Khóa luận tốt nghiệp toán Tìm hiểu về bài toán tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ***** ^ ***** NGUYỄN THỊ THÚY TÌM HIẺU VỀ BÀI TOẬN TÌM PHÂN PHốI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II KHOA

TOÁN ***** ^ *****

NGUYỄN THỊ THÚY

TÌM HIẺU VỀ BÀI TOẬN TÌM PHÂN PHốI CỦA

HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học Th.s.Nguyễn Trung Dũng

HÀ NỘI, 5/2014Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luân này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và thầy cô giáotrong tổ toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốtthời gian làm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Nguyễn Trung Dũng

- người đã giúp em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùngvới sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng

Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mụctài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu khoa học củariêng em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy

1.1 MÔT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GĂP 1

thường gặp 4

2 CẮC PHƯƠNG PHÁP TÌM PHÂN PHỎT CỦA HẰM

CẤC BIẾN NGẤU NHIÊN

2.1.3 Phân phối của tống và hiệu hai biến ngẫu nhiên 13

2.1.4

2.2.1 Mô tả phương pháp

2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI

232.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác

NHTẺ

Lời nói đầu

Ngày nay "Lý thuyết xác suất" đã không còn là một lĩnh vực toán

học mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nềntoán học thế giới Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó

là một ngành toán học chặt chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụngrộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhânvăn Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, môt khoa học về cácphương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tinđịnh lượng

V ớ i đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁCBIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày một số phương pháp t ì m

p h â n p h ố i x á c s u ấ t c ủ a h à m c á c

c h ư ơ n g :

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở

Trong chương này, trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp vàhàm sinh mômen của nó

Chương 2 Các phương pháp tìm phân phối của hàm các biến ngẫunhiên

Trong chương này, trình bày một số phương pháp để tìm phân phốixác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu

bổ ích cho những ai quan tâm về phân phối của hàm cácbiến ngẫu nhiên

V

l à h à m p h â n p h ố i x á c s u ấ t đ ồ n g t h ờ i c ủ a vectơ ngẫu nhiên X.

Từ phân phối xác suất đồng thời của X I , X 2 , ta có thể tìm phân phối của

X I hoặc X2 Khi đó phân phối của X Ị và X 2 được gọi là phân phối biênduyên

1.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

Đặc biệt, nếu n=l thì ta nói X CÓ phân phối Becnuli

b Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poissonvới tham số À(À > 0), nếu

P ( X = k ) = e — ^ ~ , k=0, 1, 2,

V

Kí hiệu X ~ P OI (Ằ).

c Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)

Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn v ớ i

V

e Phân phối đều

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trênđoạn [a, 6] nếu hàm mật độ xác suất có dạng

Kí hiệu là X ~ U(A , B ).

f Phân phối Gamma

Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gammavới các tham số r > 0, A > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng

0 sao cho MX { T) tồn tại với mọi \ T \ < H

Nhận xét: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp

V

Với t=0 ta có mj(0) = 1.

Từ điều kiện tồn tại của MỴ { T ) ta đạo hàm 2 vế của (1.1) đối với T

ta được

m ' x ( t ) — E ( X ) + t E ( X 2 ) H -ỉ - + ( 1 2 )

Cho T — 0 ta được M ' X (0) = E(X).

Đạo hàm 2 vế của (1.2) đối với T ta được

m " x ( t ) = É { X 2 ) + t E { X 3 ) + .

Cho T = 0 ta được M " X (0) = E(X 2 ).

Tiếp tục quá trình này ta

i = 1 i = 1

1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

a Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối nhị thức B( N , P) thì mx(í) =

(pe* + Q ) N , Q = 1 - P

V

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Becnuli 5(1, P ) thì M X { T ) =

=0

b Biến ngẫu nhiên có phân phối Poỉson

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson P OI (X) thì

c Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì

2 Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

3Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối mũ E x p ( X ) thì

i (*-/*)

=e

x e 2 ơ D X

= e í/i+ 2

— X — t

e Biến ngẫu nhiên có phân phối đều

theo phân phối

— ỉ. Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

theo phân phối Gamma G( R , X)

— + 00

— r(À) = J X X ~ L E ~ X DX = (-1 ) a (A-

l)(A-2) l.

— Bằng cách tính tích phân từng phần À lần ta thu được

— =Grh) •

— Chương 2

PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC

BIẾN NGẪU NHIÊN

2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUAT

2.1.1 Mô tả phương pháp

— Cho X Ị ,X N là các biến ngẫu nhiên và , •), <72 ("j • • • J •)>••• )

, •) là các hàm đo được trên Mn Khi đó hàm phân phối xác s u ấ t

— Đặc biệt, nếu K = 1 thì F Ỵ (Y) = P[Y < Y ] = P [ G ( X 1, ,X N ) < Y ].

— Ví dụ 2.1 Cho biến ngẫu nhiên X ~ iV(0, l).Tìm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = G (X) = X 2

— Giải Theo định nghĩa ta có

— F Y ( y ) = P [ Y < y ] = p [ x 2 < y ]

— = P [ - y / ỹ < X < y / ỹ ]

— = Fx{y/ỹ) - Fx{-y/ỹ),y > 0

1 7

2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min

— Giả sử X Ị ,X N là các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất (íỉ, A, P) Ta kí hiệu

— Y Ị = M INỊ X I , , X N ],Y N = M AXỊ X I ,X N ]. Khi đó Y Ị ,Y N

cũng là các biến ngẫu nhiên

— Ta có hàm phân phối xác suất của Y Ị , Y N có dạng

— Nếu X i , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân phối xác suất là Fx(.) thì

—+ 00

o đó

—+ 00

— Chú ý: Công thức được cho trong phương trình (3) thường

được gọi là công thức chập Trong giải tích toán, hàm FZ (-) được gọi

là tích chập của các hàm /x(-) và /y(-)

— Ví dụ 2.3 Giả sử X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập và có các hàm mật

độ xác suất FX { X ) = FY { Y ) = I( ỮI ){ X )- Chứng minh rằng

1 < z = X + Y <2.

— Giải Ta có

— f z ( z ) = f x + y ( z ) = J f Y ( z - x ) f x ( x ) d

— — 00 + 00

d x

Khóa luận tốt

nghi ệp

Khóa luận tốt nghiệp

8 Phương pháp tìm hàm phân phối xác suất dựa trên khái niệm hàm sinh

mômen được gọi là phương pháp hàm sinh mômen

9 Nhận xét: phương pháp hàm sinh mômen là phương pháp hiệu quảtrong việc tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên của toán họchiện đại Trong nhiều trường hợp, ta có thể tìm được mối quan hệ giữa hàmphân phối cần tìm với hàm sinh mômen thu được Đặc biệt, với k = 1 thì hàm sinh mômen là hàm của một biến

số nên ta có thể đoán nhận được hàm phân phối tương ứng với nó là gì, c ò n

t r o n g t r ư ờ n g h ợ p k > 1 t h ì k ĩ t h u ậ t n à y b ị h ạ n c h ế v ì t a c h ỉ c ó thểđoán nhận được một vài hàm phân phối tương ứng với hàm sinh mômen tìmđược

10 Ví dụ 2.5 Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ N(0,1) Tìm hàm phân phối xácsuất của biến ngẫu nhiên Y = X 2

— Đây là hàm sinh mômen của biến ngâu nhiên có phân phối

Gamma " 1 ‘ 1 với các tham sô r = —, A = —.

— = ea;p (íi + ^2) =e xp( —-)exp (—-).

— Vậy Yí, I2 có phân phối chuẩn với / L i = 0, cr2 = 2 Tức là

— Ví dụ 2.7 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và giả sử X ~

N( A ,Ị3), Y ~ N( 7, ổ) Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên z

— m x { t ) = p e 1 + Ợ, Ợ = 1 — P - Tìm phân phối của tổng ^ X ị

— I =

1

Khóa luận tốt nghiệp

— Trường hợp đặc biệt, nếu X ~ N (ịẤx, ơ 2 ỵ) > Y ~ N (ịẤYiơy 2 ) vàX,

y độc lập thìX + Y~N ( f x + /Xy, (Tx2 + cTy2) và

— X - Y - N ( t i x - V Y , ơ x + a y )

— Nếu X I , ,X N là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối

—với phân phối chuẩn với trung bình là Ị I

2.2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỎI

2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất rời rạc

X { X I )

— { i : g { x t ) = y j }

— Ví dụ 2.10 Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị0,1,2,3,4, 5 với xác suất px (0), Px(l), Px(2), p x (3), Px(4), Pỵ{5)- Tìm phân phối xác suất của cácbiến ngẫu nhiên Y = g{X) = {X-2f.

