Bài tập ôn tập nhị thức niuton có lời giải

Chủ đề 10 : NHỊ THỨC NEWTƠN

A/ BÀI TẬP MẪU:

1 Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

2 2

Giải:

Cơng thức khai triển của biểu thức là:

( )

( )

11 3 14 3

1

k

n

n

−

−

Để số hạng chứa x5 vậy k=2 và n=3 Vậy hệ số của x5 là 2 3

11 7 90

2009 2009 2009 2009

Giải:

2009 2009 2009 2009

2009 2009 2009 2009

n n

C C )

2S C= +C +C + + C +C + + C = + 1 1

2008 2

⇒ =S

3 Khai triển và rút gọn biểu thức 1−x+2(1−x)2 + +n(1−x)n thu được đa thức

n

n x a x

a a

x

P( )= 0 + 1 + + Tính hệ số a biết rằng n là số nguyên dương thoả mãn8

n C

1 7 1 3

2 + = .

Giải:

Ta cã









=

−

−

+

−

≥

⇔

= +

n n

n n n

n

n n C

) 2 )(

1 (

! 3 7 )

1 ( 2

3 1

7

1

3 2

§ã lµ 8.C88 +9.C98 =89

9

0 36 5

3







=

−

−

≥

n n n

Suy ra a lµ hƯ sè cđa 8 x trong biĨu thøc 8 8(1−x)8+9(1−x)9

4 Tính tổng S C= 02009+2C12009+3C22009+ + 2010C20092009

Giải:

= 0 + 1 2+ 2 3+ + 2009 2010

* Mặt khác: f (x) (1 x)/ = + 2009+2009(1 x)+ 2008x (1 x)= + 2008(2010 x)+

⇒ f (1) 2011.2/ = 2008(b)

• Từ (a) và (b) suy ra: S 2011.2 = 2008

•

5 Chứngminh ∀k,n Z thõa mãn ∈ + 3 k n ta luơn cĩ: ≤ ≤

k + k 1− + k 2− = k+ − k 3− − k 2−

Giải:

Ta cĩ: k + k 1− + k 2− = k+ − k 3− − k 2− ⇔ k+ k 1− + k 2− + k 3− = k+

n n n n n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

= k+ + k 1+− = k+

n 2 n 2 n 3

2 2

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử) Giải:

x N

≤ ≤



 ∈



C +C − +C − +C − =C +− ⇔C + +C +− =C +− ⇔C + =C +− ⇔ −(5 x)! 2!= ⇔ =x 3

100 100 100 100

Giải:

100 100 100 100

100 100 100 100 100

Lấy (1)+(2) ta được:

( )100 ( )100 0 2 2 4 4 100 100

100 100 100 100

1+x + −1 x =2C +2C x +2C x + + 2C x

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được

( )99 ( )99 2 4 3 100 99

100 1+x −100 1−x =4C x+8C x + + 200C x

Thay x=1 vào

100 100 100

8 Tìm hệ số x3 trong khai triển

n

x









 2 +2

biết n thoả mãn: 21 + 23 + + 22n−1 = 223

n n

C

Khai triển: (1+x)2n thay x=1;x= -1 và kết hợp giả thiết được n=12

Giải:

Khai triển: ∑

=

−

=











0

3 24 12

12

k

k k

k x C x

9 T×m hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x2 trong khai triĨn nhÞ thøc Niut¬n cđa

n

x x







4

2 1

biÕt r»ng n lµ sè nguyªn d¬ng tháa m·n:

1

6560 1

2 3

2 2

2

+

= + + + +

n

C n C

C

n

n n

n

( k

n

C lµ sè tỉ hỵp chËp k cđa n phÇn tư)

Giải:

∫

0

n n n 2

2 n

1 n

0 n 2

0

ndx C C x C x C x dx

)

x

1

(

2 0

1 n n n 3

2 n 2 1 n

0

1 n

1 x

C 3

1 x C 2

1 x











+ + + +

+

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C

2

+ + + +

+

MỈt kh¸c

1 n

1 3 )

x 1 ( 1 n

1 I

1 n 2 0 1 n

+

−

= +

+

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C 2

+ + + +

+

1 n

1

3n 1

+

−

1 n

6560 1

n

1

=

⇒

=

⇔ +

= +

+

−

=









=







0

4 k 14 k 7 k

k 7

k 7 k 7 7

2

1 x

2

1 x

C x

2

1 x

4

k 3

VËy hƯ sè cÇn t×m lµ

4

21 C 2

1 2 7

2 =

10 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8C C1 49

n

2 n

3

Điều kiện n ≥ 4

Giải:

=

−

= +

n 0 k

k n k k n

n

x

Hệ số của số hạng chứa x8 là C4n2n−4

Ta cĩ: A3n−8C2n+C1n =49

⇔ (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49

⇔ n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 ⇔ (n – 7)(n2 + 7) = 0 ⇔ n = 7

Nên hệ số của x8 là C423 280

B- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

1 (CĐ_Khối D 2008) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của

18 5

1

2







x

2

3 2

1

2 + + + n− =

n n

( k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

x(1−2x)5+x2(1+3x)10

3 3

4 1

+

+

n

A A

149 2

4

2 3

2 2

2

1+ + + + + + =

n

A là số chỉnh hợp chập k của n

phần tử và k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

7 4







x

thành đa thức của (x2+1)n (x+2) n Tìm n để a 3n− 3=26n.

n

n n

n

8 (ĐH_Khối B 2008) Chứng minh rằng k

n

k n

k

C n

2

1

1 1 1

=







 + +

+

+ + +

(n, k là các số nguyên dương, k≤n, k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

9 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của

(2+x) n, biết:

3nCn0−3n− 1C n1+3n− 2C n2−3n− 3C n3+ … +(−1)n C n n =2048 (n là số nguyên dương, C n k là số tổ hợp chập

k của n phần tử).

10.(ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng

n n

n n

n

n C

C C

1

1 2 3

1 2 2

1

2

3 1

2

0

+

− + +

− +

−

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

11.(ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a0+a1x+ … +a n x n , trong đó n∈ N* và các hệ số

2 2

1

0 + a + +a n n =

a n

2

2 1 2 2

5 2

3 2

1 2

1 2

1 2 2

1 6

1 4

1 2

1

n

n n

n n

n

n

C n C

C C

+

−

= +

+ +

k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

n

x









4 1

1 2

2 1 2

1 1

2 + + + + + n+ = −

n n

n

C là số tổ hợp chập k của

n phần tử).

14 (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho

2 4 2

3 2

1 2 2 4

1 2 3 3

1 2 2 2

1 2

1

1

+ +

+ +

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

15.(ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8

n

x









3 1

4 − + = +

+

n

n

n

C là số tổ hợp chập k của n phần

tử)

n x n n

n x x

n n

x n x

n

n x

n

n

x

x

C C

C C







 +















 + +















 +









=









−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

3

1 3 2

1 1 3

1 2

1 1 2

1 0 3

2

1

2 2

2 2

2 2

2

(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đĩ C n3 =5C n1 và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n

và x.

18 (ĐH-A DB2-2005) Tìm hệ số của số hạng chứa 7

x trong khai triển đa thức: ( )2

2 3− x nbiết

2 1 2 1 2 1 2n1 1024

+ + + + + + + + = ( k

n

C là tổ hợp chập k của n phần tử )

19 (ĐH A–DB1-2006) Aùp dụng công thức Newtơn (x2+x)100 Chứng minh rằng:

20 (ĐH-D-2004) Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển nhị thức Newton của

7 3

4

1

x

x

21 (ĐH-A-2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển của biểu thức: 2( ) 8

1 x 1 x

22 (ĐH-A-2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8trong khai triển nhị thức Newton của:

5 3

x x

1

4 3 7( 3)

+ − + = + ( n là số nguyên dương, x > 0 ).

23 (ĐH-D-2003) Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3là hệ số của x3n−3trong khai triển thành

đa thức của (x2+1)n(x+2 )n Tìm n để a3n−3 =26 n

24 (ĐH-A-2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26trong khai triển nhị thức Newton của:

7

4

x

x

2 1 2 1 2 1 2n 1 2 1

C + +C + +C + + +C + = − ( n là số nguyên dương, x > 0 )

25 (ĐH B –DB2-2007) Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: A 8C C1 49

n

2 n

3

26 (ĐH D -DB1-2007) Chứng minh với mọi n nguyên dương luơn cĩ

nC (n 1)C ( )1 C ( )1 Cn 1 0

n 1 n 2

n n 2 n 1

n 0

27 (ĐH A –DB2-2008) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n biết rằng A n3 + 2A n2 = 100 (n là số nguyên dương)

) 2 )(

1 (

3 3

≥

=

−

−

+

n n

n

C

A n n

Tính tổng

n n

n n

n

C

S= 2 2 2 − 3 2 3 + 4 2 4 − + ( − 1 ) 2

29 (ĐH B –DB2-2008) Khai triển nhị thức Newton

n n

n n

n n

n

n

x+ 1 ) = + − + − + +

30 (ĐH D –DB1-2008) Chứng minh rằng với n là số nguyên dương

n.2 C + − (n 1).2 C− + + 2C − = 2n.3 −

31 (ĐH-A-2008) Cho khai triển: (1 2 )n 0 1 n

n

0, 1, , n

0 4096

n n

a a

a + + + = Tìm số lớn nhất trong các số: a a0, , , 1 a n

32 (ĐH-A-2002) Cho khai triển nhị thức:

1 1

−

−

−

dương ) Biết rằng trong khai triển đó 3 1

5

C = C và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x

33 (ĐH-A-2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:

2 1 2.2 2 1 3.2 2 1 4.2 2 1 2 1 2 n 2n1 2005

34 (ĐH-B-2003) Cho n là số nguyên dương Tính tổng:

0 2 1 1 2 1 2 2 1

n

n

n

+

+

35 (ĐH-D-2002) Tìm số nguyên dương n sao cho: 0 2 1 4 2 2n n 243

36 (ĐH-D-2005) Tính giá trị của biểu thức: ( )

1 3

,

1 !

M

n

+ +

=

1 2 2 2 3 4 149