Biết tổng số điểm các bài kiểm tra đó là 100.. Bài 4: Cho tam giác đều ABC, đờng cao AH.. M là điểm bất kì trên đáy BC.. Gọi O là trung điểm của AM.. b Tứ giác OPHQ là hình gì?. Chứng mi
Trang 1UBNN thị x Uông bí ã Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp thị x ã Phòng GD&ĐT Uông Bí năm học 2007 - 2008.
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 29 / 01/ 2008
Bài 1:
a) Tìm số tự nhiên a sao cho a2 +8a+2007 là số chính phơng.
b) Cuối học kì, một học sinh có hơn 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10 Biết tổng số điểm các bài kiểm tra đó là 100 Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10?
Bài 2:
a) Cho x = 3 2 1 3 1
2 1
− −
− Tính giá trị của biểu thức P = x
3 + 3x + 2008.
b) Cho x 1−y2 +y 1−x2 =1 Chứng minh rằng: x2 +y2 =1
Bài 3:
a) Cho x, y là hai số dơng Chứng minh rằng: 1x+ y1 ≥ x+4y .
b) Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn: a+b+c=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
c b a
P= 1+1 +4.
Bài 4: Cho tam giác đều ABC, đờng cao AH M là điểm bất kì trên đáy BC P,
Q lần lợt là hình chiếu của M trên AB, AC Gọi O là trung điểm của AM.
a) Chứng minh 5 điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác OPHQ là hình gì? Chứng minh.
c) Tìm vị trí của M trên BC sao cho PQ có độ dài nhỏ nhất.
Hết
Trang 2hớng dẫn chấm thi hsg thị xã uông bí năm học 2007 -2008
môn toán
Bài
1.a
Biến đổi: a2 +8a+2007=(a+4)2 +1991=b2 (b∈N)
⇔ b a b a (1)
0,25
( + +4)
Từ (1), (2), (3)
( ) ( )
=
−
−
= + +
=
−
−
= + +
⇒
II 1 4
1991 4
I 11 4
181 4
a b
a b
a b
a b
0,25
Giải (I) đợc:
=
=
96
81
b
a
, Giải (II) đợc:
=
=
966
991
b
a
0,25 Vậy a1 =81; a2 =991 thì a2 +8a+2007 là số chính phơng 0,25 Bài
1.b
Gọi số bài kiểm tra đạt điểm 8, 9, 10 lần lợt là x, y, z
Ta có
( ) ( ) ( )
= + +
>
+ +
∈
3 100 10
9 8
2 11
1 ,
z y x
z y x
N z y x
Từ (2) và (3) ⇒100=8x+9y+10z>8x+8y+8z=8(x+y+z)
hayx+y+z<12,5 kết hợp với (1), (2) ⇒x+y+z=12⇒ x=12−y−z thay vào
4 y
2 z -2 2 y 4
<
=
⇒
=
y
0,5
Từ đó tính đợc x=9,y=2,z=1
Vậy học sinh đó đạt chín điểm 8, hai điểm 9 và một điểm 10 0,25 Bài
−
=
−
3
3
1 2
1
; 1
( )
=
−
=
2
1 1
x v u
v u
0,25
2006 2008
3
3 2 3 1 2
1 1 2
3
3
3 3 3 3
= +
+
⇒
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
=
⇒
x x
x x
v u uv v
u v u x
0,5
Bài
( ) 2 ( (1 )(1 ) ) 1
1 1
1 2 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
=
−
−
−
− +
⇔
=
−
− +
− +
−
⇔
=
− +
−
x y
xy xy y
x
x y xy x
y y x x
y y x
0,5
Lại có: (xy− (1−y2)(1−x2) )2 =x2y2 +(1−y2)(1−x2)−2xy (1−y2)(1−x2)
( )( ) (1 )(1 ) 1 0 2
2
1 1
2 1
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
= +
−
−
− +
−
−
=
−
−
− +
−
− +
=
x y
xy y
x y x
x y
xy y
x y x y
x
0,5
Trang 3Bài
y x xy
y x y x y
+
≥
+
⇔ +
≥
( − )2 ≥0
⇔ x y BĐT cuối cùng đúng Do đó:
y x y
4 1 1
1,0
Bài
3.b Theo câu a: x + y ≥ x+y
4 1 1
dấu bằng khi (x−y)2 =0⇔ x =y ta có
c b a c
b a c
b a c b a c b a
b a b
a b
a
= +
= + +
≥
+
= + +
≥ + +
⇒
= +
≥ +
khi bằng dấu 4
4 4 1 1 4 4 4 4 1 1
khi bằng dấu 4 1
0,5
Bài 4
a có ∠APM =1v, ∠AHM=1v ,∠AQM =1v=> P, H, Q thuộc đờng tròn đờng kính
AM Vậy 5 điểm A, P, H, M, Q cùng thuộc đờng tròn đờng kính AM 1,25
b xét đờng tròn đờng kính AM tâm O bán kính R có
OQ OP R HQ PH QAH
c Tính đợc PQ=R 3 vậy PQmin ⇔Rmin lại có 2R= AM≤ AH vậy PQmin khi và
O
Q P
A