ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG1/ Cho hình vuông ABCD.. M là một điểm bất kỳ trên đường tròn.. a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.. Trên đoạn AM và MB dựng
Trang 1ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG
1/ Cho hình vuông ABCD Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M ( M không trùng với D ) Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm cạnh BC
HƯỚNG DẪN B
O
DM là dây chung của hai đường tròn ⇒ AO ⊥ DI
⇒ OAD = CDI ; AD = CD ⇒ ∆ ADO = ∆ DCI ⇒ IC = OD = ½ BC
2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R M là một điểm bất kỳ trên đường tròn
a/Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
b/ Chứng minh MA MB MC MD < 6R2
HƯỚNG DẪN
a/ MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 ) – 2MA2 MC2 = AC4 – 2MH2 AC2 = 16R4 – 8R2.MH2
Chứng minh tương tự ta có : MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2
⇒ MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MH2 + MK2 ) = 32R4 – 8R2.R2
= 24R4
b/ Aùp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có :
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ≥ 2 ( MA4 + MB4)( MC4 + MD4)
Vì MA4 + MB4≥ 2 MA4 MB4 = 2 MA2 MB2
MC4 + MD4≥ 2 MC4 MD4 = 2 MC2 MD2
⇒ (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ≥ 2 MA2 MB2 MC2 MD2
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ≥ 4MA.MB.MC.MD
⇒ 4MA.MB.MC.MD ≤ 24R4
⇒ MA.MB.MC.MD ≤ 6R4 Dấu “=” xảy ra ⇔ MA = MB = MC = MD nhưng điều này không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R4
3/Cho hình vuông ABCD Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K Kẻ EF vuông góc với AB
Chứng minh EK = EF
HƯỚNG DẪN
C I
M
O
H K
M
Trang 2Nhận xét : EF ⊥ AB , EK ⊥ AK
⇒ cần chứng minh AE là phân giác của góc BAD
Đường tròn (D ) tiếp xúc với AB tại A ⇒ ADE = 2FAE (1)
ADE = KAF = FAE + EAK (2) Từ (1) và (2) ta có : FAE = EAK
3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a
a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định b/ Tìm vị trí của E , F sao cho diện tích ∆ CEF lớn nhất
H
F
a/ Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF
∆ DFC = ∆ DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA
= EB + FD = EB + BK
Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c)
Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau
CH không đổi , C cố định , CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định (
C , a )
b/ ∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 900 ; CF chung ; CH = CD = a ) ⇒ SHCF = SDCF Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE
⇒ SCEF = ½ SCDFEB ⇒ SCEF = ½ ( a2 – SAEF )
SAEF ≥ 0 ⇒ SCEF≤ ½ a2 Dấu “ = “ xảy ra ⇔ SAEF = 0 ⇔
E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất
5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N
a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai
b/Tìm quỹ tích của N khi M di chuyển trên AB
c/Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn nối tâm hai hình vuông
HƯỚNG DẪN
F E
E K
C D
.
Trang 3
a/ BD cắt AE tại H ∆ AHB có : HAB = HBA = 450 ⇒ HB ⊥ AH
Xét ∆ AEB ta có : EM ⊥ AB ; BH ⊥ AE ⇒ AD ⊥ BE tại N
Mà DNB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ DN ⊥ BE tại N
⇒ ba điểm A , D , N thẳng hàng
⇒ điều phải chứng minh
b/ Quĩ ttích của N là nửa đường tròn đường kính BD
c/ Quĩ tích của I là đường trung trực của đoạn thẳng PQ Khi M trùng với B thì I trùng với tâm của hình vuông AMEF
H
I Q