Khóa luận tốt nghiệp toán Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm

- Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm - Nhóm tự do trên một nửa nhóm - Bài toán tổng quát về nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm - Các điều kiện Ptắc - Xây dựng nhóm các

Đổ THỊ HƯỜNG

NHÚNG CHÌM NỬA NHÓM VÀO NHÓM

• • Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN HUY HƯNG

HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện khóa luận, dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo

điều kiện thuận lợi, tôi đã có một quá trình nghiên cứu tìm hiểu và học tập nghiêm túc đểhoàn thành khóa luận Kết quả đạt được không chỉ do nỗ lực cá nhân tôi mà còn có sự giúp

đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn bè

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 Đặc biệt là thày giáo Thạc sĩ Nguyễn Huy Hưng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoànthành khóa luận tốt nghiệp này

Trong quá trình thực hiện và trình bày khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót vàhạn chế Do vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét của quý thầy cô vàcác bạn để đề tài của tôi hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Đề tài chưa được công

bố trong bất cứ chương trình nghiên cứu khoa học nào

Hà Nội, ngày tháng năm

Khóa luận tôt

nghiệp

LỜI CẢM ƠN LỜI CAM

ĐOAN

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết nửa nhóm là một phần tương đối trẻ của toán học Như một hướngtách biệt của đại số với mục tiêu riêng của nó Việc xác định rõ các bài toán vàphương pháp nghiên cứu của lý thuyết nửa nhóm được hình thành cách đâykhoảng 70 năm Một ừong các động cơ chính đối với sự tồn tại một lý thuyếttoán học nào đó là những ví dụ thú vị và sự tự nhiên

Khi nghiên cứu về lý thuyết nửa nhóm nó sẽ giúp ta tìm hiểu được thông tincàn thiết về các tính chất của những nhóm chứa trong nửa nhóm đó Ngày nay lýthuyết nửa nhóm có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu một số ngành cơbản như: toán học, vật lý

Lý thuyết nhóm và lý thuyết nhóm có những sự liên hệ và tương phản vớinhau rất thú vị, và vấn đề này đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu Xuất phát

từ điều này, tôi quyết định chọn đề tài: “Nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm” đểnghiên cứu Nó cũng là một phần ừong sự liên hệ và tương phản của nhóm vànửa nhỏm Tôi hi vọng sẽ đưa ra được một số kết quả làm phong phú thêm cáckết quả trong lĩnh vực này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả của sự nhúng chìm nửa nhóm vào nhỏm

3 ĐỔỈ tượng nghiên cứu

- Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm

- Tính nhúng được của nửa nhóm bất kì ừong nhóm

4 Phạm vỉ nghiên cứu

Tính nhúng được của một nửa nhóm trong một nhóm

Khóa luận tôt

nghiệp

5 Nhiệm yụ nghiên cứu

- Các khái niệm cơ bản và định lý có liên quan

- Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm

- Nhóm tự do trên một nửa nhóm

- Bài toán tổng quát về nhúng chìm nửa nhóm vào nhóm

- Các điều kiện Ptắc

- Xây dựng nhóm các thương

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: các tài liệu lý thuyết nửa nhóm đại cương, tài liệu dịch, luận văn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC Cơ SỞ 1.1 Nửa nhóm giao hoán giản ước được

1.1.1 Định nghĩa Nửa nhóm s được gọi là NỬA NHÓM GIAO HOÁN nếuphép toán trên s có tính chất giao hoán Khi đó các phép toán trên s thườngđược ký hiệu theo lối cộng

Nếu s là vị nhóm với phép toán cộng thì đơn vị của s thường được gọi là

PHẦN TỬ KHÔNG và ký hiệu bởi 0

Giả sử (s,+) là một nửa nhóm không có đơn vị, khi đó s được nhúng

vị nhóm s° =Su|t| trong đó t là một ký hiệu không thuộc s thoả mãn điềukiện X+t = t+x = X với mọi X eS° Khi đó, t ừở thành phần tử đơn vị của

s.

Giả sử s là nhóm và A,B là các tập con khác rỗng của s Ký hiệu A+B = |a+b|aeA,beB|

Tập con khác rỗng T của nửa nhóm s là NỬA NHÓM CON của s , nếu bảnthân T là nửa nhóm với phép toán của Scảm sinh trên T, nghĩa là a,b eT kéo theoa+beT.

Giả sử |sa |a GIj là một họ các nửa nhóm con của nửa nhóm s sao cho

Pl khác rỗng.Thế thì T := Pl là một nửa nhóm con của s và là nửanhóm con nhỏ nhất của s chứa trong các Sa,a e I

Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhóm s Khi đó giao củatất cả các nửa nhóm con của s chứa B được gọi là NỬA NHÓM CON NHỎ NHẤT

Khóa luận tôt

nghiệp

của s sinh bởi B và được ký hiệu là (B) Rõ ràng (B) chứa tất cả các phầnn

tử dạng y> =bj +b2 H— trong đó bị eB,Vi = l,2, ,n

Tập con khác rỗng I của nửa nhóm S được gọi là MỘT IĐÊAN của s nếuI=)S+I,VseS, trong đó s+I:={s+a|aelj

Giao của một họ tuỳ ý các iđêan của nửa nhóm s là một iđêan của s, nếugiao này khác rỗng

Giả sử B là một tập con khác rỗng của nửa nhỏm s Thế thì Bu(B+S) làiđêan của s và là iđêan nhỏ nhất của s chứa B Nếu s là một vị nhóm thìBc(B+s)nên B+s là iđêan của s sinh bởi B

Giả sử I là một iđêan của s sao cho I^s, thế thì I được gọi là ỈĐÊAN NGUYÊN TỐ

của s nếu x + yel kéo theo xel hoặc y el,(x,y eS) Như vậymột iđêan thực sự I của nửa nhóm s là iđêan nguyên tố nếu và chỉ nếu phàn bùS\I của I trong s là một nửa nhóm con của s

1.1.2 Định nghĩa Giả sử (s,+) là một vị nhóm giao hoán có đơn vị là 0

Khi đó, phàn tử seS được gọi là KHẢ NGHỊCH nếu tồn tại xeS sao cho s + x = 0.Tập họp G tất cả các phần tử khả nghịch của s tạo thảnh một nhóm con của s

và là nhóm con lớn nhất của s chứa 0

nMột tổng hữu hạn ^Sj các phần tử thuộc s là khả nghịch nếu và chỉ i=lnếu mỗi phàn tử Sị khả nghịch Như vậy S\G là một iđêan nguyên tố của s nếuG^S

Nếu H là một nhóm con tuỳ ý của s chứa 0, thế thì cũng như trongtrường hợp các nhóm H cảm sinh một phân hoạch s thành các lớp ghép rời

a=b+h,heH nào đó, thế thì p là một quan hệ tương đương trên s và S+H là một

p - lớp tương đương chứa s e s

1.1.3 Định nghĩa Giả sử s là một nửa nhóm Phần tử seS được gọi là

GIẢN ƯỚC ĐƯỢC nếu s+a = s+b kéo theo a = b(a,beS)

Giả sử c là tập hợp tất cả các phần tử giản ước được của s và c^(|)

Thế thì c là nửa nhóm con của s Khi đó, một tổng hữu hạn y^Sj các phần

1.1.4 Định lý Giả sử (>S,+)/à một nửa nhóm giao hoán và c là nửa nhóm con của s sao cho mỗi phần tử thuộc c giản ước được trong s, thế thì tồn tại một phép nhúng f từ s vào một vị nhóm giao hoán T sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn:

(1) Với mỗi ceC,/(c) có một khả nghịch trong T (mà ta sẽ kỷ hiệu là

Nầi s là nửa nhóm giản ước được và s—C thì T là một nhóm.

C HỨNG MINH Chúng ta nêu lên cách xây dựng vị nhóm T tương tự như cách

xây dựng vành các số nguyên từ tập hợp tất cả các số nguyên không âm

Giả sử A = SxC và ~ là quan hệ trên A xác định bởi nếu Sj + c2 = s2 +Cj Vì c

giản ước được nên ~ là quan hệ tương đương trên A Ký hiệu [s,c] là lớp tươngđương chứa (s,c) và T là tập tất cả các lớp tương đương [s,c] với seS,ceC Thế

thì, T cùng với phép toán cho bởi[s1,c1] + [s2,c2] = [s1+s2,c1+c2]

là một vị nhóm đối với đơn vị là (c,c) với mọi ceC Hơn nữa, ánh xạ f :S—»Txác định bởi f(s) = [s+c,c] là một phép nhúng từ s vào T Nếu ceC, thế thì f(c)

= [2c,c] có nghịch đảo [c,2c] trong T, và một phàn tử [s,c] tuỳ ý thuộc T được

viết dưới dạng [s+c,c]+[c,2c]=f (s)-f (c) Rõ ràng T được xác định (Bởi cáctính chất (1) và (2) sai khác đẳng cấu nửa nhóm, nghĩa là nếu g:S—»T Là mộtphép nhúng từ s vào một vị nhóm giao hoánT sao cho hai điều kiện (1) và (2)được thoả mãn thì tồn tại một đẳng cấu nửa nhóm j: T —» T’ sao cho JOF = G ,

nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

Hơn nữa, nếu s = c thì một phần tử tuỳ ý [r,c] của T có nghịch đảo [c,r]ừong T nên T là một nhóm Điều này kết thúc phép chứng minh □

1.1.5 Định nghĩa Vị nhóm thương được xây dựng trong phép chứng

T’

Vì f là đơn cấu nên ta có thể đồng nhất f (s) với s, và như vậy mỗi

phần tử của T được viết dưới dạng s - c để thay thế cho f (s) - f (c) Nếu sgiản ước được, thế thì nhóm T trong Định lý 1.1.5 được gọi là nhóm thươngcủa s và nếu không kể đến sự sai khác đẳng cấu thì T chính là nhóm aben nhỏnhất mà s có thể được nhúng vào

1.2 Nửa nhóm giao hoán sắp thứ tự được.

Trong mục này chúng ta xác định lớp các nửa nhóm giao hoán thừa nhậnmột quan hệ thứ tự toàn phàn tương thích với phép toán nửa nhóm

1.2.1 Định nghĩa, (i) Một quan hệ hai ngôi p trên nửa nhóm (S,+) được gọi

là TƯƠNG THÍCH với phép toán nửa nhóm nếu apb kéo theo(a + x)p(b+x) đốivới a,b,xeS

(ii) Một quan hệ hai ngôi p ừên một tập hợp s tuỳ ý được gọi là MỘT THỨ TỰ

BỘ PHẬN nếu nó phản xạ, bắc cầu, phản xứng và thứ tự bộ phận p đượcgọi là THỨ TỰ TOÀN PHẦN ttên s nếu đối với các phần tử phân biệt a,b e

S, hoặc apb hoặc bpa

Một quan hệ thứ tự bộ phận được ký hiệu bởi < và ký hiệu a > b hoặc

b < a được sử dụng để chỉ b < a và b ^ a

(iii) Nửa nhóm s gọi là SẲP THỨ TỰ BỘ PHẬN ĐƯỢC ( TƯƠNG ỨNG , SẮP THỨ

TỰ TOÀN PHẦN ĐƯỢC ) dưới quan hệ < nếu < là một thứ tự bộ phận

( tương ứng, thứ tự toàn phàn) trên s và < tương thích với phép toánnửa nhóm trên s

Chú ý Giả sử (S, +) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị

Khóa luận tôt

nghiệp

nphần tử của s biểu diễn được dưới dạng ^sa với eS^, đối với mỗi i

i=l

(trong đó (Xi e I, i = 1, 2, 3, , n), và nếu mỗi đẳng thức = ^tc kéo

i=l i=lứieo = SQj, (với mỗi i = 1, 2, 3, , n), tìiế tìiì s được giọi là TỔNG TRỰC TIẾP YẾU của họ {Sa}aei, ký hiệu s = ^wsa Từ định nghĩa suy ra rằng nếu

ael

s = y w S n M s = ỵ sa và s„ nTSn = {ọ) đối với mỗi ae I, nhưng 2

điều kiện trên không đảm bảo s là tổng trực tiếp yếu của họ {Sa}aeĩ Trongtrường họp I hữu hạn, I = {1, 2, , n} thì ta viết

s = Si © © snhay S = ểSi

1.3 Tương đẳng trên các nửa nhóm giao hoán

Nếu s là một nửa nhóm thì các đồng cấu được xác định trên s và các ảnhđồng cấu của s đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc của s.Một phương pháp thuận tiện và tương đương với việc xét các đồng cấu trên s

là thông qua khái niệm tương đẳng trên s, được định nghĩa như sau

1.3.1. Định nghĩa Một TƯƠNG ĐẲNG trên s là một quan hệ tương đươngừên s mà nó tương thích với phép toán nửa nhỏm

Cụ thể hơn, một quan hệ hai ngôi P ữên nửa nhóm (giao hoán) s đượcgọi là một quan hệ tương đẳng nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

(i) p là một tương đương trên S;

(ii)p ổn định, nghĩa là nếu (a, b) ep thì (a + b, b+c) G p với mọi c e s.

