Khóa luận tốt nghiệp toán Nguyên lí Dirichlet và ứng dụng vào bài toán hình học tổ hợp

Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, saocho chúng là các đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôicùng một màu.. Vì mỗi đoạn thẳng được bôi chỉ màu đỏ hoặc m

Trước khi trình bày nội dung của đề tài, tôi xin gửi lời cảm ơn và

sự tri ân sâu sắc đến thầy giáo Th.s Phạm Thanh Tâm - người đã chỉbảo và hướng dẫn tận tình cho tôi, giúp tôi hoàn thành đề tài khóaluận tốt nghiệp

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáocủa trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các quý thầy côgiáo của khoa Toán đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tậptại khoa

Lời cảm ơn chân thành và sâu sắc, tôi xin gửi tới gia đình, bạn bè

- những người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện

Trần Bích Ngọc

KHOA TOÁN

HÀ NỘI, 5/2014

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bảnthân cùng sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s PhạmThanh Tâm tôi đã hoàn thành bài khóa luận của mình

Tôi xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân hoàn thành cùngvới sự hướng dẫn của thầy giáo Th.s Phạm Thanh Tâm

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện

Trần Bích Ngọc

Lời cảm ơn 1

1.1 Nguyên lýDirichlet cơ bản 8

1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 9

1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 9

1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 9

1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn 10

2 ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình

học tổ hỢp 11

KHOA TOÁN

HÀ NỘI, 5/2014

2.1 Bài toán tô màu hình 112.2 Bài toán diện tích 332.3 Một số bài tập đề nghị 52

dụng của nguyên lí này mà nhiều bài toán khó của lĩnh vực hình học

tổ hợp được giải quyết một cách trọn vẹn

Nguyên lí Dirichlet do nhà toán học Peter Guster Lijeune Dirichlet(1805-1859) người Đức đưa ra lần đầu tiên vào năm 1834 Nguyên línày là một công cụ hiệu quả và sắc bén để chứng minh nhiều kết quảsâu sắc của toán học Nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khácnhau của toán học như hình học, đại số, tổ hợp, đặc biệt là trongcác chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Dùng nguyên lí Dirichlettrong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tạicủa một đối tượng với tính chất xác định Sử dụng nguyên lí Dirichletkhông đòi hỏi nhiều về kiến thức và khả năng tính toán mà chủ yếuđòi hỏi sự sáng tạo trong việc đưa ra một mô hình cụ thể và linh hoạttrong cách tư duy Đó là điểm mạnh cũng như cái khó của việc ứngdụng nguyên lí Dirichlet vào bài toán hình học tổ hợp

Vì vậy để thấy được cái hay, cái hiệu quả cũng như làm thành mộtcách thức mới để vận dụng vào quá trình giảng dạy sau này và giúp

các em học sinh có được phương pháp giải bài tập hình học tổ hợp

hiệu quả, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài "N g u y ê n l í D i r i c h l e t v à ứng

d ụ n g v à o b à i t o á n h ì n h h ọ c tổ h ợ p " dưới sự hướng dẫn của thầy

giáo Th.s Phạm Thanh Tâm

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn trong quá trìnhgiảng dạy bộ môn hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng củanguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán hình học tổ hợp

3 Đối tượng nghiên cứu

Nguyên lí Dirichlet và những bài toán hình học tổ hợp có ứng dụngnguyên lí Dirichlet để giải

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nêu nội dung cơ bản của nguyên lí Dirichlet

Nêu ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán hìnhhọc tổ hợp

Hệ thống lại một số dạng bài tập có sử dụng nguyên lí Dirichlet

4 -2 • 7 •

đê giai

5 Phạm vi nghiên cứu

Một số bài toán hình học tổ hợp giải được bằng nguyên lí Dirichlet

6 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và trao đổi nghiên cứu nhằm đưa ra cái nhìn tổng quát

về nội dung nguyên lí Dirichlet và nhận diện được các bài tập hình học

CÓ thể giải quyết một cách đơn giản bằng nguyên lí Dirichlet

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập hình học có ứngdụng nguyên lí Dirichlet.

7 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thống lạiđược các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học mônToán, đặc biệt là bộ môn hình học và bồi dưỡng học sinh giỏi

Bố cục khóa luận

Chương 1: Kiến thức cơ bản

1.1 Nguyên lí Dirichlet cơ bản

1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng

1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp

1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng

1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn

Chương 2: ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình học tổ hợp

2.1 Bài toán tô màu hình

2.2 Bài toán diện tích

2.3 Một số bài tập đề nghị

' N ' k

đồ vật Khi đó

Kiến thức cơ bản

Nguyên lí Dirichlet còn gọi là "Nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng"hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" hoặc "nguyên tắc lồngchim bồ câu" đã được biết đến từ rất lâu Nguyên lí Dirichlet nàyđược nhà toán học người Đức Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) phát biểu lần đầu tiên vào năm 1834

Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng có mộtchuồng chứa ít nhất hai con thỏ Ta có thể phát biểu nguyên líDirichlet tổng quát như sau:

M ệ n h đ ề 1.1.1 Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽ

~ N '"

đồ vật (ở đây, |"af| là số nguyên

tồn tại một hộp chứa ít nhất nhỏ nhất có

giá trị lớn hơn hoặc bằng x) C h ứ n g m i n h

Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn tổng số đồ vật

con thỏ, ở đây kí hiệu [a\ để m

M ệ n h đ ề 1.3.1 Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng Kí hiệu S(A),

S(B) lần lượt là số lượng phần tử của A và B, với S(B) < S(A) < +oo.Khi đó, xét ánh xạ /, với:

m

con, thì số thỏ mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng

đó suy ra tống số con thỏ không vượt quá m.

lí) Điều vô lí này chứng tỏ có ít nhất một chuồng có con thỏ.

+1 n

— 1

+ 1

m

tắc cho tương ứng với mỗi phần tử của Ả với một phần tử của B. Khi

đó tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùngmột phần tử của B.

Chứng minh Với mọi tập con c gồm một phần tử của B ịc c B)

thì S(C) = 1

Ta có: S(C) = 1 < S(B) suy ra S(A) > k.S(C) = k. Hay S(A) >k+l.

Suy ra tồn tại ít nhất k + 1 phần tử của A tương ứng với một phần

tử của B. Vì c là tập bất kì nên nguyên lí được chứng minh Chú ý:

Khi A; = 1, ta có ngay lại nguyên lí Dirichlet

1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn

Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo,thì phải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo

Nguyên lí Dirichlet mở rộng cho trường hợp vô hạn này cũngđóng vai trò hết sức quan trọng trong lí thuyết số nói riêng và toánhọc rời rạc nói chung

vào một số bài toán hình học tổ hợp

Chương này dành để trình bày phương pháp sử dụng nguyên líDirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp, nguyên lí Dirichlet ápdụng cho độ dài các đoạn thẳng, diện tích các hình phẳng hay được

sử dụng đến trong nhiều bài toán hình học tổ hợp

B à i t o á n 2 1 Trong mặt phẳng cho 6 điểm, không có ba điểm nào

thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặcxanh Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, saocho chúng là các đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôicùng một màu

C h ứ n g m i n h Xét A là một trong số 6 điểm đã cho Khi đó xét nămđoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm A với năm điểm còn lại)

Vì mỗi đoạn thẳng được bôi chỉ màu đỏ hoặc màu xanh, nên theonguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu.Giả sử đó là các đoạn AB, AB' và AB" và có thể cho rằng chúng cùngmàu xanh

Chỉ có hai khả năng xảy ra:

2) Nếu không phải như vậy, tức là BB', B'B", B"B màu đỏ, thì bađiểm phải tìm là B, B', B" vì BB'B" là tam giác có ba cạnh màu đỏ.

Từ đây bài toán được chứng minh

Bài toán 2.2 Cho sáu điểm trên mặt phẳng, sao cho không có ba điểmnào thẳng hàng Các đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏhoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác (mà các đỉnhcủa chúng thuộc tập hợp sáu điểm đã cho) mà các cạnh của chúngcùng màu

Chứng minh Giả sử p là điểm bất kì trong 6 điểm đã cho Từ p ta kẻ 5đoạn thẳng Vì mỗi đoạn thẳng chỉ được tô bởi một trong hai màu nêntheo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn thẳng nói trênđược tô cùng màu Không giảm tổng quát, ta cho đó là những đoạn

PQ, PR, PS cùng được tô màu đỏ

Nếu ba đoạn Q R , R S và S Q được tô màu xanh thì chúng tạothành tam giác màu xanh (H 2.2)

Nếu một đoạn nào đó được tô màu đỏ, ví dụ QR thì ta nhận đượctam giác PQR màu đỏ (H 2.3)

Theo như lập luận trên thì ta có ít nhất một tam giác đồng màu Tacho tam giác đó là tam giác PQR màu đỏ

T và u. Ta lại xét những đoạn thẳng SP, SQ, SR, ST và su Nếu ít nhất

ba trong chúng là màu đỏ thì theo lí luận như với tam giác PQR, ta sẽ

có tam giác đỏ với đỉnh s, hoặc tam giác xanh và trong cả hai trườnghợp, tam giác này đều khác tam giác PQR. Theo phương pháp nhưvậy, ta có thể nhận được ít nhất ba trong những đoạn này màu xanh.Nếu ngược lại, một trong những đoạn ST, su là xanh thì ta sẽ có tamgiác xanh với đỉnh s hoặc tam giác đỏ với đỉnh T và cả hai trường hợptam giác này đều khác tam giác PQR.

Suy ra, ta có thể cho rằng SP, S Q , S R là xanh, còn ST và s u

màu đỏ Nếu ta lí luận tương tự cho đỉnh T thì cũngchỉ ra rằng tồn tại hai tam giác đồng màu khác tam giác PQR bằng việc loại trừ khi TP, TQ, TR xanh, còn

TS và TU là đỏ Trong trường hợp đó, tam giác STU làđỏ

Từ đó bài toán đã được chứng minh

Bài toán 2.3 Từ bài toán 2.1 ta đưa ra một ví dụ minh họa đẹp mắtcho bài toán như sau: chứng minh rằng từ sáu số vô tỉ tùy ý có thểchọn ra được ba số (ta gọi ba số đó là a, 6, c) sao cho a + b, b + c, c+ a cũng là số vô tỉ

Chứng minh Xét trên mặt phẳng sáu điểm sao cho không có ba điểmnào thẳng hàng Với mỗi điểm ta sẽ gắn cho nó một số vô tỉ Như vậysáu điểm được gắn sáu số vô tỉ đã cho Hai điểm mang số a và b sẽđược nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu đỏ nếu a + b là số vô tỉ,còn sẽ có màu xanh khi a + b là số hữu tỉ

Theo đề bài, tồn tại ít nhất một tam giác cùng màu Giả sử tamgiác đó có ba đỉnh được gắn số là a, b, c. Chỉ có hai khả năng xảy ra:1) Nếu tam giác đó là tam giác xanh Khi ấy a + b, b + c, a + c là

3 số hữu tỉ Lúc này (a + b) + (b + c) — (c + a) = 26 cũng là một sốhữu tỉ Điều này vô lí vì b là số vô tỉ

2) Nếu tam giác đó là tam giác đỏ Khi ấy a + b, b + c, a + c là 3

số vô tỉ

Như vậy, từ sáu số vô tỉ tùy ý có thể chọn ra được ba số (ta gọi ba

số đó là a, b, c) sao cho a + b, b + c, c + a cũng là số vô tỉ

Nhận xét. Bài toán bề ngoài có vẻ không liên quan gì tới hình họcnhưng lại có thể quy về bài toán hình học với một lời giải đẹp mắtnhư vậy

Bài toán 2.4 Cho hình chóp đáy là đa giác chín cạnh Tất cả 9 cạnhbên và 27 đường chéo của đa giác đáy được tô bằng một trong haimàu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của hình chópsao cho chúng là những đỉnh của hình tam giác với các cạnh được bôicùng màu

Chứng minh Xét 9 cạnh bên Vì 9 cạnh này chỉ được bôi bằng haimàu xanh hoặc đỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 5 cạnh bênđược bôi cùng một màu

H 2.4

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử đó là các cạnh bên SA,

SB, sc, SD, SE được bôi cùng màu đỏ, và các điểm A, B, c, D, E xếptheo ngược chiều kim đồng hồ Xét đa giác ABCDE.

Có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu AB là đường chéo của đáy Khi đó dĩ nhiên BD, DA cũng

là các đường chéo của đáy

Khi đó, lại có các trường hợp sau:

a) Nếu cả ba đoạn AB, BD, DA cùng bôi màu xanh Khi đó A, B,

D là ba đỉnh cần tìm, vì ABD là tam giác với ba cạnh xanh

b) Nếu một trong các đoạn AB, BD, DA là đỏ Giả sử BD đỏ, thìtam giác SBD là tam giác với ba cạnh đỏ Lúc này s, B, D là ba đỉnhcần tìm

2) Nếu AB là cạnh đáy Khi đó dĩ nhiên AC, CE chắc chắn làđường chéo đáy

a) Nếu AE là đường chéo đáy thì ta quay lại trường hợp 1 vừa xét,với ACE là tam giác với ba cạnh là 3 đường chéo đáy

b) Nếu AE là cạnh đáy Khi đó rõ ràng AC : AD là các đường chéođáy

- Nếu CD là đường chéo đáy, ta quay về trường hợp 1

- Nếu CD là cạnh đáy Lại xét các trường hợp sau:

+ Nếu BC là đường chéo đáy, thì tam giác BCE là tam giác với bađường chéo đáy, quay về trường hợp 1

H 2.5

+ Nếu BC là cạnh đáy thì khi đó xét tam giác BDE và quay về trườnghợp 1

Như vậy, bài toán đã giải quyết hoàn toàn

B à i t o á n 2.5 Cho hình đa giác đều 9 cạnh Mỗi đỉnh của nó được

tô màu bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồntại hai tam giác phân biệt có diện tích bằng nhau, mà các đỉnh củamỗi tam giác được tô cùng một màu

C h ứ n g m i n h Chín đỉnh của đa giác là A í: A 2 , Aỹ đều được tôbằng hai màu đỏ hoặc xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhấtnăm đỉnh trong số đó được tô cùng một màu, năm đỉnh này tạo ra:

= 10

tam giác đỏ (tam giác đỏ là tam giác có ba đỉnh màu đỏ)

E

Gọi íỉ là tập hợp các đỉnh của đa giác đã cho Tức là:

rỉ = Aị, A 2 , Ag.

