I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀITừ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán.. Hệ thức còn
Trang 1I ) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ bài toán đơn giản không giải phương trình tính tổng và tích 2 nghiệm của phương trình bậc 2 , học sinh có phương tiện là hệ thức Vi – ét để tính toán Hệ thức còn giúp học sinh xét dấu 2 nghiệm của phương trình mà khong biết cụ thể mỗi nghiệm là bao nhiêu
Giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số là loại toán khó Tiếp tục bài toán này thường kèm theo yêu cầu tính giá trị biểu thức , quan hệ giữa 2 nghiệm , các phép tính trên 2 nghiệm của phương trình Việc tính mỗi nghiệm của phương trình theo công thức nghiệm là vô cùng khó khăn vì phương trình đang chứa tham số Trong trường hợp đó hệ thức Vi – ét là 1 phương tiện hiệu quả giúp học sinh giải loại toán này
Cuối học kỳ 2 lớp 9 , thời gian gấp rút cho ôn thi học kỳ 2 và các kỳ thi cuối cấp Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi – ét đa dạng có mặt trong nhiều kỳ thi quan trọng như thi học kỳ 2, thi tuyển sinh vào lớp 10 , thi vào các trường chuyên lớp chọn Trong bài viết này , tôi hy vọng đóng góp thêm 1 số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh làm quen và tiến tới giải tốt các bài cần áp dụng hệ thức Vi - ét
II ) NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A) KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có 2 nghiệm phân biệt
1, 2
x x thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S = 1 2
b
x x
a
+ = − và P = x x1 2 c
a
=
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có các nghiệm
số là x1 1,x2 c
a
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có các nghiệm số
là x1 1,x2 c
a
= − = −
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai : x2 − Sx P + = 0
B ) BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ BÀI TẬP PHÁT TRIỂN , NÂNG CAO
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) x2−13x+40 0=
b) 5x2 +7x+ =1 0
c) 3x2 +5x− =1 0
Giải
a) Theo hệ thức Vi – ét có S = x1 x2 b 13
a
+ = − =
Trang 2P = x x1 2 c 40
a
= =
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x1 và x2 cùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương
b) Theo hệ thức Vi – ét có P = 1 2
1
5
c
x x
a
= = > nên 2 nghiệm cùng dấu
S = 1 2
7 0 5
b
x x
a
− − + = = < nên 2 nghiệm cùng dấu âm c) P = 1 2
1
3
c
x x
a
−
= = < nên 2 nghiệm trái dấu
S = 1 2
5 0 3
b
x x
a
+ = − = − <
Bài tập 2 : Cho phương trình x2 − 10x m− 2 = 0 (1)
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của
m ≠ 0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m2< 0 với mọi m ≠ 0
Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi - ét : P = x x1, 2 = −m2 < 0 Do đó x1và x2 trái dấu
S = x1 + =x2 10 nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000) (3đ)
Cho phương trình x2 − ( m − 1) x m − 2 + − = m 2 0 (1) (với m là tham số) a) Giải phương trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu ∀ m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2 Tìm m để biểu thức
A
= ÷ + ÷
đạt giá trị lớn nhất
Giải :
a) Thay m = 2 vào phương trình ta được
1 4.( 4) 17 0
x − − =x
∆= − − = >
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
1 17 2
1 17 2
x x
+
=
−
=
ac = −m + − = −m m − + = −m m − m+ + = − m− +
Có
− ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ − ⇒ < ∀
Trang 3Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu ∀m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x1, x2
Từ kết quả phần b có x1, x2 ≠ 0 , biểu thức A được xác định với mọi x1, x2 tính
(x ) 0; (x ) 0
x > x <
Đặt 1 3
2
(x ) a
