Trong một số có ba chữ số người ta nhân thấy rằng, nếu nhân hai chữ số cuối của só đó với 7 thì được chính số đó.. Tìm ba số đó.. Trên cạnh AB lấy điểm D, sao cho BD = BC.. Тam giác АМD
Trang 1Các bài toán chọn lọc lớp VII của Russia năm học 03.04
ĐỀ BÀI
Bài 1 Trong một số có ba chữ số người ta nhân thấy rằng, nếu nhân hai chữ số
cuối của só đó với 7 thì được chính số đó Hỏi đó là số nào?
Bài 2 Giả sử а = 32004 + 2 hỏi số а2 + 2 – có phải là số nguyên tố không?
Bài 3 Các số dương а và b thoả mãn а2 + b = b2 + a Có thể có а = b?
Bài 4 Giả sử các số (a – b + 2002), (b – c + 2002) и (c – a + 2002) — ba số
nguyên liên liếp Tìm ba số đó
Bài 5 Hãy xếp sắp thứ tự các số: 2222; 2222; 2222; 222 2
; 222 2
; 22 22
; 22 2 2
Bài 6 Chứng minh rằng xy + z = yz + x = zx + y, thì (x – y)(y – z)(z – x) = 0.
Bài 7. Chứng minh rằng 1
2
1 3
1 4
1 5
1 98
1 99
1 100
1 5
Bài 8 Trong tam giác ABC góc С bằng 3 lần góc A Trên cạnh AB lấy điểm
D, sao cho BD = BC Tính đoạn CD, nếu AD = 4.
Bài 9 ABCD – hình vuông Тam giác АМD và AKB – đều ( xem hình) Hỏi các
điểm С, М và K có nằm trên đường thẳng hay không?
Bài 10. Trong tam giác АВС: ÐВ = 20, ÐС = 40, Độ dài phân giác АМ bằng 2
см Tính hiệu cạnh: ВС – АВ
Trang 2
-LỜI GIẢI.
Bài 1 Trong một số có ba chữ số người ta nhân thấy rằng, nếu nhân hai chữ số
cuối của só đó với 7 thì được chính số đó Hỏi đó là số nào?
Trả lời: 350
Giải:
Giả sử số đó là abc – khi đó 7 bcabc Vì abc 100abc,
Biến đổi ta được 3 bc 50а
Số 50 và 3 nguyên tố cùng nhau bởi thế а chia hết cho 3
Ta có а = 6 hay а = 9, thi số bc không là số có hai chữ số
Bởi thế , а = 3; bc = 50
Bài 2 Giả sử а = 32004 + 2 hỏi số а2 + 2 – có phải là số nguyên tố không?
Trả lưòi Không , không đúng như thế
Giải:
Ta biết số đã cho chia cho 3 dư 2, suy ra số đó có dạng : a3t2,
ở đó t – là số tự nhiên ( trong trường hợp đã cho t 32003)
Khi đó a2 2 ( 3t 2 ) 2 2 9 t2 12t 6 3 3 ( t2 4t 2 ),
Là bội só của 3 với bất kỳ t
Suy ra không thể là số nguyên tố
Bài 3 Các số dương а và b thoả mãn а2 + b = b2 + a Có thể có а = b?
Trả lời , không, vi dụ a 0 2, , b 0 8,
Giải:
Для того, чтобы найти a и b , для которых верно данное равенство,
Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng:
a2 b2 a b
(a b a b )( ) a b (a b a b )( 1 ) 0.
Suy ra a b hay a b 1
Trương hợp đủ để có đẳng thức là phải có a b 1
Bài 4 Giả sử các số (a – b + 2002), (b – c + 2002) и (c – a + 2002) — ba số
nguyên liên liếp Tìm ba số đó
Trả lời : 2001, 2002 и 2003
Giải:
Giả sử n – 1; n и n + 1 – là ba số nguyên liên tiếp, khi đó tổng của chúng bằng 3n,
Vì vậy (a – b + 2002) + (b – c + 2002) + (c – a + 2002) = 6006, thì n =
2002
Nên , n – 1 = 2001; n + 1 = 2003.
