Bất đẳng thức halanay và bất đẳng thức gronwall trong nghiên cứu định tính các phương trình sai phân

Sau phần trình bày các công thức nguyên thuỷ chúngtôi sẽ trình bày một số kết quả mở rộng kinh điển, mở rộng gần đây.. Cácbất đẳng thức mở rộng chủ yếu ở dạng sai phân nhằm phục vụ cho m

Mục lục

1.1 Trường hợp thời gian liên tục 7

1.1.1 Công thức cổ điển 7

1.1.2 Các công thức mở rộng 8

1.2 Trường hợp thời gian rời rạc 12

1.2.1 Bất đẳng thức Gronwall dạng sai phân 12

1.2.2 Một số trường hợp mở rộng 13

1.3 Ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định 20

1.3.1 Tính ổn định của hệ vi phân 20

1.3.2 Tính ổn định của hệ sai phân 23

2 Bất đẳng thức Halanay 26 2.1 Trường hợp thời gian liên tục 26

2.1.1 Bất đẳng thức Halanay nguyên thủy 26

2.1.2 Bất đẳng thức mở rộng 27

2.2 Trường hợp thời gian rời rạc 32

2.2.1 Một số bất đẳng thức mở rộng 32

2.2.2 Khảo sát tính ổn định và các ví dụ 36

2.2.3 Tính ổn định của một lớp phương trình đặc biệt 38

Mở đầu

Khi nghiên cứu định tính các phương trình vi phân hoặc sai phân tathường phải đánh giá chuẩn của nghiệm chính xác hoặc của sai số giữanghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ Các bất đẳng thức vi phân, vi-tíchphân, sai phân thường được dùng trong các công đoạn đánh giá đó Córất nhiều bất đẳng thức được biết đến nhưng trong luận văn này chúngtôi chỉ đề cập tới hai loại rất nổi tiếng là bất đẳng thức Gronwall và bấtđẳng thức Halanay Sau phần trình bày các công thức nguyên thuỷ chúngtôi sẽ trình bày một số kết quả mở rộng kinh điển, mở rộng gần đây Cácbất đẳng thức mở rộng chủ yếu ở dạng sai phân nhằm phục vụ cho mụctiêu chính là khảo sát tính ổn định nghiệm của các phương trình sai phân.Bằng các cách rời rạc hoá khác nhau, các phương trình vi phân thườngđưa về được các phương trình sai phân với độ sai khác cho phép theo mộtquy ước nào đó Các phương trình sai phân là các đẳng thức chứa hàmcần tìm với biến độc lập nhận giá trị trong Z := {0, ±1, ±2, } hoặc trong

Z+ := {0, 1, 2, } ⊂ Z và chứa sai phân đến một cấp nào đó của hàm cầntìm Mở rộng các bất đẳng thức và vận dụng chúng vào việc nghiên cứutính chất của các phương trình nói trên là một thực tế cần thiết Vì vậy,chúng tôi chọn đề tài cho luận văn này theo tựa đề trên đây

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mụctài liệu tham khảo Chương một trình bày về bất đẳng thức Gronwall Bắtđầu từ bất đẳng thức nguyên thủy, phát biểu cho trường hợp thời gian liêntục, chúng tôi nêu lại một số kết quả mở rộng chủ yếu cho trường hợp thờigian rời rạc Chương hai nói về bất đẳng thức Halanay Các vấn đề cũngđược diễn giải theo sơ đồ ở chương một Do các nội dung này là khó nêncác kết quả chính đều có trình bày phần chứng minh Trong từng chương,các kết quả về khảo sát tính ổn định được đưa ra nhằm minh hoạ cho giátrị ứng dụng của các bất đẳng thức đã nêu ra Kết quả nổi bật trong phầnứng dụng này là dấu hiệu ổn định của hệ phi tuyến có bậc tăng trưởngdưới tuyến tính ứng với một lớp phương trình sai phân đặc biệt nhận đượcnhờ phép rời rạc hoá xấp xỉ hai phía

Bản luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đạị học Quốc gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Sinh

