Chứng minh rằng FL vuông góc với AC... Chứng minh rằng FL vuông góc với AC... Theo bổ đề 2 của định lí carnot, suy ra CA vuông góc với FL.. Bài 4 Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số
Trang 1UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10
NĂM HỌC 2011 - 2012
MÔN : TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Bài 1 (6 điểm)
a) Giải phương trình sau trên : 4x212x x 1 27(x1)
b) Giải bất phương trình sau: 9 2
Bài 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho hai số n 26 và n 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Bài 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng KAB 2KAC Chứng minh rằng FL vuông góc với AC
Bài 4 (4 điểm)
Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 phần
tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Bài 5 (4điểm)
Cho các số dương x y z, , Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2
3
x y z
- Hết -
Họ và tên : Số báo danh :
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 10 CẤP TỈNH
MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2011 - 2012
Điểm Bài 1 a) Giải phương trình sau trên : 2
4x 12x x 1 27(x1) b) Giải bất phương trình sau: 9 2
Lời giải: a) Điều ki n: x 1 0 x 1
hương trình đ cho tương đương với
4x 12x 1 x 9(1x)36(1x)(2x3 1x) (6 1x)
(1) (2)
Ta có
x
Ta có
(2)
8
x
Kết luận: x3 ; 81 9 97
8
là nghi m của phương trình đã cho
b) Điều ki n: 5 3 0 2
8
x x
x
TH1 : Xét x2 ta có : 9 9
2
1 x 5 Vậy 1 x 2 là nghi m
TH2 : Xét 2 x 5 ta có : 9 9
2
x
TH3 : Xét 5 x 8 ta có : 9 9
9 8 2 2 10 7
2
5 3 2
x x
0,5 đ
1 đ
1 đ
0,5 đ 0,5 đ
2 đ
Trang 3Kết hợp với miền x đang xét ta có 8 x 5 3 2 là nghi m của Bpt
Vậy tập nghi m của Bpt là :S 1;28;5 3 2 0,5 đ
Bài 2 Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho hai số n 26 và n 11 đều là
lập phương của hai số nguyên dương nào đó
Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n sao cho 3
26 x
11 y
n
với x y, là hai số nguyên dương x y
Khi đó ta được x3 y3 37 (xy)(x2 xyy2 ) 37
0 xyx xyy , nên ta có 2 1 (1)2
37 (2)
x y
x xy y
Thay x y 1 từ (1) vào (2) ta được y2y 12 0, từ đó có y3 và
38
n
Vậy n38 là giá trị cần tìm
1 đ
1,5đ
0,5 đ
Bài 3 Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC sao cho KB=2KC, L là
hình chiếu của B trên AK, F là trung điểm của BC, biết rằng
2
KAB KAC Chứng minh rằng FL vuông góc với AC
Lời giải:
K
C
A
L
F B
Đặt AB=c, AC=b, BC=a, KAC Khi đó: KAB 2 ; BAC 3
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK và ACK, ta được:
;
Do BK=2CK, nên từ các đẳng thức trên ta có: os sin (*)
sin
B c
C
Lại có:
2
.cos cos 3 (1)
2 os 2 cos 2 os
cos cos 3 (**)
Thay (*) vào (**), ta được: 2 2
cos3 (2)
LA LC bc
Từ (1) và (2) suy ra: 2 2 2 2
FA FC LA LC
0,5đ
2 đ
Trang 4Theo bổ đề 2 của định lí carnot, suy ra CA vuông góc với FL
Bài 4 Cho A là tập hợp gồm 8 phần tử , tìm số lớn nhất các tập con gồm 3
phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kỳ trong các tập con này
không phải là một tập hợp gồm 2 phần tử
Lời giải:
Ký hi u X là số phần tử của tập hữu hạn X
Gọi B1, B2,…, Bn là các tập con của A thỏa m n:
3, 2 , 1, 2, ,
Giả sử tồn tại phần tử a A mà a thuộc vào 4 tập trong số các tập B1,
B2,…, Bn (chẳng hạn aB1, B2, B3, B4), khi đó:
1 , 1, 2,3, 4
B B i j Mà Bi Bj nếu ij, tức là B iB j 3 Do đó
1
B B (i, j = 1, 2, 3, 4)
Từ đây A 1 +4.2 = 9, điều này mâu thuẫn
Như vậy, mỗi phần tử của A chỉ thuộc về nhiều lắm là ba trong số các
tập B1, B2,…, Bn Khi đó 3n 8.3 n 8
Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét các tập con của A là:
B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4};
B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7}
Tám tập hợp trên là các tập con gồm ba phần tử của A thỏa m n
2
B B Vì vậy số n cần tìm là n = 8
1 đ
1,5 đ
1,5 đ
Bài 5 Cho các số dương x y z, , Chứng minh bất đẳng thức:
3
x y z
Lời giải: Gọi vế trái của bất đẳng thức là S
ab a b a b a b Nên:
S
2
3
x y z
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1
1 đ
3 đ
