Chuyên đề: phép chia hết và phép chia còn d... Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏPhơng pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số A hợp lý để đợc một biểu th
Trang 1Chuyên đề:
phép chia hết và phép chia còn d.
I) Lí thuyết về đồng d :
1) Định nghĩa:
Nếu hai số nguyên a và b khi chia cho c (c 0) mà có cùng số d) mà có cùng số d thì ta nói a đồng d với b theo môđun c; kí hiệu là a b (mod c)
Hệ thức có dạng: a b (mod c) gọi là một đồng d thức, a gọi là vế trái của đồng d thức, b gọi là vế phải còn c gọi là môđun
2) Một số tính chất:
a) Tính chất 1:
* a a (mod m);
* a b (mod m) b a (mod m);
* a b (mod m) và b c (mod m) thì a c(mod m);
b) Tính chất 2: Nếu a b (mod m) và c d (mod m) thì:
* a c b d (mod m);
* ac bd (mod m);
c) Tính chất 3:
3) Một số kiến thức liên quan:
Trong khi làm bài tập sử dụng đồng d thức, ta nên chú ý tới các tính chất hay dùng sau đây:
* Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có một và chỉ một số chia ) có một và chỉ một số chia
hết cho n;
* Lấy n + 1) có một và chỉ một số chia số nguyên bất kì (n 1) có một và chỉ một số chia ) đem chia cho n thì phải có
hai số khi chia cho n có cùng số d; (Theo nguyên lí Đirichlet);
II) Một số ví dụ minh hoạ sử dụng đồng d :
Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia
Phơng pháp: Muốn tìm số d trong phép chia số A cho m, ta phải
Ví dụ: Tìm số d trong phép chia số 1) có một và chỉ một số chia 99320) mà có cùng số d0) mà có cùng số d0) mà có cùng số d cho số 3 ?
Giải
Trang 2Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ
Phơng pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số
A hợp lý để đợc một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là f(A) sao cho A f(A) (mod m)
Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3 ?
Giải
(an 99 9 + an) + (an-1) có một và chỉ một số chia 99 9 + an-1) có một và chỉ một số chia ) + … là các số nguyên d + (a 1) có một và chỉ một số chia 9 + a1) có một và chỉ một số chia )+ a0) mà có cùng số d r (mod 3)
(an 99 9 + an-1) có một và chỉ một số chia 99 9 + … là các số nguyên d + a 1) có một và chỉ một số chia 9) + (an + an-1) có một và chỉ một số chia + … là các số nguyên d + a 1) có một và chỉ một số chia + a0) mà có cùng số d) r (mod 3)
Nhận xét: an 99 9 + an-1) có một và chỉ một số chia 99 9 + … là các số nguyên d + a 1) có một và chỉ một số chia 9 0) mà có cùng số d (mod 3)
Nên: (an + an-1) có một và chỉ một số chia + … là các số nguyên d + a 1) có một và chỉ một số chia + a0) mà có cùng số d) r (mod 3) (2)
Vậy: A = a a a a n n-1 1 0 an + an-1) có một và chỉ một số chia + … là các số nguyên d + a 1) có một và chỉ một số chia + a0) mà có cùng số d (mod 3)
các chữ số của A cho 3
Từ đó: A chia hết cho 3 tổng các chữ số của A chia hết cho 3
Dạng 3: chứng minh sự chia hết
Phơng pháp: Để chứng minh số A chia hết cho m, ta đi chứng minh
A 0) mà có cùng số d (mod m)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng số A = 22225555 + 55552222 chia hết cho 7 ?
Giải
Nhận xét: 2222 3 (mod 7) (1) có một và chỉ một số chia )
Từ (5) và (6) ta đợc: A 0) mà có cùng số d (mod 7)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 42n+1) có một và chỉ một số chia + 3n+2
luôn chia hết cho 1) có một và chỉ một số chia 3 ?
Giải
Trang 3Nhận xét 1: 42 = 1) có một và chỉ một số chia 6 3 (mod 1) có một và chỉ một số chia 3) (42)n 3n (mod 1) có một và chỉ một số chia 3)
Mà 4 4 (mod 1) có một và chỉ một số chia 3)
42n+1) có một và chỉ một số chia 4.3n (mod 1) có một và chỉ một số chia 3)
Nhận xét 2: 32 = 9 - 4 (mod 1) có một và chỉ một số chia 3) mà 3n 3n (mod 1) có một và chỉ một số chia 3)
Từ (1) có một và chỉ một số chia ) và (2), cộng vế với vế, ta đợc B 0) mà có cùng số d (mod 1) có một và chỉ một số chia 3)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1) có một và chỉ một số chia :
Giải
Nhận xét 1: Với n = 2 thì A = 1) có một và chỉ một số chia , B = 1) có một và chỉ một số chia , rõ ràng A chia hết cho B.
