P opBình luận và một số lời giải bài toán cực trị trong đề thi THPTQG Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN Trong kì thi THPTQG năm 2015, có bài toán như sau : Bài toán.. Với đề nà
Trang 1P op
Bình luận và một số lời giải bài toán
cực trị trong đề thi THPTQG
Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN Trong kì thi THPTQG năm 2015, có bài toán như sau :
Bài toán Cho a, b, c ∈ [1, 3] thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất
của
P = a
2b2 + b2c2 + c2a2 + 12abc + 72
ab + bc + ca − 1
2abc
Bình luận : Đây là một bài toán có hình thức đối xứng khá dễ chịu, không
như sự xù xì của câu cực trị đề năm ngoái Với đề này có lẽ khá nhiều em
sẽ làm được nó
Phác qua hướng giải : Khi nhìn thấy a2b2+ b2c2 + c2a2 hiển nhiên ta liên
tưởng tới đẳng thức a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab + bc + ca)2 − 2abc(a + b + c).
Với giả thiết đề bài thì P có thể rút gọn thành
P = ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca − 1
2abc
Tất nhiên, xu hướng của Bộ với câu cực trị thường là đưa về một biến, với giả thiết và biểu thức như trên, có 3 hướng chính để chúng ta hướng tới
Đó là
• Đưa về ab + bc + ca
• Đưa về abc
• Đưa về a, b, c
Tiếp theo, ta sẽ thử xem liệu cực trị đạt được tại đâu Với hình thức đối xứng của biểu thức, ta sẽ thường thử với các bộ (a, b, c) = (2, 2, 2) (bằng nhau), (a, b, c) = (3, 2, 1) (tại biên), (a, b, c) =
3, 3
2,
3 2
Ta thấy tại (a, b, c) = (3, 2, 1) thìP lớn nhất trong các trường hợp trên nên có khả năng đó chính
là giá trị cần tìm Như vậy các đánh giá của chúng ta phải đảm bảo dấu bằng xảy ra tại biên
Và bây giờ là một số lời giải cho nó
Lời giải 1 Ta viết lại P dạng rút gọn
P = ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca − 1
2abc
Trang 2P op
Vì a, b, c ∈ [1, 3] nên ta có
(
(a − 1)(b − 1)(c − 1)> 0 (1) (a − 3)(b − 3)(c − 3)6 0 (2) .
Kết hợp thêm giả thiết a + b + c = 6 thì tương đương với
(
abc > ab + bc + ca − 5 abc 6 3(ab + bc + ca) − 27
Từ hai đánh giá trên suy ra ab + bc + ca > 11
Và
P 6 ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca − ab + bc + ca − 5
2
Đặt ab + bc + ca = t thế thì 11 6 t 6 (a + b + c)
2
3 = 12 Ta cần tìm giá trị
lớn nhất của
f (t) = t
2 +
72
t +
5 2
Đến đây có thể dùng đạo hàm vì chỉ còn một biến, hoặc như ở trên khi thử
a, b, c ta tìm được P = 160
11 Vậy ta biến đổi tương đương t
2 +
72
t +
5
2 − 160
11 =
(t − 11)(11t − 144)
22t 6 0
Tại a = 3, b = 2, c = 1 cùng hoán vị thì P = 160
11 Tóm lại giá trị lớn nhất
của P bằng 160
Bình luận : Đánh giá (1) và (2) là một thủ thuật thường dùng đối với bài
toán mà điều kiện a, b, c thuộc đoạn [α, β] nào đó Đánh giá đó vừa đảm
bảo dấu bằng xảy ra tại biên của một biến, vừa giúp đánh giá cận dưới của abc, vừa tìm được ràng buộc của ab + bc + ca Đây cũng là lời giải phổ
biến nhất với bài toán này
Lời giải 2 (Nguyễn Minh Tuấn) Đặt a = x + 1, b = y + 1, c = z + 1, khi đó
x, y, z ∈ [0, 2] và x + y + z = 3.
