Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình elliptic

262.2 Bài tập phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai.. 392.3 Bài tập về hàm điều hòa và các tính chất cơ bản của nó 422.4 Giải các bài toán biên đối với phương trình Lap

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này Đồng thời, em xintrân thành cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong quá trình học tập tạitrường và tạo điều kiện cho em thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thờigian, trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học chonên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vây, emkính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo vàtoàn thể bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Tác giả

Đào Thị Thảo

Lời cam đoan

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Trần VănBằng, khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Toán giải tích với đềtài “Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phươngtrình Elliptic” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân em.Không trùng khớp với bất kì công trình khoa học nào khác

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện bản khóa luận này, em đã kếthừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Tác giả

Đào Thị Thảo

tính 71.1.5 Bài toán Cô-si 81.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai và dạng

chính tắc của nó 81.2.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai 81.2.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng

tuyến tính cấp hai của hàm hai biến 101.3 Phương trình Laplace và hàm điều hòa 13

1.3.1 Khái niệm hàm điều hòa 131.3.2 Biểu diễn Green của một hàm điều hòa 141.3.3 Các tính chất của hàm điều hòa 151.4 Các bài toán biên cơ bản đối với phương trình Laplace,

Poisson 171.4.1 Các bài toán biên 171.4.2 Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên

đối với phương trình Laplace hai chiều 18

2.1 Bài tập về một số khái niệm chung 262.2 Bài tập phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

cấp hai 292.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính

cấp hai 292.2.2 Đưa phương trình tuyến tính cấp hai của hàm hai

ẩn về dạng chính tắc 332.2.3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình - Giải bài

toán Cauchy 392.3 Bài tập về hàm điều hòa và các tính chất cơ bản của nó 422.4 Giải các bài toán biên đối với phương trình Laplace, Pois-

son bằng phương pháp tách biến Fourier 472.4.1 Giải bài toán biên trong miền chữ nhật 47

2.4.2 Giải bài toán biên trong miền tròn 53

Mở đầu

Phương trình đạo hàm riêng lần đầu tiên được nghiên cứu vào giữathế kỉ XIX trong những công trình của những nhà toán học như Euler,D’ Alembert, Lagrange và Laplace như một công cụ quan trọng để mô

tả các mô hình vật lí và cơ học Từ khi xuất hiện cho tới nay, phươngtrình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứngdụng, thúc đẩy sự phát triển các tư tưởng toán học trong nhiều lĩnh vựctoán học lí thuyết khác nhau

Trong chương trình đại học, chúng ta đã được tìm hiểu về các phươngtrình đạo hàm riêng cơ bản cấp một, cấp hai, bao gồm xuất xứ, các bàitoán liên quan, các cách tiếp cận các bài toán đó Tuy nhiên, do tínhphức tạp của vấn đề, do thời gian hạn hẹp của chương trình đào tạongười học chủ yếu phải tự tìm tòi, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn củagiảng viên nên gặp không ít khó khăn trong việc tiếp thu kiến thức vàứng dụng Qua quá trình học tập, nghiên cứu em nhận thấy rằng các tàiliệu về môn học này đều khá sâu và khó cho việc tự học Vì thế em nghĩrằng nếu có một hệ thống bài tập thích hợp, cùng với sự định hướng

rõ ràng từ dễ đến khó, từ cơ bản đến trừu tượng thì sẽ giúp ích rấtnhiều cho người học trong việc lĩnh hội những tri thức khoa học này Với

suy nghĩ đó và nhận được sự động viên, hướng dẫn của T.S Trần VănBằng em đã chọn đề tài:

“Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải

về phương trình Elliptic”

làm khóa luận tốt nghiệp

Luận văn được cấu trúc thành 02 chương Chương 1 được dành đểtrình bày các kiến thức cơ bản về việc phân loại phương trình đạo hàmriêng, dạng chính tắc; khái niệm hàm điều hòa và các tính chất; các bàitoán biên cơ bản; các phương pháp giải Trong chương 2 của luận văn,

em sẽ trình bày một cách có hệ thống các bài tập tương ứng với các nộidung lý thuyết, có hướng dẫn giải phù hợp

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng

Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x1, x2, , xn) và các đạo hàmriêng của nó được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng

Nó có dạng

F (x1, x2, , xn, u, ux1, , uxn, ux1x1, ) = 0, (1.1)với x ∈ Ω ⊂ Rn trong đó x = (x1, x2, , xn) là các biến độc lập F làhàm nào đó của các đối số của nó

1.1.2 Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấpcần thiết trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm ∈ Ω

Nói chung 1 phương trình ĐHR thường có vô hạn nghiệm

1.1.3 Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng

Cấp của một của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạohàm riêng có mặt trong phương trình

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của

u với các hệ số là các hàm của biến độc lập x

1.1.5 Bài toán Cô-si

Là bài toán tìm nghiệm u = Φ(x1, x2, , xn) của phương trình (1.1)sao cho khi x1 = x01 thì u = ϕ(x1, x2, , xn) trong đó ϕ là một hàm chotrước

Ở đây ta cũng có thể thay vai trò x1 bằng một trong các biến còn lại

và dạng chính tắc của nó

Ở trong phần này, chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu về PTĐHR tuyến tínhcấp hai Loại phương trình này xuất hiện trong nhiều mô hình thực tế.Chúng ta sẽ nghiên cứu ba lớp đặc biệt của PTĐHR tuyến tính cấp hai

là Elliptic, Hypebolic, Parabolic thông qua các lớp đại diện của chúng làphương trình Laplace, phương trình truyền sóng và phương trình truyềnnhiệt

1.2.1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai

Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát đối vớihàm u(x) = u(x1, x2, , xn):

Đặt A = A(x) = [aij(x)]n×n là ma trận vuông cấp n các hệ số của cácđạo hàm riêng cấp hai Tại x cố định A có n giá trị riêng thực.

Gọi n+, n−, n0 lần lượt là số giá trị riêng dương, âm, bằng 0 Khi đó,

đã cho, a, b, c không đồng thời bằng không

Ta xét một điểm (x0, y0) cố định Phương trình (1.4) tại điểm (x0, y0)được gọi là:

+) Thuộc loại Elliptic nếu tại điểm đó ∆ = b2 − ac < 0

+) Thuộc loại Hyperbolic nếu tại điểm đó ∆ = b2 − ac > 0

+) Thuộc loại Parabolic nếu tại điểm đó ∆ = b2 − ac = 0

1.2.2 Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến

tính cấp hai của hàm hai biến

D(ξ, η)D(x, y) =

ξx ηx

ξy ηy

... data-page="29">

Chương 2

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI

TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI VỀ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC< /h3>

Ví dụ 2.1 Xác định cấp phương trình đạo hàm riêng sau:

uxx+...

Bài 2: Trong phương trình đây, phương trình phươngtrình tuyến tính, phi tuyến? Trong trường hợp tuyến tính cóthuần hay khơng?

a) Phương trình tuyến tính

b) Phương trình tuyến... nghiệm phương trình< /p>

x.2y − y.2x = (ln đúng)

Ta có điều phải chứng minh

a) Phương trình đạo hàm riêng cấp

b) Phương trình đạo hàm riêng cấp

c) Phương trình đạo