Kẻ phân giác BD.
Trang 1Đề 1:
Trờng THCS Vinh quang
đề thi học sinh giỏi – môn toán 7
Năm học 2007 – 2008
Câu 1: (2 điểm)
Cho phân số: A = 3 2
4 5
x x
+
− (x ∈ z)
a) Tìm x ∈ z để A đạt GTLN Tìm GTLN của A
b) B) Tìm x ∈ z để A có giá trị là một số tự nhiên
Câu 2: (2 điểm)
Tính:
30 23
1 23 16
1 16 9
1 9 2
1 80 73
1
24 17
1 17 10
1 10
3
1
−
−
−
− +
+ +
+
Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng: a) (20012001 – 19971996) 10
c) Cho S = a + a2 + a3 + + an (n ∈ N)
d) Với giá trị nào của n thì S chia hết cho a + 1 (a ≠ -1)
Câu 4: (2 điểm)
Tìm x, y biết
a)
x
y x y
x
6
1 3 2 7
2 3 5
1
2 + = − = + + −
b) Cho P =
y z
x t y x
t z x t
z y t z
y x
+
+ + +
+ + +
+ + + +
Tìm giá trị của P biết rằng
z y x
t y
x t
z x
t z
y t
z
y
x
+ +
= + +
= + +
=
+
+
Câu 5: (3 điểm): Cho tam giác ABC có góc B = góc C = 40o Kẻ phân giác BD Chứng minh BD + AD = BC
Trang 2Trờng pt hermann gmeiner hp
đáp án – môn toán 7
Câu 1: A =
5 / / 4
2 / /
3
−
+
x
x
(x ∈ z) a) Tìm x ∈ z để A đạt GTLN Tìm GTLN của A
Có A = [ ] [ ] [ 4[4 / / ] 5]
23 5 / / 4 3 5
/ / 4 4
23 15 / / 12 5 / / 4
4
8 / / 2
/
−
+
−
=
−
+
−
=
−
+
x
x x
x x
x
= 4[4/ / 5]
23 4
3
−
+
x đạt GTLN khi 4[4/ / 5]
23
−
* Nếu /x/ ≤ 1 ⇒ 4[4/ / 5]
23
−
x < 0
• Nếu /x/ ≥ 2 thì 4[4/ / 5]
23
−
x >0
Vậy 4[4/ / 5]
23
−
x đạt GTLN khi /x/ = 2 ⇔ x = ± 2
KL: A LN = 4[4.2 5]
23 4
3
−
3
2 2 12
32 = khi x = ± 2
b) Theo câu a ⇒ A ≤
3
2
2 mà A là TN nên A chỉ có thể bằng 0; 1; 2
• Nếu A = 0 ⇒ 34//x x//+−25 = 0 không có giá trị nào của x
• Vậy A = 1 khi
5 / / 4
2 / / 3
−
+
x
x
= 1 ⇔ 3/x/ + 2 = 4/x/ - 5
⇔ /x/ = 7 ⇔ x = ± 7
A = 2 khi
5 / / 4
2 / / 3
−
+
x
x
= 2 ⇔ 3/x/ + 2 = 8/x/ - 10 /x/ = 12/5 ∉ N
Vậy A = 1 khi x = ± 7
Trang 3Câu 2:
30 23
1 23 16
1 16 9
1 9 2
1 80 73
1
24 17
1 17 10
1 10
3
1
−
−
−
− +
+ +
+
30
1 23
1 23
1 16
1 16
1 9
1 9
1 2
1 ( 7
1 ) 80 73
7
24 17
7 17 10
7 10
3
7
(
7
=
48
1 ) 30
1 2
1 ( 7
1 )
30
1
3
1
(
7
Câu 3: CMR a) (20012001 – 19971996) :10
20012001 có số tận cùng là 1 : A1
19971996 = (19974)499 19974 có tận cùng là 1
⇒ (19974)499 có tận cùng là 1 : B1
⇒ 20012001 – 19971996 có tận cùng là 0 ⇒ chia hết cho 10
b) n lẻ thì: (a + a2) + (a3 + a4) + + (an-2 + an-1 + an
= a(a + 1) + a3(a + 1) + + an-2(a+1) + an (a + 1)
Tơng tự n chẵn ⇒ (a + a2 + a3 + + an) : a + 1
Câu 4:
a)
x
y x y
x
6
1 3 2 7
2 3 5
1
Có
12
1 3 2 7
2 3 5
1
2x+ = y− = x+ y−
Thay x = 2 vào 2 tỉ số đầu ta tính đợc y = 3
Vậy x = 2 ; y = 3
+ +
= + + +
= + + +
= + +
t y
x t
z x
t z
y t
z y
x
⇔ x+y+y+z+z t+t = x+x+y t++z z+t = x+x+y t++z y+t = x x++y y++z z+t
Nếu x + y + z + t ≠ 0 ⇒ y + z + t = x + t + z = x + y + z
x = y = z = t ⇒ P = 4
Nếu x + y + z + t = 0 ⇒ P = - 4
⇒ 6x = 12
x = 2
Trang 4C©u 5
CM: BD + AD = BC
- KÎ MD // BC (M ∈ AB)
- LÊy N ∈ BC sao cho BD = BN
- Trong ∆ DBN cã gãc DBN = 20o⇒ BND =
2
20
180 0 − 0 = 80o
Mµ DNB lµ gãc ngoµi ∆ DNC ⇒ DNB = C + CDN
⇒ CDN = DNB - C = 80o - 40o = 40o
ThÊy ∆ BMD c©n t¹i M ⇒ BM = MD mµ MD // BC ⇒ BM = DC
DÔ thÊy ∆ AMD = ∆ NDC (g.g) ⇒ AD = NC
VËy BD + AD = BD + NC = BN + NC = BC
BD + AD = BC