Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã pháthiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậchai – căn bậc ba” còn yếu, kém trong đó c
Trang 1PHÁT HIỆN VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI.
I PHẦN MỞ ĐẦU.
1 Lí do chọn đề tài.
Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp một số năm học, tôi đã pháthiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán về “căn bậchai – căn bậc ba” còn yếu, kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sựhiểu kỹ về căn bậc hai – căn bậc ba và trong khi thực hiện các phép toán vềcăn bậc hai – căn bậc ba rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiệnsai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránhđược sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nómang tính đột phá và mang tính thời cuộc rất cao, giúp các em có một sự amhiểu vững trắc về lượng kiến thức căn bậc hai (đại diện cho căn bậc chẵn)căn bậc ba (đại diện cho căn bậc lẻ) tạo nền móng để tiếp tục nghiên cứu cácdạng toán cao hơn sau này
a Cơ sở ký luận
Theo tình thực tế của việc giải toán của HS cho thấy các em còn yếu,thường không nắm vững kiến thức cơ bản, hiểu một vấn đề chưa chắc, nắmbắt kiến thức còn chậm, thiếu căn cứ trong suy luận sử dụng ngôn ngữ và kíhiệu toán học chưa chính xác, thiếu thận trọng trong tính toán.Vì sao dẫn đếnđiều này ta có thể chia làm hai nguyên nhân:
- Nguyên nhân khách quan:
+ Số tiết luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình vẫn còn ít.+ Lượng kiến thức mới được phân bố cho một số tiết học còn quá tải.+ Phần nhiều bài tập cho về nhà không có sự dẫn dắt, giúp đỡ trực tiếp của GV
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Số lượng HS trên một lớp khá đông nên thời gian GV hướng dẫn chonhững HS thường gặp phải khó khăn còn hạn chế
+ Một số GV thường dùng tiết bài tập để chữa bài tập cho HS
+ Một số tiết dạy GV chưa phát huy được khả năng tư duy của HS.+ Một số GV có sử dụng phương pháp dạy học mà ở đó chưa phát huyhết đặt thù của bộ môn
+ Một bộ phận nhỏ HS chưa chăm chỉ, lơ là trong việc học,chưa tự giác
Trang 2Từ những nguyên nhân trên đã dẫn đến một số tồn tại sau: HS thườngmắc phải sai lầm khi giải các bài tập do không nắm vững kiến thức cơ bản,tiếp thu kiến thức chậm, học tập thụ động, giải bài tập cẫu thả, chép bài củacác HS khá giỏi để đối phó một cách máy móc làm ảnh hưởng đến kết quảhọc tập.
b Cơ sở thực tiễn.
1 Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của cácđồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướngdẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khivận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưalinh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì họcsinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải saihoặc không làm được bài
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản củamột số học sinh còn rất yếu
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phầnchương I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinhthường mắc phải, từ đó có phương án “phát hiện và khắc phục những sai lầmkhi giải toán về căn bậc hai”
2 Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích như sau:+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạyhọc tích cực rất dễ thực hiện
+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nóiriêng có thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ dễ dàng phântích để đưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học vàtrong sáng kiến này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến kháccó phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắcphải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thểgiúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải
Trang 3bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra… Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp
GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹnăng thực hành giải toán về căn bậc hai cho học sinh để từ đó khai thác hiệuquả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triểnkhả năng ngay trong con người học sinh
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinhnghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếptheo
3 Phương pháp tiến hành.
1 Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm
2 Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp
3 Đăng ký sáng kiến, làm đề cương
4 Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sángkiến Qua khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập
5 Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về cănbậc hai thành từng nhóm
6 Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó Vận dụngvào các ví dụ cụ thể
7 Tổng kết, rút ra bài học kinh nghiệm
Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán của các giáo viên có kinhnghiệm của trường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bảnthân đã rút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.Trong những năm học vừa qua chúng tôi đã quan tâm đến những vấn đềmà học sinh mắc phải Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua cácbài kiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sailầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập Sau đó tôi tổng hợp lại,phân loại thành hai nhóm cơ bản
Trong quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử dụngnhững phương pháp sau :
- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề màhọc sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó
Trang 4- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh 3 lớp 9 với tổng số 117 họcsinh để thống kê học lực của học sinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi họcmôn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán cóliên quan đến căn bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm).
