phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT

báo cáo về phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT

mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Nâng cao chất lợng dạy học nói chung, chất lợng dạy học môn

Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nớc tahiện nay Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mớinội dung và phơng pháp dạy học Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã

đợc chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nớc và ngànhGiáo dục nớc ta Có thể dẫn ra một vài văn bản đã đợc ban hành trong nhữngnăm qua nh sau:

- Luật Giáo dục (1998) quy định: “…Ph ơng pháp giáo dục phổ thôngPhphải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợpvới đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện

kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn…Ph”

- Dự thảo chơng trình (1989) môn Toán nêu rõ: “ Góp phần phát triểnnăng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy biện chứng,

t duy hàm…Ph; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy linh hoạt, độc lập,sáng tạo…Ph”

Tuy nhận thức rõ đợc tầm quan trọng và định hớng đổi mới phơng pháp

đã đợc nêu ra ở trên nhng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hởngnhiều của quan niệm và phơng pháp dạy học xa cũ Nhận định về vấn đề này

đã có không ít nhà nghiên cứu đa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề chongành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ Sau đây là một số ý kiến

và tính cách bị chìm đi trong kiến thức"

1.2 Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung

dạy học Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt

động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vữngchắc Ngợc lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnhvực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho ngời học tìm thấy

những tác dụng to lớn của kiến thức học đợc trong việc giải quyết các tìnhhuống trong thực tiễn và trong khoa học.

Chủ đề phơng trình và bất phơng trình có vị trí quan trọng trong chơng

trình môn Toán THPT Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt

từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về phơng trình và bất phơng trìnhcòn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức

về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích Vì vậy bêncạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phơng trình, bất phơngtrình một cách đầy đủ theo quy định của chơng trình, việc rèn luyện kỹ nănggiải phơng trình và bất phơng trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trongviệc nâng cao chất lợng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trờng THPT

Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chơng trình môn

Toán phổ thông Điều này đợc khẳng định không chỉ ở nớc ta mà còn đợc đềcập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nớc ngoài Ta có thể thấy đ-

ợc điều này qua các ý kiến đợc trích từ [16] sau đây:

- ý kiến của Kơlanh khi khởi xớng phong trào cải cách việc dạy họcToán ở trờng phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đa cái mới vào giáo trìnhtoán phổ thông, lấy t tởng hàm số và biến hình làm t tởng quan trọng nhất -Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7năm 1956) gửi các vị Bộ trởng Giáo dục các nớc nêu rõ: Nên xây dựng chơngtrình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số

- ý kiến của GS Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tạiMatxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chơng trình toán Trung học (cấp II vàII) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Cácyếu tố của phép tính vi phân và tích phân

ở Việt Nam, chơng trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chơngtrình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số.Trong [24], GS Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của kháiniệm hàm số" là một trong "những t tởng cơ bản" của chơng trình môn Toán bậcTHPT Khi phân tích t tởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:

- Nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình bậcPhổ thông Trung học;

- Phần lớn chơng trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếpnghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;

- Cấp số cộng và cấp số nhân đợc nghiên cứu nh những hàm số đối số tựnhiên;

- Lợng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lợng giác còn phần côngthức đợc giảm nhẹ;

Phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày liên hệ chặt chẽ với hàmsố

1.3 Gắn bó chặt chẽ với t tởng hàm số, t tởng biến hình, t tởng về sự

t-ơng ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tợng là vấn đề t duy hàm.

Những đặc trng về t duy hàm đợc các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho

Ch-ơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thờng chỉ ra trong[25] Phát triển t duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa làyêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lợngdạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán Việc dạy học các kiến thức mônToán đợc trình bày theo t tởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển tduy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán vàứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển t duy hàm

1.4 Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lợng

dạy học nội dung Phơng trình, bất phơng trình Nhiều công trình nghiên cứu

về phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức

cụ thể Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đềrèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình cho học sinh trong sự phối hợp hữu cơvới vấn đề phát triển t duy hàm

Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: Phối hợp rèn luyện kỹ“

năng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích ".

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định mối quan hệ tơng hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giải phơngtrình, bất phơng trình với việc phát triển t duy hàm cho học sinh trong dạy học

Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở ờng THPT

tr-3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện

kỹ năng toán học cho học sinh

3.2 Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phơng trình, bất phơng trình

cần rèn luyện cho học sinh THPT

3.3 Hệ thống hoá các thành tố của t duy hàm và quan điểm phát triển t

duy hàm cho học sinh trong dạy học toán

3.4 Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán phơng trình, bất

phơng trình trong sự phối hợp với việc phát triển t duy hàm cho học sinhTHPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích

3.5 Thực nghiệm s phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.

4 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở dạy học đúng chơng trình quy định, áp dụng các phơng phápdạy học và sử dụng các phơng tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy học giáoviên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việc pháttriển t duy hàm cho học sinh thì chất lợng dạy học môn Toán (thể hiện quakhả năng giải toán phơng trình, bất phơng trình của học sinh) đợc cải thiện

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo

dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục cóliên quan đến đề tài

5.2 Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra

5.3 Thực nghiệm s phạm.

6 đóng góp của luận văn

6.1 Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.

6.2 Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán

ph-ơng trình với phát triển t duy hàm

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn

có 3 chơng:

Chơng 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài

1.1 Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học

1.1.1 Một số đổi mới về nội dung

1.1.2 Đổi mới về phơng pháp dạy học

1.2 Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

1.2.1 Khái niệm kỹ năng

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

1.3 T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh

1.3.1 T duy hàm

1.3.2 Vấn đề phát triển t duy hàm thông qua dạy học phơng trình

1.4 Kết luận chơng 1

Chơng 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển

t duy hàm cho học sinh THPT

2.1 Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn Toán THPT

2.1.1 Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình

2.1.2 Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phơng trình

2.2 Rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ đạo của t duyhàm

2.2.1 Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu

2.2.2 Rèn kỹ năng biến đổi phơng trình

2.2.3 Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua đánh giá giá trị các biểuthức thành phần

2.2.4 Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán

2.2.5 Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua xét sự biến thiên củahàm số

2.3 Phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phơng trình

2.3.1 Tìm miền xác định của tơng ứng hàm thông qua giải toán phơngtrình, bất phơng trình

2.3.2 Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tơng ứng thông qua giải toánphơng trình

2.3.3 Xét tính chất của tơng ứng hàm thông qua giải toán phơng trình,bất phơng trình

2.3.4 Định hớng sử dụng phơng trình, bất phơng trình trong quá trìnhlợi dụng tơng ứng hàm để giải quyết vấn đề

2.4 Kết luận chơng 2

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm

chơng 1Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài

1.1 Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học

1.1.1 Một số đổi mới về nội dung

Chơng trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi

về nội dung và cách trình bày nh:

- Đa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chơng trình

THPT, nh Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất… Sắp xếp nội dung chơng trình theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn nh phần toạ độ trong mặt phẳng ở

chơng trình lớp 12 đợc đa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đờng cônic Đồngthời nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chơng trình Toán ở các

cấp, các lớp, giữa các môn học Chẳng hạn đa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để

giúp kịp thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12

- Cách viết SGK nh từ trớc đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báokiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đa ra nhiều các bài toánkhó nên còn thiếu tính s phạm SGK cha thể hiện đợc phơng pháp dạy học tíchcực Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tàiliệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thờng đợc viết cô

đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tínhchất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ vàcác bài toán Theo định hớng đổi mới, SGK phải trình bày và hớng dẫn nh thếnào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học đợc, cốnhiên là khó khăn và vất vả hơn

SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên

có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,học sinh đợc suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn Nhiều câu hỏi đặt ra nhằmgiúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hớngcho những suy nghĩ của họ…Ph Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đa

ra câu trả lời trong SGK

SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớtnhững suy luận quá hình thức, quá trừu tợng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủyếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý Một số tínhchất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉnêu những trờng hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh

SGK theo tinh thần mới tăng cờng những nội dung thực tiễn, thiết thực,những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trờng hợp có thể Chẳnghạn, trong phần véctơ, có thể đa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợplực, phân tích lực…Ph

Ngoài ra, SGK mới còn đa thêm các phần nh: Có thể em cha biết, em cóbiết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thú học tậpcho học sinh

SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò xem

xét và giải quyết Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lại kiến

thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý ph ơngpháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực tiếp cáccông thức nêu trong lý thuyết Cách thức thực hiện các hoạt động nàycũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc nêuthành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết.

Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phảithay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinhhọc tập một cách tích cực hơn

Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều kiện

để học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợprèn luyện kỹ năng với việc phát triển t duy hàm cho học sinh qua dạy họcToán nói chung và dạy học chủ đề phơng trình nói riêng

1.1.2 Đổi mới phơng pháp dạy học

Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mục

đích truyền thụ tri thức, thờng thì giáo viên đa ra các định lý, tính chất rồi giảithích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất Phơngpháp dạy học đợc sử dụng phổ biến trong nhà trờng là phơng pháp thuyết trình

tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, trò tiếp thu thụ động Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng,

dạy đủ, dạy nội dung gì chứ cha nghĩ đến cách dạy nh thế nào? Phần lớn khigiảng dạy họ coi mọi đối tợng học sinh là nh nhau nên giảng cùng một nộidung, cùng một phơng pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ Ngoài ra kiểu

đánh giá và thi cử đã ảnh hởng rõ rệt tới phơng pháp giảng dạy, đánh giá vàthi cử nh thế nào thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thế ấy, dạy và học theo

kiểu "Thi gì - học nấy".

Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:

“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồigiải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định

lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý đểtính toán, chứng minh…Ph”

GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trínhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đếnviệc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi vàchán nản …Ph"

Tóm lại, với kiểu dạy học nh vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",

thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói

đ-ợc coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận

giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngợc từ phía học sinh trong

bài giảng Kiểu giảng dạy "một chiều" nh vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến

thức cũng nh hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểmsoát đợc việc học Do đó việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xác định làmột trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nớc ta hiện nay

Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên cácphơng diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá Cốtlõi của đổi mới dạy và học là hớng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động,chống lại thói quen học tập thụ động Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làmtrung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩnhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học Thay vì lối dạy truyềnthống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáoviên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năngvận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến tìnhcảm, đem lại niềm vui, tạo đợc sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng đợccông nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học

Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấpkiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hớng dẫn học sinh hoạt động để họcsinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ

đạo Từ đó tự lực khám phá kiến thức mình cha biết chứ không phải tiếp thuthụ động những kiến thức sẵn có Giáo viên cần cài đặt những tình huống thực

tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theocách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội đợc kiến thức mới

Nh vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã đợc "chuyểnsang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phơng pháp dạy học mới đã chú trọng đếnviệc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phơng pháp tựhọc, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục" Xóa bỏ cách học

cũ không kích thích đợc học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh,chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi "Để phát huy tối đatính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống cóvấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ng-

ợc" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2006).

Đổi mới phơng pháp dạy học không chỉ đổi mới cách dạy, cách học,cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả cách kiểm tra đánh giá Nội dungkiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phơng

pháp có trong chơng trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối phó với thi

cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt nh trớc đây

Việc đổi mới phơng pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm lýhọc hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh đợc hìnhthành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức Do đó để đạt

đợc mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt

động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của bản thân mànắm đợc kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm đợc phơng pháp "làm ra"những kiến thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ vàphát huy tiềm năng sáng tạo Qua hoạt động học sinh không những chiếm lĩnh

đợc kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực

Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phơng pháp dạy học không có nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phơng pháp truyền thống mà cần

kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phơng pháp dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phơng pháp mới, theo quan

điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở nớc ta

1.2 Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

1.2.1 Khái niệm kỹ năng

Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học s phạm thì: “Kỹ năng là khả năngvận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp…Ph) để giải quyết mộtnhiệm vụ mới” [19, tr.131]

Còn Tâm lý học đại cơng cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng cácdữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để pháthiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công nhữngnhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”[31, tr.149]

Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiếnthức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr 426]

Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm

vụ mới Trong thực tế dạy học, học sinh thờng gặp khó khăn khi vận dụngkiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp ) vào giải quyết các bài tập cụthể Học sinh thờng khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi

đối tợng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn cógiữa kiến thức và đối tợng Sở dĩ nh vậy là do kiến thức không chắc chắn, kháiniệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng

Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộctính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định

Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành

động, để hành động biến đổi đối tợng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt rathu đợc thông tin mới) Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình

thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện,nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và nhữngquan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.

Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hởng của cácyếu tố sau:

Nội dung của bài toán đặt ra, đợc tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan

hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hớng t duy

Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phơng trình vô

tỉ lợng giác nhng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dới dấu căn, xétthấy các biểu thức dới căn là các bình phơng đúng:

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

26 15 3 x 2 7 4 3x  2 2  2 3x 1Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phơng trình,

từ đó mới phát hiện đợc mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:

kỹ năng Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hởng đến sự hìnhthành kỹ năng Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễdàng hình thành kỹ năng, còn ngợc lại sẽ cản trở việc học tập Thói quen tâm

lý là một trở ngại thờng gặp trong học tập Nguyên nhân chủ yếu hình thànhthói quen tâm lý đó là t duy của con ngời có tính phơng hớng Một loại kiếnthức hoặc phơng pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tợng sâu làm cho học sinhkhông bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen t duy cũ để mở ra một hớng suynghĩ mới

Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhậnthức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bàitoán cụ thể

1.2.2 Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh

Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ thông thì việctruyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốnthực hiện đợc phải dựa trên mục đích này Và kiến thức về một mặt nào đó sẽkhông đợc củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các ngànhkhoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt

động tơng ứng

Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nóiriêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điềunày đã đợc nhiều tác giả đề cập nh:

Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng t duy và tính cách cho học sinh( Nguyễn Cảnh Toàn) Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho họcsinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trờng phổ thông, đồng thời rènluyện cho học sinh các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồi dỡngcác phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh

Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp cácthao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bàitập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đờng khác nhau nh:

Con đờng thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri

thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toánliên quan theo mức độ tăng dần

Con đờng thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trng, từ đó có thể định hớng

một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó

Con đờng thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với

việc vận dụng tri thức

Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần đợc tiến hành trên cácbình diện khác nhau

- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dới dạng giảibài tập toán

- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác nh vật lý,hoá học

- Kỹ năng vận dụng vào đời sống

Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.

Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cờng hoạt

động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán) Cụ thể hơnthông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quantâm chú trọng những vấn đề sau:

* Cần hớng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Nói cách khác, hớng cho học sinhbiết cách phân tích đặc điểm bài toán

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình

 x 1   2x 3  50 3x  12 (1)Nếu giải bài toán này theo phơng pháp thông thờng, tức dùng biến đổi t-

ơng đơng, thì sẽ tơng đối phức tạp

Ta nhận thấy, tổng các bình phơng các căn thức ở vế trái là một sốkhông đổi:

+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình

 x 1   2x 3  50 3x  12Nếu để ý mối liên hệ:  x 1  2  2x 3  2  50 3x 2 48 là mộthằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hớng Có thể xem vế trái là tích của hai véctơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng Với hớng suy nghĩ này, lời giải bàitoán khá độc đáo

Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:

Từ góc độ hình học để hiểu bất phơng trình thì vấn đề trở nên rõ ràng.Bài toán chuyển về chứng minh u.v u v  Đây là một bất đẳng thức đúngvới tích vô hớng của hai véc tơ Vậy nghiệm của bất phơng trình là những giá

trị của x mà bất phơng trình có nghĩa tức là: 3 x 50

2  3 .

Nh vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từngbài Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm

ẩn sâu trong bài toán

+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán Họcsinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phơng pháp và các bớclàm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phơng pháp sẵn

Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo

Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tíchđặc

điểm phơng trình Phơng trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thành dạng

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rènluyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dỡng t duytoán học cho học sinh

1.3 T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh

1.3.1 T duy hàm

Trớc hết hãy bàn về thuật ngữ t duy hàm, t duy hàm tất nhiên khôngphải là thuật ngữ toán học, t duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là mộtkhái niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể làmột sự tơng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó

Cho đến nay vẫn cha có một định nghĩa thống nhất, chính thức về t duyhàm Theo Koliagin định nghĩa t duy hàm nh sau: T duy hàm là một loại hình

t duy đặc trng bởi việc nhận thức đợc tiến trình những sự tơng ứng riêng vàchung giữa các đối tợng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹnăng vận dụng chúng) [30]

Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: T duy hàm là cáchoạt động trí tuệ liên quan đến sự tơng ứng giữa các phần tử của một, hai haynhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử củatập hợp đó, trong sự vận động của chúng

Nguyễn Bá Kim thì thay vì đa ra định nghĩa t duy hàm, đã đa ra cáchoạt động đặc trng cho nó, ông quan niệm t duy hàm đặc trng bởi các hoạt

động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tơng ứng

Nh vậy, t duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứunhững quy luật của sự vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sựphụ thuộc lẫn nhau của chúng

Với cách hiểu này, t duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà

nó cũng rất cần thiết đối với ngời lao động, nó là yếu tố quan trọng trong vănhoá Toán học giúp ngời lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và t

duy Chẳng hạn nh sản phẩm của t duy hàm thể hiện qua câu ca dao Chuồn“

chuồn bay thấp thì ma, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm” thể hiện sự tơng

ứng giữa độ cao và thời tiết

1.3.2 Vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học phơng trình

Trong dạy học toán học ở trờng việc phát triển t duy hàm cho học sinhkhông có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về t duy hàm Nhiệm vụ t duyhàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức Muốn pháttriển t duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trêncơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển t duy hàm cho học sinh, phát triển t duyhàm là mục đích kép.

Thực tiễn giáo dục t duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khókhăn nh : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lợng kiến thứcnhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều Những tri thức

về hoạt động t duy hàm không đợc qui định rõ ràng trong chơng trình nênkhông đợc giảng dạy một cách tờng minh Mặt khác, hầu hết giáo viên phổthông nắm về t duy hàm cha đầy đủ và cũng cha thấy đợc tầm quan trọng của

nó trong dạy học Trong dạy học việc xem xét các đối tợng toán học một cáchcô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc Cha thấy hết những mối liên hệ phụthuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giảiquyết các bài toán Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung cònhạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn

Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một

số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cậncác bài toán phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình do thiếu giáo dụccác thành tố t duy hàm:

- Xác lập sự tơng ứng;

- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;

- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,phụ thuộc

Các khó khăn chủ yếu là:

1 Học sinh không biết cách phân chia các trờng hợp riêng khi đứng

tr-ớc một bài toán cụ thể;

2 Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trờng hợp riêng thích hợpcho việc giải quyết bài toán;

3 Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phơng trình, bất phơngtrình, hệ phơng trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số

Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phơng trình, bất phơng trình, hệphơng trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:

- Lập sự tơng ứng giữa các đối tợng, quan hệ trong Toán học;

- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phơng pháp về t duy hàm;

- Hoạt động gợi động cơ.

Một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình:

Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tậpnghiệm khi biến đổi phơng trình Sau khi biến đổi phơng trình thì tập nghiệmcủa phơng trình ban đầu và tập nghiệm của phơng trình thu đợc có quan hệ vớinhau nh thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?

Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khảnăng sau:

Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau

Khả năng 2: Tập nghiệm của phơng trình trớc là tập con của tập nghiệmcủa phơng trình sau

Khả năng 3: Tập nghiệm của phơng trình sau là tập con của tập nghiệmcủa phơng trình trớc

Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhng không tậpnghiệm nào là bộ phận của tập nghiệm kia

Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này Căn cứ vào đâu đểnhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?

Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phơng trình về một phơng

trình đơn giản đã biết cách giải

Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phơng trình thay đổi

Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc tơng đơng với phơngtrình đã cho Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phơng trình mới thu đ-

ợc là tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho Mặc dù vậy, ta vẫn hình thànhcho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phơng trình (dù trongtrờng hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kếtqủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kếtquả công việc, một trong những đức tính cần thiết của ngời lao động trongthời đại mới

Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phơng trình

Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc thờng là hệ quả củaphơng trình đã cho Khi đó, tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho đều là

nghiệm của phơng trình mới nhận đợc, nh vậy phép biến đổi phơng trìnhkhông làm mất nghiệm, tập nghiệm của phơng trình đã cho là tập con của tậpnghiệm của phơng trình thu đợc, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vàophần mở rộng của tập xác định.

(x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép

thử phải loại bỏ "nghiệm này").

Khi giải phơng trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định tacần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều nàykhông chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khilàm bài mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận

Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phơng trình

Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tợng mất nghiệm của phơngtrình đầu, phơng trình đầu là hệ quả của phơng trình cuối cùng thu đợc Khi

đó, tập nghiệm của phơng trình thu đợc là tập con của phơng trình đầu, phépbiến đổi phơng trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơivào phần thu hẹp của tập xác định

Trong trờng hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác

định vào phơng trình đã cho để khắc phục hiện tợng thiếu nghiệm Tuy nhiên,không có quy tắc tổng quát cho mọi trờng hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà

ta có cách tìm lại nghiệm đã bị mất

thay x   k vào (1) ta đợc 2sin(   k ) cos(    k ) 1 1 1 (luôn

Nh vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của

ph-ơng trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cầnphải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phơng trình ban đầu tránh làmmất nghiệm

Lu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không lànghiệm của phơng trình đã cho, thì tập nghiệm của phơng trình ban đầu trùngvới tập nghiệm của phơng trình thu đợc Khi đó, ta nói hai phơng trình này t-

Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi

Đối với loại biến đổi này phơng trình thu đợc vừa có khả năng thêmnghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phơng trình đã cho Do vậy cầnvận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem cácnghiệm của phơng trình thu đợc có phải là nghiệm của phơng trình đã chokhông, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của phơngtrình thu đợc nhng lại là nghiệm của phơng trình đã cho

Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phơng trình, ở đây là các

phép biến đổi tơng đơng mà học sinh đã đợc học Nắm vững các định lý nàykhông những giúp học sinh định hớng, biến đổi phơng trình thành phơng trìnhtơng đơng đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mối quan hệ giữa cáctập nghiệm của các phơng trình trong quá trình biến đổi Đây là một trongnhững điều quan trọng làm cơ sở để tiến hành thực hiện biến đổi phơng trình

Thứ ba là căn cứ vào một số kiến thức cơ bản, có thể là định nghĩa, định

lý, tính chất mà học sinh đã đợc học dù có thể không liên quan trực tiếp đếnbiến đổi phơng trình Làm cơ sở xác định quá trình biến đổi đó bảo tồn sốnghiệm, thêm nghiệm hay bớt nghiệm

và phép chuyển ngợc lại từ (6) sang (5)

- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tậpnghiệm

- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tậpnghiệm

Tóm lại: Khi dạy học giải phơng trình, ta cần hình thành cho học sinhlập luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữacác phơng trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu " "," "," " đúng,

từ đó biết đợc diễn biến của các tập nghiệm sau từng bớc biến đổi, dẫn đếnxác định đợc tập nghiệm của phơng trình đầu dựa vào tập nghiệm của phơngtrình cuối

Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phơng trình cầnquan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phơng diện ngữ nghĩa và cúpháp

1.4 Kết luận chơng 1

Trong chơng này, Luận văn đã sơ lợc trình bày quan điểm đổi mới nộidung và phơng pháp dạy học Phân tích, minh họa khái niệm t duy hàm, kỹnăng cũng nh vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấnmạnh một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình Làm cơ sở đề xuấtquan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với việc pháttriển t duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn

Chơng 2Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT

2.1 Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn toán THPT

2.1.1 Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình

Bàn về khái niệm phơng trình, khác với một số sách giáo khoa (SGK)

trớc đây khái niệm phơng trình theo SGK Đại số 10, Chuẩn phát biểu: “Phơng trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f x( )g x( ) (1)

Trong đó f x( ) và g x( ) là những biểu thức của x Ta gọi f x( )là vế trái, g x( ) là vế phải của phơng trình (1).

Nếu có số thực x sao cho 0 f(x0)g x( 0) là mệnh đề đúng thì x 0 đợc gọi

là một nghiệm của phơng trình (1) Giải phơng trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).

Nếu không có nghiệm nào cả thì ta nói phơng trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng)”

Còn SGK Đại số 10, Nâng cao thì định nghĩa: Cho hai hàm số y = f(x)“

và y =g(x) có tập xác định lần lợt là D f và D g Đặt DD f D , mệnh đề g chứa biến f(x) = g(x) đ“ ” ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn)

và D gọi là tập xác định của phơng trình Số x 0 thuộc D gọi là tập nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) nếu f(x“ 0 ) = g(x 0 ) là mệnh đề đúng ” ”

Cả hai cách định nghĩa phơng trình dựa vào hàm mệnh đề đã khắc phục

đợc hạn chế, có thể áp dụng vào mọi trờng hợp cụ thể phù hợp với trình độhọc sinh cũng nh thoả mãn với cả các phơng trình phải tìm nghiệm lẫn cảnhững phơng trình biểu thị những quy luật vật lý hay những phơng trình biểudiễn đờng

Trớc đây khi cho phơng trình thờng gắn với tập xác định, dù phơngtrình đó có tập xác định là  cũng phải ghi rõ nhng theo tinh thần SGK mới,

cụ thể SGK 10 Nâng cao đã hớng dẫn học sinh đến việc làm đơn giản là chỉcần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện)của phơng trình Trong trờng hợp f(x) và g(x) là những biểu thức thì điều kiệncủa phơng trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểu thức f(x) và g(x) có

nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện đợc áp đặt cho ẩn vì lý do nào

Ví dụ 1: Giải bất phơng trình: 7x 3 6x 4

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phơng trình là x 1 Thực tế, học

sinh đã “mất cảnh giác” khi nhân hai vế của phơng trình (1) với f (x) x 1  ,

mà không quan tâm tới dấu của f(x) (điều này ảnh hởng trực tiếp đến chiềucủa bất phơng trình) dẫn đến kết quả bài toán sai

Nh vậy, việc nắm vững các định lý biến đổi phơng trình, bất phơng trình

là quan trọng và cần thiết, lần đa ra những bài tập để học sinh vận dụng cácphép biến đổi tơng đơng này thành thạo, làm rõ sự giống và khác nhau giữaphép biến đổi tơng đơng phơng trình với phép biến đổi tơng đơng bất phơngtrình, tránh sai lầm khi áp dụng Thật vô nghĩa nếu yêu cầu học sinh “thuộclòng” các định lý về các phép biến đổi tơng đơng hoặc các phép biến đổi tơng

đơng áp dụng cụ thể đối với các dạng phơng trình, bất phơng trình Chẳnghạn, các phép biến đổi tơng đơng khi bình phơng hai vế các phơng trình, bấtphơng trình vô tỷ hay chứa dấu giá trị tuyệt đối nh:

f (x) g(x); f (x) g(x); f (x)  g(x) ; f (x) g(x) ; f (x)  g(x)

sẽ làm học sinh rối, dễ nhầm lẫn giữa các công thức

Việc xem xét, nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cáchghép thành từng lớp bài toán giải đợc bằng cùng một phơng pháp là một việclàm cần thiết và có ý nghĩa Trên cơ sở lý thuyết, bài tập sách giáo khoa và

một số sách tham khảo khác, có thể liệt kê một số phơng pháp giải phơngtrình, bất phơng trình nh sau:

2.1.2 Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phơng trình

Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng “mảng” kiến thức,từng nội dung môn học Nhng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năngcơ bản nh: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay,

kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele) Đây là những kỹ năngkhông chỉ đợc rèn luyện khi giải toán phơng trình mà còn đợc rèn luyện trongsuốt chơng trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các môn học Tấtnhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tơng đối, khi dạy học ta thờng rènluyện kỹ năng ở dạng “phức hợp’ tức là trên một nội dung kiến thức cụ thể, takhông chỉ rèn một loại kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kỹ năng có thể là hỗnhợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản Chẳng hạn kỹ năng vẽ đồ thị bao gồm cả

kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay và kỹ năng xử sự Vì để vẽ đ

-ợc đồ thị ngời ta không những cần phải biết vẽ nh thế nào (kỹ năng nhận thức)

mà còn phải biết những động tác để vẽ đợc đồ thị (kỹ năng hoạt động chân

tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự) Đối với chủ đề phơng trình và bất phơng trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thuộc về

nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng Có thể kể ra một số kỹ năng sau:

- Kỹ năng tính toán: Trớc hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với

tính toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên

để học tốt môn Toán Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọngtrong thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật Khi giảitoán phơng trình tính toán có tính số và tính biểu thức, dặc biệt đối với các bàitoán phơng trình bất phơng trình chứa tham số mức độ yêu cầu cao, vừa khóvừa trừu tợng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bớc sẽ dẫn đến tất cả

đều sai Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độkhác nhau.

Nguyễn Bá Kim cho rằng cần rèn luyện khả năng tính toán theo nhữnghớng sau:

+ Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kỹ năng tính toán cần thiết cảtrong trờng hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ớcchừng

+ Về mặt tính viết, không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tậpluyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp

+ Từ bỏ việc tính toán với những phơng tiện đã lỗi thời

Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải toán phơngtrình thể hiện ở các mặt sau:

+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanhrất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số khôngcần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đa về hằng đẳng thức(tính nhanh)

Không khó khăn khi tìm điều kiện để phơng trình có nghĩa: x1

Nh-ng nếu biến đổi phơNh-ng trình bằNh-ng thói quen theo thờNh-ng lệ là quy đồNh-ng mẫu số

Theo hớng này có thể tính ngay kết quả 32

Phải biến đổi và sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức theo cả chiềuthuận và chiều nghịch, chẳng hạn: a2 – b2 = (a - b)(a + b)

đợc nghiệm x = 2 Phải luôn tìm tòi các phơng pháp tính khác nhau để có lờigiải ngắn gọn nhất

+ Nhớ những số hay dùng, có thể sử dụng cách nhớ máy móc kết hợpvới nhớ theo quy luật Những số hay dùng nh: Bình phơng các số từ 1 đến 20,căn của các số tự nhiên 2, 3, 5, 6 để khi biến đổi, lấy nghiệm, so sánh hoặcbiểu diễn các nghiệm trên trục số khi giải phơng trình, bất phơng trình cóphản ứng nhanh Nhờ giá trị sin, cos, tg, cotg của các giá trị góc đặc biệt nh

00, 150, 300, 450, 750, 900 và chuyển đổi giữa độ và radian của các góc đặc biệtnày để khi giải phơng trình, bất phơng trình lợng giác hoặc phơng trình bất ph-

ơng trình giải bằng phơng pháp lợng giác hoá đợc nhanh chóng Ngoài ra, các

số lập phơng từ 1 đến 10; log của lg2, lg3, lg5 hoặc log24, log381 để thuậnlợi khi giải (bất) phơng trình mũ và logarit

Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh khi giải phơngtrình cần chú trọng rèn luyện kỹ năng này trong tất cả các nội dung kiến thứckhác Cần rèn luyện các đức tính nh cẩn thận, chu đáo, kiên trì, nhanh trínhằm tiến tới thói quen tính toán chính xác, đồng thời một đề ra có thể cónhiều cách giải từ các khía cạnh khác nhau, cần khai thác triệt để làm nh vậyhọc sinh có cơ hội tính toán linh hoạt đa dạng Từ đó tìm ra cách giải ngắn vàhay nhất

- Kỹ năng thực hiện các phép biến đổi, đặc biệt là các phép biến đổi

đồng nhất, các phép biến đổi tơng đơng

- Kỹ năng vận dụng các phơng trình mẫu

Nhận dạng và giải thành thạo các phơng trình, bất phơng trình dạng cơbản hoặc quy về dạng cơ bản Chẳng hạn khi học phơng trình quy về phơngtrình bậc nhất, bậc hai Thì cần rèn cho học sinh các kỹ năng nh:

+ Giải và biện luận thành thạo phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc hai.+ Giải đợc các phơng trình quy về bậc nhất, bậc hai Phơng trình có ẩn

ở mẫu số, phơng trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, phơng trình chứa căn,

3 Giải và biện luận phơng trình : x4 – (a -3)x2 + 3a = 0

4 Có thói quen kiểm tra khi kết luận nghiệm (kỹ năng xử sự)

Mặc dù những kỹ năng này yêu cầu học sinh vận dụng khi giải phơngtrình, bất phơng trình theo dạng mẫu, đã có sẵn thuật giải nhng giáo viênkhông đợc coi nhẹ việc rèn luyện kỹ năng này vì:

Thứ nhất: đây là những kiến thức cơ bản, yêu cầu học sinh cần nắm đợcThứ hai: đây là nền tảng, là bài toán gốc để giải bài toán ở mức độ cao hơn(Quá trình giải phơng trình, bất phơng trình phần lớn “biến đổi” đa về các ph-

ơng trình, bất phơng trình dạng đơn giản, cơ bản đã có sẵn cách giải)

- Kỹ năng sử dụng đồ thị: Học sinh không khỏi thắc mắc giải toán

ph-ơng trình sao cần đến kỹ năng sử dụng đồ thị, họ cho rằng kỹ năng này chỉcần khi học nội dung “hàm số” Thực ra nhiều bài toán phơng trình, bất phơngtrình giải bằng phơng pháp đồ thị, nhất là các bài toán xác định số nghiệm haybiện luận số nghiệm giải bằng phơng pháp này dễ nhận ra kết quả, nhanh chóng,trực quan

Đồ thị biểu diễn trực quan các quan hệ hàm số và là công cụ để tínhtoán Rèn luyện kỹ năng sử dụng đồ thị cho học sinh trên hai mặt:

x 2x khi x 2

x 2x khi x 2(1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đờng

thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất Điều này xảy ra khi m < 0 hoặckhi m > 1 (rất trực quan, bằng đồ thị học sinh có ngay kết luận)

- Kỹ năng suy luận: Kỹ năng này không chỉ cần khi giải toán phơng

trình mà có thể nói đây là kỹ năng chung cần để giải bài tập toán

Kỹ năng suy luận vừa thể hiện khía cạnh nhận thức vừa thể hiện khíacạnh xử sự của kỹ năng Để đa ra những suy luận học sinh phải dựa vào đặc

điểm, nhận thức dự đoán, phân tích riêng của bản thân để đa ra nhiều cách làmkhác nhau, khi gặp các dạng toán cha có sẵn cách giải

= max(x, y, z) và xét tính chất của hàm đặc trng về vế trái (thể hiện khả năng

Nếu x > y thì f(x) > f(y)  y z f(y)f(z) zx Mâu thuẫnTơng tự nếu x > z thì z > x Mâu thuẫn

Từ đây, yêu cầu học sinh nêu phơng pháp làm toán dạng này ?

Nếu hệ phơng trình có dạng

f(x) g(y)f(y) g(z)f(z) g(x)

xét là f(t) = at2 + (b – 1)t + c Điều đó cho phép ta nghĩ cộng các vế của hệphơng trình trên lại với nhau.

Giả sử rằng hệ phơng trình trên có nghiệm (x0, y0, z0), nghĩa là:

f(x ) 0f(y ) 0f(z ) 0

Vế trái (3) > 0 ( Vô lý)

- Nếu a < 0 tơng tự  Vế trái (3) < 0 ( Vô lý)

Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm

Thông qua bài toán này ta thấy việc nghiên cứu tính chất của các biểuthức có mặt trong phơng trình cần kết hợp với các biểu thức có mặt trong bàitoán từ đó định hớng cách giải

Các kỹ năng suy luận, chứng minh là những kỹ năng chung, đều cần khi

giải toán nên chúng tôi không đề cập nhiều

Ngoài ra các kỹ năng vận dụng các phần kiến thức cụ thể vào giải

ph-ơng trình nh kỹ năng giải phph-ơng trình thông qua xét sự biến thiên hàm số, kỹ năng giải phơng trình thông qua đánh giá giá trị của các biểu thức thành phần chúng tôi sẽ trình bày cụ thể ở phần sau

2.2 rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ đạo của t duy hàm

2.2.1 Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu

Xét theo quan điểm vận dụng các t tởng chủ đạo của t duy hàm, chúngtôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tơng ứng giữa tình huống đợc đa ra trongmỗi bài toán phơng trình với tập hợp các dạng phơng trình mẫu học sinh đã đ-

ợc học Đối với đa số bài toán có thuật giải đợc đa ra trong sách giáo khoa thìviệc thiết lập sự tơng ứng này đợc thực hiện trực tiếp thông qua hoạt động

nhận dạng Có hai cấp độ thực hiện hoạt động nhận dạng khi khai thác các bàitập loại này:

- Nhận dạng bài toán thông qua thiết lập sự tơng ứng giữa các số haytham số cho trong bài toán (tham số thực) với các tham số cho trong kiến thức

ax + b > 0Xác định đợc các hệ số a, b?

2

a m  1, bm 1

Rồi tiến hành thực hiện các bớc giải Tất nhiên khi xây dựng quy tắcgiải cần cho học sinh lập luận có căn cứ trong từng phép biến đổi, để đi đếnquy tắc giải cho từng dạng toán nào đó

Việc học sinh nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập đợc sựtơng ứng giữa bài toán đó với bài toán tổng quát đã có sẵn thuật giải ở ví dụtrên khi a thay đổi, a nhận giá trị dơng, âm hoặc bằng không thì nghiệm củabất phơng trình cũng thay đổi theo Nh vậy, là đã tiến hành đánh giá sự biếnthiên của giá trị ra khi cho thay đổi giá trị vào

Ví dụ 2: Cho phơng trình   2  

m 2 x  2 m 1 x m0 (1)

a Giải phơng trình khi m = 3

b Giải và biện luận phơng trình

- Yêu cầu học sinh xác định dạng phơng trình, các hệ số a, b, c của

ph-ơng trình trong trờng hợp m = 3? Cách giải?

- Đa ra những câu hỏi gợi ý nh:

Hỏi: Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai khi nào?



điều này kéo theo sự thay đổi về số nghiệm và giá trị nghiệm của phơng trình.

Hỏi: Phơng trình (1) suy biến khi nào? Giải phơng trình trong trờng hợp này?

Sự thay đổi của tham số có thể kéo theo về sự thay đổi về số nghiệmcủa phơng trình, có thể sự thay đổi của tham số trong một khoảng nào đókhông làm thay đổi về số nghiệm mà có thể chỉ thay đổi về giá trị nghiệm

Bên cạnh việc luyện tập cho học sinh áp dụng thành thạo một quy tắctổng quát nào đó áp dụng cho mọi bài toán cùng loại, cần lựa chọn một số bàitoán dựa vào sự phân tích tính đặc thù riêng có thể giải đợc bằng phơng phápriêng đơn giản hơn khi áp dụng giải theo quy tắc tổng quát

Chẳng hạn sau khi học công thức giải phơng trình bậc hai và sau khicho học sinh luyện tập áp dụng công thức đó, ta cho học sinh giải phơng trình:

2 3 x 2 1 3 x 30Nhiều học sinh giải bằng cách tính '

Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho học sinh kỹ năng vậndụng phơng trình mẫu đó là:

- Nắm vững quy tắc giải

- Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định

- Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học

Nh vậy, nếu phơng trình cho ở dạng mẫu mực, cơ bản học sinh chỉ cầnnhận dạng, chọn cách giải ứng với mỗi dạng phơng trình Nhng có những ph-

ơng trình mới chỉ nhìn qua học sinh cha nhìn ra dạng chuẩn mực, thì cần biến

đổi đơn giản (có thể) đa về dạng chuẩn mực đã học Chẳng hạn nh các bàitoán phơng trình qui về phơng trình bậc nhất, bậc hai

Ví dụ 3: Giải phơng trình: cos2x + 3sin2x = 2

Mới nhìn qua bài toán này hoặc sinh cha nhìn thấy ngay dạng đã học,nhng chỉ cần biến đổi lợng giác đơn giản nhờ nhớ lại công thức

cos2a =1 - 2sin2a thì lại có thể đa về dạng đã học

Cần đa ra những bài toán mà khi giải học sinh không chỉ cần vận dụngmột dạng phơng trình mẫu mà phải vận dụng kết hợp các dạng phơng trìnhmẫu mới giải đợc Bên cạnh các dạng toán đã có sẵn thuật giải nh SGK đãtrình bày, cần hình thành cho học sinh thói quen tự tìm tòi các dạng phơngtrình, bất phơng trình (nếu có thể) từ bài toán cụ thể, đề xuất bài toán tổngquát, xây dựng qui tắc làm, rõ ràng xác định Vì việc nêu ra tất cả các dạngphơng trình mẫu là điều không thể thực hiện đợc, hơn nữa làm nh vậy sẽ tạo ra

- Hãy nhận xét các hệ số có mặt trong các thừa số ở vế trái ?

1 + 7 = 3 + 5 = 8

- Hãy đa ra cách biến đổi thích hợp để các biểu thức gần nhau hơn!

ở vế trái, ghép các thừa số thứ nhất với thừa số thứ t, thừa số thứ hai vớithừa số thứ ba ta đợc: (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) = 9

- Quan sát các thừa số ở vế trái và đa ra cách làm?

Bài toán tổng quát: Giải phơng trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e (2)

Với giả thiết a + d = b + c = 

Khi đó (2)  (t + ad)(t + bc) = e (Đây là phơng trình bậc 2)

Ví dụ 5: Từ việc giải các phơng trình:

cả hai vế của (4) cho x2 và đặt t = x - 1

x ta đợc phơng trình

2

at bt2a c 0 Đây là phơng trình bậc hai.

Khi đã xây dựng đợc tờng minh cách giải cho loại toán này thì vịêc ápdụng giải các bài toán cụ thể là không khó khăn Tuy nhiên là giáo viên chúng

ta không dừng lại ở đó mà tiếp tục khai thác, mở rộng dạng toán

Chẳng hạn giải phơng trình : 16x4 - 32x3 + 8x2 + 8x + 1 = 0 Rõ ràng

ph-ơng trình không thuộc dạng phph-ơng trình loại 1 hay loại 2 (hay phph-ơng trình hồiquy hoặc phơng trình phản hồi quy) nhng có thể bắt chớc cách giải hai loạiphơng trình này

Thật vậy: Vì x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên chia cả

 , có thể tổng quát hoá bài toán :

Giải phơng trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (abe 0) với giả thiết

2.2.2 Rèn kỹ năng biến đổi phơng trình

Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ vấn đề quan trọng của việc rèn luyện

kỹ năng biến đổi phơng trình, hầu nh khi tiến hành giải phơng trình, ngời tathờng tìm cách biến đổi phơng trình đó về phơng trình đơn giản hơn và cuối

cùng dẫn đến phơng trình đã biết cách giải, có thể biến đổi phơng trình đó vềphơng trình tơng đơng với phơng trình đã cho hoặc là phơng trình hệ quả củaphơng trình đã cho.

Xét theo quan điểm khai thác các t tởng chủ đạo của t duy hàm, chúngtôi lu ý rằng quá trình biến đổi phơng trình, bất phơng trình là một quá trình

mang tính ''động'' Trong quá trình ''động'' đó ta khai thác yếu tố ''tĩnh'' để đạt

đợc mục đích (là tìm nghiệm) Cái thay đổi trong biến đổi phơng trình, bất

ph-ơng trình là hình thức, là dạng, là loại phph-ơng trình và bất phph-ơng trình Mục

đích của sự biến đổi là giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữ bất biến tậpnghiệm hay kiểm soát đợc sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có

đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại đợc các nghiệm đã

bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi

Khi đã đa đợc phơng trình đã cho về các dạng phơng trình mẫu thì sự

t-ơng ứng xuất hiện giữa dạng pht-ơng trình với các kỹ thuật tính toán, biến đổihay tập nghiệm chúng tôi đã trình bày ở trên đợc thể hiện

Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x2 6x 10)(1 x)  (x2 6x 10) x 1 

Một học sinh thực hiện giải nh sau:

Biến đổi phơng trình (1) thành: 1 x  x 1 (2)Bình phơng hai vế của phơng trình (2) ta đợc: (1 x) 2  x 1 (3)

Thực hiện phép biến đổi đồng nhất: 1 2x x  2  x 1 (4)

Đa phơng trình (4) về phơng trình bậc hai chính tắc:

2

x  3x 2 0  (5)

Giải phơng trình (5) ta đợc các nghiệm là x 1 và x 2

Câu hỏi đặt ra: Hãy xét mối quan hệ giữa các phơng trình trong qúa trình biến

đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của các phơng trình đó thay đổi ra sao?

Muốn vậy, học sinh phải xác định đợc các phép biến đổi sử dụng khi

"biến đổi"nắm vững các loại phép biến đổi hệ quả và nắm vững các kiến thức

đã học, dù không liên quan trực tiếp đến biến đổi phơng trình Chẳng hạn: Với

0 a 1 thì ap aq  pq còn nếu a = 1 thì ap aq với mọi giá trị của p

và q

Từ đó, ta biết đợc quan hệ giữa các phơng trình:

(1) (2) (3) (4) (5)

Dựa vào sơ đồ trên học sinh dễ dàng biết đợc diễn biến của các tậpnghiệm, do đó kết luận đợc: Nếu thay phơng trình (1) bởi phơng trình (5) thì

có thể vừa thừa nghiệm vừa thiếu nghiệm Vậy khắc phục điều đó ra sao?

- Thử các giá trị 1 và 2 vào phơng trình (1) loại bỏ nghiệm ngoại lai(nếu có), thấy chỉ một giá trị 1 thoả mãn (khắc phục thừa nghiệm)

- Thử các giá trị của x làm cho cơ số luỹ thừa nhận giá trị 1 (khắc phụcthiếu nghiệm do việc biến đổi từ (1) sang (2)) ta đợc x = 3 thoả mãn (1)

Kết luận: Phơng trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 3

Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi nói chung, kỹ năng biến đổi phơngtrình nói riêng, đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm chắc các khái niệmcơ bản và kiến thức cơ sở, coi trọng học các khái niệm, hiểu rõ những điều cốtlõi của khái niệm, hiểu đợc cách vận dụng chúng để giải bài tập và đề phòngnhững sai lầm thờng gặp Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối của số thực x là x  ,0giá trị tuyệt đối của số thực x phải dựa vào quan hệ của nó với số không đểbiện luận Do đó khi gặp phơng trình, bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt

đối, hớng suy nghĩ cơ bản khi làm loại toán này là khử dấu giá trị tuyệt đối.Muốn vậy, cần phải dựa vào ý nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu, phơng pháp cụthể là phơng pháp điểm không

Tuy nhiên, khi tìm giá trị tuyệt đối phải đề phòng vận dụng khái niệmmột cách hình thức dẫn đến sai lầm có tính lý thuyết nh: Giải và biện luận ph-

ơng trình x 3 m  thì không phải là chia ra ba trờng hợp x0, x 0 và

x 0 để biện luận mà phải căn cứ theo x 3, x 3  và x 3 để giải ở đâyhọc sinh đã hiểu một cách máy móc, hình thức dẫn đến sai lầm trong phânchia trờng hợp và sai lầm không tránh khỏi khi biến đổi phơng trình, bất ph-

ơng trình

Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng “biến đổi” dựa vào hằng đẳng thức,

định nghĩa còn rèn kỹ năng “biến đổi” dựa vào các quy tắc, tính chất, định lý có điều kiện kèm theo mà điều kiện đó có ý nghĩa quan trọng quy định tính đúng - sai của hằng đẳng thức đó

Hỏi: Hãy xem xét lại phép biến đổi?

 không phải là phép biến đổi tơng đơng.

Hỏi: Khắc phục điều đó nh thế nào?

Hớng 1: Khắc phục sai lầm do biến đổi

Thực hiện phép biến đổi tơng đơng:

Đối chiếu với điều kiện x1 ta đợc nghiệm x 1  5

Với t = 3, ta đợc: x 3 x 1      3 x2  2x 12 0   x 1  13

Đối chiếu với điều kiện x1 ta đợc nghiệm x 1  13

Kết luận: Phơng trình có hai nghiệm x 1  5 và x 1  13.

Hớng 2: Khắc phục sai lầm do biến đổi bằng cách thay đổi cách chọn ẩn phụ

Vậy phơng trình có hai nghiệm x 1  13 và x 1  5.

Từ bài toán cho thấy sai lầm trong biến đổi do không suy xét vấn đềmột cách kín kẽ, nghiêm ngặt, áp dụng hời hợt, phiến diện có tác dụng tai hạitrong quá trình giải toán phơng trình, bất phơng trình

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thống kê một số các phép biến đổi

đồng nhất thức cơ bản, thờng gặp đối với từng mảng kiến thức đợc học Đồngthời nhấn mạnh, khắc sâu điều kiện cần để xảy ra phép biến đổi đồng nhất đó.Chẳng hạn, nêu các phép biến đổi đồng nhất khi biến đổi phơng trình vô tỷ:

đổi chúng ta tách hoặc gộp các biểu thức có làm thay đổi tập xác định của bàitoán không?

Chẳng hạn nh phép biến đổi ở ví dụ trên:

Giáo viên cần hình thành và rèn luyện kỹ năng giải phơng trình, bất

ph-ơng trình bằng biến đổi tph-ơng đph-ơng do áp dụng hằng đẳng thức, các phép biến

đổi đồng nhất hoặc áp dụng định lý về phép biến đổi tơng đơng Ngoài ra cũng