Phân tích cartan trong đại số lie và cài đặt một số thuật toán lượng tử

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắtTrong luận văn này, chúng tôi dùng thống nhất sử dụng các kíhiệu và viết tắt sau: Ký hiệu U n: nhóm unita cấp n; SU n: nhóm unita cấp n có định thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẶNG ĐÌNH SƠN

PHÂN TÍCH CARTAN TRONG ĐẠI SỐ LIE

VÀ CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCGS.TSKH ĐỖ NGỌC DIỆP

Hà Nội - 2014

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới

GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp,Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt NamNgười thầy đáng kính, đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, dày công hướng dẫn

để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin - Cơ học,trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội nói chung và các thầy cô trong

bộ môn Đại số - Hình học - Tô Pô Các thầy cô đã truyền đạt cho chúng tôinhiều kiến thức khoa học mới bổ ích và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho chúngtôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, những người thân đã độngviên giúp đỡ trong suốt quá trình học tập thực hiện luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Đặng Đình Sơn

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

Mục lục 2

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1 - TỔNG QUAN 8

1 Tổng quan về thuật toán lượng tử 9

1.1 Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử 9

1.1.1 Thanh ghi lượng tử 9

1.1.2 Đo lượng tử 10

1.1.3 Cổng lượng tử 12

1.2 Thuật toán lượng tử .15

1.2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát 16

1.2.2 Mô hình dây 17

2 Một số kiến thức chuẩn bị 21

2.1 Giới thiệu về nhóm Lie và Đại số Lie của một nhóm Lie 21

2.2 Cấu trúc của su(N ) và so(N ) .27

2.2.1 Hệ nghiệm của nhóm Lie 27

2.2.2 Cấu trúc của su(N ) .29

2.2.3 Cấu trúc của so(2N ) .31

3 Kết luận .33

Chương 2 - PHÂN TÍCH CARTAN .34

1 Mở đầu .34

2 Phân tích Cartan chuẩn 37

2.1 Phân tích không gian nghiệm 37

2.2 Phân tích Cartan chuẩn 40

3 Phân tích su(N ) 42

4 Phân tích so(2N ) 46

5 Kết luận 50

Chương 3 - CÀI ĐẶT MỘT SỐ THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ 51

1 Phép biến đổi hoán vị 51

2 Cài đặt phép chuyển đổi dịch bít 53

3 Cài đặt phép biến đổi Fourier .57

4 Kết luận 58

KẾT LUẬN .59

TÀI LIỆU THAM KHẢO .60

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Trong luận văn này, chúng tôi dùng thống nhất sử dụng các kíhiệu và viết tắt sau:

Ký hiệu

U (n): nhóm unita cấp n;

SU (n): nhóm unita cấp n có định thức bằng đơn vị;

SO(n): nhóm trực giao cấp n có định thức bằng đơn vị;

u(n): đại số Lie của U (n);

su(n): đại số Lie của SU (n);

so(n): đại số Lie của SO(n) ;

P r(A): xác suất xảy ra biến cố A;

G và g : nhóm Lie và đại số Lie tương ứng;

T và t : xuyến tối đại chuẩn và đại số Lie tương ứng;

H :phép biến đổi Hadamard;

F : phép biến đổi Fourier lượng tử ;

Uf : hộp đen lượng giá hàm mẫu f;

Viết tắt

Qubit: Bit lượng tử

MỞ ĐẦU

Lí do chọn đề tài

Lí thuyết Lie ra đời như một tương tự liên tục cho lí thuyết nhóm Galois

Nó được ứng dụng trước hết vào lí thuyết phương trình vi phân Mỗi biểuthức bất biến dưới tác động của nhóm Lie cho một tích phân đầu của hệphương trình vi phân do vậy cho ta phép hạ bậc của hệ Nói một cách kháckhi hệ mô tả chuyển động cơ học hay vật lí thì tích phân đầu cho ta các địnhluật bảo toàn Tìm được càng nhiều định luật như vậy hệ càng dễ dàng đượcgiải triệt để Một ứng dụng khác của lí thuyết Lie là lí thuyết đối xứng trong

cơ học và vật lí Các hệ cơ học và vật lí có đối xứng đóng vai trò quan trọngtrong việc nghiên cứu các hệ cơ học và vật lí nói chung Mỗi hệ cơ học cónhóm đối xứng tương ứng với một đa tạp symplectic có đối xứng, như khônggian thuần nhất Mỗi hệ lượng tử có đối xứng, tương ứng với một biểu diễnunita của nhóm đối xứng đó Lí thuyết nhóm lượng tử ra đời như một ứngdụng của nhóm Lie

