Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm số tổng và bậc của hàm số học

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã nhậnđược sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô giáo trong tổ Đại sốnói riêng và các thầy cô ừong khoa Toán trường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã nhậnđược sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô giáo trong tổ Đại sốnói riêng và các thầy cô ừong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2nói chung Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo, đặcbiệt là Th.s Đỗ Văn Kiên người đã tận tình hướng dẫn em ttong suốt thờigian qua để em hoàn thành khóa luận này.

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề

mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót Em kínhmong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viênTrong quá trình nghiên cứu khóa "Hàm số tổng và bậc của các hàm số học" em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình Danh sách tài liệu tham khảo này em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗ lựccủa bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của Th.s Đỗ Văn Kiên cũng nhưcác thầy cô trong tổ Đại số Đây là đề tài không tràng với đề tài của các tácgiả khác

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

Vũ Thùy Liên

LỜI CẢM ƠN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Số học luôn được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Bên cạnh việcgiải đáp những bí ấn về các con số, nó còn có những ứng dụng vô cùng quantrọng trong hệ thống toán học, cũng như trong khoa học kĩ thuật, và đặc biệt làứng dụng thông qua các hàm số học

Hàm số học là khái niệm giữ vai trò vị trí trung tâm trong khoa học toánhọc Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cường tính thốngnhất của môn toán phổ thông, góp phần xóa bỏ danh giới giả tạo giữa các phânmôn của môn toán, giữa các phần khác nhau của chương trình

Do một số hàm số học không là chính qui Nên ta xét hàm tổng của cáchàm số học Việc nghiên cứu hàm tổng và bậc của hàm số học giúp ta hiểu rõ néthơn về tính chất của hàm và các ứng dụng của nó

Chính vì vậy nên em đã chọn đề tài " Hàm số tổng và bậc của các hàm sốhọc" làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:

Đề tài nhằm hệ thống lại 1 số hàm số học cơ bản như: hàm euler, hàm mobius,hàm tổng ; bên cạnh đó là nghiên cứu về hàm tổng của các hàm và bậc của cáchàm số học cũng như hàm tổng

3 Đổi tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: các hàm số học, hàm tổng, bậc của các hàm số học

- Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bảnthân nên khóa luận này chỉ tập trung nghiên cứu về hàm tổng và bậc của 1

số hàm số học

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Nghiên cứu về bậc của các hàm số học cơ bản và hàm tổng của các

hàm số học

5 Giả thuyết khoa học

Đe tài nghiên cứu các vấn đề:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Hàm số học

Chương 2: Hàm tổng và bậc của các hàm số học

6 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu và phân tích các tài liệu Hệ thống khái quát các vấn đề về điểm nguyên đã được định hướng Tổng kết kinhnghiệm của các nhà khoa học và bản thân

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Số nguyên tố

Định nghĩa 1.1.1.573 nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự

nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó.

Tập sổ nguyên tổ kí hiệu là p

Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp sổ

Định nghĩa 1.1.2 Hai sổ nguyên a,b được gọi là nguyên tổ cùng nhau nấi

chúng cỏ ước chung lớn nhất là phần tử khả nghịch Kí hiệu là a,b =

Thật vậy, giả sử p không là số nguyên tố thì p phải là hợp số vì p Ф 1, nghĩa là nó

có một ước thực sựPi,ĩ< Pi<

P-Suy ra Pi cũng là ước của a (mâu thuẫn với giả thiết p là ước nhỏ nhất khác 1 của

Hệ quả 1.2.1(BỔ đề Euclid) Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều chia hết cho ít nhất

một sổ nguyên tố.

Mệnh đề 1.2.2 Có vô số số nguyên tổ hay tập sổ nguyên tổ là vô hạn.

Chứng minh Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p h р ъ Pn.

Xét số а = P i P 2 - - - P n + 1 > 1

Suy ra, theo tính chất thì a có ít nhất một số ước nguyên tố q Nhưng vì có hữu hạn số nguyên tố kể ttên nên q phải trùng với một ttong các số Pi, p- ъ—,Рп• Do

đó q I PjP 2 —Pn• Mà q I a suy ra q I a - P!P 2 —Pn = 1 (vô lý) Vậy điều giả sử là

sai Do đó tập số nguyên tố là vô hạn □

Mệnh đề 1.2.3 ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp sổ n là mộtsố nguyên tố không lớn hơn л/п

Chứng minh Gọi p là ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n Theo tính chất 1 ta có

p là số nguyên tố Giử sử n = pq, khi đó do n là hợp số nên

пФр, suy ra q > 1 Vậy q cũng là một ước lớn hơn 1 của n Theo giả thiết ta

có p < q => p 2 < p.q = n Từ đó ta được p < 4n

Vậy định lý được chứng minh

Hệ quả 1.2.2 Neu số tự nhiên а > 1 không có ước nguyên tổ nào trong khoảng từ

+ Nếu d = p ứủ p \ а а Vậy định

lý được chứng minh

Mệnh đề 1.2.5 Cho p là số nguyên tố và aj, Ü 2 , , a n là các số tự nhiên Khi đó nếup I aia 2 a n thì tồn tại i e {ỉ, 2, , n} đểp I ữị

Chứng minh Neu p không là ước của dị với mọi ỉ = \,n ứiì ứieo mệnh đề 1.1.4 ta

có (a p p) = 1, với mọi i = l,n Suy ra ịa 1 a 2 a n , p) = 1 Điều này mâu thuẫn với giả

thiếtp I aia 2 an Vậy tồn tại i G {1,2, л} đểp I dị.

Hệ quả 1.2.3 Neu số nguyên tố p chia hết tích của nhiều sổ nguyên tố thì nó

phải trùng với một trong các sổ nguyên tố đó.

1.3. Dạng phân tích tiêu chuẩn

Định lý 1.3.1 (Định lý cơ bản của số học) Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều

phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất không kể thứ tự các thừa sổ.

Chứng minh

• Sự phân tích được:

Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 thế thì a phải có một ước nguyên tố p l và ta

Nếu a, = thì a, = và là sự phân tích của а.

Nếu a, > thì có ước nguyên tố p 2 và ta cóa, =

Nếu a 2 — thì а — và là sự phân tích của а.

Nếu a 2 > thìữ2 có ước nguyên tố p 3 và ta có a 2 =

có а — và ta được a= 'là dạng phân tích của a thành tích các thừa

số nguyên tố

• Tính duy nhất

Giả sử a có phân tích а = = 6 p = =Khiđó có

P11Suy ra P 1 trùng với một trong các thừa số q nào đó giả sử là g, Vậy

Pi -

giản ước Pl ta được p 2 p 3 p n =

Lập luận tương tự như trên với p 2 , p 3 , cho tới khi giản ước hết các thừa số ởЛ, _A

một vê

Vì p.,qÆp = = nên không thể xảy ra đẳng thức 1 =

hoặc p + - = nên suy ra

m— và p = V =

Định nghĩa 1.3.1 Trong sự phân tích số tự nhiên a thành tích các thừa số

nguyên tố Gọi p Ị ,p 2 , ,p k là các số nguyên tố đôi một khác nhau có mặt

trong sự phân tích của a với các bội tương ứng a a a a > =

а = п •

Dạng phân tích trên gọi là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên а.

Định lý 1.3.2 (Tiêu chuẩn chia hết) Cho a là một sổ tự nhiên với dạng

phân tích tiêu chuẩn là а = И 1 Một sổ tự nhiên d là ước của a

khi

và chỉ khi nó có dạng а — yl với0 < <

Chứng minh

• Điều kiện cần

Giả sử a chia hết cho d khi đó có q sao cho а = Đẳng thức này

chứng tỏ mọi ước nguyên tố của d đều là ước nguyên tố của a và số mũ của nó trong dạng phân tích tiêu chuẩn của d không lớn hơn số mũ của nó ữong dạng phân tích tiêu chuẩn của а, ta được kết quả càn chứng minh.

• Điều kiện đủ

Giả sử a và d thỏa mãn điều kiện của định lý khi đó ta được а — với q

= ^ ” suy ra q<E N Vậy d là ước của ữ.

1.4. Hệ thặng dư modun m

1.4.1 Vành các lớp thặng dư môđun m

Cho tập thương z z các lớp ứiặng dư môđun m Trên tập z ta

trang bị hai phép toán như sau:

ã + b :=a + b và ãb:=ab với mọi e z

Khi đó z cùng với hai phép toán này lập ứiành một vành giao hoán có đơn vị

1, phần tử không 0

Định nghĩa 1.4.1 Cho một sổ nguyên dương m Khi đó vành ъ cùng với hai

phép toán cộng và nhân các lớp thặng dư môđun m, được gọi là vành các lớp thặng dư môđun m Lớp ÃeZ được gọi là một lớp khả nghịch nếu tồn tại

b để ãb =1.

Mệnh đề 1.4.1 Lớp ãeZ là khả nghịch khi và chỉ khỉ {a,nì) = 1

Chứng minh ãeZ là một lớp khả nghịch khi và chỉ khỉ tằn tại b để

ăb = 1 hay ab = 1 Điều này tương đương với tồn tại b e z để

ab = l(modm) hay tồn tại ez rà xgZ để ab + mx — 1 Vậy ãe2 khả nghịch khi và chỉ khỉ

(a,m) = 1

Chứng minh Lấy tùy ý ã, b Vì (a,m) = l và (b,m) = 1 nên {ab,nì) = 1

Điều này chứng tỏ ãb G z hay z đóng với phép nhân Hơn nữa, phép nhân

các lớp thặng dư thỏa mãn luật kết hợp, giao hoán và 1 G ъ Do đó ъ là một

vị nhóm Hơn nữa, nếu ã thì tồn tại b Gz để ã.b = 1 Do đó b khả nghịch hay

b

Vậy z là một nhóm giao hoán Cuối cùng fleZ khi và chỉ khi (a,m) = 1, )•nen

Nhận xét 1.4.1 Khi m = p là một sổ nguyên tổ thì mọi phần tử khác không

1.4.2 Hệ thặng dư đầy đủ và thu gọn modun m

Định nghĩa 1.4.2 Ta lập ánh xạ /=z z như sau: Với mỗi Ấe/i ta

lẩy một sổ nguyên aeA và đặt f (Á) = a Như vậy f (A) G A, va e z

Tập hợp ảnh f được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ modun m

Tập hợp ảnh f ịz được gọi là một hệ thặng dư thu gọn modum m.

Mệnh đề 1.4.3 Nếu r v r 2 , ,r là một hệ thặng dư thu gọn modul n, và a là số

nguyên dương, a,n = , thì tập hợp ar 1 ,ar 2 , ,ar p cũng là hệ thặng dư

Do n,a = ta suy ra «I — , hay Tị = n điều này vô lývới giả

thuyết Vậy suy ra định lý được chứng minh

Định lý 1.4.1 (Định lý Euỉer) Nếu m> G z - t h ì

đ = n

Chứng minh

Giả sử r v r 2 , ,r là thặng dư thu gọn modm, lập nên từ các số nguyên

dương không vượt quá m Theo định lý 1.4.3, ta có ar v ar 2 , ,ar cũng là

một hệ thặng dư thu gọn Khi đó thặng dư dương bé nhất của hệ này sẽ là tập

hợp r v r 2 , , г sắp xếp theo 1 thứ tự nào đó

Chương 2 Hàm số học 2.1 Khái niệm hàm sổ học

Định nghĩa 2.1.1 Một hàm sổ học là một ánh xạ từ tập các số nguyên dương

đến tập các sổ phức.

Ví dụ 2.1.1 Hàm f n — + € N là mộthàm sốhọc

Định nghĩa 2.1.2 Một hàm số học f khác không được gọi là hàm nhân tính

nếu với mọi số nguyên dương m,n nguyên tổ cùng nhau ta có

Trong trường hợp đắng thức trên đúng với mọi sổ nguyên dương m,n thì hàm

f được gọi là hàm nhân tính mạnh.

Ví dụ 2.1.2 Cho hàm f(n)= và g(n)= V eN Khi đó/, g là các hàm nhân tính

mạnh

Định lý 2.1.1, Cho số nguyên tổ p và sổ nguyên dương m Nếu f là một hàm

nhân tính và f p m —► khi p m —»oo thì f n —> khi n —> oo

Chứng minh:

Vì/ p m —> khi >oonêĩi:

(i) Tồn tại hằng số dương A mà / p”

<

(ii) Tồn tại hằng số 5, mà nếu p m > thì / p

(iii) Cho £ > , tồn tại N £ , nếu p m > thì / p"

Ta thấy A,B là các hằng số không phụ thuộc £ ,\à N £ chỉ phụ thuộc

<

Do / là hàm nhân tính nên

Khi đó c là hằng số không phụ thuộc vào« và £

Trong vế phải của (2), ứng với các nhân tử mà p a ' < thì ựíPĨ0 < , có tối

đa c nhân tử như vậy Các nhân tử còn lại đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (theo

(ii) ) nên ta có \f(n)\ <

Ngược lại chỉ có hữu hạn các số nguyên dạng p a không vượt quá TV £

Vì vậy chỉ có hữu hạn các số nguyên mà trong phân tích tiêu chuẩn của nó có các

thừa số dạng p a với p a <

Gọi p £ là số lớn nhất trong các số nguyên kể trên Chọn số nguyên n >

thì phân tích tiêu chuẩn của n phải chứa ít nhất một nhân tử p a ,p a >

Tức là (fi biểu thị số các sổ nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n.

<

<

Ví dụ 2.2.1.TÙ định nghĩa hàm Euler ta có:

Từ định nghĩa trên ta có hệ quả trực tiếp

Hệ quả 2.2.1 Với số nguyên tố p ta có (f =—

Định lý 2.2.1 Hàm Euler là hàm nhân tính.

Chứng minh:

Ta thấy là hàm số không đồng nhất không

Giả sử m,n là 2 số dương nguyên tố cùng nhau Ta cần chứng tỏ rằng

không vượt quá m , và r,m = > khi đó trong

5 hàng thứ r không có số nguyên nào nguyên tố cùng nhau với mn Vì thế, để tính (p , ta chỉ cần quan tâm các số trong hàng thứ r với r,m — Các số trong hàng này đều nguyên tố cùng nhau với m

6 Mặt khác dễ thấy rằng các số hàng này lập thành một hệ thặng dư đầy

đủ modul n.

7 Do đó có đúng (p số trong hàng nguyên tố cùng nhau với n tức là trong hàng số nguyên tố cùng nhau với mn Có tất cảụ> hàng như vậy Định lý

được chứng minh

• Nếu n= thì công thức trên hiển nhiên đúng.

• Nếu n > , giả sử n có dạng phân tích tiêu chuẩn n = y' k Áp

16 dụng tính chất nhân của hàm (p ta được

1718

22 + /I — nếu trái lại.

23 Ví dụ 2.2.2 Theo định nghĩa hàm mobius ta có

ip = — và ip = —

24 Đây là bảng ngắn giá trị của //

42 Chứng minh

43 Công thức trên đúng nếu n —

44

45

2.2.3 Công thức nghịch đảo Mobius

46 Định lý 2.2.7 (Công thức nghịch đảo Mobius thứ nhất) Nếu f là một

59 với x> và ngược lại.

60 Chú ý ^2 được định nghĩa là ^2 và nếu không có sổ hạng nào thì tổng

67 Thế thì ta có:

2.2.4 Hàm Mangoldt A

69 Định nghĩa 2.2.3 Mọi số nguyên n > ta định nghĩa

ii) A = nếu trái lại

70 Sau đây là bảng ngắn giá trị của A

87 Định nghĩa 2.2.4 (Hàm điểm nguyên trên đường tròn r n ) Với mọi số

88 nguyên dương n > , hàm sổ học r n cho ta sổ các cách biểu diễn n dưới dạng tổng của hai bình phương của số nguyên Nói cách khác:

8990

91 Ta thấy rằng r n không là hàm nhân tính.

92 Ví dụ 2.2.4 Từ định nghĩa hàm điểm nguyên ta có r 10« =

96 Ta dễ dàng thấy d 1 = Và nếu m,n — , khi đó ước số của tích sốmn là

97 số chia của m, và là ước của n.

98 Ngược lại, mọi tích số là số chia của mn

108 Hàm ước d n có thể được giải thích về mặt hình học Ước dương của n bằng số các nghiệm của xy = , trong đó X,

y là các số nguyên dương.

109Do đó d n là số dàn điểm X, y trong góc phàn tư phía trên bên phải của mặt phẳng x,y , và nằm trên hyperbol xy =

2.2.7 Hàm tổng các ướcơ

110 Định nghĩa 2.2.5 Với mỗi sô nguyên dươngn ta định nghĩa hàm ơ

là hàm sổ biểu thị tổng các ước tự nhiên của n

* =E

111 Hàm ơ là hàm nhân tính.

112 Ví dụ 2.2.5.VỚĨ n= có các ước là 1,2,3,6 nên ơ = + + + = Mệnh đề 2.2.2 (Công thức tính) Giả sử n là số nguyên dương và có dạng

124 Một số vấn đề toán cố điển liên quan đến hàm tổng các ước ơ

là vấn đề số

125 hoàn hảo

126 Ta có định nghĩa số hoàn hảo:

127 Định nghĩa 2.2.6 Một số nguyên dương n ^ được gọi là số hoàn

hảo nếu ơ = ; hay nói cách khác n bằng tổng các ước dương mà nhỏ hơn

132 Định nghĩa 2.2.7 số Mersenne là sổ nguyên có dạng 2" — Neu nó là

sổ nguyên tố, ta sẽ gọi đó là số nguyên tố Mersenne.

133 Ví dụ 2.2.7.M 2 ,M 3 ,M 5 ,M 1 là các số nguyên tố Mersenne, trong khi M n

139 Định lý trên được chứng minh

140 Định lý 2.2.15 Số tự nhiên n là số hoàn hảo chẵn khi và chỉ khi n có dạng

157Định lý 2.2.16 (Euỉer) tất cả các số hoàn hảo đều có dạng 2" p , với

164 Vì thế nên ta biết rằng N 1 và N" là các ước

165 Nhưng 1 là ước của N 1 , mà N r ^ nên suy ra N" =

166 Vậy N' = — là một số nguyên tố

167 Định lý trên được chứng minh

168 Định lý 2.2.17 Neu p là một số nguyên tố lẻ, thì mọi ước nguyên tố

của số Mer senne M p đều có dạng 2 kp + , trong đó k là sổ nguyên dương.

169 Chứng minh

Ước chung này lớn hơn 1, vì nó là một

173 Do đó p,q—= , vì p là một số nguyên tố.

175 Định lý được chứng minh

176 Vậy số nguyên tố Mersenne là số nguyên tố có dạng 2" — Tại sao

chúng ta không xét các số nguyên tố ở dạng tổng quát a n — ? Vì nếu a > mà

201 Định nghĩa 2.2.9 Với mỗi số nguyên dương n ta định nghĩa r(n) là

hàm so biểu thị sổ các ước nguyên dương của n.

213 Vói bộ số ĨĨ1Ũ (fì,/3 2 , ,/3 k )ES ai+v S a2+v S ak+1 =S với S ữi+Ĩ là đoạn +1 số

tự nhiên đầu tiên

214 Do đó các ước của n bằng số các phần tử của tập s

215 Từ đó ta có r(n) = Cartí? (í) = ]^[(«, +1)

n

ơ