Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3.. Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho đường tròn tâm M có bán k
Trang 1TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
Ngày 30/11/2014
ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA NĂM 2015
ĐỀ SỐ 1
(Thời gian 180 phút)
y x = − x + m + x + có đồ thị ( ) C , với m là tham số m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = − 1
b) Tìm m để đường thẳng ( ) : ∆ y = + x 1 cắt đồ thị ( ) C tại 3 điểm phân biệt (0;1), ,m A B C sao
cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC bằng 5 2
2 , với O là gốc tọa độ.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình:
1 (1 cos ) cot − x x + cos2x − sin2x + sin x = sin 2 x
2 log 4 − x − 3log x + 2 = 6+log x + 6
Câu 3 (1,0 điểm)
1 Tìm hệ số của x trong khai triển Niu-tơn của biểu thức: 10 2
3
x x
, với x≠0,
n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 2 1 100
2 Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau từ các chữ số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3.
Câu 4 (1,0 điểm)
1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x2− mx m − = − x 1 có nghiệm
2 Tìm giới hạn: ( )
1
lim
1
x x
I
x
+
→−
=
Câu 5.(1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
Câu 6.(1,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) ( ) (2 )2
C x − + − y = và đường thẳng ( ) d : x y + − = 10 0 Từ điểm M trên ( ) d kẻ hai tiếp tuyến đến ( ) C , gọi , A B là hai tiếp điểm Tìm
tọa độ điểm M sao cho độ dài đoạn AB = 3 2
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) d : x − 2 y + = 3 0 và đường tròn (C):
x + y − x − = Tìm tọa độ điểm M trên (d) sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc với (C).
Câu 7.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và · BAD = 1200, BD = a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 60 Tính theo a thể tích của khối chóp0
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Câu 8.(1,0 điểm) Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc.
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 1
(2 1) (2 1) (2 1) 2
Trang 2
-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 1
3 6 3 ( 2), 0
2
x
x
=
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = y (0) 1 = , đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = y (2) = − 3
*Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2 +∞
y ′ + 0 - 0 +
y
1 +∞
−∞ -3
*Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1)
Đồ thị nhận điểm uốn I (1;-1) làm tâm đối xứng.
f(x)=x^3-3x^2+1
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x y
1.2 Tìm m để đường thẳng ( ) : ∆ y = + x 1 cắt đồ thị ( ) Cm tại 3 điểm phân biệt A (0;1), , B Csao cho bán
1,0
Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) Cm và (∆): x3− 3 x2+ ( m + 1 ) x + = + 1 x 1
2
= ⇒ = ⇒
− + =
0 9 4
m m
≠
⇔ <
Giả sử B x x ( 1; 1+ 1 , ) ( C x x2; 2+ 1 ) khi đó x x1; 2 là nghiệm của phương trình (2) Ta có
( )
;
OBC
OB OB BC
R
Trang 3( )
OB OC
R
Với x12 = 3 x1− m x ; 22 = 3 x2− m ⇒ OB OC = 4 m2+ 12 m + 25
( )
2 2
3 2
m
m
=
Phương trình (1 cos ) cot − x x + cos2x − sin2x + sin x = sin 2 x
sin
x
x
cos cos cos 2 sin sin 2sin cos
cos (1 2sin ) cos 2 sin (cos sin ) 0
cos cos 2 cos 2 sin cos 2 0
cos 2 0 cos 2 (cos sin 1) 0
cos sin 1 0
x
=
x = ⇔ = + x π k π k ∈ ¢
x + x − = ⇔ x − π = ⇔ − = ± + x π π l π
2 ( ) 2
2
l
x l
π
= +
=
¢
Kết hợp điều kiện phương trình đã cho có các nghiệm là:
x = + π k π
2
x = + π l π ( , k l ∈ ¢ )
2.2
2
log 4 − x − 3log x + 2 = 6+log x + 6 Điều kiện: 6 4
2
x x
− < <
≠ −
0,5
3log 4 3log 2 = 6-3log 6
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
x x
− < <
≠ −
2
2
8 ( ) 2( )
6 16 0
1 33 ( )
2 32 0
1 33 ( )
= −
=
⇔ − − = ⇔ = +
= −
3.1
3
x x
0,5
Trang 4Ta có: 0 1 2 ( )2 0 1 1 2 2
2 2 2n 1 1 n 2 2 2n 2n 2n 2 n
2 2 2 2 n n 2 n
2 2 2 2 n n 2 n
2 100
2 n 2 n 50
3 50
3
x
x là C5032
các số trên, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 3
0,5 Gọi số cần lập có dạng: a a a a a a1 2 3 4 5 6
TH2: a1≠ 3 (a1≠ 0) Có 6 cách chọn a1
Đưa số 3 vào 5 vị trí còn lại có 5 cách
Cách sắp xếp 6 số còn lại vào 4 vị trí còn lại có A64 (cách)
Vậy có: 2520 + 10800 = 13320 (số) thỏa mãn bài toán
2
1 1
2 1
1
x x
x
≥
≥
2
4.2
1
lim
1
x x
x
+
→−
0,5
x
I
+
Ta có
( )
1
x
+
5
1,0
1
x y y
+ ≥
≥
0
− = ≥
Phương trình (2) trở thành: b a ( 2− = 1 ) ( a b2− 1 ) ⇔ ( a b ab − ) ( + = 1 ) 0
( )
1 1
=
5 6 0
3
y
y
=
− + = ⇔ =
( ) d : x y + − = 10 0 Từ điểm M trên ( ) d kẻ hai tiếp tuyến đến( ) C , gọi A B , là hai tiếp điểm Tìm
0,5
Trang 5Đường tròn © có tâm I (3;1),bán kính R IA= =3
2
9
3 2 2
IA IM IH
Gọi M a ( ;10 − ∈ a ) ( ) d ta có 2 ( ) (2 )2
2 a − 24 a + 90 18 = ⇔ a − 12 a + 36 0 = ⇔ = a 6 Vậy M (6; 4) thỏa mãn bài ra
Tìm tọa độ điểm M trên (d) sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc với (C).
(C) có tâm I(2;0), bán kính R = 5, M t (2 − 3; ) ( ) t ∈ d ⇔ MI2 = (2 t − 5)2+ t2
TH1 : Đường tròn tâm M bán kính 2R tiếp xúc trong với (C)
1
5 t 20 t 20 0 t 2 M (1; 2)
TH2 : Đường tròn tâm M bán kính 2R tiếp xúc ngoài với (C)
2 2 2
2 2 2 (1 4 2; 2 2 2), 1 4 2; 2 2 2
t
t
= +
= −
¶ 600
4
2
.tan 60
2
a
3
12
S ABCD
a V
3 1
4 3
a
a
AH
+
4
a
x
d
H
M A
B I
O
Trang 67 1,0
(2 1) (2 1) (2 1) 2
1,0
2
a b c + + =
; y = ; z =
x a
Ta có:
P
Áp dụng bđt Cô-si:
3 2
3
y z
+
3
2
3
x z
3 2
3
y x
+
x = = = ⇔ = = = y x a b c
S
I H