Định lý sau đây phát biểu về mối quan hệ cơ bản giữa các đồng cấu vàtương đẳng Phép chứng minh Định lý 2.2.2 theo đúng lối chuẩn tắc

1.3.2. Định lý Giả sử( 1 S',+) là một nửa nhóm giao hoán

(1) Nếu p là một tương đẳng trên s, thể thì đối với s eS, ký hiệu p- lớp tương đương chứa s là [ 5] và s/ Ị[j]|j GiSỊ Khi đó s/ là một nửa nhóm giao

hoán dưới phép toán [ữ] + [z?] = [ữ+z?], và ánh xạ f: s ~>^j/ ỵ ác định bởi f{s) = [í] là một đồng cẩu từ s lên sỵ; hơn nữa /(-Si) = /(«* 2) n ^ u vc * chỉ nầi (íp

5 ,

2 )e/?.

(2) Đảo lại, nếu h: S—>T là một đằng cẩu từ s lên T Định nghĩa quan hệ p trên s bởi apb nếu h(a)= h(b) Thế thì p là một tương đẳng trên s và các nửa

nhóm y và T đẳng cấu với nhau dưới ảnh xạ [í] \—>h(s), trong đó [ 5] là p

-/ r

lớp tương đương chứa s.

1.3.3. Định nghĩa Nửa nhóm xác định ừong định lý 1.3.2 được gọi là

nửa nhóm thương của s theo tương đẳng p.

Định lý 1.3.2 chứng tỏ rằng, với sự sai khác đẳng cấu, các nửa nhóm thương đó biểu diễn tất cả các ảnh đồng cấu của s

1.3.4. Chú ý Nếu Pi và p2 là các tương đẳng, thế thì Pi < p2 nếu apibkéo theo ap2b đối với a, beS Xét Pi và p2 như các tập con của s, quan

hệ Pi < p2 đúng nếu và chỉ nếu Pi được chứa trong p2 Như vậy, < làmột thứ tự bộ phận ừên tập các tương đẳng ừên s Một dạng tươngđương khác của quan hệ

Pi < P2 là khẳng đinh rằng ánh xa tư nhiên [s]i I—> [s] 2 của §/ lên §/ hoàn

/ Pi / P2

toàn được xác định (và khi đó nó là một đồng cấu) Tương đẳng lớn nhất trên s là s X s (tương đẳng phổ dụng, mà dưới quan hệ ấy, hai phần tử tuỳ ý của s luôn luôn có quan hệ với nhau) và tương đẳng bé nhất trên s là tương đẳng

Khóa luận tốt

nghiệp

đồng nhất hay tương đẳng bằng nhau I = {(s, s) |s G s} Giao của một họ tuỳ ýcác tương đẳng trên s là một tương đẳng tuỳ ý ừên S; Từ đó, họ tuỳ ý {Pojasicác tương đẳng trên s có cả cận trên bé nhất (được ký hiệu bởi lub(pa) và mộtcận dưới lớn nhất (được ký hiệu bởi glb(pa)) Quan hệ p=glh(pa) được mô tả dễdàng: apb nếu và chỉ nếu apab, Vael Để mô tả lub(pa), chúng ta chú ý rằng vớitập con tuỳ ý 5 của s, s sinh ra một tương đẳng trên s, đó là giao của tất cả cáctương đương đẳng ừên s chứa 5 Chúng ta chuyển sang mô tả tương đẳng này:

vì lub(pa) là tương đẳng được sinh bởi a elpa nên lub(pa) được mô tả như sau.Tương đẳng p được sinh ra bởi ổ được xây dựng theo 3 bước

1 Đặt Po = ổuổ_ 1 ui, trong đó ỡ' 1 = {(b,a)(a,b) GỠ } và i là tương đẳngđồng nhất trên s Thế thì Po chứa ổ và đồng thời phản xạ và đối xứng

Rõ ràng Po chứa Ô sinh ra một tương đẳng trên s

2 Đặt Pj = p0 u{( a+c,b+c)|(a,b)ep0, ceS} Thế thì Pi phản xạ, đối xứng vàtương thích và phép toán trên s Nếu s là một vị nhóm, thế thì

p1 = {(a+c,b+c)(a,b)Gp0,ceS} phản xạ, đối xứng và tương thích với phép toán trên s Neu s là một vị nhóm, thế thì pT = {(a+c, b+c)(a,b) e

