b Chứng minh rằng đa thức trên chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n.. Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15o và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N.. 4 điểm Giả sử
Trang 1PGD KRÔNG PẮC
TRƯỜNG THCS NGUYỄN VIẾT XUÂN
ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2007 – 2008
Môn : Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1 (4 điểm)
Cho
x x x
x x x x x x
x x x A
4
4 4
4
2
2 2
2
− +
−
−
−
−
−
− +
=
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm x để A< 5
Câu 2 (3 điểm)
Cho đa thức f(n) = n5 – 5n3 + 4n với n nguyên dương
a) Phân tích đa thức f(n) thành nhân tử
b) Chứng minh rằng đa thức trên chia hết cho 120 với mọi giá trị nguyên dương của n
Câu 3 (3 điểm)
Giải phương trình sau : 7−x+ x+1=x2 −6x+13
Câu 4 (2 điểm)
a ca
c a c bc
b c b ab
a
+
− + +
− + +
−
2
3 3 2
3 3 2
3 3
3
5 3
5 3
5
Câu 5 (4 điểm )
hình thoi ABCD có ∠A=1200 Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15o và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N
3
4 1
1
AB AN
Câu 6 (4 điểm)
Giả sử tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD Chứng minh rằng nếu AD // CB thì đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB
Trang 2ĐÁP ÁN
1
a
Điều kiện để biểu thức A có nghĩ là :
≠
− +
≠
−
−
≥
−
≠
0 4
0 4
0 4 0
2 2 2
x x x
x x x
x x x
≥
<
⇔
4
0
x x
0,5
0,5
b
x x x
x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x A
4 4
4 4
4
2 4 2
4 4
4 4
2 2
2
2 2
2 2 2
2
−
=
−
=
−
=
− +
−
−
−
−
−
− +
0,5
0,5
2 2
2
<
<
−
⇔
<
−
−
⇔
<
−
⇔
<
−
⇔
<
x
x x x
x x
x A
Kết hợp với điều kiện của bài toán ta có : -1 < x < 0 hoặc 4 ≤ x < 5
0,5 0,5 0,5
4,0
2
a
f(n) = n(n4 – 5n2 + 4)
= n(n2 – 1)(n2 – 4)
= n(n – 1)(n + 1)(n -2)(n + 2)
0,5 0,5 0,5
b
f(n) là tích của 5 số nguyên liên tiếp Trong 5 số chắc chắn có một số chia
hết cho 3 và một số chia hết cho 5
Trong 5 số đó có ít nhất hai số chẵn liên tiếp, một số chia hết cho 2 còn số
kia chia hết cho 4 nên tích của hai số này chia hết cho 8
Vậy f(n) chia hết cho 3.5.8 = 120 vì 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau
0,5 0,5
0,5
3,0
3
13 6 1
7−x+ x+ = x2 − x+ (1)
Tập xác định : −1≤x≤7
Ta có : (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) với mọi a, b
( 7− + +1)2 ≤2(7− + +1)=16⇒ 7− + +1≤4
Mặt khác x2 – 6x + 13 = (x – 3)2 + 4 ≥ 4
Vậy phương trình (1) tương đương với
4 13 6 1
7−x+ x+ = x2 − x+ = ⇔ x− 2 = ⇔x =
Vì 3 ∈ [-1; 7] nên x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
3,0
4 Vì a, b dương nên ta luôn có : (a + b)(a – b)2 ≥ 0
a b b ab
a b
a b b ab a
b
ab b a b a b ab
b a b a
−
≤ +
−
⇔
− +
≤
−
⇔
−
−
≤
−
⇔
≥
−
− +
⇔
2 3 5
) 2 )(
3 ( 5
6 5
0
2
3 3
2 3
3
2 2
3 3 3 2
2 3
0,5 0,5
Trang 3Tương tự ta được c b
c bc
b
+
3
5
2
3 3
3
5
3
3 3
≤ +
−
a ca
c a
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta được điều phải chứng minh
0,5 0,5
2,0
H
M
B A
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE = 15o suy ra góc NAE = 90o
AM AE g
c g BAM
∆
Xét tam giác EAN vuông tại A đường cao AH ta có :
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
AH AN
AM AH
AN
Xét tam giác đều ADC, đường cao AH, ta có :
2 2
2
4
3 4
3
AB AD
AH = = (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 2 2 2
3
4 1
1
AB AN
0,5
0,75 0,5
0,75
0,75
0,75
4,0
6
H M
K
C
B
A
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Kẻ NH, MK lần lượt vông
góc với AB, CD
Nếu AB // CD thì ABCD là hình thang có MN là đường trung bình ,
MN // AB // CD
Suy ra : SMAD = SNAD ; SMBC = SNBC
Suy ra : SNAB = SABCD – SNAD – SNBC = SABCD – SMAD – SMBC = SMCD
MK CD NH
2
1
2
1
=
⇒
Mặt khác đường tròn đường kính AB tiếp xúc với CD nên
NC ND CD NH
AB MK
MB
2
1 2
1
Suy ra H thuộc đường tròn đường kính CD
Ta lại có NH vuông góc với AB nên AB tiếp xúc với đường tròn đường
kính CD
0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5
0,5 0,5
4,0
Trang 4PGD KRÔNG PẮC
TRƯỜNG THCS NGUYỄN VIẾT XUÂN ĐỀ THI HỌC KÌ I - NĂM HỌC 2007 – 2008Môn : Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài 90 phút
I/ Trắc nghiệm khách quan :
Trong các câu có các sự lựa chọn A, B, C, D chỉ khoanh tròn vào một chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.