Với n > 2, ta biến đổi A nh sau:
Nhận xét 2: n 1) có một và chỉ một số chia (mod n – 1) có một và chỉ một số chia ) nk 1) có một và chỉ một số chia (mod n – 1) có một và chỉ một số chia ), kN
Dạng 4: tìm các chữ số tận cùng của một số lớn
Phơng pháp: Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số A = 23 4 ?
Giải
Vậy A chia cho 1) có một và chỉ một số chia 0) mà có cùng số d d 2 hay là A có chữ số tận cùng là 2
Ví dụ 2: Tìm sáu chữ số tận cùng của số B = 521) có một và chỉ một số chia ?
Giải
Trang 4 B 20) mµ cã cïng sè d31) cã mét vµ chØ mét sè chia 25 (mod 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 0) mµ cã cïng sè d6)
III) Bµi tËp rÌn kÜ n¨ng vËn dông:
D¹ng 1: T×m sè d trong mét phÐp chia
Bµi 1: T×m sè d trong phÐp chia sè A = 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 5325 – 1) cã mét vµ chØ mét sè chia khi chia cho 9 ? (§S: 4)
Bµi 2: Cho sè nguyªn n > 1) cã mét vµ chØ mét sè chia T×m d trong phÐp chia:
A = 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 9n n + 5n 2 + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 890) mµ cã cïng sè dn + 20) mµ cã cïng sè d0) mµ cã cïng sè d6 cho B = n 2 – 2n + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia ?
D¹ng 2: T×m dÊu hiÖu chia hÕt cho c¸c sè nhá
Bµi 3: T×m dÊu hiÖu chia hÕt cho c¸c sè tù nhiªn 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 0) mµ cã cïng sè d; 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 1) cã mét vµ chØ mét sè chia ?
Bµi 4: T×m dÊu hiÖu chia hÕt cho 21) cã mét vµ chØ mét sè chia cña mét sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè ?
§S: a – 2b + 4c chia hÕt cho 21.
D¹ng 3: chøng minh sù chia hÕt
Bµi 5: Cho n lµ mét sè tù nhiªn Chøng minh r»ng:
3 n + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 0) mµ cã cïng sè d 3 n+4 + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 0) mµ cã cïng sè d ?
Bµi 6: Cho n lµ mét sè nguyªn d¬ng Chøng minh r»ng:
a) A = 2 4n – 1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 5;
b) B = 2 5n – 1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 31) cã mét vµ chØ mét sè chia ; c) C = 2 + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 641) cã mét vµ chØ mét sè chia ; 2 5 d) D = 6 2n + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 9 n – 2 n+1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 7;
e) E = 7.5 2n + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 2.6 n chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 9;
f) F = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 59.
Bµi 7: Chøng minh r»ng: Víi mäi sè tù nhiªn n > 0) mµ cã cïng sè d, ta lu«n cã:
5 2n-1) cã mét vµ chØ mét sè chia 2 n+1) cã mét vµ chØ mét sè chia + 3 n+1) cã mét vµ chØ mét sè chia 2 2n-1) cã mét vµ chØ mét sè chia chia hÕt cho 38 ?
Bµi 8: Chøng minh r»ng: a) A = 220 119 69 + 119 69 220 + 69 220 119 chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 0) mµ cã cïng sè d2 ?
b) B = 1890 1930 + 1945 1975 + 1 chia hÕt cho 7 ?
Bµi 9: Cho n lµ sè tù nhiªn Chøng minh r»ng:
Sè M = 21) cã mét vµ chØ mét sè chia 2n+1) cã mét vµ chØ mét sè chia + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 7 2n+1) cã mét vµ chØ mét sè chia + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 5 kh«ng chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 9 ?
Bµi 10: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n > 1) cã mét vµ chØ mét sè chia ta lu«n cã:
A = n n + 5n 2 – 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 1) cã mét vµ chØ mét sè chia n + 5 chia hÕt cho (n – 1) cã mét vµ chØ mét sè chia ) 2 ?
Bµi 11: Cho a; b lµ c¸c sè nguyªn Chøng minh r»ng:
2a + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 1) cã mét vµ chØ mét sè chia b chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 9 5a + 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 8b chia hÕt cho 1) cã mét vµ chØ mét sè chia 9 ?
D¹ng 4: t×m ch÷ sè tËn cïng cña mét sè lín
Bµi 12: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè: A = 9 9 9 ? (§S: 1) cã mét vµ chØ mét sè chia )
Bµi 13: T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè: B = 14 14 14 ? (§S: 6)
Bµi 14: T×m 4 ch÷ sè cuèi cïng cña sè C = 1976 1976 - 1974 1974 1976 1975 + 1974 1973 ?
(§S: 0) mµ cã cïng sè d0) mµ cã cïng sè d0) mµ cã cïng sè d0) mµ cã cïng sè d)