- Nghiên cứu sản phẩm hoạt động của GV và HS để phát hiện trình độnhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nângcao chất lượng giáo dục
- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập,tiết trả bài kiểm tra … Tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng traođổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảnggiải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sailầm trong khi giải bài tập Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dungtrong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những yếu tố mới, những điều kiệnkhác để xem xét mức độ nhận thức và suy luận của học sinh
- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đangnghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm màhọc sinh thường mắc phải khi giải tốn Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trongcác giờ dạy tiếp theo
4 Cơ sở và thời gian tiến hành.
Những giờ giảng dạy trên lớp, qua bài kiểm tra đầu giờ, qua luyện tập,ôn tập GV cần lưu ý đến các bài toán về căn bậc hai, xem xét kĩ phần bàigiải của học sinh, gợi ý để học sinh tự tìm ra những sai sót (nếu có) trong bàigiải, từ đó giáo viên đặt ra các câu hỏi để học sinh trả lời và tự sửa chữaphần bài giải cho chính xác
Qua bài kiểm tra 15 phút thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong khi giảitoán tìm căn bậc hai của 120 học sinh lớp 9 năm học 2007-2008 là: 33/120
em chiếm 27,5%
Trong bài kiểm tra chương I - Đại số 9 năm học 2007-2008 của 120 học sinhthì số học sinh mắc sai lầm về giải toán có chứa căn bậc hai là 43/120 em chiếm35,8% (nghiên cứu tổng hợp qua giáo viên dạy toán 9 năm học 2007-2008)
Như vậy số lượng học sinh mắc sai lầm trong khi giải bài toán về căn bậc hailà tương đối cao, việc chỉ ra các sai lầm của học sinh để các em tránh đượckhi làm bài tập trong năm học 2008-2009 này là một công việc vô cùng quantrọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Tăng Bạt Hổ
Trang 5Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trênhai nhóm đối tượng cụ thể sau :
1 Giáo viên dạy toán 9 THCS
2 Học sinh lớp 9 THCS: bao gồm 3 lớp 9 với tổng số 117 học sinh.Thời gian nghiên cứu được chia làm 3 giai đoạn chính :
1 Giai đoạn 1 :
Bắt đầu từ ngày 05 tháng 9 năm 2007 đến ngày 30 tháng 10 năm 2007
2 Giai đoạn 2 :
Bắt đầu từ ngày 25 tháng 8 năm 2008 đến ngày 29 tháng 10 năm 2008
3 Giai đoạn 3 : Hoàn thành và đánh giá sáng kiến kinh nghiệm 15 tháng
11 năm 2008
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdương kí
hiệu là a và số âm kí hiệu là - a
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 = 0
- Căn bậc hai số học: 2
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a0, có
a 2 a; với a bất kỳ có a 2 |a|)
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Địnhlý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a 0, b 0, ta có : a < b
a
Trang 6* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu chobởi các công thức sau :
AB (với A, B là hai biểu thức mà A 0, B 0)
B
A B
A
(với A, B là hai biểu thức mà A 0, B > 0)
B A B
(với A, B là hai biểu thức mà B 0 )
AB B B
A 1
(với A, B là hai biểu thức màA B 0, B 0)
B
B A B
A
(với A, B là biểu thức và B > 0)
2
)(
B A
B A C B A
B A C B A
B PHÂN TÍCH NHỮNG ĐIỂM KHÓ VÀ MỚI TRONG KIẾNTHỨC VỀ CĂN BẬC HAI :
So với chương trình cũ thì chương I - Đại số 9 trong chương trình mớinày có những điểm mới và khó chủ yếu sau :
1 Điểm mới :
- Khái niệm số thực và căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếptục sử dụng qua một số bài tập ở lớp 8 Do đó, SGK này chỉ tập trung vàogiới thiệu căn bậc hai số học và phép khai phương
- Phép tính khai phương và căn bậc hai số học được giới thiệu gọn, liênhệ giữa thứ tự và phép khai phương được mô tả rõ hơn sách cũ ( nhưng vẫnchỉ là bổ sung phần đã nêu ở lớp 7)
- Các phép biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai trình bày nhẹ hơn(nhẹ căn cứ lý thuyết, nhẹ mức độ phức tạp của các bài tập)
- Cách trình bày phép tính khai phương và phép biến đổi biểu thức chứacăn thức bậc hai được phân biệt rạch ròi hơn ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và
Trang 7các chuyển ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khaiphương thể hiện điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng được SGK chú ý để
HS có thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n cóngay trong phần bài học mỗi bài
2 Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chươngvới số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở đểhình thành kỹ năng tính toán, biến đổi Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ởdạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiệnxác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khóhiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương,biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức )
C SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC KHI GIẢI TOÁN VỀCĂN BẬC HAI
1 Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a.
VD1: Giải bài tập 1 (sgk - 6)
Tìm căn bậc hai số học của 169 rồi suy ra căn bậc hai của chúng
+ Cách giải sai:
Ta có: 169 = 13
số 169 có 2 căn bậc hai được viết là 169 = 13 và 169 = -13 (!)
+ Cách giải đúng:
Căn bậc hai số học của 169 là: 169 = 13, còn căn bậc hai của 169 là:
169 = 13; - 169 = - 13
- Nguyên nhân:
Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của một số dương a và căn bậc hai số học của một số dương a, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này.
- Biện pháp khắc phục:
căn bậc hai số học của a, số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0; Số
và số âm kí hiệu là - a Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
âm Vì vậy không được viết :
Trang 8Số 169 có hai căn bậc hai là 169 = 13 và 169 = - 13.
VD2: Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là haisố đối nhau là 4 và - 4
VD3 : Tính 16
Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :
16 = 4 và - 4 có nghĩa là 16 = 4
Như vậy học sinh đã tính ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đốinhau là :
16 =4 và 16 = -4
- Nguyên nhân: do việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm
lẫn với nhau.
+ Cách giải đúng : 16 = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích
- Biện pháp khắc phục: GV chỉ ra sự khác nhau giữa việc tìm căn bậc
hai và CBHSH của một số không âm đó là.
Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a và số âm kí hiệu là - a Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0.
Với số a0 thì a 0, nghĩa là a không thể âm.
VD4: So sánh 4 và 15
+ Cách giải sai: 4 < 15 (vì 4 < 15).
+ Cách giải đúng là: 16 > 15 nên 16 > 15 Vậy 4 = 16 > 15
- Nguyên nhân: Học sinh sẽ không biết nên so sánh chúng theo hình
thức nào vì theo định nghĩa số 15 chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < 15 (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn 15 ).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Trang 9- Biện pháp khắc phục:
Ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học! Ta phải viết chúng ở dạng CBHSH rồi sau đó so sánh các số dưới dấu căn
-VD5: Tính 81
+ HS giải: 81 = 9 3
+ Cách giải đúng là: 81 = 9
- Nguyên nhân: Ở đây học sinh nhầm tưởng căn bậc hai có tính chất rút
gọn giống như phân số để đưa một phân số chưa tối giản trở thành một phân số tối giản.
- Biện pháp khắc phục: GV chỉ cho HS thấy được căn bậc hai không có
tính chất rút gọn như phân số Khắc sâu định nghĩa CBHSH cho HS:
22
(!)
VD2: Giải bài tập sau: Tính 6 2 11
+ Cách giải sai:
VD3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9 – trang 18).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x
+ Cách giải sai:
Trang 10Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng
tìm giá trị nhỏ nhất của A bằng cách dựa vào
4
02
+ Cách giải đúng:
x xác định khi x 0 Do đó: A x x 0 minA 0 x 0
- Nguyên nhân: Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý
điều kiện để A tồn tại.
HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai,chia hai căn bậc hai.
- Biện pháp khắc phục: Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS
điều kiện để một biểu thức có căn bậc hai, điều kiện để A xác định, điều
3 Sai lầm khi HS chưa hiểu đúng về định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số.
VD1: Rút gọn biểu thức sau: A = 2 a2 5a ( Với a < 0 )
+ Cách giải sai;
+ Cách giải đúng:
4(1 x) - 6 = 0 2 (1 x)2 6 1 x = 3
Trang 11Ta phải đi giải hai phương trình sau :
- Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này GV nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
, nếu 0 , nếu 0
a
4 Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: A2 A
- VD1: Bài tập 9d (sgk toán 9 - tập 1- trang 11)
3x = 12 hoặc 3x = -12 Vậy x = 4 hoặc x = -4
- VD2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)
Rút gọn biểu thức: (4 17) 2
+ Cách giải sai:
- VD3: Khi so sánh hai số a và b Một HS phát biểu như sau: “Bất kì
hai số nào cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
Ta lấy hai số a và b tùy ý Gỉa sử a > b
Trang 12Ta có :a2 2ab b 2 b2 2ab a 2 haya b 2 b a 2 (1)Lấy căn bậc hai hai vế ta được: 2 2
Do đó: a b b a
Từ đó : 2a 2b a b
Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau
HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi lấy căn bậc hai hai vế của đẳng thức (1)
phải được kết quả: a b b a chứ không thể có a - b = b- a.
- Nguyên nhân: HS chưa nắm vững hằng đẳng thức A2 A , giá trị
tuyệt đối của một số âm.
VD4: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
- Nguyên nhân : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x 1 = 15 và
x 2 =-17 nhưng chỉ có giá trị x 1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x 2 = -17 không đúng Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá rập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x
-1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
- Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp
cho học sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có A = | A|, có nghĩa là :2