x =− Với a > 0 2 3
1
1 ( )x
x a
−
Có A = -a + 1
a
− mang giá trị âm
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
Có – A = a +
2
1 a 1
+
= Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và 1
a ( vì a > 0 và 1 0
a > )
Có
( ) : 2
1 ( ) : 2 1
1 2
a
a a
a
⇔ + ≥
Vậy – A ≥ 2 nên – A có giá trị nhỏ nhất là 2 <=> A ≤ 2 nên A có GTLN là - 2
2 2
2
1
1
2
1
a a
a
a
a
−
⇔− − =−
⇔ =
( thoả mãn điều kiện a > 0 )
( )x 1 x 1 x x
x = − ⇔ x = − ⇔ = −
• Theo kết quả x1 = − x2 có S x1 x2 x2 x2 0 b
a
= + = − + = =
1 0 1
m m m
⇔ − − =
⇔ − =
⇔ =
* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2
Trang 42) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phương trình : x2 −(m−1)x m− 2 + − =m 2 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để 2 2
1 2
x +x đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0
2
2
1 7
4 4
m
−
a, c trái dấu nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số
m
Theo hệ thức Vi ét P = x x1 2 c m2 m 2 0
a
= = − + − < do đó 2 nghiệm trái dấu b) Ta có
= m2 −2m+ +1 2m2−2m+ =4 3m2−4m+5
= − + ÷= − + +
3( 2)2 11 11
3 3 3
m
Vậy Min ( 2 2)
1 2
11 3
x +x = khi m =2
3
Bài tập 5:
Cho phương trình 2x2 −(m+2)x− +7 m2 =0
Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ − + 7 m2 < ⇔ − 0 7 < <m 7
Với điều kiện này giả sử x1< 0 ,x2 > 0 theo đề ra ta có
2
1 1 2
2
2
m
x
− +
Vì m > 0 nên ta chọn m = 5 ( thoả mãn điều kiện − 7 < <m 7)
Kết luận : Vậy với m = 5 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và
x + =x x x+ − x x
Trang 5nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia
Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 ) (2 đ)
Xét phương trình : x4−2(m2+ +2) 5m2+ =3 0 (1) với m là tham số
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
2) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là x x x x Hãy tính theo m giá1, , ,2 3 4 trị của biểu thức M = 2 2 2 2
x +x +x +x
Giải :
1) Đặt x2 = y ( ĐK : y≥ 0 ) Pt (1) trở thành
2 2( 2 2) 5 2 3 0
4 2
2 2 2
2 2
1
m
m − ≥ ⇒ m − + ≥ nên ∆ ≥, 0 Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi – ét có
2
2
1
b m
a
2
1. 2 c 5 3
a
Xét P = 5 m2 + 3 có m2 ≥ ⇔ 0 5 m2 ≥ ⇔ 0 5 m2 + ≥ 3 3
nên P > 0 với mọi m ∈ Z
1 , 2
y y
Xét S y1 y2 b 2(m2 2)
a
−
Vì m2 ≥ ⇔ 0 m2 + ≥ ⇔ 2 2 2( m2 + ≥ 2) 4
nên S > 0 ⇒ y y1, 2 cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y ≥ 0)
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phương trình
2
∆ = − + − +
Trang 6(1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một
2) Theo kết quả phần a có x x x x1, , ,2 3 4 ≠0
và x1 = y x1, 2 = − y1
x3 = y x2, 4 = − y2
( ) ( ) ( ) ( )
M
2 2
2 2
y y
y y
y y
y y
+
=
+
=
Thay kết quả S và P vào M ta được
M
Kết luận:
2 2
m M
m
+
=
+
Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 ) ( 2,5 đ) Cho phương trình x2 − 2( m + 1) x m + = 0 ( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Trong trường hợp m > 0 và x x1, 2 là các nghiệm của phương trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức
1 2
3( ) 6
A
x x
=
Giải:
2
2
2
2
1
2
m m
2
m
Trang 7Vì ( 1)2 0
2
m+ ≥ nên ( 1)2 3 3
m+ + ≥
∆ > ∀ ∈ ⇒ Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b)
1 2
3( ) 6
A
x x
=
Theo kết quả phần a phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
áp dụng hệ thức Vi – ét ta có
S = x1 x2 b 2m 2
a
−
P = x x1 2 c m
a
= =
Vì P = m > 0 nên x x2, 2 ≠0 biểu thức A được xác định với mọi giá trị x x1 , 2
1, 2
x x tính theo m
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
A
x x
=
=
2
1 2
(x x ) 2 x x 3(x x ) 6
x x
Thay S và P vào biểu thức A ta được :
2
2
(2 2) 2 3(2 2) 6
4 8 4 2 3(2 2) 6
A
m
m
=
=
1
4( )
m
m
( m ) : 2 m
0
m > ) 1
2 1 1
2 1