— Đặt Y i = ỹ i

(xlr ,xn) = 9 k ( X i : : x n ) Khi đó, hàm xác suất đồng thời của Y 1 , ,Y n là

— B = {(0,0), (1,1), (2,0),(2,1), (3,0)}.

—

—

2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tục

a Trường hợp có một biến

— Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất FX {%)

thì hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Y = G (X) có thể được tìm

— Giải

— Ta có y = g ( x ) = - ^ x = g ~ x { y ) = - => y- [ 9 ~ \ y ) ]

— Theo bài ra X ~ [/(1,2) nên f x { x ) = I ( 1 2 ) ( x )

— Theo Định lý 2.7, biến ngẫu nhiên Y = — sẽ có hàm mật độ xác suất

— Đặc biệt, giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F X (-).

Trong phép biến đổi Y = G ( X) ta thay hàm G(-) bằng hàm F X (-) và hàm Fx(')

liên tục thì ta hoàn toàn có thể xác định được phân phối của biến ngẫu nhiên

— Ví dụ 2.15 Cho biến ngẫu nhiên X và hàm phân phối xác suất

— Vậy X có hàm phân phối là F x ( x )

b Trường hợp có nhiều biến

— đo được trên Rn vấn đề đặt ra là tìm hàm mật độ xác suất củavectơ ngẫu nhiên n chiều (Yi, Y n ) với Y j = g j ( x 1 , X n ),j = 1, 2,

— Dưới đây ta sẽ trình bày kết quả tương ứng với n

— cũng được tổng quát hóa cho trường hợp n > 2

— Giả sử X Ị ,X 2 là các biến ngẫu nhiên liên tục cóhàm mật độ xác suất đồng thời f Xl ,x 2 {xi,x 2 ). Đặt A = {{x u x 2 ) : ỉx u x 2 {x u x 2 ) >

0} Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa mãn:

— (*) V I — 9 I I

X

I Ĩ

X

— Vậy y2 có phânphối Cauchy.

— Ví dụ 2.17

Giả sử X Ị ,X 2 là 2biến ngẫu nhiên cóhàm mật độ xácsuất

— /

2 E ~ X L ~ X2 ,0 <

X Ị < X 2 0

, nếu trái lại

thỏa mãn là phép biến đổi

1 — 1 Vậy trong trường hợp không

là phép biến đổi 1 — 1 thì

— chúng ta có kết quả sau

— Giả sử X í , x 2 là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độxác suất đồng thời fx 1 x 2 {xiĩXĩ)- Giả sử rằng các điều kiện sau được thỏa

mãn:

( I ) Ả có thể phân tích được thành các tập A I , ,A M sao cho phép b i ế n

đ ổ i y i = g i ( X i , X 2) , Ì j 2 — 9 2 ( ^ 15 ^ 2 ) l à c á c p h é p b i ế n đ ổ i 1

— 1 từ Aị,i = 1,771 vào B.

( i i ) Xi = gụ - 1 {yi,y 2 ), x 2 = Ơ2i_ 1 (2/1,ỉ/2) là các phép biến đổi ngược từ B vào

A ị , i = 1, m và các đạo hàm riêng cấp 1 của g 2 i ~1 l i ê n t ụ c t r o n g

— A 2 = {{XI,X2) : —00 < Xi < 0 , —00 < x 2 < +00} thì phép biến đổi trên từ

A Ị vào B, Ỉ = 1, 2 là 1 — 1

V

= - ị ( y i - V2 2)

J o =

2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN

— Phép biến đổi H : M K —> M K biến các biến X I , ,X ỊỊ thành các biến 2/1,

— Chứng minh rằng, biến đổi tuyến tính trên là biến đổi trực giao và

— Vì vậy, phép biến đổi tuyến tính trên là biến đổi trực giao

— Theo Định lí 2.10, ta có YÍ, ,Yfc là các biến ngẫu nhiên độc lập có

— phân phối chuẩn tắc N( 0,1), và ta có

— Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học.Hơn nữa do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên khóa luậnkhông tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được ý kiến đóng gópcủa các thầy cô và của các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoànthiện hơn.