Gọi o là tâm của đa giác đều đã cho (vì là đa giác đều nên luôn tồntại tâm) Xét phép quay các góc 0°, 40°, 80°, 120°, 160°, 200°, 240°,280°, 320° xung quanh tâm o. Rõ ràng ứng với mỗi phép quay này thìtập biến thành chính nó (tập các đỉnh không thay đổi)

Sau chín phép quay trên thì có 10 tam giác đỏ biến thành 90 tamgiác đỏ, mà mỗi tam giác này đều có các đỉnh thuộc tập hợp íì. Chú ýrằng số các tam giác khác nhau có đỉnh trong Q là:

Do 84 90, Ĩ16Ĩ1 theo nguyên li Dincỉiỉct ton tj£ii ỉiâii tãiũi đo

Ai và A2 sao cho các phép quay tương ứng trùng với một tam giác Vìphép quay bảo toàn hình dáng và độ lớn của hình, tức là: Ai = A2.Bài toán 2.6 Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một tronghai màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà bađỉnh và trọng tâm cùng màu

Chứng minh Lấy năm điểm tùy ý sao cho không có ba điểm nàothẳng hàng trên mặt phẳng Khi đó vì chỉ dùng có hai màu để tô cácđỉnh, mà theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ba điểm trong số đó

cùng màu Giả sử đó là ba điểm A, B, c có màu đỏ Như vậy

ta có tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ Gọi G là trọng tâm tam giác

ABC. Chỉ có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu G có màu đỏ Khi đó A, B, c, G cùng đỏ và bài toán đãđược chứng minh

2) Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC sao cho:

' AA' = 3 GA

i B B' = 3GB ■

Cơ = 3 GC

B là trọng tâm của tam giác B'AC c

là trọng tâm của tam giác C'AB.

Vậy các tam giác A'BC, B'AC, C'AB tương ứng nhận A, B, c làtrọng tâm Mặt khác, ta cũng có các tam giác ABC và A'B'C' có cùngtrọng tâm G. Có hai trường hợp sau có thể xảy ra:

a) Nếu A 1 , B', C' cùng xanh Khi đó tam giác A'B'C' và trọng tâm

G có cùng màu xanh

b) Nếu ít nhất một trong các điểm A', B', C' có màu đỏ Không mấttính tổng quát giả sử A' đỏ Khi đó tam giác A'BC và trọng tâm A màuđỏ

Vậy trong mọi khả năng luôn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh vàtrọng tâm cùng màu

Bài toán 2.7 Giả sử một bàn cờ hình chữ nhật có 3 X

bất kì trong bàn cờ luôn tồn tại hình chữ nhật gồm các ô ở bốn góc làcác ô cùng màu

Chứng minh Xét từng cột, mỗi cột có 3 ô, mỗi ô có 2 cách sơn nên có

2.2.2 = 8 cách sơn mỗi cột như sau:

1 2 3 4 5 6 7 8

H 2.8

Ta xét các trường hợp:

1) THI: Giả sử một trong các cột của bàn cờ được sơn theo dạng

1 Khi đó nếu ít nhất 1 trong số 6 cột còn lại thuộc dạng 1, 2, 3, 7 thì

ta được ít nhất 1 hình chữ nhật có 4 góc được sơn màu trắng

Nếu 6 cột còn lại thuộc các dạng 4, 5, 6, 8 thì theo nguyên líDirichlet tồn tại 2 cột cùng dạng, chúng tạo thành hình chữ nhật thỏamãn đề bài

2) TH2: Nếu một trong các cột được sơn theo dạng 8 Khi đó nếu

có ít nhất 1 trong 6 cột còn lại được sơn theo các dạng 4, 5, 6, 8 thì tađược ít nhất 1 hình chữ nhật được sơn màu xanh Nếu 6 cột còn lạithuộc các dạng 1, 2, 3, 7 thì có ít nhất 2 cột trong có cùng dạng Do

đó, ta có điều phải chứng minh

3) TH3: Không có cột nào có dạng 1 hoặc 8 thì có 7 cột nhưng chỉ

có 6 dạng nên tồn tại 2 cột cùng dạng và bài toán cũng được chứngminh

Vậy luôn tồn tại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài toán 2.8 Trên mặt phẳng cho 18 điểm, sao cho không có ba điểmnào thẳng hàng Nối từng cặp điểm với nhau và tô màu cho mọi đoạnthẳng thu được một trong hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng luôntìm được một tứ giác mà các đỉnh của nó nằm trong tập điểm đã chosao cho cạnh và đường chéo của nó cùng màu

Chứng minh Giả sử Ai (ỉ = 1,18) là 18 điểm đã cho Xuất phát từ AI

có 17 đoạn thẳng AịAị (i = 2,18) Mười bảy đoạn thẳng đó chỉ có haimàu xanh hoặc đỏ, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất chínđoạn thẳng cùng màu Không giảm tổng quát, giả sử đó là các đoạnthẳng A 1 A 2 , AiA 3 , AiAi ữì và chúng có cùng màu đỏ

Xét chín điểm A 2 ,Aị, Ai ữ chỉ có thể xảy ra các khả năng haitrường hợp sau:

1) Hoặc là tồn tại điểm Aj (2 ^ ^ 10) sao cho trong tám đoạnthẳng AjA k (2 ^ k ^ 10, k 7^ j) có ít nhất bốn đoạn thẳng màu đỏ.Không giảm tổng quát có thể cho là A 2 A3, A 2 A 4 , A 2 A 5 , A 2 A 6 màu đỏ.Đến đây chỉ còn lại hai khả năng:

a) Hoặc là mọi đoạn thẳng A 3 A 4 , AịAị, AịAq, A 4 A 5 , AịAeA^Aỹ đềumàu xanh Khi đó A 3 Ã 4 Ã 5 A 6 là tứ giác xanh, thỏa mãn yêu cầu bàitoán

b) Tồn tại một đoạn thẳng AịAj (3 ^ ỉ < j ^ 6) màu đỏ Khi đó

AiA 2 AiAj (3 ^ i < j ^ 6) là tứ giác đỏ thỏa mãn yêu cầu bài toán

2) Hoặc là với mọi điểm Aj (2 ^ ^ 10) thì trong tám đoạnthẳng AjAỵ (2 ^ k ^ 10, k 7^ j) có tối đa ba đoạn màu đỏ mà thôi Khi

đó phải tồn tại một điểm (chẳng hạn A 2 ) mà trong cácđoạn A 2 Aỵ (3 ^ k ^ 10, k Ỷ 3 ) c° tối đa hai đoạn màu đỏ thôi

nội bộ 9 điếm đó là - là số nguyên, điều này vô lí) Vì A 2 Ak (3

^ k ^ 10, k Ỷ j) có tối đa hai đoạn màu đỏ mà thôi, nên trong số cácđoạn A 2 A 3: A 2 A 4 , A 2 A 5 , A2^4io có ít nhất sáu đoạn màu xanh Khônggiảm tổng quát, ta cho ^42^4-5, • • • A 2 Ai ữ màu xanh

Xét sáu điểm A 5: Aq, A 7: A 8 , Ag : A w Đó là sáu điểm mà trong đókhông có ba điểm nào thẳng hàng, và mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm chỉ

có hai màu xanh hoặc đỏ Theo bài toán 2.1 thì luôn tồn tại ít nhấtmột tam giác mà ba đỉnh chọn trong A 5 , Aỹ, Ả 7 , Ag, Ag : A w sao cho bacạnh cùng màu

Khi đó, ta lại có hai khả năng sau:

a) Giả sử tồn tại tam giác AịAjAỵ (5 ^ i < j < k 10) màu xanh Khi

đó tứ giác A 2 AịAjAỵ (5 ^ i < j < k ^ 10) là tứ giác xanh thỏa mãn yêucầu bài toán

b) Nếu tồn tại tam giác AịAjAỵ (5^i<j<k^ 10) màu đỏ thì

AiAịAjA k là tứ giác cần tìm

Như vậy ta luôn chứng minh được tồn tại một tứ giác mà các đỉnhcủa nó nằm trong tập điểm đã cho sao cho cạnh và đường chéo cùngmàu

Bài toán 2.9 Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bằng mộttrong 2 màu xanh hoặc đỏ Chứng minh tồn tại một hình chữ nhật cócác đỉnh cùng màu

Chứng minh Vẽ ba đường thẳng song song dị, d2, d 3 (dị//d 2 //d 3 ).

Lấy trên dị bất kì bảy điểm Do mỗi điểm chỉ được bôi bằng mộttrong hai màu xanh hoặc đỏ nên theo nguyên lí Dirichlet trên d\ luôntồn tại bốn điểm cùng màu Không giảm tổng quát, giả sử bốn điểm

Pị, P 2 , P 3 , -P4 cùng màu đỏ

Gọi Q 1 1 Q 2 1 Qz, Q4 là hình chiếu vuông góc của Pi, P25 Pzi -P4

xuống d 2 Gọi R u R 2 ì R 3 , Rị lần lượt là hình chiếu vuông góc của Pị, p 2 ,

P 3 , Pị xuống d3

Khi đó, chỉ có các khả năng sau xảy ra:

1) Nếu tồn tại hai trong bốn điểm Q\iQ 2 iQziQa màu đỏ, giả sử Qii

Qj. Khi đó, PjPiQiQj là hình chữ nhật có bốn đỉnh cùng màu đỏ (H.2.12)

2) Nếu tồn tại hai trong bốn điểm Ri, i?2, R 3, Ra màu đỏ, giả sử

R i: Rj. Khi đó, PjPịRịRj là hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu đỏ (H.2.13)

-1

3) Bốn điểm QitQ 2 iQ'òiQị và bốn điểm Rị, R2, R 3, Rị trong đó tối

đa chỉ có một điểm đỏ Khi đó rõ ràng theo nguyên lí Dirichlet tồn tại

i,j sao cho Q i : Q j : R i : R j cùng màu xanh Do đó Q i Q j R j R ị là hình

chữ nhật có bốn đỉnh cùng màu

Vậy trong mọi trường hợp đều tồn tại một hình chữ nhật có cácđỉnh cùng màu

Bài toán 2.10 Cho đa giác đều 2013 cạnh Người ta sơn các đỉnh của

đa giác bằng hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng phải tồn tại 3 đỉnhđược sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân

C h ứ n g m i n h Ta có đa giác 2013 cạnh nên có 2013 đỉnh Do đó

theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại hai đỉnh kề nhau là p và Q đượcsơn bởi cùng một màu (chẳng hạn màu xanh)

Vì đa giác đã cho là đa giác đều có một số lẻ đỉnh, cho nên phảitồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

Nếu ngược lại một trong hai đỉnh B hoặc c mà tô màu xanh thì tamgiác BPQ hoặc tam giác CPQ là các tam giác cân có ba đỉnh được tôcùng màu xanh.

Vậy bài toán đã được chứng minh

Bài toán 2.11 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong haimàu đen hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều mà cácđỉnh của nó chỉ được tô bằng một màu

Chứng minh Vẽ tam giác đều ABC, nếu có ba đỉnh A, B, c đều được

tô cùng một màu thì ta có ngay điều phải chứng minh

Nếu A, B, c được tô bởi hai màu khác nhau thì theo nguyên líDirichlet phải có hai đỉnh được tô cùng một màu

Giả sử các đỉnh A, B được tô cùng màu đen, khi đó c được tô bằngmàu đỏ

Ta dựng lục giác đều ADGEFC có tâm B.

Ta có tam giác ABD đều Nếu D được tô màu đen thì ta có ngayđiều phải chứng minh Nếu D được tô màu đỏ thì ta xét tam giác

CED đều Nếu E được tô màu đỏ thì tam giác CDE có 3 đỉnh được tômàu đỏ, thỏa mãn Ngược lại, nếu E được tô màu đen, ta xét tam giác

BEF đều Nếu F được tô màu đen thì ta có tam giác BEF có ba đỉnhđược tô bằng màu đen, thỏa mãn

Giả sử ngược lại F được tô màu đỏ ta lại xét tam giác CFH đều.Nếu H được tô màu đỏ thì tam giác CFH có ba đỉnh được tô màu đỏ,thỏa mãn Ngược lại, H được tô màu đen thì lại vẽ tam giác đều BHI.

Nếu I được tô màu đen thì tam giác BHI có ba đỉnh được tô bằng màuđen, thỏa mãn

Ta lại giả sử I được tô bằng màu đỏ thì xét tam giác IDF. Dễ thấytam giác IDF đều, theo trên ta có I, D, F được tô bởi cùng màu đỏ,thỏa mãn

Như vậy, ta chứng tỏ được rằng tồn tại một tam giác đều mà bađỉnh được tô bởi cùng một màu

Bài toán 2.12 Cho hình lăng trụ có hai đáy là các ngũ giác đều đáy

ngũ giác này và các đoạn thẳng AịBj với ỉ,j = 1, 5 được tô màu đỏhoặc màu xanh Biết rằng mọi tam giác mà các đỉnh của nó là đỉnhcủa lăng trụ và tất cả các cạnh của nó được tô màu, có hai cạnh màu

khác nhau Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh ở đáy trên và đáy dướiđều có cùng một màu.

Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh rằng tất cả các cạnh A 1 A 2 ,

A 2 A 3 , A^Aị, A 4 A 5 , A§Aị đều có cùng một màu Chứng minh bằngphản chứng Giả sử ngược lại, có các cạnh AịA 2 màu đỏ và A 2 A3 màuxanh Theo nguyên lí Dirichlet thì trong số 5 đoạn thẳng A 2 Bị, A 2 B 2 ,

A 2 B 3 , A 2 B 4, A2-S5 có ít nhất ba đoạn thẳng được tô bởi cùng một màuxanh hoặc đỏ

Không giảm tổng quát, ta cho đó là màu đỏ và gọi chúng là A 2 Bi,

A 2 Bj, AiBỵ. Khi đó có ít nhất một trong những đoạn BịBj, BjBỵ, BỵBị

là cạnh đáy (hai đỉnh kề nhau) Giả sử là B r B s Nếu B r B s là màu đỏ thì

ta có A 2 B r B s màu đỏ Điều này trái với giả thiết là tam giác mà đỉnhcủa nó là đỉnh của lăng trụ và tất cả các cạnh của nó được tô màu cóhai cạnh màu khác nhau Do đó B r B s phải là màu xanh Bây giờ, đoạn

AiB r và AiB s cũng phải màu xanh, nếu ngược lại ta phải có AịA 2 B r

hoặc AiA 2 B s là những tam giác đỏ Do đó, AịB r B s là tam giác xanh.Điều này vô lí nên suy ra A 1 A 2 và ^2^4 3 có cùng màu

Làm tương tự như vậy cho tất cả các cạnh của đáy có cùng màu.Bây giờ ta giả sử tất cả các cạnh đáy trên màu đỏ và tất cả cáccạnh đáy dưới màu xanh Theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất batrong năm cạnh AịBị, ỉ = 1,5 phải có cùng màu Không giảm tổngquát giả sử đó là màu xanh, lí luận như trên thì hai trong số ba đỉnh

Bị đó phải là hai đỉnh kề nhau, từ đó hai đỉnh này tạo với Ai thànhtam giác có ba cạnh màu xanh (vô lí) Vì thế, ba trong năm cạnh

AịBi, * = 1 , 5 phải cùng màu đỏ Lập luận tương tự, ba trong nămcạnh A 2 Bị, « = 1,5 phải có cùng màu đỏ Vì ta có sáu cạnh màu đỏ, ítnhất hai trong chúng phải có đỉnh Bị ở đáy Khi đó, tam giác AiA 2 Bị

màu đỏ, vô lí

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.13 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một trong haimàu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng ắt tìm được ít nhất là ba điểmđược tô bởi cùng một màu tạo thành một tam giác đều có cạnh là 1

hoặc \/3

Chứng minh Dựng một tam giác đều có cạnh bằng 1 Nếu cả ba đỉnhđược tô bởi cùng một màu (xanh hoặc đỏ) thì bài toán được chứngminh

Ngược lại, xét tam giác ABC đều cạnh AB = 1 mà A và B được tôbằng hai màu khác nhau.

Lấy điểm D của mặt phẳng sao cho AO = BO = 2 Vì A, B khácnhau nên D cùng màu với chỉ một trong hai điểm A hoặc B.

Suy ra, tồn tại đoạn thẳng AD = 2 hoặc BD = 2 có hai đầu mútđược tô bằng hai màu khác nhau Giả sử là đoạn AD. Gọi K là trungđiểm của đoạn AD thì K cùng màu với một trong hai điểm A hoặc D.

Giả sử K và A có cùng màu xanh

Vẽ các tam giác đều APK và AQK.

Nếu p hoặc Q có màu xanh thì ta có tam giác đều APK hoặc

AQK có cạnh bằng 1 và ba đỉnh được tô bằng màu xanh

Nếu p và Q có màu đỏ thì tam giác PQD có ba đỉnh được tô cùngmàu đỏ Dễ thấy tam giác PQD đều có cạnh bằng \/3

Từ đây bài toán được chứng minh

Bài toán 2.14 Cho dãy vô hạn các số tự nhiên UI,U 2: được xác địnhtheo công thức truy hồi sau:

í

I U i = 3

[un+ 1 = ( r a + 1 ) m „ - 7 1 + l , n = 1,2

Giả sử n là số tự nhiên bất kì và tập M gồm u n điểm sao cho không

có ba điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm khác nhautrong M được tô bằng một trong n màu cho trước Chứng minh rằngtồn tại ba điểm trong M là đỉnh của một tam giác cùng màu

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

1) Với n = 1 ta có Uị = 3 và kết luận của bài toán hiển nhiên đúng(vì ở đây chỉ có một màu do n = 1)

Với n = 2 ta có U 2 — 2ui — 1 + 1 Ta có bài toán với sáu điểm vàdùng hai màu (Giải như bài toán 2.1) Vậy kết luận bài toán đúng với

n = 2

2) Giả sử kết luận của bài toán đúng với n, tức là nếu tập M gồm

u n điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và dùng n màu để tôcác đoạn thẳng Khi đó tồn tại tam giác cùng màu

3) Xét với n + 1, tức là tập M gồm un+ 1 điểm bất kì (không có bađiểm nào thẳng hàng) và dùng n + 1 màu để tô các đoạn thẳng

Lấy A là một trong các điểm của tập M. Điểm này có thể nối với

un+ 1 — 1 điểm còn lại của tập M bằng un+ 1 — 1 đoạn thẳng bôi màu.Theo công thức xác định dãy ta có:

b) Các đoạn thẳng BịBj, 1 ^ ỉ < j ^ u n có màu khác với a. Xét u n

điểm Bi, B 2ĩ ■ B u . Rõ ràng không có ba điểm nào trong chúngthẳng hàng Chúng dùng tối đa (n + 1) — 1 = n màu để tô (do khôngdùng màu à). Theo giả thiết quy nạp tồn tại tam giác cùng màu

Vậy kết luận của bài toán cũng đúng với n + 1

Bài toán 2.15 Cho sáu điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì ba điểmnào cũng là đỉnh của một tam giác có các cạnh chiều dài khác nhau.Chứng minh rằng tồn tại một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất của tam giácvừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác

Chứng minh Ta kí hiệu Aị, Aq là tập hợp điểm đã cho Ta xét mộttam giác bất kì có đỉnh tại các điểm đó Vì độ dài các cạnh của cùngmột tam giác khác nhau nên ta sẽ sơn cạnh có độ dài nhỏ nhất màu

đỏ Hai cạnh còn lại ta sơn xanh Với cách làm như vậy tập hợp cácđoạn thẳng A n A m nối hai điểm bất kì A nì A m thuộc tập điểm đã cho cómàu đỏ hoặc xanh

Ta chứng minh tồn tại một tam giác có cả ba cạnh cùng màu đỏ.Thật vậy, ta xét các đoạn thẳng có chung đầu mút là Aị. Như vậy

có 5 đoạn thẳng, khi đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất bađoạn được tô cùng một màu

(H.2.12) Vậy tồn tại một tam giác có ba cạnh đỏ.