Bảy Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãdành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trongviệc tìm hiểu các kiến thức chuyên ngành và hoàn thành bản luận văn Tôixin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán - Tin - Cơ học, trườngĐại học Khoa học Tự nhiên về các kiến thức và những điều tốt đẹp manglại cho tôi trong thời gian học tập tại trường Tôi xin cám ơn khoa SauĐại học về việc tạo các điều kiện thuận lợi trong quá trình làm thủ tụcnhập học và thủ tục bảo vệ luận văn Cám ơn các thầy và các bạn tronglớp về sự giúp đỡ và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôitrong thời gian qua Xin cám ơn Lãnh đạo và các thầy cô trường Đại họcViệt - Hung về những điều kiện thuận lợi đã dành cho tác giả để tác giả

có thể hoàn thành khoá học và bản luận văn này Cuối cùng tôi muốn tỏlòng biết ơn gia đình, người thân, chỗ dựa về tinh thần và vật chất cho tôitrong cuộc sống và trong học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi nhữngđiều thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự bao dung và những lờigóp ý quý báu của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Trần Quang Ánh

Supervisor : Ass Prof Nguyen Sinh Bay

In qualitative study of differential equations or of difference equations ten to assess the estimation of solutions or experimental error between theexact solutions and approximate test The differential, integro-differentialinequalities are often used in the stage of evaluation There are many in-equalities known, but in this thesis we only mention two very well-knowntype of those inequalities We would like to mention on the Gronwall in-equality and Halanay inequality After the presentation of the original for-mula of each inequality we will present some results as classical extensionsand some recent expansions The inequality expand mainly in the form ofdifference relations to serve the main goal - to investigate the stability of so-lutions of difference equations By different ways of various discretization,the differential equations are often taken to be the difference equation withthe admissible errors The difference equations are the relationship contain-ing the independent variables and unknown function of this variable withsome level of differences Expansion of those inequalities and apply them

of-to the study of the properties of solutions for the equations above are anactual need Therefore, we choose topics for essays under the title above

The thesis consists of the introduction, two chapters , conclusion andlist of references

Chapter one presents the Gronwall inequality Starting from the originalinequality, said for the case of continuous time, we outlined some of theresults of major expansion for discrete-time case

Chapter two said about Halanay inequality The problem was interpreted

in the diagram in chapter one Because this content is difficult so the mainresults are presented the proof In each chapter, the results of the surveystability is given to illustrate the application value of the inequality raised.Outstanding results in this application are criteria for stabilization of non-linear systems with levels of growth lower than linear with a class of lineardifferential equation special permission received by discrete approximation

of the two sides

In total, the thesis presented method uses two types of inequality cated to the study some class of differential equations and difference equa-tions Thesis stated and proved the original inequality Gronwall ’s andHalanay’s type, then extended to some cases with continuous time or dis-crete time Applying the inequality has expanded research and dissertationdone examining the stability for a few class - equation special form and onsome specific examples

Do t0 ≤ t nên có thể lấy tích phân hai vế, ta được

b) Trường hợp c = 0: Với mọi ε > 0 ta có (1.2) thỏa mãn với c = ε Cho

ε → 0+, ta có x(t) ≡ 0 Nghĩa là (1.2) đúng Định lý được chứng minh

đánh giá độ tăng trưởng nghiệm của phương trình vi phân cấp một dạngtuyến tính Bản chất của bổ đề trên là từ một bất đẳng thức dạng vi phândẫn đến một bất đẳng thức dạng tích phân.

Bổ đề 1.1 Cho các hàm x ∈ C1R+, R+; v, h ∈ CR+

, R+ Giả sử

x0(t) ≤ v(t)x(t) + h(t), x(t0) = c ≥ 0, t ≥ t0.Khi đó

Từ đây suy ra đánh giá (1.6).

Ta lưu ý thêm, từ (1.5) suy ra được (1.4) Quả vậy, theo công thức tíchphân từng phần ta có:

Điều này và (1.6) cho ta (1.4) 

c Trường hợp c = h(t) dương, không giảm

Nếu trong Định lý 1.3, hàm h(.) được giả thiết là dương, không giảm vàkhông nhất thiết là khả vi thì ta có kết quả sau:

Định lý 1.4 Cho các hàm số: x, v, h ∈ C[R+, R+] Giả sử bất đẳng thứcsau thỏa mãn

Các quá trình thời gian liên tục thường được rời rạc hóa để nghiên cứu.Thông thường nhất là đưa các quá trình liên tục về các quá trình rời rạccách đều với bước lưới là một đơn vị Như vậy, bài sẽ được xét trên tập sốnguyên Z := {0, ±1, ±2, } hoặc đơn giản hơn : trên Z+ := {0, 1, 2, }.

1.2.1 Bất đẳng thức Gronwall dạng sai phân

Các bất đẳng thức cho trường hợp thời gian liên tục khi sai phân hoáthường dẫn tới các bất đẳng thức rời rạc tương ứng Tuy nhiên, việc chứngminh các bất đẳng thức này đều phải thực hiện lại từ đầu

Định lý 1.5 Cho z(k), a(k) là các dãy số không âm, xác định trên Z+ ={0, 1, 2, } và số c ≥ 0

Ta chứng minh bằng quy nạp Thật vậy, với k = 1 ta có

z(1) ≤ c + a(0)z(0) ≤ c + a(0)c = c[1 + a(0)],nghĩa là (1.11) thỏa mãn với k = 1

Giả sử (1.11) đúng đến bước k − 1, nghĩa là

Khi đó ở bước k, theo (1.9), ta có:

Đây là điều mâu thuẫn Định lý được chứng minh 

Tiếp theo, ta xét phương trình sai phân được cho bởi

trong đó ∆−1 là toán tử sai phân ngược của ∆.

Nghiệm y(t) này không phải là duy nhất, từ y(x) + ω(x), ω(x) là một hàmtùy ý chu kì một, nó cũng là nghiệm của (1.14) Có thể tính được rằng

n

X

i=0

g(x + i) = y(x + n + 1) − y(x) ≡ y(x + i)|i=n+1i=0 (1.15)

Trong trường hợp x = 0, ta có Z+0 = {0, 1, , k, } = Z+ và công thức nàytrở thành

n

X

i=0

Ta sẽ dùng quan hệ này để giải phương trình sai phân tuyến tính

khi đó, với mọi n ≥ n0,

∆un = knun+ pn.Theo (1.18), nghiệm của nó là

Sau đây là một phiên bản mở rộng quan trọng của bất đẳng thức wall, được thực hiện bởi V.N Phat và P Niemsup ở [8]

Gron-Định lý 1.7 Cho dãy số z(k) : Z+ → R+ Giả sử rằng

Giả sử (1.20) đúng đến bước thứ k-1, tại bước k ta có

Theo giả thiết quy nạp ta có

Suy ra điều phải chứng minh

ii) m1 ≤ m2 : Dễ dàng kiểm tra được rằng (1.21) đúng với k = 1 Giả sử(1.21) đúng tới bước thứ k − 1 Tại bước k ta có:

k−2−p i ≤ Dk−2m , Dm2

k−2−q i ≤ Dmk−2và

Suy ra điều phải chứng minh 

Áp dụng cho bi(k) = 0 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.2 Cho dãy số z(k) : Z+ → R Giả sử điều kiện (1.23) thỏa mãn

Ta luôn luôn giả thiết hàm số f (.) là liên tục và Lipschitz địa phương trên

Dễ thấy, hệ (1.25), (1.26) luôn có nghiệm tầm thường Nghiệm của (1.25)thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0) = x0 với (t0; x0) ∈ ∆ được kí hiệu làx(t; t0; x0) hoặc đơn giản là x(t)

Khái niệm ổn định của hệ vi phân

Định nghĩa 1.1 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ phương trình (1.25),(1.26) được gọi là ổn định nếu với mọi  > 0 và mọi t0 ≥ 0, luôn tồn tại

δ = δ(t0, ) sao cho, nếu kx0k < δ thì kx(t; t0; x0)k <  với mọi t ≥ t0

Định nghĩa 1.2 Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ phương trình (1.25),(1.26) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại γ > 0 saocho nếu k x0 k< γ thì k x(t) k→ 0 khi t → ∞.

Định nghĩa 1.3 Nếu trong hai định nghĩa trên, δ, γ có thể chọn độc lậpvới t0 thì tính ổn định tương ứng được gọi là đều

Định nghĩa 1.4 Nếu tồn tại N > 0, λ > 0 sao cho nghiệm của (1.25) xuấtphát từ (t0, x0) ∈ ∆ đều thỏa mãn ||x(t)|| ≤ N kx0k exp[−λ(t − t0)], t ≥ t0

thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ (1.25), (1.26) được gọi là ổn địnhmũ

Sau đây, ta vận dụng bất đẳng thức Gronwall để khảo sát tính ổn địnhcủa một lớp phương trình vi phân

1.3.2 Tính ổn định của hệ sai phân

Các khái niệm hệ sai phân ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ, ổnđịnh đều, được phát biểu một cách hoàn toàn tương tự với hệ vi phân.Dưới đây chúng tôi trình bày một vài kết quả nghiên cứu tính ổn định của

hệ sai phân bằng cách sử dụng các bất đẳng thức dạng sai phân đã trìnhbày ở mục trước

Định lý 1.10 Xét hệ phương trình sai phân sau trong Rn

Giả sử công thức nghiệm (1.25) đã đúng ở bước thứ k

Ak−if (i, x(i))

Vậy, công thức nghiệm (1.31) của (1.29) đã được chứng minh

Để tiếp tục chứng minh định lý, ta đánh giá theo công thức (1.31):

Do limα(k) = q < 1 nên tồn tại p ∈ (0; 1) và k0 ∈ Z+ sao cho q + α(i) < p,với mọi i ≥ k0.Với k ≥ k0 + 1, theo trên ta có

Chương 2

Bất đẳng thức Halanay

So với bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức Halanay ít thông dụnghơn Bất đẳng thức nguyên thuỷ được Halanay công bố năm 1966 nhưngchỉ sau khi lý thuyết về phương trình có chậm phát triển, bất đẳng thứcnày mới được chú ý nhiều Với các hệ sai phân, bất đẳng thức Halanayngày nay đã trở nên thông dụng (xem [3], [4], [5], [7], [8], [9])

2.1.1 Bất đẳng thức Halanay nguyên thủy

Bất đẳng thức Halanay nguyên thuỷ được tác giả tìm ra khi nghiên cứutính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân có chậmsau đây

du(t)

dt = au(t) + bu(t − τ ), t > t0, τ > 0. (2.1)Định lý Halanay nguyên thuỷ được phát biểu như sau:

2.1.2 Bất đẳng thức mở rộng

Dưới đây, ta sẽ quan tâm đến trường hợp bất phương trình (2.1) khôngphải là otonom, nghĩa là a, b không phải là hằng số mà là các hàm số củathời gian t, thậm chí độ chậm cũng biến thiên nhưng bị chặn:

Định lý 2.2 Cho x(t) là hàm không âm xác định:

τ (t); ϕ(s) là các hàm liên tục, xác định với s ∈ [t0−τ∗, t0]; a(t), b(t)

là các hàm không âm, liên tục và bị chặn Giả sử

Ta nhận thấy rằng F∗(µ) → ∞ và F∗(µ) → ∞ khi µ → ∞ Và do đó, từ(2.9), ta suy ra rằng:

trong đó 0 < eσ < σ Điều này dẫn đến:

−a(t) +µ + b(t) exp(e µτ ) ≤ −e eσ < 0 với mọi t ∈ R (2.12)Tiếp theo, đặt:

ex(t) =  x(t)eµ(t−t e 0 ), t > t0

Mâu thuẫn này suy ra khẳng định (2.15) là đúng Vì δ > 1 là tùy ý, bằngcách cho δ → 1+ ta có x(t) ≤ M với t > te 0 Sau đó từ (2.13) và định nghĩacủa µ suy ra x(t) ≤ M ee −µ(t−t e 0) với t > t0 và do đó (2.5) được thỏa mãn.Định lý được chứng minh 

Tiếp theo, ta quan tâm đến trường hợp hệ có chậm phân phối trênkhoảng không bị chặn

Định lý 2.3 Cho x(t) là hàm không âm

ex(t) =  x(t)eµ(t−t e 0), t > t0

ex(t) < δM, với t ∈ (−∞, t0]

≤−a(t1) +µe

ex(t1) + b(t1)

Điều này là mâu thuẫn Vậy, khẳng định (2.33) là đúng Vì δ > 1 là tùy ý,bằng cách cho δ → 1+, ta có ex(t) ≤ M với t > t0 Tiếp theo, từ (2.31) tacó: x(t) ≤ M e−µ(t−t e 0 ) với t > t0 Đây là điều cần chứng minh 

Ta trở lại phần chứng minh định lý Halanay nguyên thuỷ: Ở đây h =

τ∗, K = M, γ = µ Với định lý nguyên thuỷ, các giả thiết của định lý mở

rộng đều thoả mãn Vậy, kết luận của định lý nguyên thuỷ là đúng

2.2.1 Một số bất đẳng thức mở rộng

Bổ đề sau là cần thiết cho các chứng minh về sau:

Bổ đề 2.2.1 Cho A; B là các hằng số dương và {xn}n≥−r; {yn}n≥−r làhai dãy số thực thỏa mãn:

Với n = 0 thì x0 ≤ y0 Mệnh đề đúng do giả thiết

Giả sử khẳng định trên đúng với n = k ≥ 0, tức là xk ≤ yk, ∀k ≥ 0 Tacần chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1:

Sau đây là một vài phiên bản mở rộng bất đẳng thức Halanay cho cáctrường hợp thời gian rời rạc:

Định lý 2.4 Cho n ∈ Z và {xn}n≥−r là một dãy số thực thỏa mãn bấtđẳng thức:

∆xn ≤ −axn+ b max{xn, xn−1, , xn−r}, (n ∈ Z) (2.36)

Nếu 0 < b < a ≤ 1 thì khi đó tồn tại λ0 ∈ (0, 1) sao cho:

xn ≤ max{0, x0, x−1, , x−r}λn0, (n ∈ Z) (2.37)Hơn nữa λ0 có thể chọn là nghiệm nhỏ nhất trong (0; 1) của phương trình:

Chứng minh

Gọi {yn}n≥−r là một dãy số thực thỏa mãn phương trình:

∆yn = −ayn+ b max{yn, yn−1, , yn−r} n ∈ Z (2.39)Trước tiên, ta thấy rằng với K > 0, λ ∈ (0; 1), {yn} xác định bởi yn = Kλn

là nghiệm của phương trình (2.39) khi và chỉ khi λ là nghiệm của phươngtrình (2.38)

Quả vậy, thay yn = Kλn vào (2.39), ta có:

F (λ)liên tục trên (0; 1), lim

λ→0 +F (λ) = −b < 0 và F (1) = a − b > 0 Vậy,

∃λ ∈ (0; 1)sao cho F (λ) = 0Đặt

Định lý được chứng minh xong 

K > 0 cho trước và λ ∈ (0; 1), Chuỗi {yn} xác định bởi yn = Kλn là mộtnghiệm của phương trình (2.43) nếu và chỉ nếu λ là một nghiệm của đathức (2.42) Từ lim

P (λ0) = 0 Do đó, với K ∈ R+0 nào đó, dãy {Kλn0} là nghiệm của (2.43).Đặt K0 = max{0, x0, x−1, , x−hr} Khi đó, {yn} = {Kλn

0} là nghiệm của(2.43) và rõ ràng ta có xn ≤ yn với n = −hr, , 0 Hơn nữa, theo Bổ đề2.2.1 ta kết luận được rằng xn ≤ yn = K0λn0, n ∈ Z0 

Tiếp theo, ta xét phương trình sai phân sau:

∆xn = −axn + f (n, xn, xn−1, , xn−r) (a > 0) (2.44)