Bài 8: Cho biểu thức... c Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó... DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT... b Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m... b Gọi x1,x
Trang 1DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức
P =
a) Rút gọn P
b) Tìm Min P
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị biểu thức : P =
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
P =
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
b) Chứng minh P ≤
Bài 5: Cho biểu thức
P =
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên
Bài 6: Cho biểu thức
P =
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên
Bài 7: Cho biểu thức
P =
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0
Bài 8: Cho biểu thức
Trang 2P =
a) Rút gọn P
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( - 3)P > x + 1
Bài 9: Cho biểu thức
P =
a) Tìm x, y để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
Bài 10: Cho biểu thức
P =
a) Tìm x để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
Bài 11: Rút gọn P.
P =
Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
P =
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c) Tìm GTLN của P
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 15: Cho biểu thức
P =
Trang 3Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1
Bài 16: Cho biểu thức
P =
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN của P
Bài 17: Cho biểu thức
P =
a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =
b) B =
c) C =
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P =
Với ≤ x ≤ 5
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
là một số nguyên
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
Bài 23: Cho x =
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
Bài 24: Cho E =
Tính giá trị của E biết:
Trang 4x =
y =
Bài 25: Tính P =
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x =
y =
Bài 28: Cho biểu thức A =
a) Rút gọn A
Bài 29: Cho biểu thức
A = a) x = ? thì A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 30: Cho biểu thức
P = a) Rút gọn P
b) So sánh P với
Bài 31: Cho biểu thức
P = a) Rút gọn P
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1
Bài 32: Cho biểu thức
P = a) Rút gọn P
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên
Bài 33: Cho biểu thức
P = a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Trang 5Bài 34: Cho biểu thức
P = a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 35: Cho biểu thức
P = a) Rút gọn P
b) Cho xy = 16 Tìm Min P
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy
Tính giá trị biểu thức E =
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
Trang 6M = Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:
P = Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1
Tính giá trị của biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức:
P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007
Bài 9: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức
P =
a) bx2 = ay2;
b)
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
Bài 12: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau Tính giá trị của biểu thức:
P =
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng:
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh :
Trang 7Bài 18: Cho và
Tính giá trị biểu thức A =
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
Tính giá trị của P =
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh rằng biểu thức
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2
Tính giá trị biểu thức: A =
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy
Tính giá trị của phân thức A =
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008
Tính giá trị biểu thức:
P =
Tính giá trị của biểu thức: P = x2007+ y2007+ z2007
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác Tính giá trị của biểu thức:
P = Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
Trang 8b) Tính giá trị biểu thức: Q =
Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0 (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2
a) So sánh a và b + c
b) So sánh a3 và b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0 Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: - =
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
Trang 9b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m
Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:
S = Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 x + 1 = 0 Có hai nghiệm là x1,x2 Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6
3 Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 10
Trang 103) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương
CMR: a2 + b2 là một hợp số
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: a) (x + )4 + (x + 1)4 = 33 + 12
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 Bài 10:
Bài 11:
b) c) Bài 15: a) x2 +
Trang 11b) x2 +
b) c) x
Bài 18:
Bài 19:
Bài 20:
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 Bài 27:
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5
( Đề thi HSG 1998) Bài 29:
Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0
c) Bài 35:
a) Giải phương trình khi m = 5
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Trang 12Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm
Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0
Bài 40: x2 + 9x+ 20 = 2
Bài 41: x2 + 3x+ 1 = (x + 3)
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
(ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0 Cm:
Bài 4) CM bất đẳng thức:
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2 Cmr: a + b 2
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5
CMR: 2a2 + 3b2 5
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1
CM: a2 + 4b2 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003)
Bài 12) Chứng minh:
b)
Bài 13) Cho a, b, c > 0 Cm:
CMR: S không là số tự nhiên
Trang 13b) Tam giác ABC có chu vi
Cm:
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có:
b) Cho a > 1, b > 1 Tìm GTNN của:
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005)
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b 10 Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1 Ta có BĐT:
Bài 24) CMR nếu:
Bài 25) Cho biểu thức
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
< 2
Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1
Chứng minh rằng:
(Đề thi HSG V2 2003 - 2004) Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:
( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)
DẠNG 6: CỰC TRỊ
Trang 14Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1 Tìm GTNN của P =
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y =
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
Bài 8) Tìm GTLN của A = x +
Bài 10) Tìm GTLN của P =
Bài 11) Cho M =
a) Tìm điều kiện của a để M được xác định
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
Tìm GTNN của P = x.y.z
Bài 13) Tìm GTNN của P =
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = x + 2y
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3
Tìm GTNN của E = x2 + 2y2
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y 1 Tìm GTNN của biểu thức
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y 1 Tìm GTNN của biểu thức
A =
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức P =
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) +
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức P =
Trang 15Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4.
Tìm GTNN của biểu thức P =
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1 Tìm GTNN của biểu thức:
E = Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1 Tìm GTNN của:
P = a3 + b3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1
Tìm GTNN của P =
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2 Tìm GTNN của P =
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1 Tìm GTNN của
P = 8(x4 + y4) +
Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =