Một số phương trình vô tỷ bồi dưỡng HS GIỎI

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH GIỎI Là tuyển tập một số bài toán giải phương trình vô tỷ ở mức độ khó, dành cho các em thích nghiên cứu về toán, luyện thi học sinh giỏi...

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

CHO HỌC SINH GIỎI

Là tuyển tập một số bài toán giải phương trình vô tỷ ở mức độ khó, dành cho

các em thích nghiên cứu về toán, luyện thi học sinh giỏi Đối tượng từ lớp 9

trở lên, đặc biệt là các em lớp 10

TRUNG TÂM KỸ NĂNG LÀM TOÁN

MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH GIỎI

§ 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

1 MỘT SỐ QUY ƯỚC KHI ĐỌC CHUYÊN ĐỀ

1.1 Vt: Vế trái của phương trình Vt2: Bình phương của vế trái phương trình

1.2 Vp: Vế phải của phương trình Vp2: Bình phương của vế phải phương trình

1.3 Vt(1) : Vế trái của phương trình (1)

1.4 Vp (1) : Vế phải của phương trình (1)

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ta có thể gặp các dạng như:

2.1.1 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số không còn chứa căn thức với ẩn mới là ẩn phụ

2.1.2 Đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia

2.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn là hai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó ta được một hệ đối xứng

2.1.4 Đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phương trình tích với vế phải bằng 0 Thường giải phương trình ta hay biến đổi tương đương, nếu biến đổi hệ quả thì nhớ phải thử lại nghiệm

3) Ta thấy x 0 không thỏa mãn

Khi đó phương trình tương đương với hệ

2

2

01

Nhận xét: Bài toán này ta có thể giải bằng Phương pháp đánh giá trong phần sau

4) Ta có phương trình tương đương với

HD: Đặt 417x8 y với y  0 và 3 2x8  1 z Khi đó ta được hệ

Suy ra được y - 2 = 0 Từ đó nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

  , sau đó bình phương lên rồi ta “cố ý” biến

đổi về hệ đối xứng với hai ẩn ,x y Từ đó ta sẽ biết được giá trị của a, b Với bài toán này ta tìm được 1; 1

1

21

Nhận xét: Khi giải một phương trình không phải lúc nào cũng có nghiệm thực, có những phương trình vô

nghiệm nhưng khi cho học sinh làm bài ta cũng kiểm tra được năng lực của học sinh khi trình bầy lời giải bài toán

đó Chẳng hạn như bài toán trong ví dụ này

Với x  thì y x 3 x22, dẫn đến vô nghiệm

Còn x2xyy2 x y(yx)(1x)y2  với mọi 0 y  và 0 x   2 Do đó hệ vô nghiệm hay phương trình

đã cho vô nghiệm

2) 2x 5x 1 7 x  1

(HD: Từ phương trình suy ra x  Đặt 1

2

11

y x

 



 , bình phương dẫn đến y  3 2 3 Phương trình trở thành 2y27y  , ta được 3 0 y  Từ đó 3 x  4 6)

4 22

4 3 21

22

2000(*)2000

Suy ra xy, ta được nghiệm x 2001, loại x  ) 0

Bài 5 Giải các phương trình sau:

x x

Thường ta đánh giá như sau:

Ngoài ra đối với bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác

Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá

Do đó phương trình không có nghiệm trong hai trường hợp này

Vậy phương trình có một nghiệm là 1

Theo BĐT Cô-si ta được 6 6

x x  x          Phương trình xác định với mọi x là số thực Theo

BĐT Cô-si cho hai số dương ta được Vt(1)  Vp(1)

22

22

x x

Nhận xét: Trong phần giải phương trình vô tỷ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ ta đã giải bài toán này, ta cũng

có thể giải nó bằng phương pháp đánh giá như sau

Ví dụ 10 Giải phương trình ( x2)(2x1)3 x6 4 (x6)(2x1)3 x2

HD: Biến đổi phương trình thành ( x6 x2)( 2x 1 3) , suy ra 4 x  5

Vt là hàm số đồng biến trên đoạn 5;  Từ đó dẫn đến  x 7 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 11 Giải phương trình 2 3

2x 11x21 3 4 x4 0HD: Phương trình tương đương với

3

12( 3)( 3)(2 5)

Ta thấy x  là nghiệm của phương trình 3

Nếu x  thì phương trình tương đương với 3

, với a, b là hai số thực dương

HD: Biến đổi phương trình

Nhận xét: Với bài toán này, ta thấy đây là một phương trình gồm hai ẩn Do đó ta nghĩ đến biến đổi phương

trình thành phương trình mới có Vt là tổng các bình phương, còn Vp bằng 0

HD: Biến đổi phương trình thành

2 2

Từ đó ta được phương trình có nghiệm là ( ; )x y (2; 2)

Nhận xét: Bài toán này (đã xét ở trên) cũng có thể giải bằng phương pháp lượng giác, tuy nhiên với bài này

cách giải bằng lượng giác chỉ mang tính chất tham khảo

HD: Đặt

4 2 4

sin ycos y 2 sin cosy y Đặt sinycosyz z,   2; 2 (chính xác là z  1; 2), biến đổi phương trình ta được

z  z  z  (z 2 )(z 2 1)( z 2 1)  0

 z 2  z 1 2 Nếu z  2 thì thì

(1 )

3 11

x x

Bài 7 Giải phương trình 2x  1x2x 1x  1

HD: Nếu x  thì Vt 3 40   7 = Vp (phương trình không có nghiệm) 5

Nếu x  thì ta xét tam giác vuông ABC với 0 A 900, AB = 4; AC = 3

Gọi AD là phân giác của góc A, lấy M thuộc tia AD

1 6 1 6 9 4 8 2 9 1 6 9 3 6 2

1 2 2 7

Nhận xét: Bài toán này không khó, chỉ kiểm tra tính cẩn thận của học sinh mà thôi vì sau khi đặt điều kiện

đã tìm được giá trị của x Tuy nhiên nếu học sinh học hời hợt sẽ ngồi nhìn mà không làm được bài

HD: Đặt đk cho phương trình xác định ta sẽ được x  Khi đó phương trình trở thành 2 y   , suy 1 2 y

Xét (3) ta được x  1 x , xét (4) được 9 x  và (5) được 1 x 0 x 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   1; 0;1; 9

Ví dụ 4 Giải phương trình x24x20 x24x29 97

HD: Trong mặt phẳng tọa độ xét hai véc tơ a(x2; 4)

và b  ( x 2;5)

Khi đó ta được a b   ( 4; 5)

§ 2 MỘT SỐ BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  3

Từ (1) và (2), ta được ( )g x  x 13 f x( ) Cả hai đẳng thức đều xảy ra khi x  , thỏa mãn điều kiện 3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  3

HD: Đặt 3

4x4y Khi đó

3

44

x (do đk và 3 x27x15 với mọi 0 x thỏa mãn đk)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  3

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x  3

Bài 4 (1998-CMO)

Giải phương trình x x 1 1 1

Nhận xét: Đây là bài toán thi học sinh giỏi của Canada, có thể nói là đơn giản, nhẹ nhàng với học sinh tinh

ý nhưng cũng đầy cạm bẫy với mọi học sinh

Thật vậy, từ đk xác định của phương trình ta phải dẫn đến được x  1

Với đk đó, phương trình tương đương với x 1 1 x 1

x  nhưng cách này hơi dài

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 1 5

2

§ 4 MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LÀM

Sau đây là một số bài tập tự làm mà chúng ta có thể sử dụng các phương pháp ở trên

Bài 1 Giải các phương trình sau:

x x

x x

x



2) (x1) x 1 5 x 1 4x  4 0