Năm 1982, Feynman đã khẳng định “một hệ cơ học lượng tử không thểđược mô hình bởi các hệ cổ điển, mà chỉ có thể được mô hình bởi một hệ cơhọc lượng tử khác” và lần đầu tiên đề xuất sử dụng hệ lượng tử thực hiện

việc tính toán, khai sinh ý tưởng sử dụng các hiệu ứng cơ học lượng tử đểlàm tính toán Khả năng lưu trữ theo cấp số nhân, kết hợp với một số hiệuứng như rối lượng tử (quantum entanglement), đã dẫn các nhà nghiên cứuthăm dò sâu hơn vào sức mạnh của máy tính lượng tử.

Tính toán lượng tử có khả năng có khả năng cách mạng hóa lĩnh vực khoahọc máy tính tuy nhiên, tính toán lượng tử vẫn đang ở trong giai đoạn phôithai, khả năng của nó có thể đạt bao xa vẫn còn một câu hỏi mở Có ba hoạtđộng đang cùng diễn ra trên ba ngành khoa học khác nhau Các nhà vật lýtìm cách chế tạo ra máy tính lượng tử; các nhà toán học xây dựng các môhình tính toán lượng tử; và các nhà tin học tìm kiếm các thuật toán lượng

tử và xây dựng ngôn ngữ mô phỏng tính toán lượng tử Trong lúc chờ đợicác nhà vật lý khắc phục được các rào cản công nghệ để xây dựng máy tínhlượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn phải được tiến hành Ở Việt Nam,

có thể xem việc nghiên cứu về tính toán lượng tử được khởi đầu vào năm

2004 với một số bài báo tổng quan trên Tạp chí Ứng dụng Toán học của ĐỗNgọc Diệp (2004), Cao Long Vân (2005, 2006); một số báo cáo hội thảo củacác thành viên nhóm Phan Trung Huy (2004, 2005, 2006); Luận văn Tiến sĩCông nghệ thông tin của Huỳnh Văn Đức (2012)

Như vậy, xây dựng thuật toán lượng tử là một lĩnh vực rất mới mẻ và cósức hút, cơ hội và tầm quan trọng

Mục đích nghiên cứu

Từ cấu trúc của một số đại số Lie đặc biệt các nhóm biến đổi unita, phântích Cartan của đại số Lie nửa đơn, hữu hạn chiều xây dựng một số thuậttoán phân tích các phép biến đổi Từ đó cài đặt một số thuật toán lượng tử

(Phần chính của một thuật toán lượng tử là các phép biến đổi unita).

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là các phép biến đổi unita Phạm vinghiên cứu của luận văn giới hạn trong hộp đen và phép biến đổi trực giao

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu thông qua các tài liệu, sách báo, internet Trình bày hệ thốnglại các kiến thức và tường minh các chứng minh Trao đổi các nghiên cứu vớigiáo viên hướng dẫn

Ý nghĩa khoa học

Áp dụng thành công công cụ lý thuyết nhóm cho thấy có thể sử dụng đượccác kết quả của toán học hiện đại trong xây dựng thuật toán lượng tử

Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 3 chương

- Chương 1 Tổng quan

- Chương 2 Phân tích Cartan

- Chương 3 Cài đặt một số thuật toán lượng tử

CHƯƠNG 1 - TỔNG QUAN

Có thể xem khác biệt cơ bản của máy tính lượng tử so với máy tính cổđiển nằm ở 2 điểm chính: qubit so với bit, và cổng lượng tử so với phép toánlogic Trong lúc bit chỉ lưu một giá trị 0 hoặc 1, thì qubit lưu đồng thời haigiá trị này ở dạng chồng chất trạng thái mà khi kết hợp lại thành một thanhghi, thanh ghi cổ điển vẫn chỉ lưu một giá trị còn thanh ghi lượng tử có khảnăng lưu tất cả các giá trị quan tâm, cũng dưới dạng chồng chất trạng thái.Ngoài ra trong lúc các phép toán logic nhận các bit đầu vào và trả kết quảcho bit đầu ra, thì các cổng lượng tử tác động lên qubit làm thay đổi chính

nó, nghĩa là xử lý đồng thời các giá trị nằm trong thạng thái chồng chất.Như vậy máy tính lượng tử ưu việt hơn máy tính cổ điển ở chỗ nó có khảnăng lưu trữ và xử lý đồng thời các giá trị quan tâm Một thuật toán lượng

tử bản chất là một phép biến đổi unita, cài đặt một thuật toán lượng tử làphân tích phân tích các phép biến đổi unita thành các cổng lượng tử (là cácphép biến đổi unita cho trước) Đại số Lie so(n) và su(n) là các đại số cácphép biến đổi tuyến tính đặc biệt có vai trò rất quan trọng trong việc cài đặtcác thuật toán lượng tử Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về

thuật toán lượng tử và một số kiến thức cơ bản về đại số Lie so(n) và su(n).

1 Tổng quan về thuật toán lượng tử

1.1 Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử

Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử bao gồm: thanh ghi lượng tử,

đo lượng tử, cổng lượng tử Trong mục này chúng tôi cũng giới thiệu một sốphép biến đổi unita quan trọng thường được dùng trong xây dựng các thuậttoán lượng tử

1.1.1 Thanh ghi lượng tử

Tại một thời điểm, trong lúc bit cổ điển nhận một trong hai giá trị 0 hoặc

1, thì bit lượng tử (được gọi là qubit) lại nhận đồng thời cả hai giá trị này.Dùng ký hiệu bra-ket (Paul Dirac, 1902-1984), một qubit là một hệ vật lýgồm các trạng thái

|bi = α0|0i + α1|1ivới α0, α1 là các số phức thỏa mãn |α0|2 + |α1|2 = 1 và {|0i , |1i} là một cơ

sở chính tắc của C2

Thanh ghi lượng tử lưu trữ đồng thời các giá trị tính toán hình thành mộtphân bố xác suất xác định Một thanh ghi n qubit là một hệ vật lý gồm cáctrạng thái

với phân bố xác suất bằng

n

|αk|2o2 −1

k=0 Hai trạng thái |ψ1i và |ψ2i được xem là một nếu |ψ1i = eiθ|ψ2i , θ ∈ R.Trạng thái |ki, k = 0, 1, , 2n− 1 được gọi là trạng thái thuần

Định nghĩa 1.1

Các trạng thái |ki,k = 1, 2, , 2n− 1, được gọi là các trạng thái tính toán

Ví dụ 1.1 Trạng thái chồng chất của một thanh ghi 2 qubit

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt (vi mô) được mô tả bởi hàmsóng, là một véc tơ đơn vị trong không gian Hilbert phức, được gọi là khônggian Hilbert liên kết với hạt Một đại lượng vật lý được mô tả bởi một toán

tử Hermite là toán tử tuyến tính tự liên hợp với các trị riêng là các giá trị đođược của đại lượng này Kết quả đo sẽ làm suy sụp hàm sóng, đưa trạng tháicủa hạt về trạng thái riêng là véc tơ riêng đơn vị ứng với trị riêng vừa được

đo Ký hiệu |ψi là trạng thái của hạt và |ai là véctơ riêng đơn vị ứng với trịriêng a, khi ấy xác suất đo được a là

pa = |ha| |ψi|

Xét đại lượng vật lý có hai giá trị, toán tử mô tả nó có 2 trị riêng ứng với 2véc tơ riêng được chọn làm cơ sở chính tắc của không gian Hilbert liên kếtbiểu diễn tất cả các trạng thái của hạt Hai véc tơ riêng này được ký hiệu

là |0i và |1i Để mã hóa dữ liệu cho tính toán lượng tử, chúng ta quy ướctrị riêng đo được ứng với chúng là 0 và 1 tương ứng Nhờ đó chúng ta khôngquan tâm đến hạt nào được chọn làm qubit và đại lượng nào được chọn để

đo Kết quả ta có mô hình toán học thuần túy

Xác suất đo được một trạng thái thuần được tính như sau Trước hết, nếu

đo trên tất cả các qubit của hệ, ở trạng thái (1.1), như đã đề cập ở trên, tacó

Pr(k = j) = pj = |αj|2 (1.2)Nếu hệ phân tích thành 2 thanh ghi m và n qubit thì (1.1) được viết lại:

kết quả đo trên thanh thứ nhất nhận được giá trị j:

1 Cổng Hadamard, ký hiệu là H

H |ki = √1

2(|0i + (−1)

2 Các cổng chuyển pha 1 và 2 qubit, ký hiệu là Pϕ

Pϕ|ki = eiϕk|ki

Pϕ|xi |yi = eiϕxy|xi |yi

(1.5)