m m m m m m
⇔ + ≥
⇔ + ≥
Vậy biểu thức A có GTNN là 8
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra ⇔ m = 1
m
Trang 8
2 1 1
m m
⇔ = ± Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0
m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8
Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) (2 đ)
Xét phuương trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 +x22 −x x1 2 =4
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ
Giải
a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm 0
0
m≠
∆ ≥
Xét ∆ =(2m−1)2 −4 (m m−2)
4 4 1 4 8
4 1
1
0 4 1 0
4
m
−
∆ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥
Vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là m ≠ 0 và m 1
4
−
≥ Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có
1 2
1 2
S x x
a m
−
Gọi A x= 12+x22−x x1 2
2
2
( ) 2 ( ) 3
x x x x x x
x x x x
Áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK
0 1 4
m m
≠
≥ −
)
1 2 2 2
( m) 3m 4
2 2
2 2
1 4 4 3 6
4
1 4 4 3 6 4
3 2 1 0
3 2 1 0
⇔ − + + =
Trang 9Có a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m1 = 1 ( thoả mãn điều kiện m ≠ 0 và m 1
4
−
≥ )
m2 = 1
3
− ( không thoả mãn điều kiện m ≠ 0 và m 1
4
−
≥ ) Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x x1 , 2 thoả mãn
2 2
1 2 1 2 4
x + −x x x =
c) Gọi n ∈N* ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m ≠ 0 )
d) Theo kết quả phần a ta có
4m 1 4 (n n 1) 1 4n 4n 1 (2n 1)
0
∆ ≥ vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m
2n 1 2n 1
∆ = + = + ( do n > 0 )
2 1
1 2 1 2 ( 1) 2 1 1 2 2 2 1
2 2 2(1 ) 2(1 )(1 ) 1
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)
x
2 2
2
x
n n n n n
n n n n n
Vì n ∈N* nên 1- n ∈Z và n ∈N* => 1
1 n x
n
−
= là phân số ∈Q
tử n +2 ∈N* và n +1 ∈N* => 2
2 1
n x n
+
= − + là phân số ∈Q Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ
3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết
a) x + y = 11 và xy = 28
b) x – y = 5 và xy = 66
Giải :
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình x2 - 11x + 28 = 0
b ac
∆ = − = 121 – 112 = 9 > 0
3
∆ = Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
7;
x = + = x = −
= 4 Vậy x = 7 thì y = 4
Trang 10x = 4 thì y = 7
6 ( ) 66
có x , y là nghiệm của phương trình x2 - 5x - 66 = 0
b ac
∆ = − = 25 + 264 = 289 > 0 , ∆ = 17
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 1 5 17 2 5 17
x = + = x = − = − Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11
Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x2 + y2 = 25 và xy = 12
Giải :
Ta có x2 + y2 = 25 <=> (x + y )2 - 2xy = 25 <=> (x + y )2- 2.12 = 25
(x + y )2 = 49 <=> x +y = ± 7
* Trường hợp x + y = 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x2 - 7x +12 = 0
b ac
∆ = − = 49 – 4.12 = 1
7 1 7 1
x = + = x = − =
* Trường hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x2 +7x +12 = 0
Giải phương trình ta được x3 = -3 ; x4= - 4
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc tham số :
Bài tập 11 : Cho phương trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức
1 2 2 1
3x 3x 3
M
x x x x
+ −
=
+ b) Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ?
Giải
a)
2
x x x x
x x
M
x x x x x x x x
Theo hệ thức Vi ét có S = + =x1 x2 a P x x; = 1 2 = −a 1
Vậy 3 2 2( 1) 1 3 ([ 1)( 1) 2( 1)]
M
3( 1) 3( 1) 3( 1)
( 1) ( 1)
− − (ĐK : a≠0,a≠1) b) Ta có S = + =x1 x2 a (1)
P x x= 1 2 = −a 1 (2)
Trang 11Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có x1+ −x2 x x1 2 =1 , đây là biểu thức liên hệ giữa x1
và x2 không phụ thuộc vào a
C) CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 1 : Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ?
