riêng tôi trong việc hướngdẫn học sinh tìm cực trị của biểu thức đại số dạng tam thức bậc hai, chứa cănnhằm cho học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt vào bài tập liênquan cũng như các bài toán khác

Song, không thế tránh những thiếu sót, nên tôi rất mong được sự đóng gópcủa các đồng nghiệp để tôi rút kinh nghiệm và tiếp tục nghiên cứu tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phương Trung, ngày tháng năm 2014

Người làm đề tài

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Hà Nội, ngày … tháng… năm 2014

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Đỗ Thị Xuân

Ý KIẾN ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI