10 trọng điểm luyện thi đại học cao đẳng môn toán - lê hoành phò part 1

LỚI NÓI ĐẦU Với mục đích: ôn luyện bám sát cấu trúc của đê tuyển sinh Đại học môn Toán, nhà sách KHANG VIỆT giới thiệu cùng các bạn thí sinh cuốn sách quan Írọng 10 trọng điểm luyện thi

ThS- Nha giao w tu: LE HOANH PHO Gin vin chuyến kiện t đã hụt

; On tap và nàng tai Ki nâng bm bà ©

“Se Bln sogn theo noi dung va cau true thi ca 80 69 & BT ©

Feet] ph XU BAN TONG HOP THANH PHC! HCH MIN

LỚI NÓI ĐẦU

Với mục đích: ôn luyện bám sát cấu trúc của đê tuyển sinh Đại học môn Toán, nhà sách KHANG VIỆT giới thiệu cùng các bạn thí sinh cuốn sách quan Írọng 10

trọng điểm luyện thi Đại học — Cao đẳng môn Toán nhà giáo tru tứ, thạc sĩ Lê Hoành Phò

Nội dung sách gồm tóm gọn lý thuuết căn bản va cic chit ý bó thong các bài

toán theo nhóm ưới mức độ nâng cao dẩn:

Trọng điểm 1: Khảo sát hàm số CA

Trong diém 2: Phương trình lượng giác `

Trọng điểm 3: Phương trình, hệ phương trình < `”

Trọng điểm 4: Nguyên hàm, tích phân k

Trọng điểm 5: Hình không gian ?

Trọng điểm 6: Bất đăng thức, giá trị lớn 2hất nhỏ nhất

Trọng điểm 7: Tọa độ phẳng R

Trọng điểm 8: Tọa độ không gian -`

Trọng điểm 9: Tổ hợp, xác suất, why thitc Newton

Trọng ‹ điểm 10: Số phức ;

Phẩn cuối sách là 5 dé thi tổng hợp theo cấu trúc mới của Bộ giáo dục uà đào tạo

để các thí sinh tham khảo oà thử sức mình

Xin chân thành cảm ơn oà đón nhận các khiếm khuuêt sai sót để lẩn in sau tốt hơn Chúc các bạn thí sinh ung oàng 10 trọng điểm luyện thì Đại học — Cao

đẳng môn Toán trước ngày thị

Tác giả

Nhà sách khang Việt xin trân trọng giới thiệu tới Quý độc giả 0à xiu lắng nghe moi ¥ kién đớng góp, để cuốn sách ngàu càng ha hơn, bổ ích hơn

Thư xin gửi we?

Cty TNHH Một Thành Viên - Dịch Vụ Văn Hóa Khang Việt

71, Đinh Tiên Hoàng, P Dakao Quận 1, TP.HCM

~) Tel: (08) 39115694 ~ 39111969 ~ 39111968 - 39105797 — Fax: (08) 39110880

Hoặc Email: khangvietbookstore@yahoo.com.vn

Cy TR IV DAR rong Ih Việt

Bước 2: Chiểu biến thiên

~ Tính các giới hạn Tìm tiệm can cua ham hitu ti

— Tính đạo hàm cấp hai, xét đấu để chỉ ra điểm uốn: của hàm đa thức

~ Cho vài giá trị đặc biệt, giao điểm với hai HỆ 4 đị

Đổ thị hàm số lẻ đối xứng nhau qua gốc O

— Công thức chuyển hệ trục bằng phép tịnh tiến OĨ :

=X+%g

(Oxy) > to với lọ, y\: i e¥+yo

- Điểu kiện (Q): y= os) nhận I(xo, yo) 1a tam đối xứng

yo= fia Aint) Vxo - x, xo+x € D, hoặc chuyển trục bằng phép

tinh tiến đến gốc I nói trên là hàm số lẻ

- Điểu kiện (C): y =f(x) nhận d: x =a làm trục đối xứng;

f(a ~ x) = f(a + x), Va~x, a + x e D, hoặc chuyển trục bằng phép tịnh tiến

đến S(a,0) là hàm số chẵn

- Hàm bậc ba có lâm đối xứng là điểm uốn

- Ec hu 1/1, 2/1 ten dt xing la giao điền 2 io cn C6 2 trục đối xứng không song với Oy là 2 phân giác của góc hợp bởi 2 tiệm cận

~_ Điểm A đối xứng B qua I khi 1]à trung điểm đoạn AB,

- Điểm A đối xứng B qua đường thẳng d khi d là trung trực của đoạn AB

- Ta có thể dự doin yf yếu tố đối xứng qua tập xác định, bảng biến thiên,

~_ Hàm số y =f(Ìx): bằng cách lấy đối xứng qua trục tung

- Hàm số rfp bằng cách giữ nguyên phần đổ thị bên phải trục tung,

và lấy đối phần đó qua trục tung (do ham sé chin)

- Hàmsố = — (-x) bing cach lay déi xứng qua gốc

- Ham sBy = fx) +b, y=f(x +a), y =f(x + a) + b bằng các phép tịnh tiến |

song song với các trục tọa độ _

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình:

= Phương trình dang ø(x,m) =0

| 3” Dua phương hình về dạng fx) =.h(m) trong đó vế trái là hàm số đang

[_ xét, đã vẽ đổ thi (C): y = f(x) hay suy đồ thị

~ Số nghiệm là số giao điểm của đổ thị (C) với đường thẳng y = h(m) Dựa vào

đồ thị và tương giao với đường thẳng thì có số nghiệm tương ứng cẩn tìm

Cty TNHH MTV DV Khong Viét

Bài 1: Cho đổ thị (C): y = xtTx 3x lu

a) Khảo sát và vẽ đổ thị (C) b) Biện luận số nghiệm dương của phương trình

« Đồ thể y*= 2x ~2, y" =0 © x= 1 nên đổ thị có điểm uốn l(1~ )

Chex =0 = y=~Š,y~0=x~~1 hoặc x =8

10 trọng điểm luyén thi BH-C mén Toda — lé Hoénh Pho

143 42 -3x-2 khi x>5 x? — x? ~ax-3}- ° 1 S 5

Số nghiệm dương của phương trình

điểm có hoành độ đương Của hai đổ thị: x-k» —x? -3x-3; y=vm

Nếu m <0 thì không có nghiệm dương

Nếu m=0 hoặc 3> = thì có 1 nghiệm dương

-32

Nếu 0< mí< = hoặc m= “” thì có 2 nghiệm đương

Nếu Š < m< 2 thì có 3 nghiệm đương

Bài 2: Cho hàm số y = x2 — 3x2 — 9x

4.2) Khao sat va vé dé thi ham sé

A _” b) Bién luan theo m số nghiệm của phương trình:

] x3 — 3x2 — 9x = mẺ — 3m2 — 9m

Đồ thị có cực đại A(-1; 5), cực tiểu B(3; -27) | Path

© D6 thi: y" =6x-6, y"=0@x=1nén đồ thị có điểm uấn 1A -11) Cho x0

b) Dat f(x) = x° - 3x2- 9x thi phương trình:'f(x) = f(m)

Ta có y =5 © x=~1 hoặc x = 5; y==27 khi x =~3 hoặc x = 3

Dựa vào đổ thị, ta có: QS”

Khi m<~3 hoặc m > ð thì PT có 1 nghiệm

Khi m=~3 hoặc m =~1 hoặc m =5 hoặc m = 3 thì PT có 2 nghiệm

Hàm số đồng biến trên (~es; -2), (0; 2) và ¡ch biến trên (—2; 0), (2; +e)

TRA CECH HEE 5) va CT tai (0; nề p

© D6 thi y" =4} r3”, y"=0 é

b) Số nghiệm của phương trình: 1+2x2— x =m bằng số giao điểm của đường

thẳng y = m.và đường cong (C) Dựa vào đồ thị trên ta có:

Nếu m =5 hoặc m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm

Nếu m= 1 thì phương trình có 3 nghiệm

Nếu 1<m <5 thì phương trình có 4 nghiệm

Nếu m>5 thì phương trình vô nghiệm

Baia: Cho hàm số y =2x*— 4x2,

`>_ a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị (C) của hàm số

b) Với các giá bi nào của m, phương trình x2| x2 - 2Ì =m có đúng 6 nghiệm

Cự 7V MTV DWH Khong Viet Hàm số nghịch biến trên (=, -l) và (0; 1), đổng biến trên (1; 0) và (1; +) Hàm số đạt cực tiểu tại x = +1, ycr = —2; đạt cực đại tại x=

10 trọng điểm luuện thị Đ/4~ŒÐ môn Toán ~ tê Hoành Phé

2x-1

x-1

Bai 5: Cho ham sé y =

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm các điểm trên (C) có toạ độ là số nguyên

Đổ thị nhận giao điểm 1Q; 2) của hai

đường tiệm cận làm tâm đổi xứng

10

Tiệm cận đứng x=~1; Tiệm cận ngang y = 1

+ Chiều biến thiên: y' =

Suy ra đổ thị (C) giữ nguyên phần đổ thị (C) nằm bên phải đường thẳng

x= -1 và lấy đổi xứng phẩn bên tới đường thẳng x « -T qua trục hoành Dựa vào đồ thị ta có: )

Nếu 2m + 1 <~1 c>in<—1 tủ phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nếu -1 <2m +1< 1 œ~1<ma<0 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất

xˆ°+2x-3

£>x-2 a) Khảo sát sự biển thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Tìm các điểm trên (C)

Điểm M(x; y) e (C) có toạ độ nguyên khi

x-2làước š của của 3 nên x~2 = 31, ‡3

Đo để (C có 4 điểm có toạ độ

b) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt:

x?+2x +5 = (m? +2m + 5)(x + 1)

Bài 8: Cho hàn số y =

12

Cty TNHH MTV DWH hong Việt

Tâm đối xứng là giao điểm 2 tiệm cận I(~1; 0)

b) Vì x = -1 không lš nghiệm nên phương trình đã cho tương đương với:

xs = mê + 2m + 5.Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm

Án x2+2x+5 Say với đường thẳng y = m? + 2m ới đường thả =m?+2m +5

10 trọng điểm luuện thi ÐJ—CÐ môn Toón - Lê /foènh Pho

Giải a)y'=x—1,y'=0 © x =1 Đồ thị có điểm cực trị là I(1; -2), Chuyển hệ tÉac

y'` =0©©x =-2 hoặc x = -1 hoặc x = 0

Xét điểm I(—1; 1) Chuyển hệ trục bằng phép tính tiến theo vecto OF:

x=X-1

— Thế vào hàm số:Y +1 = ~(ŒX~ 1y! + 4Q(~ 1 *4QX—1Ƒ

©>Y =X*— 2X? là ham sé'chin => dpem >

Bài 10: Xác định tâm đổi xứng của đổ tHị mỗi hàm số sau đây:

The ế vào àm số: Y+ g h =—————cY=—_ œ- 9+1 = x

Vi Y = F(X) ~ nhậm số lẻ nên đổ thị đôi xứng nhau qua géc I(-1; 3)

Cty TNHH JMV.DVVH Kiang Viet

A=(m a: 8(4-m)>0 ° jm <-11-Vi04 hay m>-11+ 104

Gọi xs, xe ja hoành độ hai giao điểm, ta có x¡, x2 1a nghiệm của (1) theo

dinh Viet xòe = TT”

Hai giao điểm đối xứng qua đường thẳng y = x vuông góc với đường

"ru R 4 nên tung độ của hai giao điểm lần lượt là x2, xi Do đó

#a=-xi= ~4@ xi+xz=—4œm+7=8œm= 1 (thoả mãn)

Bài 15: Cho hàm số y = x3- 3x? +mx (1)

Kx Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu va

các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường

Điểu kiện| để hàm số có cực đại, cực tiểu Mi(:; y1), MaQo; y2) là y` = 0 có

hai nghiệm phân biệt : A'=9 — âm >0 œ m <3

Cty TNHH MTV DWH Hong Việt

Bài toán 9: TÍNH ĐƠN ĐIÊU Vả CựC TRỊ HAM SO

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số có đạo hàm: trên khoảng (a; b) khi đó: }

— Néu ham sé f động biến trên (a; b) thi f (x) => 0O với mọi

— Néu ham số £ `nghịch biến trên (a; b) thì f 'xỳ < 0O với mọi

x € (a;b) :

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

~_ Giả sử hàm số £ có đạo hàm trên khoảng (a; b)

Nếu £'€) >0 với mọi x e (a; b) thì hàm số f đồng biến trên (a; b)

Néit f(x) <0 với mọi x € (a; b) thì hàm số nghịch biến trên (a; b)

Nếu f 1x) =0 với mọi x (a; b) thì hàm số f không đổi trên (a; b)

¬ Giả sử hàm số £ có đạo hàm trên khoảng (a; b)

ˆ` Nếu £ '{x) >0 (hoặc f '(x) < 0) voi moi x € (a; b) và f '(x) = 0 chỉ tại một số

hữu hạn điểm của (a; b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

khoảng (a; b)

17

10 trọng điểm luuện thí ĐC môn Toón - tê Hoành Pho

} — Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) và liên tục

trên nửa khoảng (a;b], [a;b) hay đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến those

nghịch biến) trên nửa khoảng (a;b}, [a;b) hay đoạn [a;b] .€

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm xe Khi đó, nếu f có đạo hàm tạ xo th

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

— Cho y = Í(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa xơ có, dao ham trén cac

Néu f ‘(x) déi dau tix 4m sang duong thi f đạt cựctều tại xo

Nếu f “(x) đổi đấu từ đương sang âm thì f đạt cực đại tại xo

~_ Cho y =f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a/b) chứa xo

Nếu £”(xo) = O và £ ”(xo) > 0 thì £ đạt cực tiểu tại xo

Nếu f '(xo) = 0 va f "(xo) < 0 thì f đạt cực Sai tại xo Chú Ú: Tung độ cực trị y = f(x) tai x = xo có 3 hướng tính:

Hàm số bất kỳ: dùng phép thế yo= (xo)

Hàm đa thức: chúa đạo hàm y 4©) a + r(x) => yo = r(xo)

Hàm hữu tỉ: đạo hàm riêng tử, riêng mẫu

= ued | ~ U(X) _ u'(xo)

~ £09 Fey OY img) Vix)

Đặc biệt: Với hàm bậc 3 có CĐ, CT và nếu y = q(x) y' ia

|L_ đường thang quae 'CÐ, CT là y =r()

Bài 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

Hồm số nghịch biến trên mỗi khoảng : (1 ~ /m; 1) và (;1+ Vm}:laạ:

Vậy hàm số đổng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi m <0

Fees

a) Ấx) = x?— ax2|+ x + 7 nghịch biến trên khoảng (1; 2)

b) f(x) = sen ea + 2cosa)x? + 2xcosa +1, a e (0; 2x) đổng È oe tran khoang

a) y = (m~3)xL (2m #1)coex nghịch biến trên R

b) y =x? + 3x? + mx +m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ đài bằng 3

'¿ Điểu kiện tương đương: Í() <0, Vt ¢ [-1; 1]

Cty TWHH MTV OVVH Khang Vigt

Bảng biến thiên:

Theo để bai: xz — x: = 3 © (xz — xì)2= 9 © xƒ +xã —2xạxạ =9 a

<> (xz + xi)? — 4xixz =9 > 4-2m=9© m= ~ thoả)

Bai 5: Tim cực trị của hàm số:

Ta cévy"(kx) = 2coskn + 4cos2kn = 2coskn + 4 >0, véi moi k e Z, nên ham

số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm x = km, ycr =2~ 2coskm bằng 0 khi k chẵn

và bằng 4 khi k lẻ

„_ Ta có y "(42% + 2kn) =2 cos = + 4cos5™ = 6cos sane ~3 <0 nên hàm số

^ÐĐ đạt cực đại tại điểm: x = #.+2ke keZ, yoo = aSa 30 x42 2m 9

10 trọng điểm luuện thị ĐH—CÐ môn Toán ~ tê Hodnh Pho

Bài 6: Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu:

a) y=(x—a)x—b)(x- c) với a<b<c

Do đó y' =0 có 2 nghiệm phân biệt và đổi đấu, Ziän khí qua 2 nghiệm nên

luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu A àỳ

có hai nghiệm phân biệt khác —m, y' d6i dau hai lần khi qua 2 nghiệm, vậy hàm

số luôn luôn có cực đại và cực tiểu ›

Bài 7: Tìm các tham số để đổ thị hàm số:

ty

a) y= f(x) = a+ bat Gat cực đại bằng 4 khi x =2

b) f(x)=x+p+ <i dat cực đại tại điểm (~2; -2) x#t

Ta có y" =~6(mê +5m)x + 12m eye }

Với m =1 thì y" ~-8á: +12 nên y (1) -24 <0, hàm số đại cực đại tại x = 1 Với m=-2 thì y"=36x— 24 nên y"(1)= 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 (loại)

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 l

Véima ty SP axese Li sy'et-a a

Dodiy'= 2 = = y"(0)=-2<0 => x=01a diém cực đại của hàm số: loại

Với m =2 thì y= ới m=2 thì y SEN ty =1 aoe 4-88 e<- -

10 trọng điểm luùện thị ĐH-Œ môn Toón - (ê Hoành Phò

Do đó y"= tra Y (0)=1> 0 nên x~0 là điểm cực tiểu của hàm số: Vậy x+ x

Bài 9: Tìm arene y= ome đạt cực trị tại 3 điểm thuộc

byy= BGA Ame 4 = Ames O51 62 cuc tr vi hai gi trị cực tr trái đấu

- a

a) Digu kign x#m Ta o6 y'= X_~2 x1 =1 F (x-m)

BS i cha tact 62 pinche erecting y= bib hina see!

xe <0 me-1<0e-1<m<1

mx? - 2mx-3

| (x-1?

b) Diéu kién: x #1 Ta có y` = , d&t g(x) =mx? - 2mx ~ 3

Ta CÓ XI +»3=2, xua = -= nên yco yer <0

24

Cty TNHH MTV DWH Khang Viét

a)y= TY đạt cực trị tại xì, x2 sao Cho x1x2 = —3

b)y= 2 49 — me - 23m? - yx + 2 có hai điểm cực trị x: và xz sao cho:

<> m=0 (loai) hay m= : (nhan)

Bài 12: Từm các tham số m để hàm số y = se a tri va

“Vi ' là hàm số bậc hai nên hàm số có 2 cực trị khi và chỉ khi y'(x) = 0 có hai

_ nghiệm phân biệt © A > 0 © m2 ~ 4> 0 cm < =2 hoặc m > 2

Goi x) va x2 Ja hai nghiệm của y'(x) = 0 thì S = x: + xz=—m, P = xi2 = 1

25

70 trọng điểm luuện thí ĐH—CÐ môn Toán - (ê Hodnh Phd

s)y =—ˆ x** 3 me có 3 cực bị 1hð đinh của tam giéc Gh

bỳ y=xŸ ~2(m +1)x2 +m2 (1) có ba điểm cục trị tạo hành ba đình của một

OA =OB Tam giác OAB đều © |OA= ABD OA = AB

va y:=Vy(@x)= ( XQ + : =) y'(x) — 2(xz + m) = -20e+ m)

nên đường thang qua CD, CT la y =-2(x +m)

m- m2

x-2 m-m? &- -22~ xử ng m

Vậy phương trình đường thẳng qua CÐ và CT là y =x - 2m

nama có hai điểm cực trị A

ra ải đường thẳng AB song song với đường thẳng 2x y~10=0

§ 8x l2 ủng tiên &k= Y(Xa)- Y(xị) es 2m

Hệ số góc của đường thăng AB là ae moray = Doin

Cho đồ thi (C) y =fo) ‘

Tiếp tuyến tại điểm My): ys 2yo= f "(xo) (x - ‘a,

Phuong trinh nay © 3 yi tB eo, yo va he 56 g6c: f 3)” k= tan(0x,t)

- Tiép tuyển đi qua Alta, yayy

Lập phương trình tiếp tuyến tổng quát tại xo với ẩn xa Cho tiếp tuyến này qua điểm A thi tinh được xo

Cách khác: Lập phường trình đường thẳng qua A có hệ số góc k:

y—ya = k(x - xA) © y = g(x)

Tìm hệ số góc k ie cách giải hệ phương trình cho tiếp điểm:

lO lo “g0)

“_ f@)=g@)

Tiếp ác của hai đồ thị

,Eho3 đổthìy f0) vày= g(x)

ea g(x) + Điều kien tiếp xúc là hệ phương trình: fe b)=g0) có nghiệm

var

Chú ý: Với hai đường thẳng :y = =ax +b, d': y = a'x + b' thì có:

d= sở! khi a= a,b=b'; đ// d' khi a= a, b# b; d L d' khi a a' = -1

|

Cty TNHH MTV DVVH Khang Viet

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị hàm số:

—x+2 ai ^* - “ = 1

ayy ai ết tiếp tuyến vuông góc với d : y > x

b)y= ie — 3x, biét tiép tuyén song song với d: y = 6x

Giải

4

a) Điều kiện x # -2, y HE

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = Ỹ x — 8 nên hệ số góc k =~2

Hoành độ tiếp điểm thoả mãn phương trình:

z=-2=

Với xì =—2 + x/2, ta có tiép tuyén y =-2x-5 +ˆxXÊY

V6i x2 =-2 - ^/2, ta có tiếp tuyến y =~2x + 5 ~4v/2 -

b) Tiếp tuyến song song với d: y = 6x nên có hệ só góc k =6

Ta có f '(x) = Š xã ~ 3 nên có Ÿx2~3=6 xã = 12 ~» xe = +2 V8

Khi xe=-2+/3 thì tiếp tuyến y = 6x +12/3

Khi xe=2-/3 thì tiếp tuyến y = 6x~ 12⁄3

Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến, với đồ thị:

a) y = 2x3 — 6x? + 3 và có hệ số góc bé nhất -

b) y = /2— x„ biết tiếp tuyễn cắt ©y tại B(3; 0)

SS Giai

a) Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm tại đó

y' = 6x? - 12x = -6 + 6(x — 1)? 2-4, đấu = xảy ra khi xo= 1 nên

min y'=-6, do dé tiếp tuyến tại A(1; —1) là y = =6x + 5

„ “Cho tiếp tuyến qua B(3; 0): 0 = x6 “in

J

©3—xe—2(2 — xc) = 0 <> xo = 1 (chon) Vay tiếp tuyến cẩn tìm: y = “5 (x —3)

29

10 trọng điểm luuện thi ĐH—CŒÐ môn Toón - tê Hoành lò

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thi (C):

Ta cé yo= x3 —5x2 +2, f (xo) =3x2 -10xonén phương sinh tiếp tuyént

M(xe; yo) bat ky 1a: y = (3x2 ~ 10xe)(x — xe) + ( xổ -5Xx6 +2)

Cho tiếp tuyến qua A(0; 2): 2 = (3x2 — 10xo)(0 — xeÐ(xŠ—5 x3 +2)

œ 2x3 —5x2 = 0 o> x2 (2x0 — 5) =0 œ xe= 0 Hoặc xe= =

Với xo = 0 thì có tiếp tuyến y = 2

tuyển đó cắt truc hoành, truc tung In luot tai hai diém phan biét A Bt

tam gidc OAB can tại gốc toạ độ O

Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tryến bằng +1 G

toa độ tiếp điểm là (xo; yo), ta có oar = t1 © xe=-~2 hoặc xo =~—1

(2xo +3}

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị hàm số y = „ biết tí

tự THEM MTV DH Hoong Việt Với xe = =L, ye = 1 thì phương trình tiếp tuyến y = ¬x (oại) vì A, B trùng

nhau tại O ‘

Với xe =~2, ye = 0 thì phương trình tiép tuyéh y = -x — 2 (thoả mãn) Vậy,

tiếp tuyến cẩn tìm: y==x—~2 ˆ

Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến chung của2 đồ thị

Từ đó có 2 tiếp tuyến chung: y =2 và y=~4x+2.'

Bài 6: Chứng minh tiếp tuyến tại A(-1; 0) của đồ thị (C): y = -x* + 2x? + x cũng

là tiếp tuyến của đổ thị này tại một điểm B khác A nữa

Chon nghiệm xe= 1 2-1 nén BO; 2): đpcm

Chú ý; Đây là tiếp tuyến đi qua 2 tiếp điểm

10 trọng điểm luuên thị ĐHI-ŒÐ môn Toón - tê Hoành Phò

Bài 7: Cho hàm số y = mẽ Chứng minh rằng qua điểm M3; -1) vẽ

được hai tiếp tuyến với đổ thi va hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Phương trình có 2 — thoả mãn: Xi+xXe=1, XiXe=-—1

Ta có: rayon on ote (xy = 1)? (xp - 1°

ˆ Gọi xụ x2 a hoành độ hai điểm bất kì trên (C) thì hệ số góc hai tiếp tuyến

ˆ với (C) tại hai điểm trên là £ '(x:) va f '@e) Ta có: f '(x1), f '¿¿) > Ö nên f '(x)) f '(xz) # —1 Vig hai tiếp tuyến này không thể vuông góc với nhau

b) Ta cóy=x+1+ xe nên có TCD: x =-1, TCX: y = x +1, giao điểm 2 tiệm cận I(—1; 0)

Phương trình đường thẳng (d) qua I với hệ số góc k là y = k(x +1)

Giả sử d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau có nghiệm

32

(Cty TNHH MTV DYVH Khang Viét

Vậy không một tiếp tuyên nào của (C) đi qua I

Bài 9: Có bao nhiêu tiếp tuyến của đổ thị (C):

,a) Đường thẳng d đi qua A(-1; 0), hệ số góc k có phương trình y = kí + 1)

Để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C), điểu kiện cẩn và đủ là hệ phương

Vậy từ A vẽ được một tiếp tuyến đến (C): y = ‡x + :

b) Phương trình đường thằng qua điểm B hệ số góc k có dang d: y = k(x +1) +7

(d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Vậy từ B Về được2 tiếp tuyến đến (C): y==—3x + 4, y =—15xT— 8

Bài 10: Cho hàm số y = s a Tìm các điểm trên đường thing d:x=3 ma tu

xã vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đổ thị (C)

` Gọi tin b) € d Phương trình tiếp tuyến qua M hệ số góc k:

=k(x —3) +b Ta tim điều kiện hệ sau có nghiệm x:

33

10 trọng điểm luyén thi BHD mén Toda — lé Hoonh Pho

Xét b z2 thì điều kiện A'>0, y(2)#0e=b<7 -

Vậy các điểm cẩn tìm M3; b) với b < 7 SE

Bài 11: Cho hàm số y = —x3 + 3x? — 2 có đổ thị (om Tìm tất cả những điểm tí

đường thẳng y = 2 mà từ đó có thể kẻ ae ‘3tiép tuyén dén (C)

Giải

Lay M(a; 2) thuộc đường thắng yé<2⁄ — thắng qua M có hệ số góc

có đạng y = k(x ~ a) + 2 Goi Ales ye) là tiếp điểm của đường thẳng và ( thì xe là nghiệm của hệ

ete te en @, (0-2) [2x2 - (Ga - Dx, +2] = 0 @)

Điểu kiện có 3 tiếp sun với (C) vẽ từ M là (3) có 3 nghiệm phân bi

tương ứng 3 nghiệm phân biệt của (2):

9a? ~ 6a -1ð >0 = a<l hay a > 2

, ay TNHH MTV DWH Khang Vigt

Suy ra hệ phương trình cĩ một nghiệm duy nhat x = 0 Vậy hai đường —

cong tiếp xúc với nhau tại gốc toa độ O: y(0)= 4 |

|

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung là y = ax y

Bài 13: Chứng minh hai đổ thị sau tiếp xúc nhau: 7

a) y= f(x) = 8 - 4x2 vA y = g(x) =x2- 8x +4

dy =f) =— at + x4 2 vay = BG) x?-x+1,

Giải a) Hai đồ thị (C) và () tiếp xúc khi hệ sau cĩ nghiệm:

Vậy 2 đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm À/ -8)

b) Hai đổ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi Hệ sau cĩ nghiện:

nix exe te ve ett ()

a)y=x®~1-~ Kx^1) tiếp xúc với trực hồnh

b) y = x4 ~ 8x? +7 tiếp xúc với đường thẳng y = mx =9

a) Đồ thị y =x*~1~ kx~ Ì)_ tiếp xúc với trục hồnh ứng với k:sao cho:

"sa Để đồ thị Bếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cẩn

"8Ä đủ là phưưng tình y =0 có ha nghiệm phân biệt khác 0

Nếu m < 0 thì x? = SORES pee eye IES

tại hai điểm phân biệt

Nếu m >0 thầy" "=0 khi x= 0,x= nade

f(a )=0 ©lmÊ—2mÊ + mô mê =0

<=m*{m ~2) =0 œ m “2 (đo m> 0)

Vậy m=2 là giá trị cần tìm.

Cau 7H MTV DV Khang Việt

Bài toán 4: TƯƠNG GIÁO Vũ KHOẢNG CáCH

Ï Tương giao 2 đồ thị

Cho 2 đồ thị của hàm số: y = f(x), y = g(x) SS

~ Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) <> f(x) — g(x) = 04a mot

phương trình đại số, tuỳ theo số nghiệm mà có quan hệ tương giao: vô

nghiệm: không có điểm chung, 1 nghiệm (đơn): cắt nhau, 1 kép: tiếp xúc, 2 nghiệm: 2 giao điểm,

Chú ú:

J— Nghiệm phương trình bậc3: ax3 + bx?+ cx+ d=0, a 20

Nếu có nghiệm x = xo thì ta phân tích thành tích s

(x — xo) (Ax? + Bx + C) =0 Nếu đặt hàm số f(x) = ax? + bx? + cx +d thi ands hiện: có 1 nghiệm: đổ thị

không có cực trị hoặc ycp ycr > 0, có 2 nh yee yet = 0, có 3 nghiệm

phân biệt: ycp ycr < 0 i

¬ Phương trình trùng phương ax* + bxê #è = 0, az0Q

Đặt t = x?, t > 0 thì có PT trung gian: at? + bt + c=0,az0

Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt khi A >0, S>0 và P>0

Phương trình trùng phương có4 nghiệm phân biệt lập cấp số cộng khi:

0<ty<t, ta=9u

— Ta có thể chuyển phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) cé tham

số m thành dang h(x)=.m dé danh gia sé luong nghiém qua bang biến

thiên y = h(x) với y.=m

- Eeogfll Tường fhẾogroogtrel costi ae Ih Va? +B? JA 248? Ee

- Nar hệ số góc của 2 đường thang 1a k, k’ thi: tan(D,D’) = Fes ke =e

3 'Khoảng cách

<;-]— Khoảng cách giữa 2 điểm: AB~= (xg - x4)? + (vp -¥a)?

- Khoang cach tit Mo(xo, yo) dén truc hoanh: d= lyo! {

10 treng diém luyén thi DH-CD mén Toga - lé Hodénh Pho

— Khoảng cách từ Mo(o yo) dén truc tung: d = | x9!

— Khoảng cách từ Mo(xo, yo) dén duong thang y =b: d=| yo —bi

— Khodang cach tir Mo(xo, yo) đến đường thẳng x = a: d = |xạ — al Ss

— Khoang cach tir Mo(xo, xo) đến durong thang (A): Ax+ By +C=0: <>

Va? +B? ` or

— Diện tích tam giác ABC:

= 5 AB.ACsinA = 5 BC.AH = > BCA(ABC)

_ “Bài 2: Với các giá trị nào của m, đường thẳng :

ˆa)y=m +3x cắt đổ thị y = x*~ 2x? + 3x — 3 tại bốn điểm phân biệt

b) y = 3mx — 3m cắt đổ thị y = x*- 3x? + 3x + 1 tại một điểm

35

| a)Phuong trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và diving cong’

x'~2x? + 3x ~ 3 =m + 3x € x'~2x2~m ~3= 0 q@ °

| ĐặtX=x,X>0, ta được: X?-2X~m~3=0' `: | (2) Ss

| Duong thing cit dudng cong di cho’tai bon diém phan biệt khi phương < *

trình (1) có bốn nghiệm phân biệt, điều này tương đương với phương bồn!

(2) có hai nghiệm dương phân biệt RQ

Nếu m <0 thì y' 20, ¥x nên (Cn) cắt trục hoành đúng 1 đểm: thoả mãn

Nếu m >0 thì y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x:, xz và 5= 2, P= 1 m

ĐK (Ca) cắt Ox đúng 1 điểm là ycp.ycr > 0 :

Ta cóy= AG ~1)y +2(-mx#1 + m) = yi=2(-mx, +1 + m)|nén digu kign la:

b)y= x*-2x? ng $m cắtOx tại 3 điểm phân biệt có|hoành độ xị, xi, xã

thỏa điều kiện xy $x; +x‡ <4

a) Cho y= =0eskt) 2 (3m + 5)x? + (m + 1= 0 (1)

Đặt t= x?/ tà 0 thì PT: t?~ (3m + 5)t + (m + 1)*=0 (2)

A Ÿ(ăm + 5) ~ A(m + 1)* = (6m +7)(m +3) | Điều kiện (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng la (2) có 2 nghiệm

đương phân biệt tị, tz (tì < b): tà = 9t 39

rig csi a Todn ~ tê Hoành Phò

Vix, =-Jft,, x, =-k, Xy “VU, X, = Jt, vaxe=3x0

Ta có tị; =g8m +82 ( ðm + 7)(m + 8)) nên điều kiện:

Do đó am kiện cắt Ox tai 3 điểm phân biệt có hoành độ xì, xụ x3 thỏa

xP ex? +x2 <4ia phưng trình 'X?~x = me 0 có 2 nghiệm phân biệt khá

1 và xj +xŸ <3 F

»

Bài 4: Tìm các giá trị của m để đường thẳng d cắt đường cong (C) tại hai điểm: 3 :

a)dty=m(x-2)+4; (C):y= £4 § tude mot nhénh