Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch với nhiều tài sản rủi ro

Một số mô hình toán tài chính nổi tiếng như: “Mô hình về định giá các tài sản vốn” của W.Sharpe 1964, mô hình Markowitz, mô hình Black – Scholes, mô hình khuếch tán… Tại Việt Nam,nền côn

-

       NGUYỄN VĂN TRÁNG

ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN

RỦI RO

 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

-

      NGUYỄN VĂN TRÁNG

ĐẦU TƯ TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH VỚI NHIỀU TÀI SẢN RỦI RO

   Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học  

MỤC LỤC  

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN    

TÀI CHÍNH   5 

  1.1.  Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính  5 

1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính   5 

1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu   8 

1.1.3.Bài toán phân bổ vốn đầu tư, tính chất không cơ lợi và tính đầy đủ  của một thị trường tài chính   10 

  1.2.  Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính  14 

1.2.1.  Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục   14 

1.2.2.  Quá trình chuyển động  Brown   16 

1.2.3.  Martingale với thời gian liên tục   17 

1.2.4.  Vi phân ngẫu nhiên  Itô  và công  thức Itô  19 

    CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH  ………21 

  2.1.  Mô hình   21 

2.1.1.  Thị trường vốn   21 

2.1.2.  Bài toán của nhà đầu tư.   21 

  2.2.  Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch 23    2.3.  Các trường hợp riêng.   25 

2.3.1.  Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch tỉ lệ.   25 

2.3.2.  Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch cố định.   32 

2.6.  Phân tích các chính sách tối ưu   69 

2.6.1.  Các giới hạn tối ưu.   70 

2.6.2.  Tần số giao dịch   74 

2.6.3.  Lượng tiền trung bình đầu tư vào cổ phiếu.   81 

  KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỞ RỘNG   88

  TÀI LIỆU THAM KHẢO   89   

LỜI NÓI ĐẦU  

   Thị trường tài chính là sản phẩm tất yếu của nền kinh tế thị trường, đó là nơi diễn ra các hoạt động mua bán những sản phẩm phát hành bởi những cơ sở tài chính  như:  các  công  ty,  nhà  xưởng,  ngân  hàng,  nhà  nước…Sự  xuất  hiện  và tồn tại của thị trường này xuất phát từ yêu cầu khách quan của việc giải quyết mâu  thuẫn  giữa  nhu  cầu  và  khả  năng  cung  ứng  vốn  trong  nền  kinh  tế  phát triển. Trong  nền kinh tế  luôn tồn tại  hai trạng thái  trái  ngược  nhau  giữa  một bên là nhu cầu và một bên là khả năng về vốn. Mâu thuẫn này ban đầu được giải  quyết  thông  qua  hoạt  động  của  ngân  hàng  với  vai  trò  trung  gian  trong quan hệ vay mượn giữa người có vốn và người cần vốn. Khi kinh tế hàng hóa phát triển cao,  nhiều  hình thức  huy động  vốn  mới  linh hoạt  hơn  nảy sinh  và phát triển, góp phần tốt hơn vào việc giải quyết cân đối giữa cung và cầu về các  nguồn  lực  tài  chính  trong  xã  hội,  làm  xuất  hiện  các  hình  thức  huy  động vốn  như  trái  phiếu,  cổ  phiếu  của  các  doanh  nghiệp,  trái  phiếu  chính  phủ…- 

Đó là những loại giấy tờ có giá trị, gọi chung là các loại chứng khoán. Và từ 

đó  xuất  hiện  nhu cầu  mua bán, chuyển  nhượng  giữa các chủ sở  hữu của các loại  chứng  khoán  khác  nhau.  Điều  này  làm  xuất  hiện  một  loại  thị  trường  để tổng hòa các mối quan hệ cung cầu về vốn trong nền kinh tế là thị trường tài chính.  Thị  trường  tài  chính  phát  triển  góp  phần  thúc  đẩy  mạnh  mẽ  sự  phát triển kinh tế của một quốc gia. 

   Toán học tài chính (Financial mathematics) ra đời hơn 100 năm nay, nhưng đặc  biệt  phát  triển  trong  thời  gian  gần  đây  và  ngày  càng  tỏ  ra  hữu  ích  trong thực tiễn đời sống kinh tế của các quốc gia. Nó là  một  ngành ứng dụng  toán học  để  nghiên  cứu  thị  trường  tài  chính  nhằm  phân  tích  một  cách  khoa  học những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính, bảo hiểm, 

tế  khác  nhau.  Hiện  nay  chúng  ta  đang  chứng  kiến  một  sự  cộng  tác  chặt  chẽ giữa  các  nhà  toán  học,  các  nhà  kinh  tế  và  các  nhà  tài  chính  trong  việc  ứng dụng các thành  tựu  toán  học  hiện đại  vào  việc  nghiên cứu các  mô  hình kinh 

tế, phân tích và thấu hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có những  hành  động  và  quyết  sách  hợp  với  quy  luật.  Một  số  mô  hình  toán  tài chính  nổi  tiếng  như:  “Mô  hình  về  định  giá  các  tài  sản  vốn”  của  W.Sharpe (1964), mô hình Markowitz, mô hình Black – Scholes, mô hình khuếch tán…     Tại  Việt  Nam,nền  công  nghiệp  tài  chính  đã  có  nhiều  thành  tựu  và  việc  ra đời  của  thị  trường  chứng  khoán  đòi  hỏi  các  nhà  quản  lý  phải  có  những  hiểu biết  sâu  sắc  về  các  hoạt  động  cũng  như  các  quy  luật  chi  phối  thị  trường đó.Toán học tài chính sẽ là công cụ không thể thiếu để các chuyên gia kinh tế 

và tài chính điều hành hữu hiệu mọi hoạt động của thị trường này. 