Bài 5 Hãy xếp sắp thứ tự các số: 2222; 2222; 2222; 2222 ; 2222 ; 2222 ; 22 2 2
Giải:
Khảo sát các luỹ thừa xủa số có tận cùng là 2 ta có :
Trang 322 = 24 = 16 < 222 < 222 = 484 < 512 = 29 < 222
Suy ra 22 2 2 < 2222 < 222 2
< 22 22
Sau đó đến các luỹ thừa: 2222 = 224 > 164= 216 = 22 2 2
Và 2222 = 224 < 2222 < 6437 = 2 6 37 = 2222; 2222 < 2562 = 216 = 22 2 2
Trả lời: 2222 < 22 2 2 < 222 2
< 2222 < 2222 < 222 2
< 22 22
Bài 6 Chứng minh rằng xy + z = yz + x = zx + y, thì (x – y)(y – z)(z – x) = 0.
Giải:
xy + z = yz + x
xy – yz + z – x = 0
y(x – z) – (x – z) = 0
(x – z)(y – 1) = 0
x = z hay y = 1.
Tương tự từ đẳng thức xy + z = zx + y ta nhân được y = z hay x = 1,
Và từ đẳng thức yz + x = zx + y ta cũng nhận được x = y hay z = 1 Nhu vậy x = z; y = z hay x = y, thì ta có đẳng thức
(x – y)(y – z)(z – x) = 0
Nếu : x z, y z и x y, khi đó x = 1, y = 1 и z = 1,
Thì , x = y = z – trái với giả thiết
Vậy chỉ cần một x = z; y = z hay x = y, ta có điều phải chứng minh.
Bài 7. Chứng minh rằng 1
2
1 3
1 4
1 5
1 98
1 99
1 100
1 5
Giải;
Tính : 1
2
1 3
1 6
; 1
4
1 5
1 20
; 1
6
1 20
13 60
12 60
1 5
Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thư nhất
Là một bất đẳng thức vậy vế trái lớn hơn vê phải
Bài 8 Trong tam giác ABC góc С bằng 3 lần góc A Trên cạnh AB lấy điểm
D, sao cho BD = BC Tính đoạn CD, nếu AD = 4.
Trả lời : CD = 4.
Giải:
Giả sử ÐBAC = , т\khi đó khi đó ÐBCA = 3 (xem hinh).
Vì tam giác DBC – cân,
nên ÐBDC = ÐBCD =
Khi đó ÐDСA = 3 –
Vì ÐCDB – góc ngoài của tam giác ADС, nên ÐCDB = ÐDAC + ÐDСA
Trang 4Suy ra , = + (3 – ) = 2
Vậy , ÐDСA = , ta có tam giác АDC – cân với cạnh đáy là АС.
Suy ra , СD = AD = 4.
Bài 9 ABCD – hình vuông Тam giác АМD và AKB – đều ( xem hình) Hỏi các
điểm С, М và K có nằm trên đường thẳng hay không?
Trả lời: Đúng , phải
Giải:
Kẻ МK và MC chứng minh rằng ÐКМС – bẹt ( xem hình)
Tam giác КАМ и MDС – cân với cạnh đáy là КМ và MС tương ứng
Ta biết ÐКAМ = ÐКAB + ÐBAМ = 60 + 30 = 90,
còn ÐMDС = 30
Suy ra , ÐКМА = 45, ÐDМС = 75
Ta có ,
ÐКМС = ÐКМА +ÐАМD +ÐDМС = 45 + 60 + 75 = 180,
Vậy С, М và K nằm trên đường thẳng
Bài 10. Trong tam giác АВС: ÐВ = 20, ÐС = 40, Độ dài phân giác АМ bằng 2
см Tính hiệu cạnh: ВС – АВ
Trả lời : 2 см
Khảo sát tam giác đã cho АВС
Trang 5( xem hình)
Vì ÐВАС = 180 – (20 + 40) = 120,
lúc đó ÐВАМ = ÐСАМ = 60
Trên cạnh ВС lấy điểm D sao cho ВD = АВ,
khi đó CD = ВC – ВD = BC – АВ.
Trong tam giác cân BAD : ÐВАD = ÐBDА = (180 – 20) : 2 = 80;
ÐАМC – góc ngoài của tam giác ВАМ, bởi thế ÐАМC = 20 + 60 = 80.
Vì ÐBDА = ÐАМC, nên MAD – cân cạnh đáy là MD
ÐСAD = ÐВАС – ÐBAD = 120 – 80 = 40,
Thì ÐСAD = ÐDCA, nên CAD – cân cạnh đáy AC
Do đó , CD = AD = AM = 2 (см)