Tuyển tập câu chốt điểm 10 có đáp án từ 2003 đến 2015

Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài giải: Ta có: P xyz Do... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.. Tìm giá trị nhất của biểu thức: 2.

CÁC BÀI TOÁN MAX- MIN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG ĐỀ THI QUỐC GIA TỪ 2003-2015

Đề 01: (Khối A-2003) Cho , ,x y z là ba số dương và x   Chứng minh rằng: y x 1

82

Bài giải:

Với mọi , u v 

ta có: u v u v (*)

uv u v  uvu v  uv  u v )

Đặt a x;1 , b y;1 , c z;1

     



Áp dụng BĐT (*) ta có: a b       c a b c a b c

2 2



Cách 1: Ta có:





Suy ra:

2

1 0

t    

2

9

 

 

         giảm trên 1

0;

9

 

 

 

 

9

Q t Q 

    Vậy P Q t  82 Dấu "=" xảy ra khi 1

3

x   y z

               

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016



Vậy P  82 Dấu "=" xảy ra khi 1

3

x    y z

Đề 02: (Khối A-2005) Cho , ,x y z là ba số dương và 1 1 1 4

x   Chứng minh rằng: y z

1

2x y zx 2y zx y 2z

Bài giải:

Dấu "=" xãy ra khi a b

Áp dụng kết quả trên ta có:

2x y z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z

            



    



    

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

1



Dấu "=" xãy ra khi 3

4

x  y z

Đề 03: (Khối B-2005)

Chứng minh rằng với mọi x   , ta có: 12 15 20 3 4 5

     

        

thức xảy ra?

Bài giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương, ta có:

x

        

         

Tương tự: 12 20 2.4

x

   

    

2.5

x

   

    

Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta có: 12 15 20

     

        

Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3) là các đẳng thức  x 0

Đề 04: (Khối D-2005) Cho , ,x y z là ba số dương và xyz  1

Chứng minh rằng:

3 3

ra?

Bài giải:

Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có:

Tương tự:

 

xy  yz  xz  xy yz xz  (4) Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức    x y z 1

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Đề 05: (Khối A-2006) Cho hai số thực x0, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 0

xy xyx y xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 13 13

A

Bài giải:

Từ giả thiết suy ra: 1 1 12 12 1

x y x  y xy Đặt 1 a, 1 b

a b a  b ab(1)

Aa b  ab a  b ab  ab

Từ (1) suy ra:  2

3

a b ab  ab Vì

2

2

ab  



4

a b ab  ab

2

x  thì y A 16 Vậy giá trị lớn nhất của A là 16

Đề 06: (Khối B-2006) Cho , x y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 2 2  2 2

A x y  x y  y

Bài giải:

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, xét M x  1; y , N x1;y

2

2

1

y

y

y





Lập BBT suy ra

   

;2

minf y 2 3

Vậy A 2 3 với mọi , x y Khi 1

0,

3

x  y thì A 2 3 nên GTNN của A là 2 3

Đề 07: (Khối A-2007) Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện

1

xyz Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2  2  2 

P

Bài giải:

Ta có: 2 

2

x y z x x Tương tự: 2 

2

y zx  y y; 2 

2

z xy  z z

y y

P

Đặt ax x 2y y b;  y y2z z c; y y2z z

9

P

Dấu "=" xảy ra   x y z 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2

Đề 08: (Khối B-2007) Cho , , x y z là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài giải:

Ta có:

P

xyz

Do

Suy ra:

P

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Xét hàm số   2 1

2

t

f t

t

  , với t0 Lập BBT của hàm f t  ta suy ra   3

, 0 2

f t   t

Từ đây suy ra: 9

2

P Dấu "=" xảy ra   x y z 1 Vậy GTNN của P bằng 9

2

Đề 09: (Khối D-2007) Cho a b 0 Chứng minh rằng: 1 1

Bài giải:

BĐT cần chứng minh     ln 1 4  ln 1 4 

Xét hàm số   ln 1 4 

, 0

x

x



/

2

4 ln 4 1 4 ln 1 4

0

1 4

x

f x

x



 

f x

 nghịch biến trên 0;

Do f x nghịch biến trên   0; và a b 0 nên f a  f b  nên ta có đ.p.c.m

Đề 10: (Khối B-2008) Cho , x y là các số thực thay đổi và thoả mãn x2y2 1 Tìm giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2 

2

P





Bài giải:

P

+ Nếu y0 thì x2 1, suy ra P2

+ Nếu y0 Đặt xty, khi đó: 2   2  

2



* Với P2, phương trình (1) có nghiệm 3

4

t

* Với P0, phương trình (1) có nghiệm / 2

3

,

,

,

,

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng 6.

Đề 11: (Khối D-2008) Cho , x y là các số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của biểu thức:   

  2 2

1

P



Bài giải:

   

+ Khi x0, y1 thì 1

4

P 

+ Khi x1, y0 thì 1

4

P

Vậy gia strị lớn nhất của P bằng 1

4, giá trị nhỏ nhất của P bằng

1 4



Đề 12: (Khối A-2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương , , x y z thoả mãn

xy  xz  xy xz y z yz

Bài giải:

Đặt a x y b,  x z c,  y z

Điều kiện: x x   y z 3yz trở thành c2 a2b2ab (*)

    với , , a b c0 thoả mãn (*)

a b  abc c  ab a b ab  abc c  ab c  abc c

Từ (1) cho ta:   2

2

4

ab ab  c , từ đây ta suy ra đ.p.c.m

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Dấu "=" xảy ra khi a    b c x y z

Đề 13: (Khối B-2009) Cho các số thực , x y thay đổi và thoả mãn  3

xy  xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  4 4 2 2  2 2

A x y x y  x y 

Bài giải:

Lúc đó:  4 4 2 2  2 2 3 2 22 3 4 4  2 2

2 1 4

A t  t

1

; 2

2 16

f t f

  

 

 

 

;

16

A đẳng thức xảy ra khi 1

2

x y Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9

16

Đề 14: (Khối D-2009) Cho các số thực không âm , x y thay đổi và thoả mãn x y 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2  2 

S x  y y  x  xy

Bài giải:

16x y 12 x y 3xy x y  34xy 16x y 2xy 12

16 2 12, 0;

4

   

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng 25

2 ; khi

1

1

; 1

2 4

xy

 









và giá trị lớn nhất của S bằng 191

16 ; khi

 

 

1

x y

xy

x y



 



Đề 15: (Khối B-2010) Cho các số thực không âm , , a b c thoả mãn: a  b c 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  2 2 2 2 2 2   2 2 2

M a b b c c a  abbcca  a b c

Bài giải:

M abbcca  abbcca   abbcca

1 0

3 2 1 2 , 0;

3

   

 

3

  dấu "=" xảy ra tại t0; suy ra

 

/

f t nghịch biến

Xét trên đoạn 0;1

3

  ta có: /  / 1 11

2 3 0

 

  , suy ra f t đồng biến  

0 2, 0;

3

2, 0;

3

    ; 2

M khi abbcca ab, bcca0 và a  b c 1a b c; ;  là một trong các bộ số

1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 Do đó giá trị nhỏ nhất của M là 2     

Đề 16: (Khối D-2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2

Bài giải: Điều kiện: 2  x 5

2

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Suy ra y 2; dấu "=" xảy ra 1

3

x

  Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 2

Đề 17: (Khối A-2011) Cho , , x y z là ba số thực thuộc đoạn  1;4 và x y x, z Tìm giá trị

P

Bài giải:

Trước hết ta chứng minh 1 1 2 (*)

1 a1 b1 ab

   với a và b dương; ab1.

Thật vậy, (*)a b 2 1   ab2 1 a1b  ab ab2 ab  a b 2ab

    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab hoặc ab1

Áp dụng (*) với x y,  1;4 , ta có: 1 1 1 2

3

1

x P



Dấu "=" xảy ra z x

  hoặc x 1

y  (1)

Đặt t x t  1;2

y

   Do đó:

2 2

2

t P

2 , 1;2

t

3 /

2

33

ra t 2 x 2 x 4; y 1

y

34

33

P

  Từ (1) và (2) dấu "=" xảy ra x 4; y1; z2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 34

33; khi x4; y1; z2.

Đề 18: (Khối B-2011)

Cho , a b là các số thực dương thoả mãn  2 2   

2 a b ab ab ab2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Bài giải:

Với a b là các số thực dương, ta có: ,  2 2   

2 a b ab ab ab2

5

2

Đặt , 5

2

P t  t  t   t  t  t

2

f t  t  t  t t

2

f t  t  t   t Suy ra:  

5

; 2

 



 

 

 

min

4

P  ; khi và chỉ khi: 5

2

b a và 1 1    

   a b;  1;2

Đề 19: (Khối A-2012) Cho các số thực , , x y z thoả mãn điều kiện x  y z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3x y 3y z 3z x  6x26y2 6z2

Bài giải:

Ta chứng minh: 3t    t 1, t 0 (*)

Áp dụng (*), ta có: 3x y 3y z 3z x       3 x y y z z x

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Áp dụng BĐT a   b a b , ta có:

2

Do đó:

Mà x  y z 0, suy ra x     y y z z x 6x26y26z2

Vậy P3x y 3y z 3z x  6x26y26z2 3

Khi x  y z 0 thì dấu "=" xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3

Đề 20: (Khối B-2012) Cho các số thực , , x y z thoả mãn các điều kiện x  y z 0 và

1

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x5y5z5

Bài giải:

Với x  y z 0 và x2y2z2 1, ta có:

2

Mặt khác

2

;

  (*)

Khi đó: 5  2 2 3 3 2 2 

P x  y z y z y z yz

2

2

1 1

2

,

9

f x 

Suy ra: 5 6

36

,

Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 6

36

Đề 21: (Khối D-2012) Cho các số thực , x y thoả mãn điều kiện   2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3   

Ax y  xy x y

Bài giải:

2

A xy  xy  xy  xy  xy  xy 

3 6, 0;8 2

f t  t t  t t

2

2

 (loại)

Ta có:   1 5 17 5 5  

17 5 5

4

4

  thì dấu "=" xảy ra Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 17 5 5

4



Đề 22: (Khối A-2013) Cho các số thực dương , , a b c thoả mãn điều kiện    2

4

ac bc  c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

c



Bài giải:

Đặt x a, y b

  Ta được x 0, y0 Điều kiện của bài toán trở thành xy  x y 3

Khi đó

Với mọi u0, v0 ta có: 3 3  3    3 3  3 3

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Do đó

3 2

3

Thay xy  3 x y vào biểu thức trên ta được:

3

3

 

P x y  x y  x y  xy  xy  x y  xy  xy 

Đặt t x y  Suy ra t0 và  3 2

P t  t  t

Xét hàm    3 2

f t  t  t  t t Ta có: /   2

2

1

t



 

Với mọi t2, ta có:  2

3 t1 3 và

 2 2

t

t

 

2

f t    Suy ra f t  f 2  1 2 Do đó: P 1 2

Khi a b c thì P 1 2 Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 1 2

Đề 23: (Khối B-2013) Cho , , a b c là các số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4

P

Bài giải:

Ta có

4

t a b  c , suy ra t2 và

P

 



Xét hàm    2 

, 2

Ta có:  

/

t

f t

4t 7t  4t 164 t 4 t 7t4 0 Do đó / 

Ta có BBT:

Từ BBT ta được 5

8

P Khi a  b c 2 thì 5

8

P Vậy giá trị lớn nhất của P là 5

8

Đề 24: (Khối D-2013) Cho , x y là các số thực dương thỏa mãn xy y 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 

2 6

3

P



Bài giải:

Do x0, y0, xy y 1 nên

2

0



Đặt t x

y

 , suy ra 1

0

4

t

  Khi đó

  2

3

P

t



, 0;

3

t

/

2

t

f t

t





 

0;

4

Do đó:

2

t t

 

và

 2

2

2 t 1

 Suy ra /  1 1

0 2 3

P f t  f  

 

 

Khi 1

2

x và y2, ta có: 5 7

3 30

P  Vậy giá trị lớn nhất của P là 5 7

3 30

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Đề 25: (Khối A-2014) Cho , , x y z là các số thực không âm thỏa mãn x2y2z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

1

P

Bài giải:

0 x y z x y  z 2xy2xz2yz2 1xyxzyz ,

Suy ra:

2 2

x y z  x y  z x y z yz  yz x yz

 2   2

2 2yz x y z  4 1 yz

P

 

 

  

Đặt t x y z   , suy ra: t0 và t2 x2y2 z2 2xy2yz2zx

Xét hàm   1 2

1 36

t

f t

t

 , với t 0; 6 Ta có:  

 

 

2 /

1

18

t

f t

nên / 

Ta có:     5   31 6

9

f t  khi t 0; 6

Do đó 5

9

P Khi x  y 1 và z0 thì 5

9

P Do đó giá trị lớn nhất của P là 5

9

Đề 26: (Khối B-2014) Cho , , a b c là các số thực không âm và thỏa mãn ab c 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2

P

Bài giải:

   Tương tự

2

Do đó:  

P

Khi a0, bc b, 0 thì 3

2

P Do đó giá trị nhỏ nhất của P là 3

2

Đề 27: (Khối D-2014) Cho hai số thực , x y thỏa mãn các điều kiện 1 x 2, 1 y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Bài giải:

  

2 2



Suy ra:

P

, 2;4

t

Ta có:  

/

f t

  Suy ra / 

Mà   11   53   7

8

f t  f  Do đó 7

8

P

Khi x1, y2 thì 7

8

P Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 7

8

Đề 28: (THPT Quốc gia 2015 - Đề minh họa) Xét số thực x Tìm giá trị nhất của biểu thức:

2

P

Bài giải:

Ta có

Đề 29: (THPT Quốc gia 2015 - Đề chính thức) Cho các số thực , , a b c thuộc đoạn  1;3 và

  

Chuyên đề BẤT ĐẲNG THỨC - MAX MIN Luyện thi THPT Quốc gia 2016

2 2 2 2 2 2

2

ab bc ca

Bài giải:

Đặt tabbcca Ta có:

 2 1   2  2 2

2

Mặt khác, a1b1c  1 0 abcabbcca  5 t 5

và 3a3b3   c 0 3t 3abbccaabc27 t 22 t 11 Vậy t11;12

P

Xét hàm   2 5 144  

, 11;12 2

t

 

2

144 2

t

f t

t



0, 11;12

f t   t , nên f t nghịch biến trên   11;12 

Suy ra     160

11

11

f t  f  Do đó 160

11

P Ta có a1; b2; c3 thỏa mãn điều kiện bài

toán và khi đó 160

11

P Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 160

11

Đề 30: (THPT Quốc gia 2015 - Đề dự bị) Cho các số thực , a b thỏa mãn , 1;1

2

    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5  

6



Bài giải:

Do , a b1 nên ta có: a1b  1 0 ab   a b 1 0

a b  ab  ab ab  a b

a b  a b  ab

Suy ra:   

4

2

 

4

2

t

  với t 1;2 có:

2 2

1

t



  nên f t là hàm nghịch biến  

Do đó: f t  f 2  1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 , đạt được khi a b 1