   Trước đây, các nhà toán học nghiên cứu các mô hình theo kiểu ghép giá và chi phí giao dịch vào làm một. Tức là chi phí giao dịch đã bị tính lẫn vào giá. Tuy  nhiên  chi  phí  giao  dịch  có  tính  cố  định  và  đã  biết  còn  giá  có  tính  ngẫu nhiên  nên  điều  này  dẫn  đến  việc  ghép  những  thông  tin  đã  biết  vào  cái  chưa biết làm thông tin bị đánh mất. Bây giờ chi phí giao dịch được biết trước nên cần tách riêng chúng ra. Luận văn này làm về một mô hình có tính đến chi phí giao dịch như vậy. Đây là một mô hình  giúp ta đưa ra kết quả sâu sắc và xác thực cho bài toán tài chính có tính đến chi phí giao dịch. 

   Với việc nghiên cứu như vậy cấu trúc luận văn như sau: 

 Chương I : Kiến thức cơ sở về toán tài chính

   Chương này nhằm trình bày những khái niệm cơ bản về thị trường tài chính, các bộ phận tạo nên thị trường tài chính và lý thuyết hiện đại về toán học ngày nay được áp dụng trong thị trường tài chính. Ngoài  ra còn  giới thiệu  một số 

Chương II : Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch     Chương  này  dành  cho  việc  xây  dựng  một  mô  hình  toán  tài  chính  để  giải quyết bài toán đầu tư và tiêu thụ tối ưu với thời gian liên tục cho một nhà đầu 

tư  phải  chịu  cả  hai  loại  chi  phí  giao  dịch  là:  chi  phí  giao  dịch  cố  định (Constant  Absolute  Risk  Aversion(CARA))  và  chi  phí  giao  dịch  tỉ  lệ (Constant Relative Risk Aversion(CRRA)) trong việc giao dịch (n+1) tài sản bao gồm một tài sản không rủi ro (gọi là trái phiếu(Bond)) và n tài sản rủi ro (gọi là cổ phiếu(Stoke))(n 1). Với mục đích so sánh, trước tiên chúng ta sẽ trình bày một số kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp không 

có chi phi giao dịch. Tiếp đến ta xét trường hợp chỉ có  một loại chi phí giao dịch là chi phí giao dịch tỉ lệ hoặc chi phí giao dịch cố định. Sau cùng chúng 

ta trình bày các kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp có cả chi phí  giao  dịch  cố  định  và  chi  phí  tỉ  lệ  để  từ  đó  đưa  ra  những  phân  tích  tổng quan nhất cho các chính sách tối ưu trong đầu tư. 

   Trong  nghiên  cứu  này,  kết  quả  đầu  tiên  mà  chúng  ta  tìm  ra  được  là  chính sách giao dịch tối ưu trong  trường hợp nhiều loại tài sản rủi ro phải chịu các chi phí giao dịch cố định và lợi suất của các tài sản rủi ro không tương quan (lợi suất tài sản không tương quan nên chúng ta có thể tách  những tính toán 

về các loại tài sản rủi ro thành phép tính cho mỗi loại tài sản riêng biệt). Khi 

đó chính sách đầu tư tối ưu với  mỗi tài sản rủi ro đó là nhà đầu tư giữ lượng vốn  đầu  tư  vào  tài  sản  giữa  hai  mức  cố  định  đó  là  hai  hằng  số  mà  ta  có  thể tính toán  bằng  một công thức  rõ ràng.  Khi lượng  vốn  này đạt đến  một trong hai ngưỡng nhà đầu tư sẽ giao dịch để đạt mục tiêu tối ưu. 

   Đóng góp thứ hai của nghiên cứu này đó là chúng ta sẽ tiến hành phân tích tổng  quan  chiến  lược  kinh  doanh  tối  ưu.  Chúng  ta  cung  cấp  được  một  cách thức đơn giản để tính toán các giới hạn của miền không giao dịch và giới hạn mục tiêu. Chúng  ta sẽ phân tích  những ảnh  hưởng của sự ác cảm  rủi ro, phí rủi ro và tính dễ biến động trên miền không giao dịch, lượng tiền mục tiêu và tần số giao dịch. Chúng ta cũng rút ra được dạng đóng của sự phân bổ ổn định của lượng tiền đầu tư vào tài sản rủi ro đồng thời ta cũng kiểm tra được lượng tiền trung bình ổn định đầu tư vào tài sản.      

   Luận  văn  được  hoàn  thành  nhờ  sự  hướng  dẫn  và  chỉ  bảo  tận  tình  của NCVCC.TS Nguyễn Hồng Hải. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành 

và sâu sắc tới  người thầy của mình! 

   Em  xin  chân  thành  cảm  ơn  các  thầy  cô  giáo  đã  giảng  dạy  và  giúp  đỡ  em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội!     

   Xin  cảm  ơn  gia  đình  và  bạn  bè  những  người  đã  động  viên  và  giúp  đỡ  em trong suốt thời gian qua! 

   Do thời gian nghiên cứu và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi  những  hạn chế và thiếu sót, kính  mong các thầy cô  giáo  và các bạn chỉ dẫn và góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! 

Hà Nội,năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tráng

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN

TÀI CHÍNH

1.1 Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính

   Trong  phần  này  chúng  ta  sẽ  trình  bày  một  số  khái  niệm  cơ  bản  về  thị trường  tài  chính  cũng  như  các  kiến  thức  xác  suất  cơ  sở  cần  thiết  cho  việc thiết  lập  mô  hình  toán  tài  chính  chúng  ta  sẽ  xây  dựng  và  nghiên  cứu  trong luận văn này

1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính 

     Thị  trường tài chính là thị trường mà ở đó diễn ra các hoạt động mua bán, trao đổi, chuyển nhượng quyền sử dụng các tài sản tài chính thông qua những phương thức giao dịch và công cụ tài chính nhất định. 