Nếu có ít nhất ba đoạn màu xanh cùng đầu mút là ^1^2) A 1 A 3 , AịAị

thì tam giác A 2 A 3 Ả 4 phải có ba cạnh màu đỏ (H.2.13)

Nếu tam giác A 2 A 3 A 4 có cạnh đỏ và giả sử A 2 A 3 là cạnh dài nhất của nó, thì nó cũng chính là cạnh nhỏ nhất của một tam giác khác Vậy bài toán đã được chứng minh

Bài toán 2.16 Dãy số tự nhiên Ui,ĩỈ 2 , được xác định theo công thứcsau:

^3

Ịt.1 =2

Trong mặt phẳng cho u n + 1 điểm khác nhau, trong đó không có bađiểm nào thẳng hàng Tất cả các khả năng đoạn thẳng tạo ra có haiđầu là những điểm này được tô bằng một trong n màu cho trước.Chứng minh rằng với mọi n = 1,2, tồn tại một tam giác có nhữngđỉnh trong những điểm đã cho, mà cạnh của nó được tô cùng mộtmàu

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Với n = 1, khẳng định hiển nhiên đúng

Giả sử mệnh đề đúng với n = k. Tức là nếu tập gồm Uỵ + 1 điểm,trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và dùng k màu để tô cácđoạn thẳng Khi đó tồn tại tam giác đồng màu

Ta đi chứng minh bài toán cũng đúng với n = k + 1 Bây giờ choWfc+1 + 1 điểm khác nhau thỏa mãn điều kiện bài toán và o là mộtđiểm trong đó Tất cả những đoạn thẳng nối o với mỗi điểm còn lại

Uỵ.|_1 là Mjfc+1 = (k + 1 )uỵ + 1 Những đoạn thẳng này được tô bởinhiều nhất k + 1 màu

Theo nguyên lí Dirichlet mở rộng suy ra những đoạn thẳng nối từ

o có ít nhất Uỵ + 1 +1 đoạn thẳng được tô cùng một màu Không giảmtổng quát giả sử đó là màu đỏ

Ta xét những điểm Aị, Ả 2 , A Uk+ i mà chúng nối với o thành nhữngđoạn thẳng màu đỏ Nếu trong chúng có hai điểm Aị và Aj nối vớinhau thành đoạn thẳng màu đỏ thì tam giác OAịAj là cùng màu Nếumọi cặp hai điểm trong Aị, A 2 , ■ A Uk+ i được nối thành đoạn thẳngđược tô màu khác màu đỏ, ta có Uk + 1 điểm, những đoạn thẳng nàyđược tô bằng k màu Theo giả thiết quy nạp ba điểm nào đó trongchúng là đỉnh của một tam giác cùng màu

Vậy với mọi 77, = 1,2, tồn tại một tam giác có những đỉnh trongnhững điểm đã cho, mà cạnh của nó được tô cùng một màu

Bài toán 2.17 Trong mặt phẳng cho hai điểm khác nhau o và A vớimỗi điểm X khác điểm o, kí hiệu a(x) là độ đo của góc giữa OA và ox

bằng radian theo ngược chiều kim đồng hồ từ OA (0 ^ a {X) < 27r) Kíhiệu (X) là hình tròn tâm o và bán kính

ox + -Ậ- — M ỗ i điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong một số

ŨX

hữu hạn màu Chứng minh rằng tồn tại điểm Y mà a(Y) > 0 sao chomàu của nó xuất hiện trên đường tròn của hình tròn C(Y).

C h ứ n g m i n h Giả sử mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một

trong n màu khác nhau Khi đó, trên tập con bất kì những điểm trongmặt phẳng sẽ có số màu k ^ n. Tồn tại tất cả:

có cùng số màu trong tập điểm Ta lại đặt tên cho chúng sao chonhững bán kính của chúng thỏa mãn 0 < r < s < 1

Ta xác định rằng tồn tại một điểm Y thuộc R sao cho hình tròn

Bài toán 2.18 Trên mặt phẳng cho 9 điểm được nối với nhau đôi mộtbởi các đoạn thẳng nối có màu xanh hoặc đỏ sao cho trong số ba điểmbất kì cũng tìm được hai điểm được nối với nhau bởi đoạn nối màu

đỏ Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho luôn tìm được bốnđiểm mà các đoạn thẳng nối chúng đều có màu đỏ

Chứng minh Gọi 9 điểm đã cho là A, B, c, D, E, F, G, H, I.

CD, CE, ED là màu đỏ Vậy B, c, D, E là bốn điểm cần tìm.

b) Mỗi điểm đều là đầu mút của nhiều nhất ba đoạn nối màu xanh.Trong trường hợp này, không thể tất cả 9 điểm đều là đầu mút củađúng ba đoạn nối màu xanh Giả sử ngược lại là 9 điểm là đầu mút

ID, IE, IF. Theo kết quả của bài toán 2.1 thì trong số 6 điểm A, B, ơ,

D, E, F phải có ít nhất ba điểm A, B, c sao cho các đoạn nối chúng cócùng màu, và từ giả thiết suy ra đó là màu đỏ

Vậy /, A, B, c là bốn điểm cần tìm

Bài toán 2.19 Người ta sơn đen một số cung của đường tròn với tổng

độ dài các cung đó bé hơn nửa vòng tròn Chứng minh rằng tồn tạimột đường kính có hai đầu không bị sơn đen

Chứng minh Ta sơn xanh tất cả các cung đối xứng với các cung đã bịsơn đen của đường tròn