3 Các cổng Pauli, ký hiệu là σx, σy, σz, trong đó σx còn được gọi là cổngXOR

Một số phép biến đổi quan trọng

Một số phép biến đổi unita đóng vai trò quan trọng trong tính toán lượngtử:

1 Phép biến đổi Hadamard, ký hiệu H⊗n , hoặc H (nếu không sợ nhầmlẫn)

xjyj, (xj) và (yj) là các biểu diễn nhị phân của x và y

2 Phép biến đổi Fourier, ký hiệu F

F |xi =

2 n −1

X

y=0

e2πi2n x.y|yi (1.11)

3 Phép biến đổi tách pha, ký hiệu Uϕ

5 Phép biến đổi lượng giá hàm, còn gọi là hộp đen, ký hiệu Uf

Uf|xi|yi = |xi|y + f (x)i (1.14)

Ở đây, phép biến đổi điều khiển đóng vai trò như cấu trúc rẽ nhánh trongtính toán cổ điển, còn hộp đen thường dùng để biểu diễn dữ liệu bài toán.Trong hầu hết tài liệu phép toán cộng ở (1.14) là phép XOR theo từng bit;

cũng có tài liệu coi đây là phép cộng mod 2m, với m là số qubit của thanhghi thứ 2.

1.2 Thuật toán lượng tử

Có thể xem sự khác biệt cơ bản giữa thuật toán lượng tử và thuật toán

cổ điển là ở cách quản lý và sử dụng biến để lưu trữ và xử lý dữ liệu Qua

đó lập trình viên cũng thay đổi cách tư duy lập trình của họ Trong thuậttoán cổ điển lập trình viên thoải mái sử dụng các biến mà khả năng lưu trữ

và xử lý dữ liệu của chúng được xác định qua các kiểu dữ liệu khác nhauđược xây dựng sẵn hoặc do họ tự định nghĩa lấy Với phép gán và các cấutrúc điều khiển tuần tự, lặp và rẽ nhánh, lập trình viên kiểm soát các biếncủa chương trình mang ít nhiều trực giác Ngược lại, trong thuật toán lượng

tử lập trình viên chỉ dùng duy nhất một biến, là kết hợp của nhiều qubit lưutrữ đồng thời các giá trị thuộc lĩnh vực bài toán cần giải, và xử lý nó bằngcách áp dụng các cổng lượng tử hoặc các phép biến đổi unita được chấp nhậnlên các qubit thích hợp Không có phép gán, chỉ có phép đo Biến được khởitạo, được xử lý bởi các phép biến đổi unita, và được đo để rút ra giá trị giúptìm lời giải của bài toán Cấu trúc rẽ nhánh cũng khác, dưới tác dụng củacác phép biến đổi được điều khiển, chỉ các giá trị của biến thuộc một khônggian con nào đó bị thay đổi Để xây dựng thành công một thuật toán lượng

tử, lập trình viên lúc này cần có kiến thức về toán học và vật lý học hiện đại.Như vậy thuật toán lượng tử chỉ ưu việt hơn thuật toán cổ điển khi nó đượchiện thực trên một máy tính lượng tử thật sự Trong mục này chúng tôi giớithiệu thuật toán lượng tử ở mức tổng quát, đơn giản nhất; giới thiệu mô hình

dây và minh họa một số thuật toán.

1.2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát

Trong tính toán lượng tử bài toán chính là tìm một phép biến đổi unitađưa hệ từ trạng thái |ψ0i về trạng thái |ψi , chứa nhiều thông tin cho phépgiải quyết một bài toán nào đó Sau đó, chúng ta sẽ thực hiện một phép đotrên trạng thái |ψi để có thông tin về lời giải Kết quả đo sẽ nhận được mộtgiá trị nguyên và để lại hệ với trạng thái tương ứng; giá trị thu được là ngẫunhiên với phân bố xác suất xác định theo công thức đã biết (1.3)

Ví dụ 1.3 Xét hệ 3-qubit với trạng thái ban đầu là một trạng thái tínhtoán |ψ0i = |011i Tác động phép biến đổi Hadamard lên 2 qubit đầu:

2(|1i − |3i + |5i − |7i)

Đo trên 2 qubit cuối thu được các giá trị 1 hoặc 3 với xác suất bằng nhau và

để lại trạng thái của hệ tương ứng như sau

Trạng thái sau đo √1

2 (|0i + |1i) |1i −1√

2 (|0i + |1i) |3i

Như vậy một thuật toán lượng tử sẽ gồm ba bước chính:

1 Chuẩn bị trạng thái đầu của thanh ghi |ψ0i

2 Thực hiện phép biến đổi unita |ψi = U (|ψ0i)

3 Đo trên thanh ghi (con) để nhận giá trị tính toán

Để có một thuật toán lượng tử cụ thể, phép biến đổi unita U sẽ phải đượctường minh bởi một dãy các cổng lượng tử; cũng cho phép dùng các phép đổiđược xây dựng trước, xem như các chương trình con.

1.2.2 Mô hình dây

Một mô hình trực quan, được giới thiệu bởi Deutsch, được gọi là mô hìnhdây, là một mô hình máy tính lượng tử đơn giản tương đương với mô hìnhmáy Turing lượng tử Trong mô hình này có nhiều dây đặt song song nhau,mỗi dây biểu diễn một thanh ghi, trên đó phép biến đổi unita tác động lênthanh ghi nào sẽ được gắn lên dây tương ứng Như vậy, bằng cách gắn tuần

tự các cổng lượng tử lên các dây, chúng ta xây dựng các phép biến đổi unitatác động trên nhiều qubit Số cổng dùng để xây dựng một phép biến đổi đượcgọi là độ phức tạp tính toán Cũng vậy muốn đo thanh ghi nào chúng ta gắnthiết bị đo lên dây tương ứng

Hình 1.2 Minh họa thuật toán lượng tử tổng quát (bằng mô hình dây).Sau đây là mô hình dây của một số cổng lượng tử

Hình 1.3 Cổng Hadamard

Hình 1.4 Các cổng chuyển pha 1 và 2 qubit.

Hình 1.5 Các cổng Pauli

Hình 1.6 Cổng CNOT

Cài đặt các thuật toán lượng tử

Một trong những bài toán chính của tính toán lượng tử là phân tích phépbiến đổi unita U ở trên thành các cổng lượng tử, trong đó phép biến đổi unitaứng với một cổng lượng tử được xây dựng nhờ vào tích tensor Trong luậnvăn này nghiên cứu về phân tích Cartan và ứng dụng cài đặt một số thuật

toán liên quan đến hộp đen.

Liên quan đến độ phức tạp của thuật toán ta có hai định nghĩa

Minh hoạ cài đặt một số thuật toán bằng mô hình dây

Hình 1.7: Thuật toán Deutsch – Jozsa

Hình 1.8 Phần chính của thuật toán tìm kiếm Grover

Hình 1.9 Thuật toán xấp xỉ pha

Không gian véctơ thực một chiều R là một đại số Lie với tích Lie tầmthường [a, b] = 0, không gian véctơ 3 chiều R3 là một đại số Lie với tích làtích véctơ trong R3 Không gian véctơ End(Rn) là một đại số Lie với tích Lie[f, g] = f og − gof Không gian véctơ sln(R) = {M atn(R); T rA = 0} là mộtđại số Lie với tích Lie [A, B] = AB − BA Không gian véctơ các ma trậnthực phản đối xứng, so(n) = {M atn(R); A + At = 0} là một đại số Lie vớitích Lie [A, B] = AB − BA Không gian véctơ u(n) = {M atn(C); A + A∗ =0} là một đại số Lie với tích Lie [A, B] = A∗B − B∗A Không gian véctơ

su(n) = {M atn(C); A + A∗ = 0; T r(A) = 0} là một đại số Lie

Định nghĩa 1.5

Nhóm Lie G là một đa tạp đồng thời là một nhóm mà các ánh xạ lấy tíchhai phần tử và ánh xạ lấy phần tử ngược là ánh xạ trơn

Tập R các số thực với phép cộng là một nhóm Lie (cộng tính).Tập R∗ tậpcác số thực khác 0 với phép nhân là một nhóm Lie (nhân tính) Đường trònđơn vị S1 = {z ∈ C; |z| = 1} với phép nhân hai số phức là một nhóm Lie.Tích Descartes của hai nhóm Lie là một nhóm Lie, do đó không gian véc

tơ Rn, nhóm xuyến xòe (R×+)n, và xuyến n chiều Tn là các nhóm Lie Nhómtuyến tính tổng quát GLn(K) = {A ∈ M atn(K); detA 6= 0} và nhóm tuyếntính đặc biệt SLn(K) = {A ∈ M atn(K); detA = 1} là các nhóm Lie (với K

là R,C)

Nhóm các ma trận trực giao, O(n) = {A ∈ M atn(R); AtIA = I} vànhóm các ma trận trực giao đặc biệt (có định thức bằng 1), SO(n) = {A ∈

M atn(R); AtIA = I; det(A) = 1} là các nhóm Lie

Nhóm các ma trận unita, U (n) = {A ∈ M atn(C); A∗A = AA∗ = I} vànhóm các ma trận unita đặc biệt (có định thức bằng 1), SU (n) = {A ∈

M atn(C); A∗A = AA∗ = I; det(A) = 1} là các nhóm Lie

Định nghĩa 1.6

Giả sử G là một nhóm Lie, phần tử đơn vị e Khi đó không gian tiếp xúc

TeG của G tại e với một tích Lie được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G vàđược kí hiệu là g = LieG

Đại số Lie của một số nhóm Lie

LieR ∼=

RLieS1 ∼= RLieGLn(K) = gln(K) ∼= M atn(K)LieSLn(K) = sln(K) ∼= {A ∈ M atn(K); T rA = 0}

LieO(n) ∼= LieSO(n) ∼= so(n)

LieU (n) ∼= u(n)LieSU (n) ∼= su(n)

Nhận xét:

u(n) ∼= u(1) ⊕ su(n) (1.15)Định nghĩa 1.7

Nhóm Lie H được gọi là nhóm Lie con của nhóm Lie G nếu H là nhóm concủa G và ánh xạ nhúng tự nhiên H vào G là ánh xạ chính quy

su(n) là một đại số Lie con của u(n)

Định nghĩa 1.8

Đại số Lie g gọi là nửa đơn nếu nó không chứa một ideal Abel nào khác(0)

su(n) là một đại số Lie nửa đơn

Quan hệ giữa g và G được cho bởi các ánh xạ:

Ánh xạ mũ: Theo định lí Ado: Mọi đại số Lie đều là đại số Lie (con) cácmatrận Do đó ánh xạ mũ được định nghĩa như sau (trong khuôn khổ luậnvăn này chúng ta chỉ chỉ xét các đại số Lie so(N ),u(N ),su(N ) đều là đại sốcác ma trận)

Biểu diễn liên hợp của g



 ta có: eitH =costI + isintH Suy ra

eπi2 H |0i |ψi = i |1i U |ψiTương tự với A ∈ SO(2N ), đặt H =

Mệnh đề 1.1

Nếu D2 = I thì eitD = costI + isintD (1.20)

Θ(exe−y) = Θ(ez) = eθz = e−gzTg−1

2.2.1 Hệ nghiệm của nhóm Lie

Trong luận văn này ta luôn đặt N = 2n với n là một số nguyên dương

Nghiệm của nhóm Lie cung cấp một phương pháp hiệu quả để nghiên cứucấu trúc nhóm Lie và đại số Lie Trong phần này ta chỉ xét nhóm Lie G là

U (N ) hoặc SU (N ) hoặc SO(2N ) Ký hiệu t là đại số Lie của một xuyến tốiđại T của G, hệ nghiệm của G là họ hữu hạn các ánh xạ tuyến tính xác địnhtrên t

Định nghĩa 1.10

Một ánh xạ tuyến tính khác không α : t →R được gọi là một nghiệm của

G nếu tồn tại một không gian con 2 chiều l của g , với cơ sở trực giao {e, f }thỏa mãn

[x, e] = α(x)f, [x, f ] = −α(x)e, ∀x ∈ t (1.25)Khi đó l còn được gọi là không gian nghiệm của G

Như vậy không gian nghiệm là không gian con bất biến dưới tác động phụhợp của các phần tử của xuyến T Số chiều của t được gọi là hạng của G,rank(G) = dim(t), và G có đúng m = 12(dim(G) − rank(G)) không giannghiệm Khi đó:

Tập các nghiệm sinh ra không gian đối ngẫu t∗ Đặt t∗

R là không gian sinhbởi tập các nghiệm trên trường thực, ta có:dimRt∗

R = dimCt∗ = dimCt (1.28)Nghiệm đối ngẫu (dual root) ứng với α là véctơ duy nhất α ∈b t thỏa mãn:

Với mỗi cặp số nguyên khác nhau (x, y) thuộc {0, 1, , N − 1}, đặt:

Hxy = i(|xi hx| − |yi hy|) ∈ t

Exy = |xi hy| − |yi hx|

Fxy = i(|xi hy| − |yi hx|)

(1.31)

Ta cóHx(x+1) x∈{0,1, ,N −2} là một cơ sở của t còn{Exy, Fxy}x<y là một cơ sở