1) Các cá nhân: trong hoạt động tài chính của họ có một vấn đề trung tâm 

đó là các vấn đề về tích lũy vốn và tiêu dùng. Gắn liền với vấn đề này có bài toán  tối  ưu  về  tiêu  dùng  và  tích  lũy  (bài  toán  về  phân  bổ  đầu  tư).  Dựa  trên nguyên lý của Von Neumann – Morgenstern về sự hoạt động hợp lý của các 

2) Các hãng : đó là một tổ chức có đất đai, nhà máy, công xưởng và các 

loại tài sản có giá trị khác như  chợ, các phát minh… Hoạt động của các hãng 

là tổ chức, điều hành các hoạt động sản xuất, kinh doanh để đạt lợi nhuận cao nhất. 

3) Các cấu trúc trung gian ( cấu trúc về các phương diện tài chính): đó là 

các ngân hàng công thương, ngân hàng tín dụng, các hãng bảo hiểm… 

4) Thị trường các chứng từ có giá trị: đó là tập hợp các thị trường có tổ 

chức để mua bán, trao đổi những chứng từ (các hợp đồng) đã được tiêu chuẩn hóa  như: trái phiếu  (bonds), cổ phiếu (stocks), quyền  lựa chọn (options), các hợp  đồng  trong  tương  lai  (futures)  …  Như sau  này  ta  sẽ  thấy  thị  trường  trái phiếu và thị trường các quyền lựa chọn là hai thị trường quan trọng nhất.    Dựa trên các thị trường  này các  hãng có thể tăng  vốn của  họ để phát triển sản  xuất kinh doanh, các cá  nhân có cơ  hội  và phương tiện để  hoạt động tài chính. 

   Ngoài  các  chức  năng  hoạt  động  của  nó,  thị trường  các  chứng  từ  có  giá  trị đóng một vai trò quan trọng trong việc cung cấp các thông tin về giá cổ phiếu, lãi suất, các chỉ số tài chính… có thể sử dụng được trong các lĩnh vực kinh tế, các cá nhân có thể sử dụng các thông tin đó để thực thi các quyết định về các 

dự án đầu tư về phương diện tài chính. 

   Người ta quan tâm đến các hoạt động trong thị trường các chứng từ có giá trị. Vì vậy ta cũng nên tìm hiểu về các loại chứng từ đó. 

a) Trái phiếu: đó là một loại hợp đồng dài hạn được phát hành bởi chính 

phủ,  các  ngân  hàng,  các  công  ty  tín  dụng  và  các  thể  chế  tài  chính  khác  với mục tiêu là tích lũy vốn. 

   Như thường  lệ  các  trái  phiếu  có  liên  quan  đến  các  loại  chứng  từ  có  giá  trị dài hạn có lãi suất xác định hoặc lãi suất thay đổi. Một ví dụ về trái phiếu đó 

là  tín  phiếu  kho  bạc.  Ở  các  nước  phương  Tây  còn  có  các  loại  trái  phiếu  sau đây: trái phiếu kho bạc, trái phiếu của các hãng lớn, zero coupon bonds,… 

b) Cổ phiếu: đó là một loại chứng từ có kỳ hạn được phát hành bởi các 

hãng  nhằm tích  lũy  vốn. Giá của  một  loại  cổ phiếu  được  xác định  như trạng thái hiện hành của thị trường vốn cũng như hoạt động sản xuất tương ứng của hãng. 

   Người sở hữu cổ phiếu nói chung có quyền tham gia vào các hoạt động của hãng theo nguyên tắc “số phiếu bầu = số tiếng nói” và được hưởng cổ tức. 

c) Quyền lựa chọn hoặc hợp đồng về quyền lựa chọn: đó là một loại 

chứng  từ có  giá trị  mà  người sở  hữu  nó có quyền  mua  hoặc bán  một tài sản nào  đấy  (  ví  dụ:  cổ  phần  của  một  công  ty  ) theo  các  điều  khoản  đã  ghi  trên hợp đồng.  

   Quyền lựa chọn được chia làm hai loại: loại Châu Âu và loại Châu Mỹ. 

- Quyền lựa chọn loại châu Âu có thời hạn kết thúc xác định (gọi là thời hạn đáo hạn). 

- Quyền lựa chọn loại châu Mỹ cho phép người sở hữu có quyền mua hoặc bán tại thời điểm bất kỳ trước hoặc ngay tại thời hạn đáo hạn. Hiện nay quyền lựa chọn loại Châu Mỹ chiếm đa phần trong các loại hợp đồng về quyền lựa chọn. 

- Quyền lựa chọn bán (put option) : cho phép người sở hữu bán một loại tài sản nào đấy (cổ phiếu hoặc trái phiếu… ). 

- Warrant    là  một  loại  chứng  từ có  giá  trị  được  phát  hành  bởi  các  hãng  về một  loại cổ  phần đặc biệt  nào đấy để thay đổi cái  hiện có. Người sở  hữu hợp đồng  này có  thể  mua  một số các tài sản  nào  đấy đã thỏa thuận trước với một giá trị nhất định tại thời điểm bất kỳ trước một thời điểm xác định. 

- Hợp đồng tương lai (future) về việc mua hoặc bán một tài sản nào đấy tại một thời điểm nhất định trong tương lai theo một giá đã thỏa thuận. 

- Voucher: đó là điều khoản về tiền tệ của nhà nước cho phép người sở hữu 

có quyền mua một cổ phần tùy ý theo quy định của nhà nước. 

1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu. 

