Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A= a Rút gọn biểu thức A. b So sánh A và Bài 2: (2 điểm) a Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x3 26x2 + 9x 1 b Chứng minh rằng: với x, y 0 Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình:
Trang 1UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán Thời gian: 14/02/2012
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI:
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A=
2
.
x y
a/ Rút gọn biểu thức A
b/ So sánh A và A
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x3 - 26x2 + 9x - 1
b/ Chứng minh rằng:
3 (x y ) + y + x ≥ + với x, y ≠ 0
Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình:
2
x 1 y 2
1
y 2 x 1
a/ Giải hệ phương trình với m = 1
b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm
Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có µA = 900, đường cao AH Gọi D, E lần lượt theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh các hệ thức:
a/ AB22 HB
AC = HC b/ DE3 = BD.CE.BC
Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm
di động E, F sao cho : AE + EF + FA = 2a
a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
b/ Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích ∆CEF lớn nhất
Hết
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN NGỌC HỒI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC
SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán
(Bản hướng dẫn gồm 03 trang)
2
xy
x xy y
=
1b Vì x≥ 0; y≥và x≠y nên ( x − y) 2>0
⇒ − + > ≥
0,5
Do đó : 0 ≤A = xy xy 1.
x xy y < xy =
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0 ⇔ x=0 hoặc y = 0 0,5
2a 24x3-26x2+9x-1 = 24x3 - 12x2 -14x2 + 7x + 2x - 1 0,5
= 12x2(2x-1) - 7x(2x-1) + (2x-1) 0,25
= (2x - 1)(12x2 - 7x + 1) 0,25
= (2x - 1)(12x2 - 4x - 3x + 1) 0,25
= (2x - 1)[4x(3x - 1) - (3x - 1)] 0,25
2b
Đặt A =
(x y ) + y + x +
Sử dụng (a - b)2 ≥0 ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab
0,5
C/m
Tương tự
Ta có: 2.A
4(x y )
2 6
+
+ ⇒ A ≥ 3 Vậy BĐT được C/m, xảy ra dấu bằng "=" khi x = y
0,5
Trang 3Điều kiện: ≠y 2x 1≠ Đặt:
1 u
x 1 1 v
y 2
=
=
Điều kiện ≠u 0v 0≠ 0,5
Ta có hệ phương trình: −2v 3mu 1(2)u mv 2(1)+ ==
0,5
Với m = 1 ta có
3 u
v 5
x
y
=
+ =
0,5
Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là
8 x 3 19 y 7
=
=
0,5
3b Từ (1) ⇒ = − u 2 mv Thế vào (2) ta có:
2 2
2
2v 6m 3m v 1 (3m 2)v 1 6m
1 6m
3m 2
+
+
1,0
Để hệ có nghiệm thì
m 4
1
6
≠
−
0,5
Vậy với
m 4 1 m 6
≠
−
≠
4a
E D
B
A
⇒ AB22 HB
4b Ta có: AH2 = HB.HC
⇒ AH4 = HB2.HC2 (1)
0,5
Trang 4Trong tam giác vuông AHB có HB2 = BD.AB
Trong tam giác vuông AHC có HC2 = EC.AC
0,5
Thay HB2, HC2 vào (1) ta được
AH4 = BD.AB.EC.AC = BD.EC.BC.AH
⇒ AH3 = BD.EC.BC
0,75
Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên các đường chéo AH = DE
Suy ra DE3 = BD.EC.BC
0,75
5a
K
H
F
E
B A
Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF , Vẽ CH ⊥ EF , H ∈ EF 0,5
∆ DFC = ∆ BKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
⇒ CF = CK
0,5
Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA
= EB + FD = EB + BK = EK
Do đó ∆ CEF = ∆ CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau
và bằng a
0,5
CH không đổi , C cố định , CH ⊥ EF ⇒ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố
5b ∆ HCF = ∆ DCF ( H = D = 900 ; CF chung; CH = CD = a )
⇒ SHCF = SDCF Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó
SHCF + SHCE = SDCF + SBCE
0,5
⇒ SCEF = 1
2 SCDFEB ⇒ SCEF = 1
2( a2 – SAEF )
SAEF ≥ 0 ⇒ SCEF ≤ 1
Dấu “ =” xảy ra ⇔ SAEF = 0
Vậy E ≡ B , F ≡ A hoặc E ≡ A , F ≡ D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất 0,5 Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa phần đó.