Bổ đề Với điều kiện như trên thì x2 + y2 + z2 6 5
Chứng minh Giả sử x = max{x, y, z}, thế thì x ∈ [1, 2] Ta có
x2 + y2 + z2 6 x2 + (y + z)2 = x2 + (3 − x)2 = 5 + 2(x − 1)(x − 2)6 5
Trang 3P op
Bổ đề được chứng minh, đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1, z = 0 cùng
hoán vị
Quay trở lại bài toán, ta viết P lại dưới dạng
P = xy + yz + zx
72
xy + yz + zx + 9 − 1
2xyz + 7
Ta mạnh dạn đánh giá
P 6 t
2 +
72
t + 9 + 7
Giờ cần tìm điều kiện chot = xy +yz +zx Vì xy +yz +zx6 (x + y + z)
2
3 =
3và xy +yz +zx = (x + y + z)
2 − x2 − y2 − z2
2 > 9 − 5
2 = 2, vậy 2 6 t6 3.
Ta có
t
2 +
72
t + 9 + 7 =
160
11 +
(t − 2)(11t − 45) 22(t + 9) 6 160
11
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 160
11 đạt được khi a = 3, b = 2, c = 1 cùng
Bình luận : Phép đổi biến trên khiến điều kiện thay đổi với biên 0 và dấu
bằng xảy ra tại một biến bằng 0, đối với tôi, biên 0để đánh giá thường khá
dễ dàng, ta có thể mạnh dạn loại bỏ biểu thức
1
2xyz Lời giải trên cũng sử
dụng một bổ đề quen thuộc với những ai yêu thích Bất đẳng thức
Lời giải 3 (Nguyễn Minh Tuấn) Ta viết lại P dạng rút gọn
P = ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca − 1
2abc
Vìa, b, c ∈ [1, 3]nên ta có(a−1)(b−1)(c−1) > 0 ⇐⇒ abc > ab+bc+ca−5.
Vậy
P 6 t
2 +
72
t +
5 2
Giả sử a > b > c, vì c > 1 nên a + b 6 5 Vậy
a 6 3
a + b 6 5
a + b + c = 6
⇒ (3, 2, 1) (a, b, c)
Trang 4P op
Dễ thấy f (x) = x2 là hàm lồi, áp dụng Bất đẳng thức Karamata ta có
a2 + b2 + c2 6 32 + 22 + 12 = 14
Suy ra
ab + bc + ca = (a + b + c)
2 − a2 − b2 − c2
2 > 11
Mà
t
2 +
72
t +
5
2 − 160
11 =
(t − 11)(11t − 144)
22t 6 0
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 160
11 tại a = 3, b = 2, c = 1 cùng hoán vị
Bình luận : Tất nhiên lời giải này chỉ mang tính giải trí, nó là sự kết hợp
của hai cách trên
Và sau đây là một số cách nữa, mời bạn đọc cùng thưởng thức
Lời giải 4 (Đặng Thành Nam) Không mất tính tổng quát, giả sử a là số
lớn nhất, thế thì a ∈ [2, 3] Ta viết lại P dưới dạng
P = a(6 − a) + bc + 72
a(6 − a) + bc − 1
2abc
Đạo hàm theo biến bc ta có
f0(bc) = 1 − a
2 − 72 (a(6 − a) + bc)2 < 0
Mà
(b − 1)(c − 1) > 0 ⇐⇒ bc > b + c − 1 = 5 − a
Vậy
P 6 f (5 − a) = a(6 − a) + 5 − a + 72
a(6 − a) + 5 − a − 1
2a(5 − a)
= (a − 2)(a − 3)(11a
2 − 55a + 89) 11(−a2 + 5a + 5) +
160
11 6 160
11
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì a ∈ [2, 3] Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 160
11 khi a = 3, b = 2, c = 1 cùng hoán vị
Trang 5P op
Mấu chốt của lời giải trên là khi hàm f giảm theo biến bc, ta cần đánh giá
cận dưới của bc thật đúng, đánh giá bc > 1 là chưa đủ vì nó là hiển nhiên.
Lời giải 5 (Nguyễn Thế Duy, Kunny)
Cách này được thực hiện bởi một người bạn của tôi trên Facebook và của Kunny, một mod trên AoPS
Ta viết lại P dưới dạng
P = ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca − 1
2abc = q +
72
q − r 2
Với q, r là gì chắc hẳn các bạn cũng biết, một kiểu đặt "dân dã" của Bất
đẳng thức
Ta có a, b, c là 3 nghiệm của phương trình
(x − a)(x − b)(x − c) = 0 ⇐⇒ x3 − 6x2 + qx − r = 0 = f (x)
Vì f (x) là hàm số bậc ba với hệ số a > 0, lại có ba nghiệm thuộc [1, 3].
Nhớ lại rằng một hàm số bậc ba cắt Ox tại ba điểm phân biệt thì điều
kiện cần là nó phải có cực đại cực tiểu Như vậy ta có
f (1) 6 0
f (3) > 0
f0(x) = 0 (có nghiệm )
⇐⇒
q − r − 5 6 0 3q − r − 27 > 0
∆0 = 36 − 3q > 0
Vậy suy ra r > q − 5 và 11 6 q 6 12
Vậy P 6 q + 72
q − q − 5
2 Làm tương tự cách 1 ta cũng tìm được giá trị lớn
nhất của P bằng 160
11 tại a = 3, b = 2, c = 1 cùng hoán vị
Lời giải 6 Ta viết P về dạng
P = ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca − 1
2abc
Vì (a − 1)(b − 1)(c − 1) > 0 nên ab + bc + ca 6 abc + 5
Lại có (a − 3)(b − 3)(c − 3) 6 0 nên ab + bc + ca > abc
3 + 9 Từ hai điều
Trang 6P op
trên suy ra abc > 6, mà cũng có abc 6
a + b + c 3
3
= 8 nên 6 6 abc 6 8.
Đánh giá trên tức là ý tưởng chính sẽ dồn về abc.
Bây giờ xét đại lượng ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca Ta thấy khiab + bc + ca >
6√
2 thì nó đồng biến Ở các cách trên ta thấy ab + bc + ca > 11 nên đại
khái ab + bc + ca + 72
ab + bc + ca 6 abc + 5 + 72
abc + 5 Tất nhiên đánh giá
trên khi ta đã biết cận dưới của ab + bc + ca là không thỏa đáng vì nó sử
dụng kết quả các cách trước, ta coi như chưa biết đi mà bây giờ chỉ cần đánh giá ab + bc + ca > 6√
2 là xong, vì 6√
2 < 11 rất nhiều nên đánh giá
này có thể lỏng
Không mất tính tổng quát, có thể giả sử a là số lớn nhất, thế thì a ∈ [2, 3].
Ta có
ab + bc + ca = a(6 − a) + bc > 6a − a2 + 1 = 10 − (a − 3)2 > 9 > 6√
2
Vậy
P 6 abc + 5 + 72
abc + 5 − 1
2abc =
1
2abc +
72 abc + 5 + 5 = g(t)
Với t = abc, t ∈ [6, 8] Ta có
g(t) − 160
11 =
(t − 6)(11t − 89) 22(t + 5) 6 0
Bất đẳng thức cuối đúng vì t ∈ [6, 8] Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 160
11
khi a = 3, b = 2, c = 1 cùng hoán vị
Lời giải 7 Lời giải này của thành viên nguyenhongsonk612 trên Vmf
Đặt a = x + 2, b = y + 2, c = z + 2 Thế thì
(
x + y + z = 0
x, y, z ∈ [−1; 1] Thay vào
Trang 7P op
P ta có
P = 16(xy + yz + zx) + 192 − xyz(xy + yz + zx) − 12xyz + 144
2(xy + yz + zx + 12)
= (xy + yz + zx + 12)(16 − xyz) + 144
2(xy + yz + zx + 12)
= 16 − xyz
2 +
72
xy + yz + zx + 12
Ta sẽ chứng minh P 6 160
11 ⇔ (11xyz + 144)(xy + yz + zx + 12) > 1584
Vì x + y + z = 0 nên sẽ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu, giả sử yz > 0.
Lại có x, y, z ∈ [−1, 1] nên x2 6 |x|; y2
6 |y|; z2
6 |z|
Suy ra
x2 + y2 + z2 6 |x| + |y| + |z| = |x| + |y + z| = |x| + | − x| = 2|x| 6 2
Suy ra
2(xy + yz + zx) = −(x2 + y2 + z2) > −2 ⇔ xy + yz + zx > −1
Lại có vì (1 + x)(1 + y)(1 + z) > 0 nên suy ra 11xyz + 144 ≥ 133 − 11(xy +
yz + zx)
Đặt t = xy + yz + zx(−1 6 t < 0) Ta cần chứng minh
(133 − 11t))(t + 12) > 1584
Tuy nhiên bất đẳng thức này đúng vì nó tương đương
(t + 1)
t − 12 11
6 0
Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 160
11 khi a = 3, b = 2, c = 1 cùng hoán vị
Kết luận : Trên đây là một số lời giải điển hình cho bài toán đẹp trên, mọi
ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ Facebook : Popeye Nguyễn hoặc thành viên Shirunai Okami trên diễn đàn K2pi.net.vn Xin cảm ơn