   Xét  một  tài  sản  tài  chính  S,  giá  của  nó  tại  mỗi  thời  điểm  t  được  kí  hiệu  là  

( ) hoặc   Giá  ( ) biến đổi phụ thuộc vào  nhiều yếu tố ngẫu  nhiên  như các biến động giá cả các sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởng hoặc suy thoái  của  nền  kinh  tế  thế  giới,  các  diễn  biến  về  nhu  cầu  tiêu  dùng  trong  và ngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các chính sách của nhà nước,các diễn biến tâm lý nhà đầu tư…Ta gom các yếu tố ngẫu nhiên đó của tất cả các sản phẩm tài chính    trên thị trường vào một tập hợp cơ bản kí hiệu 

nhiên và giá trị đo lường khả năng xảy ra của sự kiện A đó chính là xác suất  P(A).   

   Vậy ta có không gian xác suất (Ω,ℱ,P) mà mỗi tài sản tài chính S(t) là một  quá trình  ngẫu  nhiên  xác định trên đó:  với  mỗi t, S(t) còn phụ thuộc  vào các  yếu tố ngẫu nhiên ω: S=S(t,ω) 

   Vào năm 1900 trong luận án tiến sĩ  “Théorie de la speculation” của mình, L.Bachelier đã chỉ ra rằng sự thay đổi của giá mỗi loại chứng khoán có dạng: 

∆ = ( + ∆ ) − ( ) ≈ 0(√∆ )    Đến năm 1923, N.Wiener đã xây dựng quá trình Wiener có tính chất: 

   Như vậy về trung bình  ∆ ≈ (√∆ )  và sau đó Alber Einstein đã nhận xét rằng hiệu quả đã được nhận xét bởi Bachelier tỏ ra hợp lý nếu giá trị   chịu tác động của nhân tố ngẫu nhiên Wiener là tổng hợp của vô số tác nhân kinh 

tế vô cùng nhỏ bé như mô hình dưới đây: 

= ( ) + ( ) ( ).   (1)    Năm 1965, P.Samuelson theo sáng kiến của L.Savage đã nhận xét rằng nếu giá chứng khoán tuân theo mô hình (1) thì nó có thể âm và điều đó là không phù hợp với thực tế. Vì vậy ông đã đề xuất mô hình chuyển động Brown hình học để mô tả động học của giá: 

t t

dS adt bdW

ra  mô  hình  di  động  ngẫu  nhiên  rời  rạc  để  mô  tả  động  học  của  dãy  giá  các chứng khoán: 

= (1 + ) ℎ ặ = (1 + ) … (1 + ) trong  đó  { }    là  dãy  Bernoulli  với    { = } = ; { = } = 1 − , trong đó  à  là các giá trị ứng với các trường hợp khi giá chứng khoán lên 

( ) = exp − ( ) , ( ) = 1    Cấu  trúc  giá  ( )  phụ  thuộc  vào  quá  trình  lãi  suất  ( ),  quá  trình  này thường được giả thiết có cấu trúc khuếch tán sau đây: 

( ) = ( , ) + ( , )     Một  trong  các  quá  trình  lãi  suất  được  đưa  ra  bởi  Vasicek  (1977)  chính  là quá trình Ornstein – Uhlenbeck: 

(khi  biết  tất  cả  các  thông  tin  về  thị  trường  cho  đến  thời  điểm  t) ℎ( ) =

ℎ ( ), … , ℎ ( ) , trong đó ℎ ( ) là số lượng tài sản loại   mà nhà đầu tư đang giữ. ℎ( ) còn được gọi là danh mục đầu tư. 

    b)Yêu cầu tài chính và điều kiện để cho thị trường không có độ chênh thị giá:

Để hiểu rõ khái niệm yêu cầu ngẫu nhiên của sự đầu tư ta hãy xét một ví dụ sau:

   Giả  sử  một  người  muốn  mua  một  lượng  trái  phiếu  năm  năm  với  lãi  suất 12%  một  năm  để  sau  năm  năm  có  được  số  vốn  là  10  triệu  đồng  (đó  là  mục tiêu  cần  đạt  được)  thì  người  đó  phải  đầu  tư  một  lượng  vốn  ban  đầu  là  =

10 /(1 + 0.12)   còn  nếu  người  đó  muốn  đầu  tư  vào  tài  sản  ( )  chẳng hạn thì  vốn ban đầu cần phải thỏa  mãn điều kiện  (60) = 10  (đơn 

vị thời  gian  là tháng) và khi đó  yêu cầu (ngẫu  nhiên) của anh ta là  (60) (để đơn giản ta giả thiết rằng  (0) = 1). 

 Định nghĩa 1:

1) Một biến ngẫu nhiên không âm H được gọi là một yêu cầu tài chính hoặc quyền tài chính

lược có cơ lợi hoặc có độ chênh thị giá (arbitrage) nếu nó là chiến lược tự điều chỉnh tài chính và hàm giá trị tương ứng với nó có tính chất:

(0) = 0, ( ) ≥ 0, { ( ) > 0} > 0, tức là chiến lược không cần vốn ban đầu mà vẫn có thu nhập Chiến lược cơ lợi là chiến lược kiếm lời nhờ chênh lệch giá

hoặc thị trường lành mạnh

 Định nghĩa 2:  

   Một yêu cầu được gọi là yêu cầu có thể đạt được nếu tồn tại một chiến

ứng ( , ℎ) thỏa mãn: (0, ℎ) = , ( , ℎ) =

   Một ví dụ về tình huống có cơ lợi là: xét một thị trường gồm hai tài sản   

và  ,  trong  đó    là  tài  khoản  ngân  hàng  có  lãi  suất  > 0  sau  một  đơn  vị thời gian. Như vậy:  = (1 + ) , = 1,2, … ,  

   Còn   có động học sau: 

= (1 + ) … (1 + ),  ≤ ≤ , = 1,2, …     Khi đó  nếu  ≤  người ta sẽ vay vốn ngân hàng và sau đó đầu tư vào tài sản  ,  đến  hạn    bán  cổ  phiếu  với  giá    sẽ  thu  được  một  khoản  lợi  mà không cần  vốn ban đầu bởi  vì ta luôn có  >  Ngược lại  nếu  >  ta 

có  <  nên nếu người ta vay cổ phiếu sau đó bán đi và gửi tiền vào tài khoản ngân hàng người ta sẽ thu được một khoản lời  −  mà không cần đến vốn ban đầu. 

   Với  thị  trường  này,người  ta  có  thể  chứng  minh  rằng:thị  trường  đó  là  lành mạnh khi và chỉ khi  < <  

Định nghĩa 3:  

   Giả sử { , , … } là một thị trường lành mạnh và là một yêu cầu có

là chiến lược đảm bảo yêu cầu tài chính

1.2 Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính

    Trong  phần  này    ta  nêu  một  số  kiến  thức  xác  suất  cơ  bản  như:quá  trình ngẫu  nhiên, quá trình Wiener, Martingale   với thời  gian  liên tục và tính toán 

vi tích phân  ngẫu nhiên đối với quá trình Wiener. Đây là những kiến thức rất cần khi nghiên cứu về các thị trường tài chính với thời gian liên tục. 

1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

      Cho không gian xác suất (Ω,ℱ,P). 

 Véc tơ ngẫu nhiên n chiều:

Một ánh xạ  X : Ω →  sao cho: 

( ) = { : ( ) ∈ } ∈ ℱ, ∀ ∈ ℬ  với ℬ  là σ-đại số Borel trên ℝ  được gọi là một một biến ngẫu nhiên (hoặc 

   Để  đơn  giản  ta  thường  viết  X t  thay  cho  X t , và  viết  quá  trình  ngẫu nhiênX  X t t T  

   Chú ý:

1)  Với mỗi ω∈ Ω ta xét một hàm  → ( ) xác định trên  với giá trị trong  ,hàm đó được gọi là một quỹ đạo của quá trình. 

2) Một quá trình  ngẫu  nhiên có thể coi  như một ánh  xạ từ  × Ω →  Quá  trình  ( ( )) ∈   được  gọi  là  đo  được  nếu  ánh  xạ  đó  là ℬ( ) ×

   Ta  luôn  giả  thiết  họ  {ℱ }   là  đầy  đủ,  điều  đó  để  đảm  bảo  rằng  nếu  X=Y (P-hầu chắc chắn ) thì khi X là ℱ đo được Y cũng là  ℱ  đo được. 

 Bộ lọc tự nhiên:

    Lọc {ℱ }  với ℱ = ( , ≤ ), = { }  là σ-đại số cảm sinh bởi tất  cả  các  biến  ngẫu  nhiên  với  ≤ ℱ  chứa  mọi  thông tin  về diễn biến 

quá khứ của quá trình X={ }  cho đến thời điểm t nên được gọi  là bộ lọc 

tự nhiên của quá trình X , hay lịch sử của X hay cũng còn gọi là trường thông  tin của quá trình X

 Không gian xác suất được lọc: Bộ (Ω,ℱ, {ℱ } ,P) được gọi là không 

gian xác suất được trang bị lọc với lọc {ℱ }  . 

 Thời điểm Markov và thời điểm dừng: 

   Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi  ≥ 0        { ∈ Ω: ( ) ≤ } ∈ ℱ  

    Một thời điểm Markov  τ được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là:  { ∈ Ω: ( ) < ∞} = 1 

1.2.2 Quá trình chuyển động Brown

Một  trong  các  quá  trình  ngẫu  nhiên  quan  trọng  là  quá  trình  chuyển  động Brown. Quá trình này được sử dụng để xây dựng phần lớn các mô hình chứng khoán. 

 Chuyển động Brown: 

    Quá trình ngẫu nhiên ( )  với giá trị thực được gọi là (quá trình) chuyển động Brown nếu: 

= 0, − ℎ ; ( ) = 0 ; ( ) =  

 Chuyển động Brown với lọc: 

   Quá trình ( ) được gọi là chuyển động Brown đối với lọc {ℱ }  nếu: 1)Quỹ đạo của ( ) là liên tục P-hầu chắc chắn. 

2)  là ℱ  đo được với ∀ ≥ 0. 

3)Nếu  ≤  thì  −  độc lập với ℱ  

4)Nếu  ≤   thì  luật  phân  bố  của  −   giống  như  luật  phân  bố  của 

−  

 Chuyển động Brown n chiều:

   Quá  trình  ngẫu  nhiên  n  chiều  ( ) = ( , , … , )   được  gọi  là chuyển  động  Brown  n  chiều  đối  với  lọc  {ℱ }   nếu  mỗi  ( =

1, … , ) là một chuyển động Brown và các thành phần của   là độc lập với nhau. 

1.2.3 Martingale với thời gian liên tục

thường kí hiệu:  = { , ℱ , ≥ 0} là Martingale. 

 Martingale địa phương:Quá trình ngẫu nhiên { , ℱ , ≥ 0} được gọi

là  martingale địa phương  nếu tồn tại dãy thời điểm  markov( ) đối với (ℱ ) sao cho:

1) { ≤ } = 1 , {lim → } = 1 . 

2) Đối với mỗi n=1,2,…dãy  ˄ , ℱ , ≥ 0  là martingale khả tích đều. 

 Mệnh đề: Nếu  ( )  là một chuyển động Brown tiêu chuẩn đối với lọc {ℱ }  thì:

 Khai triển Doob-Mayer: 

     Nếu  = { , ℱ , ≥ 0} là  một  marrtingale dưới  liên tục  phải theo t thì X có một biểu diễn duy nhất dưới dạng: 

= +  Trong đó   là một martingale đối với {ℱ }  liên tục phải và    là một 

quá trình tăng và thích nghi với {ℱ }  

 Ứng dụng của lý thuyết Martingale trong toán tài chính:

  Trong toán tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ sở như: giá cổ phiếu  , 

giá  trái  phiếu  ,  giá  của  các  tài  sản  phái  sinh  tài  chính    đều  được  xem  là 

các  quá  trình  ngẫu  nhiên.  Nói  chung  chúng  không  phải  là  những  Martingal 

Cách 2: Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất

Khi ta  nói:  nói chung   không phải  là  martingale  là khi ta  xét dưới độ đo 

xác  suất  ban  đầu  P đã  cho.  Bây  giờ  ta  giả  sử  tìm  được  một  độ  đo  xác  suất 

mới   tương đương với độ đo xác suất P ( ) = 0 ⇔ ( ) = 0 ∀ ∈ ℱ  và 

một  phép  biến  đổi  quá  trình    thành  quá  trình  X t  sao  cho  dưới  xác  suất   mới này thì X ttrở thành martingale. 

       = + ∫ ℎ( , ) + ∫ ( , )  

   Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân  trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô 

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP

phiếu).  Nhà  đầu  tư  có  thể  mua  cổ  phiếu  i  với  giá  ( )  và  bán  nó  với  giá (1 − ) ( ) với 0 ≤ < 1 là hệ số tỉ lệ của chi phí giao dịch. Ngoài ra nhà đầu tư phải trả một khoản phí môi giới cố định  ≥ 0 cho mỗi lần giao dịch 

khi giao dịch cổ phiếu i. 

   Cho  = ( , , … , ) và  = ( , , … , ). Để  đơn giản chúng ta giả định không trả cổ tức bằng cổ phiếu. Giá mua  ( ) được giả sử là tuân theo chuyển động Brown hình học: 

bao  gồm  các  quá  trình  tích  lũy  đo  được  dần    mà  : ∫ | | < ∞  với  mỗi 

∈ [0, ∞) (tức   là khả tích). 

   Ngoài  ra,  tương  tự  như  Merton(1971),Vayanos(1998)  và  Lo  et  al  (2001) chúng ta  giả thiết rằng  mỗi  nhà đầu tư chịu chi phí  giao dịch cố định  đều có một  hàm  lợi  ích  đối  với  thời  điểm  chiết  khấu  là: ( , ) = −   với 

hệ  số  rủi  ro  β  >  0  và  tham  số  chiết  khấu  thời  gian  δ  >  0.  Trong  đó  hàm ( ) = −  biểu thị cho lợi nhuận mà nhà đầu tư thu được từ sự tiêu thụ c 

của tài khoản thị trường tiền tệ. Chúng ta cũng giả thêm rằng việc ngừng tích lũy, giao dịch cổ phiếu và thanh toán chi phí giao dịch đều được thông qua tài sản của thị trường tiền tệ. 

   Gọi x là số tiền đầu tư vào trái phiếu (tài sản không rủi ro),   là lượng tiền  đầu tư vào cổ phiếu thứ i (tài sản rủi ro) và  = ( , , … , ). Với mỗi   và 

, [0, ).        (2.5)

t

T

t r t

   Chúng  ta  sử  dụng  kí  hiệu  ( , )x y để  biểu  thị  tập  hợp  các  chiến  lược  kinh 

doanh chấp nhận được (I,D,c) sao cho   và   ở phương trình (2.1) và (2.3) thỏa mãn điều kiện (2.5) với điều kiện ban đầu là:  =  và  =  . 

Hàm giá trị tại thời điểm t là:

2.2 Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch Với mục đích so sánh, trong phần này chúng ta sẽ trình bày những kết quả chính  cho  trường  hợp  không  tính  đến  chi  phí  giao  dịch  (tức  là: 

 1, 2, , n 0

α     và  F F F1, 2, ,F n0)  mà  không  chứng  minh  (xem Merton(1971)).  Khi không có chi phí  giao dịch, quá trình  mua, bán, tích  lũy của  cổ  phiếu  có  thể  biến  thiên  vô  hạn  và  trong  trường  hợp  này  tài  sản  được thanh khoản  là:  = + ,trong đó   là vectơ cột gồm  n phần tử 1.Vấn 

n i

và  Loewenstein(2002) đã chỉ  ra rằng khi có chi phí  giao dịch tỉ  lệ thì tồn tại một miền giao dịch và một miền không giao dịch. Tương tự, trong trường hợp nhiều  loại cổ phiếu chúng  ta phỏng đoán rằng có  tồn tại  một  miền  giao dịch 

mà  trong  đó  nhà  đầu  tư  sẽ  giao  dịch  ít  nhất  một  loại  cổ  phiếu  và  một  miền không  giao dịch (No-transaction(NT))  mà  nhà đầu tư sẽ không thực hiện  bất 

  1

1, , , ,

n

i i i

n i i

cho  chiến  lược  kinh  doanh  tối  ưu  cho  cổ  phiếu  i.  Cụ  thể,nếu ≤   ta  sẽ mua  cổ  phiếu  và  khi  ≥   ta  sẽ  bán  cổ  phiếu.    sẽ  được  gọi  là  ngưỡng mua  và    gọi  là  ngưỡng  bán.  Theo  chính  sách  giao  dịch  đã  đề  xuất,  trong miền giao dịch của một cổ phiếu, mức thỏa dụng biên từ lượng tiền đầu tư vào 

trái  phiếu  phải  luôn  bằng  mức  thỏa  dụng  biên  từ  lượng  tiền  đầu  tư  vào  cổ phiếu và giá trị ròng của chi phí giao dịch. Do đó, phương trình vi phân trong 

  +)Nếu  <  thì :       ( ) = +  . 