Po, c G S}, vì Po được chứa trong tập hợp này

Cũng rõ ràng Po và Pi sinh ra cùng một tương đẳng trên s

3 Giả sử p=j(a,b)|3a0,al5 ,ateS sao cho a=a0,b=at,(ai,ai+1)ep,i=0,l, ,t-lj

Thế thì p là tương đẳng ừên s được sinh ra bởi 5

Trong trường hợp 5= u palà hợp của một họ các tương đẳng trên s,

thế thì 5 =p0 = Pi và chỉ cần áp dụng bước thứ 3 đối với 8 để nhận được

lub(pa)

1.3.5. Định nghĩa, i) Một tương đẳng p trên s được gọi là HỮU HẠN SINH

nếu tồn tại một tập con hữu hạn 5 của SxS sao cho p là tương đẳng sinhbởi 5

(ii) Nửa nhóm s được gọi là NỬA NHÓM N OETHER nếu mỗi tương đẳngtrên s là hữu hạn sinh

Như thường lệ, mỗi tương đẳng trên s hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu s thoảmãn điều kiện a.c C trên các tương đẳng, nghĩa là nếu và chỉ nếu mỗi tập tăngngặt Pi < p2 < các tương đẳng ừên s đều hữu hạn

1.3.6. Định lý Giả thiết rằng T là một nửa nhóm con của nửa nhóm s Định nghĩa một quan hệ p trên s bởi apb, nếu a+ t = b + t với t E.T nào đó.

Thế thì 5 là một tương đẳng trên s và [í] giản ước được trong S/ß đối với mỗi t e7\ Nếu ỗ là một tương đẳng trên s sao cho ảnh đồng cẩu của T trong

bao gồm các phần tử giản ước được của , thế thì ô > p.

C HỨNG MINH Rõ ràng p phản xạ và đối xứng Nếu apb và bpc thì tồn tại tj,t2 e

T sao cho a + tj = b + tjvä b + = c +12 Vì T là nửa nhóm con của s

và tj^eTnen tj+ t2eT Khi đó a+(t1+t2)=c+(t1+t2) nên apc Vậy p

bắc cầu Hơn nữa, a+t^b+tj kéo theo a+s+t^b+s+tị đối với mỗi s e s

nên p là một tương đẳng trên s Neu [a] + [t] = [b] + [t] đối với a,beS và

tjeT nào đó, thế thì a +1 + tx = b +1 + tx với tj eT nào đó Từ đó apbvà

do đó [a]=[b] Như vậy, [t] giản ước được đối với mỗi t eT Khẳng định

rằng p C ỗ đối với 5 như đã được mô tả là rõ ràng □

1.3.7. Định nghĩa Trong trường họp T = s, tương đẳng P được xác địnhtrên s như trong định lý 1.3.6 gọi là TƯƠNG ĐẲNG GIẢN ƯỚC ĐƯỢC ữên s

Khóa luận tốt

nghiệp

Đối với nửa nhóm con T của s sao cho mỗi phần tử của T giản ướctrong s, vị nhóm thương của s theo T đã được định nghĩa Đối với mộtnửa nhóm con T

tổng quát, vị nhóm của s theo T được định nghĩa là vị nhóm thương của , theo

nhóm con {[t]|teT}, trong đó p là tương đẳng được xác địnhtrong Định lý 1.3.6

Kết quả tiếp theo cơ bản đã được trình bày trong Chúng ta phát biểu lại

nó ở đây theo ngôn ngữ tương đẳng

1.3.8. Định lý Giả thiết rằng s là một vị nhóm và H là một nhổm con của s chứa 0 Đổi với a,b G s, định nghĩa a p b nghĩa là a+h=b đối với h^H nào đó Thế thì p là một tương đẳng trên s, [ữ] = a + H, và nếu H

là nhóm tất cả các phần tử khả nghịch của s, thế thì [0] là phần tử nghịch đảo duy nhất của s/p.

1.3.9. Chú ý Chú ý rằng nếu s là một nhóm, thế thì các tương đẳngduy nhất trên s xuất hiện như trong Định lý 1.3.8, nghĩa là tương đẳngtương ứng một nhóm con của s Để thấy điều đó, giả sử p* là một tươngđẳng trên nhóm s

và H = {s eS|(s,o) ep*} Thế thì H là một nhóm con của s, đối với

ap*0, bp* 0 kéo theo(a+b)p*b và do đó (a +b)p*0; cũng như vậy

(a-a)p-(O-a) nên Op* (-a) Như vậy H là nhóm con của s và ap*bnếu và

chỉ nếu (a-b)p*0nếu và chỉ nếu (a-b)eHnếuvà chỉ nếu aeb+H

1.3.10. Định lý Giả thiết rằng s là một nửa nhóm cộng tính (giao hoán)

và M là một nửa nhóm nhân các sổ nguyên dương Đối với a, b&s,

được định nghĩa apb nếu ma=mb với m&M nào đó Thể thì p là một tương đẳng trên

s, và nếu m[a] = mịbị đối với [ứ],[ỉ>] G s/j và m eMnào đó, thế thì [ữ] = ịbị.

C HỨNG MINH Tính phản xạ và đối xứng của p được suy ra trực tiếp từ định

nghĩa Nếu n^a = n^b và m2a = m2c, thế thì m^a = nựĩ^c và

m^rr^ epdo đó pbắc cầu Hơn nữa, n^a = n^b kéo tìieo rằng m1 (a+x) =

m2(b+x) đối với xe s, từ đó p là một tương đẳng trên s Đẳng thức m[a] = m[b]nghĩa là nma = nmb với neM nào đó Vì nm G M nên tò đó suy ra apb hay [»]=[•>]■

1.3.11. Định nghĩa Ta gọi một phép toán hai ngôi trên tập s, một ánh xạ

từ SxS vào s, ừong đó SxS là tập tất cả các cặp có thứ tự các phần tửthuộc s Nếu ánh xạ đó được kí hiệu bởi dấu (.) thì ảnh trong s của phần

tử (a, b) € SxS được kí hiệu bởi a.b Ta gọi phỏng nhóm là một hệthống S(.) gồm một tập s khác rỗng và một phép toán hai ngôi (.) trênnó

1.3.12. Định lý (Định lý về đồng cấu cảm sinh) Giả sử q\,ẹ 2 là các đồng

cấu từ phỏng nhóm s tương ứng lên các phỏng nhóm Si và s2 sao cho Ọ Ị ỌỌ\ 1

CỊ 1 Thế thì tồn tại một đồng cấu duy nhất 0 từ phỏng nhóm

Si và s2 sao cho = •

C HỨNG MINH Giả sử £ S và a là một phàn tử thuộc phỏng nhóm s sao cho AQ \

= Đặt A L Ỡ = AỌ^ Nếu BẠ \= A Í ( B ^S), thì

(|A , B ) G ( F \0( F \ X CỊ ( P 2 CK FOx, từ đó CUP 2 = B ( P2; thành thử 6 là một ánh xạ( đơn ừị) Hiển nhiên <P ỊỠ — < P 2 -Ta chứng tỏ 0 là đồng cấu:

Khóa luận tốt

nghiệp

[(aflXfc%)] 0 = í(ab)ạ\] e = (ạb)<p2 = 0aọ2){bọ2) = V{a(f\)0\

[(bọ^ỡị Tính duy nhất của 9 là hiển nhiên; thật vậy, nếu 0 thỏa mãn hệ thức

( F \ Ỡ = Ọ 2 thì bắt buộc phải xác định G như đã làm ở trên.

s

1.5 Nửa nhóm tự do

1.5.1 Định nghĩa Giả sử X là một tập tùy ý và giả sử gôm tât cả các

dãy hữu hạn các phần tử thuộc X Nếu ( X 1 , X 2 , , X M ),( Y L , Y 2 , , Y N ) là các

phần tử

thuộc , thì ta định nghĩa tích của chúng băng cách ghép chúng lại :

(x í ,x 2 , ,x m )(y 1 ,y 2 , ,y n ) = (x í ,x 2 , ,x m ,y l ,y 2 , ,y n ).Khiâỏ 3 X trở thành một nửanhóm mà ta gọi là nửa nhóm tự do trên tập X Các phần tử thuộc

ta sẽ gọi là các từ Nếu ta đồng nhất phần tử X G X với dãy (x) độ dài

Híbăng 1, thì theo định nghĩa của tích trong ta được ( X L , X 2 , , X M ) = ( X Ĩ )( X 2 ) ( X M )= X L X 2 X M Vậy X là tập sinh của nửa nhóm

(TỊ

, hơn nữa rõ ràng nó là tập sinh duy nhât không chứa phân tử nào thừa.