Câu 1 : Biểu thức (x−2)2 bằng :
Câu 2 : Các cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 3x – 2y = 5 ?
Câu 3 : Cho ba đường thẳng d y x d y x;d :y 2 2x
2
1 2 :
; 2
1 = − =− − =− + Gọi α1,α2,α3 lần lượt là góc giữa ba đường thẳng d1, d2, d3 với trục Ox Khi đó ta có :
A α1 > α2 B α1 > α3 C α3 > α2 D α2 > α3
Câu 4 : Cho tam giác vuông như hình 2 Kết quả nào sau đây là đúng ?
A x = 4 và y = 16
B x = 4 và y = 2 5
C x = 2 và y = 8
D x = 2 và y = 2 2
Câu 5 : tg82016’ bằng :
A tg7044’ B cotg7044’ C tang8044’ D cotg8044’
Câu 6: Cho một đường thẳng m và một điểm O cách m một khoảng bằng 4cm Vẽ đường tròn tâm
O có đường khính 8cm Đường thẳng m :
A Không cắt đường tròn (O) B Tiếp xúc với đường tròn (O)
C Cắt đường tròn (O) tại hai điểm D Không tiếp xúc với đường tròn (O)
II/ Tự luận :
Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức :
−
+
−
−
+
−
=
1
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a P
1/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức P 2/ Rút gọn biểu thức P
Bài 2 (1,5 điểm) Cho hàm số 4
3
4 −
−
y
1/ Vẽ đồ thị hàm số trên
2/ Gọi A, B là giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ Tính diện tích tam giác OAB ( với O là gốc tọa độ )
Bài 3 (3,5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 5cm, AB = 2AC.
1/ Tính AC
2/ Từ A hạ đường cao AH, trên tia AH lấy một điểm I Sao cho AI =
3
1
AH Từ C kẻ đường thẳng Cx song song với AH Gọi giao điểm của BI với Cx là D tính diện tích tứ giác AHCD
3/ Vẽ hai đường tròn (B; AB) và (C; AC) Gọi giao điểm khác A của hai đường tròn là E Chứng minh rằng CE là tiếp tuyến của đường tròn (B)
Hình 2
y
x 1
2
Trang 5ĐÁP ÁN
I/ Trắc nghiệm khách quan :
( Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm )
Câu 1 : D Câu 2 : A Câu 3 : D Câu 4 : B Câu 5 : B Câu 6 : B II/ Tự luận :
1
1
Điều kiện xác định của P là :
≠
≠
>
⇔
≠
−
≠
−
>
4 1 0
0 2
0 1 0
a a a a
a a
Vậy biểu thức P xác định khi a>0;a≠1;a≠4
0,5
0,5
2
a
a a
a a
a
a a
a a
a a
a a
a a P
3
2 3
) 1 )(
2 ( ) 1 ( 1
) 1 )(
2 (
) 2 )(
2 ( ) 1 )(
1 ( : ) 1 (
1
−
=
−
−
−
=
−
−
− +
−
− +
−
+
−
0,5
2,0
2
Điểm cát trục tung (0; -4) Điểm cắt trục hoành ( -4; 0)
Vẽ đò thị :
0,5
0,5
2
) ( 8 2
4 4 2
dvdt
OB OA
S OAB
=
−
−
=
2,0 3
Vẽ hình
Viết giả thiết, kết luận 0,5
1 Theo định lí Pitago trong tam giác vuông ABC ta có :
AC2 = BC2 – AB2 = BC2 – 4AC2 ⇒5AC2 = 25 ⇒ AC2 = 5
E
x D I
B
A
Trang 6Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABC ta có :
AH.BC = AB.AC ⇒ AH = (AB.AC) : BC = (2 5 5 ) : 5 = 2cm
⇒ IH = AH cm
3
4 3
HC = CA2 : BC = 5 : 5 = 1cm
Ta có HI // CD ( cùng vuông góc với BC ) Áp dụng định lí Talét trong tam
giác BCD ta được : HI:DC = HB: BC ⇒ CD = (BC.HI):HB
3
5 4 : 3
4
=
Diện tích hình thang vuông AHCD là :
2
3 2 3
5 3 4
HC CD HI
0,5
0,5
0,5
3
Chứng minh hai tam giác ABC và EBC bằng nhau ( c-c-c )
⇒ góc BEC = góc BAC = 1v ⇒ BE vuông góc với EC tai E
Mà E thuộc đường tròn (B; AB )
Vậy CE là tiếp tuyến của đường tròn (B)
0,5
0,5
3,5