  +) Nếu  >  thì :       ( ) = + (1 − )  . 

   Trong đó   và   là 2 hằng số đã xác định. 

   Từ chính sách giao dịch được đề xuất và tính   của hàm lợi ích ta suy ra 6 điều kiện biên sau về  : 

vì ,  và   là độc lập với bất kì số hạng hằng số nào trong   Nhận định này cũng  áp  dụng  cho  các  trường  hợp  được  xét  trong  những  phần  tiếp  theo,  đặc biệt cho thấy là các giới hạn là độc lập với   trong tất cả các trường hợp được 

đề cập trong nghiên cứu này. Điều này cho thấy rằng phần tử không xác định  trong phương trình (2.12) không ảnh hưởng đến các giới hạn tối ưu ,  và 

. Ngoài ra,vì điều kiện 

1

0

n i i

là một nghiệm của phương trình vi phân (2.22) thỏa mãn các điều kiện

(2.15)-( 2.220). Ngoài ra: 1 − < ( ) < 1 , ∀ ∈ ( , ) (2.24)

điều kiện (2.15)-( 2.20)và (2.24) Từ đó các chính sách tiêu thụ tối ưu tương

ứng là:

Và chính sách giao dịch tài sản rủi ro tối ưu tương ứng là giao dịch một số

tiền tối thiểu để duy trì ∗ ở khoảng giữa và Trong đó ∗ và ∗ lần

lượt là quá trình đầu tư vào trái phiếu và cổ phiếu xuất phát từ những chính

1( , )

n

i i i

định lý 4 sẽ nói về sau nên ta sẽ bỏ qua. 

   Nếu  phương  trình  (2.22)  có  một  nghiệm  dạng  đóng  (closed  form  solution) thì chúng ta sẽ có một nghiệm   với 2 hằng số tích phân   và   Sử dụng 6 điều  kiện  biên  trên,  chúng  ta  sẽ  tính  được  6  ẩn  số: , , , , ,    Đáng  tiếc  là  phương  trình  (2.22)  lại  thuộc  về  một  lớp  đặc  biệt  của  phương trình  vi  phân  Abel  mà  nghiệm  dạng  đóng  của  nó  vẫn  chưa  được  tìm  ra,  trừ trường hợp  =  Tuy nhiên, bài toán vô hạn trên vẫn có thể giải bằng số tương đối dễ dàng bằng cách sử dụng một thuật toán đơn giản (thuật toán 1) sau đây: 

cổ phiếu được xem xét. Với tất cả minh họa bằng số, ta sẽ sử dụng các giá trị mặc  định  sau  đối  với  các  tham  số  trừ  một  số  trường  hợp  đặc  biệt  được  nêu ra.Theo  Ibbotson  và  Sinquefeld(1982),  chúng  ta  cho  phần  lãi  suất  vượt  mức 

1  1.5 

2 

Chi phí tỉ lệ (không có chi phí cố định)

đầu  tư  sẽ  luôn  giữ  121,900$  trong  cổ  phiếu,  tượng  trưng  bởi  đường  thẳng mảnh ở  giữa (đường Merton). Chú  ý  rằng  ở đây  lượng tiền  thực  tế bằng  với 

lượng tiền gia tăng được chia bởi rβ trong hình. Với sự có mặt của các chi phí 

giao  dịch  thì  việc  duy  trì  một  lượng  tiền  cố  định  trong  một  cổ  phiếu  không còn  tối  ưu.  Thay  vào  đó,nhà  đầu  tư  cho  phép  lượng  tiền  trong  cổ  phiếu  dao động  trong  một  phạm  vi  nhất  định.  Ví  dụ:  khi  =0,01,  nhà  đầu  tư sẽ  không điều chỉnh lượng tiền đầu tư vào cổ phiếu cho đến khi nó đạt đến giới hạn là 99,400$ hoặc 144,700$. Do đó sự hiện diện của chi phí giao dịch có  một tác động đáng kể đến chiến lược kinh doanh tối ưu. 

  Cũng  cần  chú  ý  rằng  khi  chi  phí    tỉ  lệ  giao  dịch  tăng,  giới  hạn  mua  giảm xuống  và  giới  hạn  bán  tăng  lên.  Điều  này  làm  thu  hẹp  miền  giao  dịch ( ≤   hoặc  ≥ ) và  mở  rộng  miền  không  giao  dịch  ( ≤ ≤   ), làm cho tần số giao dịch của nhà đầu tư giảm xuống. 

2.3.2 Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch cố định

Khi có chi phí giao dịch cố định, chính sách giao dịch tối thiểu được đề xuất trong các phần trước không còn tối ưu. Trong trường hợp này, tất cả các giao dịch đều bao gồm các giao dịch trọn gói (lump-sum trades) bởi vì chi phí độc lập với quy mô của việc giao dịch. Trong phần này chúng ta xem xét trường hợp  nhà  đầu  tư chỉ  phải  trả  chi  phí  giao  dịch  cố  định  mà  không  phải  trả  chi 

phí theo tỉ lệ giao dịch (tức là : F>0 và  =0 ) . 

   Khi chỉ có chi phí cố định, chúng ta phỏng đoán rằng chính sách tối ưu cho 

mỗi  cổ  phiếu  i  được  đặc  trưng  bởi  3  con  số  quan  trọng:  , ∗  và      Thời điểm  tối  ưu  để  giao  dịch  với  giá  ∗  là  khi  số  tiền  trong  cổ  phiếu  đạt  đến 

ngưỡng  mua    hoặc  ngưỡng  bán    Đối  với  công  thức  của  hàm  lợi  ích, chúng ta cho rằng (2.10) vẫn còn hiệu lực. 

   Trong  miền  không  giao  dịch,  chúng  ta  vẫn  giữ  nguyên  hệ  thống  phương trình vi phân Haminton-Jacobi-Bellman (2.22) ở phần trước. Tuy nhiên những điều kiện trong vác khu vực giao dịch ( ≤  hoặc  ≥ ) cần phải thay đổi. 

Trong chính sách giao dịch đã được đề xuất, chúng ta có: 

( , , , … , , … , ) = ( − − ( ∗ − ), , , … , ∗, … , ) 

(2.25) (Với mỗi  ≤ ) 

   Và  

( , , , … , , … , ) = ( − + ( − ∗), , , … , ∗, … , )    

(2.26) (Với mỗi  ≥  ) 

   Ngoài ra,tính tối ưu của  ∗ nghĩa là: 

         ( , , , … , ∗, … , ) = ( , , , … , ∗, … , )       (2.27)    Gọi    là  giới  hạn  của    trong  miền  không  giao  dịch, = , ∗ =

∗ và  =  . Để đưa ra các điều kiện đủ cho tính tối ưu, chúng ta tập trung xét trường hợp khi hàm tiện ích thuộc lớp   

   Sử dụng các phương trình (2.10), (2.25)-(2.27) và tính chất  , chúng ta có được 7 điều kiện biên sau: 

        = +        (2.28) 

        = 1       (2.29) 

     ( ∗) = 1       (2.30) 

        ( ) = +        (2.31) 

      ( ) = 1       (2.32)       ( ∗) = + + ∗       (2.33)       Và:       ( ∗) = + + ∗       (2.34) 

ý nghĩa quan trọng về mặt kinh tế, tuy nhiên  , ∗và   thường ít biến động 

trước sự thay đổi của  β. 

  Định lý sau đây tổng hợp những kết quả cho hàm lợi ích và chiến lược kinh doanh tối ưu trong trường hợp này: 

Định lý 3:

cho là một nghiệm của phương trình vi phân (2.22) thỏa mãn các điều kiện (2.28)-(2.34) Ngoài ra:

( ) > 1, ∀ ∈ ( , ∗) (2.35)

Và 0 < ( ) < 1, ∀ ∈ ( ∗, ) (2.36)

Khi đó là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân (2.22), thỏa mãn các điều kiện (2.28)-(2.36), từ đó chính sách tiêu thụ tối ưu tương ứng là:

∗ = ∗ +1 ( ∗)

Và chính sách tối ưu tương ứng để giao dịch các tài sản rủi ro là chỉ giao

trái phiếu và cổ phiếu thu được từ những chính sách nêu trên Hơn nữa,ta có

1,

n

i i i

thời gian δ=0,01 ; tỉ lệ lãi suất phi rủi ro r=0,01 ; lợi suất kì vọng μ=0,069 ; lợi suất biến động σ=0,22 ; chi phí tỉ lệ  =0 và hệ số rủi ro β=0,001. 

  Hình  2  mô  tả  các  gới  hạn  tối  ưu    và    của  miền  không  giao  dịch  và  hàm mục tiêu tối ưu  ∗ của chi phí cố định. Khi xuất hiện chi phí giao dịch cố định thì chính sách tối ưu của nhà đầu tư không còn là giao dịch với lượng tiền rất nhỏ  để  duy  trì  lượng  tiền  trong  mỗi  cổ  phiếu  ở  khoảng  xác  định.  Ví  dụ:  khi F=5$,  nhà  đầu  tư  sẽ  cho  phép  lượng  tiền  thực  trong  mỗi  cổ  phiếu  dao  động trong khoảng  105,200$ tới 139,800$. Nếu  lượng tiền thực đạt đến 105.200$, nhà đầu tư sẽ mua cổ phiếu trị giá 16,600$. Mặt khác nếu lượng tiền thực có đạt đến 139,800$ thì nhà đầu tư sẽ bán đi cổ phiếu trị giá 18,000$. Do đó sự hiện  diện  của  chi  phí  giao  dịch  cố  định  cũng  có  tác  động  đáng  kể  đến  việc kinh doanh. Phạm vi của miền không giao dịch chủ yếu là do xuất phát từ lo ngại rủi ro mà chúng tôi đã thể hiện trong hình minh họa số liệu. Khi mức độ 

lo ngại rủi ro β tăng, phạm vi của miền không giao dịch sẽ hẹp lại. Ngoài ra cần  lưu  ý  rằng,  cũng  như  trong  các  trường  hợp  trước,  khi  chi  phí  giao  dịch tăng thì giới hạn mua vào giảm xuống và giới hạn bán ra tăng lên. Tuy nhiên, ảnh hưởng của mục tiêu tối ưu  ∗ đến những thay đổi trong chi phí giao dịch 

là rất nhỏ. Nó chỉ giảm từ 121,900$ xuống 121,500$ khi chi phí cố định tăng 

từ 0$ lên 30$, làm cho  ∗ không thể phân biệt được với đường Merton trong hình. Phát hiện này phù hợp với trực giác rằng: nhà đầu tư tốt nhất nên đầu tư 

ở mức trung bình quanh đường Merton, ngay cả trong trường hợp có chi phí giao dịch. 

  Trên cơ sở khả năng ít ảnh hưởng của lượng tiền mục tiêu đến các chi phí cố định, để đạt được các giới hạn tối ưu, trước tiên có thể sửa đổi  ∗ thành đường Merton, sau đó chọn   sao cho thỏa  mãn tất cả các điều kiện trừ điều kiện (2.34). Nghiên cứu một chiều này tương đối đơn giản.