Người ta thường làm việc với X tiện hơn với -Đơn vị 1 ghép vào có thể

P là tương đẳng trên -^ X sinh bởi quan hệ P Ữ và p# là đồng cấu tự nhiên

từ S Ỵ lên / P Khi đó tập {xp# I X e X} sinh ra nửa nhóm thương

^X / H và Ux p = Vj, p VỚI mọi Ả E A tức là phân tử thuôc tập sinh của

^X / P thực sự thỏa mãn các hệ thức xác định Ta gọi Ỉ Ọ \ Ầ nửa nhóm sinh bởi

tập X và cho bởi các hệ thức xác định Ux, = V\ (Ầ e A) (thực ra nó sinh bởi tập

Xp#)

Nếu Ọ\ Ầ một đẳng cấu từ nửa nhóm lên một nửa nhóm s thì s cũng được

gọi là một nửa nhóm tự do (trên tập Xọ)

1.5.2 Bổ đề Giả sử X là nửa nhóm tự do ừên tập X. Giả sử s là một nửa

nhóm tùy ý và Ọ Ữ là một ánh xạ bất kỳ từ X vào s Khi đóỌ Q có thể mở rộng

một cách duy nhất tới đồng cấu ộ? từ vào s

1.5.3 Định lý Giả sử M là một tập và Ụ :M ->s là một ánh xạ một - một từ

M lên một tập sinh của nửa nhóm s Thế thì s là nửa nhóm tự do trên M ỊẦ khi

và chỉ khi đối với một nửa nhóm tùy ý T và đối với ánh xạ V :M —>Ttồn tại

đồng cấu < P :S —>T sao cho ỤỌ — V.

Khóa luận tốt

nghiệp

C HỨNG MINH Giả thiết rằng s là một nửa nhóm tự do trên

Theo bổ đề 1.5.2 thì ỊẨ~ LV có thể mở rộng (một cách duy nhất) tới một đồngcấu ộ?nào đó từ s tới T Thế thì ỤỌ — V.

Đảo lại, giả thiết rằng mỗi ánh xạ tò tập M JU tới nửa nhóm T có thể mởrộng tới một đồng cấu từ s vào T Ta lấy T là nửa nhóm tự do trên tập

X - M Ụ và chọn V :M —>3 X sao cho ^ trùng với ánh xạ đồng nhất từ X

vào ^X • Khi đó theo bổ đề 1.5.2 thì ánh xạ V ~ L Ụ :X ->s có thể mở rộng tới

đồng cấu từ -^ X vào s Do đó tồn tại đồng cấu <P'S —>3 X , Ụ /:3 Ỵ —> S là mở

rộng của ánh xạ từ X lên chính nó, nên cái thu hẹp của những ánh xạ ( PXỰ :S

—> £, LỰCP: trên X trùng với ánh xạ đồng nhất của X lênchính nó Vì X sinh ra cả s và nên ỌY /, Y /( P là các ánh xạ đồng nhất trên

Khóa luận tốt

nghiệp

2.1 Tính nhúng được của nửa nhóm giản ước giao hoán trong nhóm Định lý 2.1.1 (Định lý Ore) Cho s là nửa nhóm giao hoán giản ước được Khi đó s được nhúng vào một nhóm G qua đồng cấu cp : s

—» G sao cho G = (p(s).(cp(s) ) ' 1

C HỨNG MINH : Cho s là nửa nhóm, ta có s1

là s nếu s là một vị nhóm hoặc là

s u {ls} nếu s là nửa nhỏm Do với mọi nửa nhóm s thì tồn tại vị nhóm s1 ỊD s

nên không giảm tính tổng quát ta giả thiết s là vị nhỏm

© Trên SxS, ta xác định quan hệ ơ như sau (x,y) ơ(z,t) <=> x.t = z.y Dễ thấyrằng ơ thỏa mãn tính phản xứng, đối xứng và bắc cầu nên ơ là một quan hệtương đương Ta thấy ơ cũng là quan hệ đồng dư, thật vậy:

Đặt G = SxS/ơ, ta có : (ls.x).y = (ls.y).x , V x,y e s ( do s có tính giao hoán)

=> (ls.x, ls.y) ơ(x,y) [(ls.x, lB.y)]ơ = [(x,y)]a Hơn nữa ta có