a) x2- 6x +8 = 0
b) 11 x2+13x -24 =0
c) 2 x2- 6x + 7 = 0
Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phương trình
a) 7 x2+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b) 12 x2+70x + k2+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu
c) x2- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1
Bài tập 3 : Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh
a) mx2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0
b) (m -1) x2 + 3m + 2m + 1 = 0
c) (1 – 2m) x2 + (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 4 : Cho phương trình x2- 2m + m - 4 = 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm thực dương
Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 ) (2,5 đ) Cho phương trình x2 - mx +1 = 0 ( m là tham số )
a) Giải phương trình trên khi m = 5
b) Với m = 5 , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x x1, 2
Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức
3x 5x x 3x A
x x x x
=
+
Hướng dẫn giải:
a) Với m = 5 phương trình trở thành x2-5x +1 = 0
∆ = 21 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 (5 21)
2
x = + ,
2
5 21 2
x = − b)Với m = 5 , ta có phương trình bậc hai : x2 − 5x+ = 1 0
Theo hệ thức Vi ét : S = + =x1 x2 5 và P x x= 1 2 =1
3x 5x x 3x
A
x x x x
=
+
Trang 12
2
2
3( ) ( ) 2
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
=
=
Thay S và P vào A ta được :
14
3
A=
Bài tập 6 :( đề thi học sinh giỏi lớp 9 thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 -2004)
(4đ)
Cho phương trình bậc 2 ẩn x : x2 −2(m−1)x+2m2 −3m+ =1 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0 ≤ ≤ m 1
b) Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình , chứng minh rằng
8 8
x + +x x x ≤
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình (1) có nghiệm <=> ∆ =, (m−1)2 −(2m2−3m+ ≥1) 0
⇔ m2− ≤ ⇔m 0 m m( − ≤ ⇔ ≥1) 0 m 0 hoặc m − ≤ 1 0
⇔ ≤ ≤ 0 m 1
c) Khi m ≥1 , theo hệ thức Vi ét có 1 2 2
1 2
S x x m
P x x m m
Q x x x x m m m m m
2 2 1 2 ( 1)2 9
m
4 16
m− − ≤
Q= − m− = − m−
m− ≥ ⇔ − m− ≤ ⇔ − m− ≤ ⇔ ≤Q
Bài tập 7 : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dương 2003 – 2004 ) (1đ) Cho phương trình : 2x2 −5x+ =1 0
Tính x1 x2 +x2 x1 (Với x1 , x2là 2 nghiệm của phương trình)
Hướng dẫn giải:
Theo định lý Vi ét ta có 1 2 1 2 1 2
;
x +x = x x = ⇒ x x =
Trang 13Ta có A=x1 x2 +x2 x1 = x x1 2 ( x1 + x2 )
S = x + x ⇒S = + +x x x x = + ⇒ =S +
Do đó A = x1 x2 +x2 x1
2
+
Bài tập 8 : (đề thi học sinh giỏi lớp 9 - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004) (4đ) a) Xác định m để phương trình 2 x2 + 2 mx m + 2 − = 2 0 có 2 nghiệm phân biệt b) Gọi 2 nghiệm là x1 , x2 , Tìm GTNN của biểu thức
A= 2x x1 2 + + −x1 x2 4
Hướng dẫn giải:
a) ∆ =, m2 −2(m2 − = −2) m2 +4
Phương trình có 2 nghiệm
2
2
0 0 4
m
m
m
⇔∆≥
b)Theo định lý Vi ét có
2
2
;
2
m
x +x = −m x x = −
Do đó ta có A= 2x x1 2+ + − =x1 x2 4 (m+2)(m−3)
Vì m∈ −[ 2; 2] nên (m + 2)(m - 3) ≤ 0
A= m+ −m = −m + + = −m m− + ≤
Vậy GTNN của A là 25
4 khi và chỉ khi m = 2
Bài tập 9 : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT năng khiếu Trần Phú) (2,5đ)
1) Chứng tỏ rằng phương trình x2 −4x+ =1 0có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 2
1
x và 2
2
x
2) Tìm mđể phương trình x2 −2mx+2m− =3 0 có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ?
Hướng dẫn giải:
1) ∆ = − >, 4 1 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2 1 2
( ) 2 4 2.1 14 ( ) 1
S x x x x x x
P x x x x
Vậy phương trình cần tìm là x2- 14x +1 = 0
2) Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu