18 2 Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản 25 2.1 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình cộng.
Trang 1Mục lục
Lời nói đầu 2
1 Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy 4 1.1 Tính ổn định của các phương trình hàm cộng tính 5
1.2 Tính ổn định của các phương trình hàm nhân tính 11
1.3 Tính ổn định của các hàm logarit 13
1.4 Tính ổn định của các hàm lũy thừa 18
2 Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản 25 2.1 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình cộng 25
2.2 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình nhân 27
2.3 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình điều hòa 29
2.4 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình cộng vào trung bình bậc hai 31
3 Tính ổn định của một số dạng phương trình hàm khác 33 3.1 Tính ổn định của phương trình sóng 33
3.2 Tính ổn định của phương trình đa thức 37
3.3 Tính ổn định của phương trình dạng toàn phương 40
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phương trình hàm là một trong những chủ đề lâu đời nhất củatoán học phân tích Nó được ra đời từ rất sớm và có mặt ở hầu hết mọi nơi
và có ứng dụng trong mọi lĩnh vực của đời sống và kỹ thuật Đã có rất nhiềunhà toán học lớn nghiên cứu lĩnh vực này như: Cauchy, D’Alembert, Banach,Gauss, và họ đã có rất nhiều đóng góp to lớn Trong một bài giảng nổitiếng của S.M.Ulam tại câu lạc bộ toán của trường đại học Wisconsin vàonăm 1940 đã đưa ra một số vấn đề chưa được giải quyết Một trong số cácvấn đề đó đã dẫn đến một hướng nghiên cứu mới mà ngày nay đã biết đến
đó là nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Thông thường kháiniệm ổn định trong toán học đã nghiên cứu thường có một điểm khá chung
là ta thường giải quyết bài toán: Khi nào điều này còn đúng nếu thay đổi
"một chút" giả thiết của định lý mà vẫn khẳng định được các kết quả củađịnh lý vẫn còn đúng hoặc "xấp xỉ" đúng.Như vậy câu hỏi đặt ra là tính ổnđịnh của phương trình hàm là gì, có điểm chung giống như trên không vànếu trong phương trình hàm tìm được nghiệm thì tính ổn định nghiệm củaphương trình hàm là gì? Để lý giải một phần các vấn đề trên và giới thiệuquá trình xây dựng các công thức, giải quyết các vấn đề tôi đã thực hiệnluận văn với đề tài "Tính ổn định của một số lớp phương trình hàm với cặpbiến tự do"
Bố cục luận văn gồm 3 chương
Chương 1 Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy.Mục đích của chương này là đưa ra các định nghĩa và điều kiện ổn định củaphương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính,phương trình hàm logarit và phương trình hàm lũy thừa cùng một số ví dụminh họa
Chương 2 Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếpcác đại lượng trung bình cơ bản
Chương này đưa ra các bài toán tìm nghiệm và xét tính ổn định nghiệm củacác phương trình chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản
Trang 3Chương 3 Tính ổn định của một số phương trình hàm dạng khácCác kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu thamkhảo [1]-[12].
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắccủa GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu.Thầy đã dành rất nhiều thời gian quý báucủa mình để hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc của tôi Qua đây tôi xingửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy cùng toàn thể ban lãnhđạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoahọc Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiếnthức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp Các thầy
cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thànhcác thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập Các thầy và các bạn trongseminar Toán Giải Tích về những góp ý để tôi có thể hoàn thành luận vănnày
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giáấy
Cuối cùng do bản thân kiến thức còn có nhiều hạn chế nên luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót.Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp củaquý thầy cô và các bạn
Hà Nội, tháng 12 năm 2014Nguyễn Thị Thanh Tâm
Trang 4Chương 1
Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy
Định nghĩa 1.1 Phương trình hàm là các phương trình mà hai vế củaphương trình là các biểu thức được xây dựng từ một số hữu hạn các hàmchưa biết và từ một số hữu hạn các biến độc lập
Thông thường một phương trình hàm tổng quát đã cho thường không kèmtheo các giả thiết có đặc trưng giải tích lên các hàm như tính đo được, tính
bị chặn, khả tích, khả vi, liên tục,
Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mànghiệm của nó là các hàm Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tínhchất hàm với đặc trưng hàm Sau đây là đặc trưng hàm của một số hàm sơcấp
i) Hàm bậc nhất f (x) = ax + b; a 6= 0; b 6= 0 có tính chất
fx + y2
= 12
Trang 5thì phương trình hàm Cauchy (*) được gọi là ổn định.
Định lý 1.1 Giả sử hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: Với mọi ε > 0
cho trước ta có
|f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ ε với ∀x, y ∈ R (1.1)
Trang 6Khi đó với mỗi x ∈ R, giới hạn sau tồn tại :
12
f (2x) − f (x)
≤ 12
Sử dụng phương pháp quy nạp ta được
|2−nf (2nx) − f (x)| ≤ (1 − 2−n)ε (1.3)Trong (1.3) thay x bởi 2x ta được
1
2f (2
2x) − f (2x)
≤ 1
1
2f (2
2x) − f (2x)
A(x) − 1
2nf (2nx)
≤ 1
2nε
Tiếp theo ta chứng minh A là hàm cộng tính
Thay x, y bởi 2nx và 2ny ta được
Cuối cùng ta cần chứng minh hàm A là duy nhất
Thật vậy giả sử tồn tại hàm cộng tính A1 : R →R Khi đó với mỗi x ∈ R
Trang 8Ví dụ 1.1 Tìm tất cả các hàm f, g, h : R → R thỏa mãn phương trình sau
f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R (1.4)Thay y = 0 vào ta được
f (x) = A(x) + α + β
Thay vào (1.5) được
A(x + y) + α + β = A(x) + α + β + A(y) + α + β − α − β,
hay
A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ R
Vậy A là một hàm cộng tính trên R nên
f (x) = A(x) + α + βg(x) = A(x) + βh(x) = A(x) + α
Nhận xét 1.1 Nếu bài toán có thêm giả thiết: hàm f, g, h liên tục thìnghiệm tìm được sẽ là
f (x) = ax + α + βg(x) = ax + βh(x) = ax + α
với a, α, β là các hằng số tùy ý
Tiếp theo ta xét tính ổn định của phương trình (1.5)
Trang 9Mệnh đề 1.1 Giả sử hàm f, g, h : R → R thỏa mãn điều kiện
|f (0) − g(0) − h(0)| ≤ ε (1.8)Thay y = 0 vào (1.6), ta được
Trang 10G(x) = g(x) − g(0), ∀x, y ∈ R (1.13)Thế vào (1.12) được
Trang 11Định nghĩa 1.3 Giả sử f :R →R thỏa mãn điều kiện: Với mọi ε > 0 chotrước, tồn tại số δ > 0 sao cho
|f (xy) − f (x)f (y)| < δ, ∀x, y ∈ R
Khi đó nếu tồn tại một hàm nhân tính M : R →R để
|f (x) − M (x)| < ε, ∀x ∈ R
thì phương trình hàm Cauchy (1.16) được gọi là ổn định
Định lý 1.2 Giả sử δ > 0, và f :R → C sao cho
|f (xy) − f (x)f (y)| ≤ δ x, y ∈ R (1.17)Khi đó
Trang 131.3 Tính ổn định của các hàm logarit
Trước hết ta nhắc lại hàm logarit (L)
f (xy) − f (x) − f (y) = 0, ∀x, y ∈ R+ (L)Giả sử hàm
f : R+ → R
thỏa mãn điều kiện (L) Khi đó f được gọi là hàm logarit
Định lý 1.3 Giả sử f : R+ → R, với ε > 0 cho trước thỏa mãn
|f (xy) − f (x) − f (y)| ≤ ε (1.20)với mọi x, y > 0 Khi đó tồn tại một hàm logarit L : R+ →R sao cho
|f (x) − L(x)| ≤ ε (1.21)với mọi x > 0
Để chứng minh định lý này, ta dựa trên bổ đề sau
Bổ đề 1.1 Cho ε, d > 0, k, s ∈ R, với k 6= 0 và s 6= 0 Giả sử rằng hàm
f :R+ → B thỏa mãn điều kiện
|f (xy) − f (x) − f (y)| ≤ ε (1.22)với mọi x, y > 0 và xkys ≥ d Khi đó tồn tại duy nhất hàm logarit L : R+ →
B thỏa mãn điều kiện
|f (x) − L(x)| ≤ 3ε (1.23)với mọi x ∈ R+
Chứng minh Từ tính đối xứng của bất đẳng thức, ta đã có s 6= 0
Với x, y ∈ R+, chọn z > 0 sao cho xkykzs ≥ d, xkyszs ≥ d, và ykzs ≥ d, khi
Trang 14Định lý 1.4 Giả sử ε, d > 0, k, s, p, q, P, Q ∈ R, k/p 6= s/q, pqP Q 6= 0, giả
sử rằng f : R+ → B thỏa mãn điều kiện
|f (xpyq) − P f (x) − Qf (y)| ≤ ε (1.24)với mọi x, y > 0 và xkys ≥ d Khi đó tồn tại duy nhất một hàm logarit
L : R+ → B sao cho
|f (x) − L(x) − f (1)| ≤ 4ε (1.25)với mọi x ∈ R+
Chứng minh Thay x bởi x
với mọi x, y > 0, với xkpysq ≥ d
Cho x, y ∈ R+, chọn z > 0 sao cho
Lần lượt thay x bởi xz−1, y bởi yz; x bởi xz−1, y bởi z; x bởi z−1, y bởi yz;
x bởi z−1, y bởi z trong (1.26) ta có
+
− f (x) + P f x1pz−1p
+ Qf z1q
...
f (x) = ax + α + βg(x) = ax + βh(x) = ax + α
với a, α, β số tùy ý
Tiếp theo ta xét tính ổn định phương trình (1.5)
Trang 91.3 Tính ổn định hàm logarit
Trước hết ta nhắc lại hàm logarit (L)
f (xy) − f (x) − f (y) = 0, ∀x, y ∈ R+ (L)Giả sử hàm
f : R+