Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số lớp phương trình tiến hóa

Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giảitích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại củacác đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Viết Dược

ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM

CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP

PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Nguyễn Thiệu Huy

2 PGS TS Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả, số liệu trongluận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Trịnh Viết Dược

Mục lục

1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng 7

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng 10

1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá 13

1.3.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá 13

1.3.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá 16

1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định 19

2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH 22 2.1 Đa tạp tâm ổn định 22

2.2 Đa tạp không ổn định 26

3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 41

3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 49

3.3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng 54

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N = {1, 2, } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R+ là tập các số thựckhông âm

Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu

L1,loc(I) = {u : I → R | u ∈ L1(ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ I}, trong đó

ω ⊂⊂ I nghĩa là bao đóngω là tập compact trongI Ở đây, I = R+ hoặc R

|f (τ )|dτ < ∞



với chuẩn kf kM := supt≥0Rtt+1|f (τ )|dτ

X là không gian Banach

E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+

ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R

Cb(R+, X) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X, xác định trên

R+ với chuẩn kuk∞ = supt∈R+ku(t)k

Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],nhận giá trị trongX với chuẩn kukC = supt∈[−r,0]ku(t)k

Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họcác toán tử (A(t))t∈I) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ vàtoán tử phi tuyếnf là Lipschitz theo nghĩa nào đó Những kết quả nền tảng đầu tiên

về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron[50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12] Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạptích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợpX = Rn và A(t)làcác ma trận) Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trườnghợp A(t)là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳX Tiếp theo, Henry[21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) làcác toán tử đạo hàm riêng không giới nội Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giảitích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại củacác đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phươngtrình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem[1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] và các tài liệu tham khảo trong đó) Có hai phương pháp

chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard vàphương pháp Perron Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phươngpháp biến đổi đồ thị (graph transform) và đã được sử dụng chẳng hạn trong [22, 40, 52]

để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân Phương pháp này liên quan đến việclựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân Trongkhi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nóliên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov Phương pháp Lyapunov-Perrontập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên

hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân.Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặcnửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợpnày việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết vớicác kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cảkhi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha Chúng ta có thểxem các công trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn

đề này

Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tíchphân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz vớihằng số Lipschitz đủ bé, tức làkf (t, φ) − f (t, ψ)k ≤ qkφ − ψkC với q là hằng số đủnhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]) Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ cácquá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng sốLipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem[41, 42, 49]) Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến đểchúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy

Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấpnhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyếnkhi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz củaphần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhậnđược Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kếtquả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là[2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32] Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tạicủa đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình

vi phân hàm đạo hàm riêng Đó là nội dung chính của luận án này

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo, luận ánbao gồm 3 chương

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm vàmột số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36])

Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định củaphương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27].

• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn địnhcủa phương trình vi phân nửa tuyến tính

mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồntại của đa tạp tâm ổn định Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đườngthẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồntại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm.Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3] trong Danh mục công trìnhkhoa học của tác giả

• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạpkhông ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng

mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có

đa tạp tích phân Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiệnLipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức làkf (t, φ) − f (t, ψ)k ≤ qkφ − ψkC

với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] và tài liệu tham khảo trong đó) Tuy nhiên, đối vớicác phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f

biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụthuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49])

Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng cóthể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy Vì vậy, khi nghiên

cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàmriêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là

kf (t, φ1) − f (t, φ2)k ≤ ϕ(t)kφ1− φ2kC, khi đó điều kiện hằng số Lipschitz q

đủ nhỏ được thay bởi điều kiện supt∈IRtt+1ϕ(τ )dτ đủ nhỏ, như vậy hàm ϕ cóthể nhận giá trị lớn tuỳ ý Tuy nhiên, khác với phương trình vi phân nửa tuyếntính chúng ta sẽ gặp khó khăn về không gian pha do đa tạp tích phân đượcxây dựng trên C trong khi đó họ tiến hoá sinh bởi các toán tử A(t) xác địnhtrên X Do đó, phương pháp biến đổi đồ thị sử dụng trong [1, 40] không ápdụng được Để khắc phục những khó khăn này, chúng tôi sử dụng phương phápLyapunov-Perron và xây dựng các toán tử chiếu trên C thông qua họ tiến hoásinh bởi các toán tử A(t) Các kết quả trong Chương 3 được viết trong bài báo[1, 2] thuộc Danh mục công trình khoa học của tác giả

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS.Nguyễn Thiệu Huy và PGS.TS Đặng Đình Châu, hai người thầy vô cùng mẫu mực, đãtận tình giúp đỡ tôi trên con đường khoa học Hai thầy đã dìu dắt tôi trên con đườngtoán học, đưa tôi bước vào một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo ra những thửthách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếpnhận từ hai người thầy đáng kính của mình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnhai thầy

Trong quá trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận án, tôi đã nhận được rấtnhiều sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong Bộ môn Giải tích và trong KhoaToán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội Tôi xin trântrọng sự giúp đỡ của các thầy cô

Tôi muốn bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm KhoaToán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại học và các phòng ban chức năng của Trường Đạihọc Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập vànghiên cứu

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và toàn thể bạn bè đã luôn khuyếnkhích, động viên để tôi vững bước trên con đường toán học mình đã chọn

Hà Nội, năm 2014Nghiên cứu sinh

Trịnh Viết Dược

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gianhàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ (xem [25, 27, 36]) Sử dụngmột ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banachchấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục công trình khoa họccủa tác giả) Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổnđịnh của phương trình vi phân nửa tuyến tính

1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên

nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên

R+ được gọi là không gian hàm Banach trên(R+, B, λ), trong đó B là đại số Borel và

λ là độ đo Lebesgue trên R+, nếu

(1) (E, k · kE) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel saocho|ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đoλthìψ ∈ E vàkψkE ≤ kϕkE.(2) Hàm đặc trưngχA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0kχ[t,t+1]kE <

Bổ đề 1.1.2 Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Boreltrên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếutrong đoạn này Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E.

Chứng minh Giả sử ϕ ∈ E và ϕ 6= ψ trên J = [a, b] Do ψ bị chặn cốt yếu trên J

nên tồn tại M > 0sao cho

λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0

Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M } và B = J \ A Do E là không gian hàm Banach nên

|ϕ| ∈ EvàχB ∈ E Bởi vậy,|ϕ|+χB ∈ E Ngoài ra ta có,|ψ| ≤ |ϕ|+M χB(λ-h.k.n),suy ra ψ ∈ E

Định nghĩa 1.1.3 Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nóthoả mãn

(i) Tồn tại hằng sốM ≥ 1 sao cho

Z b a

|ϕ(t)|dt ≤ M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE

với mọi[a, b] ⊂ R+ và mọi ϕ ∈ E

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1, trong đó Λ1ϕ(t) = Rtt+1ϕ(τ )dτ

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R+, trong đó

|f (τ )|dτ < ∞



với chuẩn kf kM := supt≥0Rt+1

t |f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhậnđược Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gianLorentzLp, q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞cũng là không gian hàm Banach chấp nhậnđược

Chú ý 1.1.5 Nếu E là không gian hàm Banach chấp nhận được thìE ,→ M(R+).Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.

Mệnh đề 1.1.6 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được Ta có các khẳngđịnh sau

(a) Cho ϕ ∈ L1, loc(R+) sao choϕ ≥ 0 và Λ1ϕ ∈ E Với mọi σ > 0ta xác định Λ0σϕ

và Λ00σϕ như sau

Λ0σϕ(t) =

Z t 0

e−σ(t−s)ϕ(s)ds,

Λ00σϕ(t) =

Z ∞ t

Do T1+Λ1ϕ ∈ E nên theo Bổ đề 1.1.2 suy ra Λ1T1+ϕ ∈ E Mặt khác, ta có

Vì E là không gian hàm Banach chấp nhận được nên Λσϕ ∈ E và ta có

kΛ0σϕkE ≤ N1

1 − e−σkΛ1T1+ϕkE. (1.2)Tương tự, ta có

Λ00σϕ bị chặn và bất đẳng thức (1.1)

(b) Lấy χ[0,1]∈ E, đặt

v(t) =

Z t 0

Theo (a)ta có v(t) ∈ E Vì vậy, theo Bổ đề 1.1.2 suy rae−αt ∈ E

(c) Giả sử tồn tại b > 0 sao cho f (t) = eb t ∈ E Vì E ,→ M(R+) nên tồn tại

C > 0 sao cho

1

b e

b t(eb− 1) ≤ CkebtkE với mọit ≥ 0.

Điều này mâu thuẫn vớilimt→∞eb t = ∞

1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên

đường thẳng

ThayR+ bởi Rvà thay đổi tương ứng trong định nghĩa, chúng ta có khái niệm khônggian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng thực

Định nghĩa 1.2.1 Một không gian vectơE gồm các hàm thực đo được Borel trên Rđược gọi là không gian hàm Banach trên(R, B, λ), trong đóB là đại số Borel vàλ là

độ đo Lebesgue trên R, nếu

(1) (E, k · kE) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được Borel saocho|ψ(·)| ≤ |ϕ(·)|h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đoλthìψ ∈ E vàkψkE ≤ kϕkE

(2) Hàm đặc trưng χA ∈ E với mọiA ∈ B có độ đo hữu hạn vàsupt∈Rkχ[t,t+1]kE <

|ϕ(t)|dt ≤ M (b − a)

kχ[a,b]kE kϕkE

với mọi[a, b] ⊂ R và mọi ϕ ∈ E

(ii) E là bất biến với toán tử Λ1, trong đó Λ1ϕ(t) = Rtt+1ϕ(τ )dτ

(iii) E là Tτ+ và Tτ− bất biến với mọi τ ∈ R, trong đó

Tτ+ϕ(t) = ϕ(t − τ ),

Tτ−ϕ(t) = ϕ(t + τ ).

Hơn nữa, tồn tại N1, N2 > 0 sao cho kT+

τ k ≤ N1, kTτ−k ≤ N2 với mọiτ ∈ R.Tương tự như trong R+, ta có một số tính chất sau của không gian hàm Banachchấp nhận được trên đường thẳng

Mệnh đề 1.2.3 Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng

Λ00σϕ(t) =

Z ∞ t

Tiếp theo là bất đẳng thức nón trong không gian Banach

Định nghĩa 1.2.4 Một tập đóngKtrong không gian BanachW được gọi là nón nếu(i) x ∈ K thì λx ∈ K với mọi λ ≥ 0,

(ii) x1, x2 ∈ K thì x1+ x2 ∈ K,

(iii) ±x ∈ K thì x = 0

Cho nónK trong không gian BanachW Vớix, y ∈ W ta xác định quan hệx ≤ y

nếu y − x ∈ K Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận trên W

Định lý 1.2.5 (Bất đẳng thức nón) Cho nónK trong không gian Banach W sao cho

K là bất biến với toán tử A ∈ L(W ), A có bán kính phổ rA < 1 Giả sử x, z ∈ W

thoả mãn x ≤ Ax + z Khi đó, tồn tại y ∈ W là nghiệm của phương trình y = Ay + z

và thoả mãn x ≤ y

Chứng minh Đặt Sx = Ax + z, theo giả thiết ta có x ≤ Sx Với mọi x ≤ y ta có

Sy − Sx = A(y − x) ∈ K do K bất biến với toán tử A, vì vậy Sx ≤ Sy Bằng quynạp ta có

và x ≤ Sx ≤ S2x ≤ · · · ≤ Snx Chọn q sao cho rA = limn→∞ pkAn nk < q < 1

Do đó, tồn tại N > 0 sao cho kAnk ≤ qn với mọi n ≥ N Suy ra, kAnxk → 0 khi

1.3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá

Một trong những quan tâm hàng đầu về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình

ổn định (xem [18, 39, 38]) Năm 2006, Nguyễn Thiệu Huy [27] đã đặc trưng tính nhịphân mũ của nghiệm dựa vào không gian hàm chấp nhận được trên nửa đường thẳngtrong trường hợp A(t) không bị chặn Trong phần này, ở mục 1.3.2 chúng ta sẽ điểmqua các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy [27]

1.3.1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá

Xét bài toán Cauchy







˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ s ≥ 0, x(s) = x,

(1.5)

trong đóA(t)với tập xác định D(A(t))là toán tử tuyến tính trên không gian Banach

X Khi đó, nghiệm (cổ điển) của bài toán Cauchy (1.5) là hàm u := u(·, s, x) ∈

C1([s, ∞), X) sao cho u(t) ∈ D(A(t)) và uthoả mãn bài toán Cauchy (1.5) với mọi

(ii) Mỗi x ∈ Ys thì bài toán Cauchy (1.5) có duy nhất nghiệm u(·, s, x).

(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu, tức là, nếu sn → s và Ysn 3

xn → x ∈ Ys thì u(t, s ˜ n, xn) → ˜ u(t, s, x) đều theo t trên mọi đoạn compacttrong R+, trong đó u(t, s, x) := u(t, s, x) ˜ với t ≥ svà u(t, s, x) := x ˜ với t < s.Khi bài toán Cauchy đặt chỉnh, chúng ta xây dựng được một họ các toán tử giảinghiệm của bài toán Cauchy (1.5) Họ các toán tử này được gọi là họ tiến hoá

Định nghĩa 1.3.2 Một họ các toán tử tuyến tính, bị chặn (U (t, s))t≥s≥0 trên khônggian Banach X được gọi là họ tiến hoá (liên tục mạnh, bị chặn mũ) nếu

(i) U (t, t) = Id và U (t, r)U (r, s) = U (t, s) với mọi t ≥ r ≥ s,

(ii) ánh xạ (t, s) 7→ U (t, s)x là liên tục với mỗi x ∈ X,

(iii) tồn tại các hằng số K, c ≥ 0 sao cho kU (t, s)xk ≤ Kec(t−s)kxk với mọi t ≥ s

và x ∈ X

Nghiệm của bài toán Cauchy (1.5) qua họ tiến hoá được cho bởi công thức u(t) =

U (t, s)u(s) Khi A(t) ≡ A, bài toán Cauchy đặt chỉnh sẽ xác định nửa nhóm liên tụcmạnh T (t) sinh bởi toán tử A, khi đó chúng ta có họ tiến hoá U (t, s) = T (t − s).Điều kiện để bài toán Cauchy đặt chỉnh hay sự tồn tại của họ tiến hoá, chúng ta cóthể tham khảo trong Pazy [44], Nagel và Nickel [43]

Định nghĩa 1.3.3 Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach X đượcgọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính bị chặn

P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho

Các toán tử chiếuP (t), t ≥ 0, được gọi là toán tử chiếu nhị phân và các hằng sốN, ν

được gọi là hằng số nhị phân

Ta có tính chất sau của các toán tử chiếu nhị phân P (t)

Bổ đề 1.3.4 [39, Bổ đề 4.2] Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ với cáctoán tử chiếu nhị phân P (t) Khi đó, họ các toán tử chiếu(P (t))t≥0 là bị chặn đều vàliên tục mạnh.

1

kP (s)xk P (s)x +

kP (s)xk kQ(s)xk Q(s)x

≤ 1

kP (s)xk x +

kP (s)xk − kQ(s)xk kQ(s)xk Q(s)x ≤

2kxk

kP (s)xk .

Nếu Q(s)x = 0 thì kP (s)xk = kxk Do đó, kP (s)k ≤ max{1, 2

h(s)} Tiếp theo,chúng ta sẽ chỉ ra tồn tại hằng số d > 0 sao cho h(s) ≥ d Với mọi t ≥ s và

x0 ∈ImP (s), x1 ∈ KerP (s)ta có

kx0+ x1k ≥K−1e−c(t−s)kU (t, s)(x0 + x1)k

≥K−1e−c(t−s)(kU (t, s)x1k − kU (t, s)x0k)

≥K−1e−c(t−s)(N−1eν(t−s)− N e−ν(t−s)) =: d(t − s).

Hàm số d(t − s) có giá trị lớn nhất dương và không phụ thuộc vào s Vì vậy, tồn tại

d > 0 sao cho h(s) ≥ d Vậy, H := supt≥0kP (t)k < ∞

DoU (t0, t)vàU (t, t0)| liên tục mạnh nên Q(t)xliên tục trái tại t0 Suy raP (t)x liêntục trái tại t0 Vậy, P (t)x liên tục tạit0 với mỗix ∈ X cố định

Cho (U (t, s))t≥s≥0 là họ tiến hoá nhị phân mũ Chúng ta định nghĩa hàm Greennhư sau

Khi đó, chúng ta có đánh giá kG(t, τ )k ≤ N (1 + H)e−ν|t−τ | với t 6= τ

1.3.2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá

Trong mục này, chúng ta nhắc lại các kết quả của Nguyễn Thiệu Huy [27] mà khôngchứng minh ChoE là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng

R+ và X là không gian Banach với chuẩn k · k Chúng ta xây dựng không gian

E := E(R+, X) = {f : R+ → X sao cho f là đo được và kf (·)k ∈ E}

với chuẩn kf kE = kkf (·)kkE Khi đó, E là không gian Banach Chúng ta gọi nó làkhông gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach chấp nhận được E

Chúng ta ký hiệu Cb(R+, X) là không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trịtrong không gian Banach X với chuẩn sup, k · k∞ Khi đó, chúng ta định nghĩa

E∞ = E ∩ Cb(R+, X) với chuẩn kf kE∞ = max{kf kE, kf k∞}.

Khi đó,E∞ là không gian Banach và E∞ ,→ E

Tiếp theo, chúng ta xét phương trình tích phân

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

Sau đây, chúng ta định nghĩa toán tử G liên hệ với phương trình tích phân (1.7) nhưsau

Định nghĩa 1.3.5 Toán tử G : D(G) ⊂ E∞ → E được xác định bởi

D(G) := {u ∈ E∞ : tồn tại f ∈ E đểu, f thoả mãn phương trình (1.7)},

Gu := f với u ∈ D(G)và f ∈ E thoả mãn phương trình (1.7)}.

Sự tồn tại của toán tử Gđược xác định bởi mệnh đề sau (chứng minh ở [27, Mệnh

U (t, ξ)f (ξ)dξ (1.8)như sau

Định nghĩa 1.3.7 Toán tử G0 : D(G0) ⊂ E∞ → E được xác định bởi

D(G0) := {u ∈ E∞ : tồn tại f ∈ E đểu, f thoả mãn phương trình (1.8)},

G0u := f với u ∈ D(G0) và f ∈ E thoả mãn phương trình (1.8)}.

Tương tự như toán tửG, chúng ta cũng chỉ ra được toán tửG0 là xác định, tuyếntính và đóng

Chú ý 1.3.8 Chúng ta có các tính chất sau của toán tử G và G0

1 KerG = {u ∈ D(G) : u(t) = U (t, 0)u(0)}

Khi đóX0(t0) được gọi là không gian E-ổn định

Định lý sau được lấy từ [27, (Định lý 4.2)] Định lý này cho ta điều kiện cần và đủ

để một họ tiến hoá là nhị phân mũ

Định lý 1.3.10 Cho E = E(R+, X) là không gian Banach tương ứng với không gianhàm Banach chấp nhận được E Khi đó, các khẳng định sau là tương đương

(i) Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 là nhị phân mũ.

(ii) Toán tử G : D(G) ⊂ E∞ → E là toàn ánh và không gian E-ổn định X0(0) làđóng và đủ (tức là X0(0) là không gian con đóng và có phần bù trực tiếp trong

X là không gian con đóng)

Tiếp theo chúng ta sẽ đặc trưng tính nhị phân mũ của họ tiến hoá trên nửa đườngthẳng bởi điều kiện khả nghịch của một toán tử là hạn chế của G lên một không giancon nào đó của E∞ Muốn như vậy, chúng ta cần phải biết KerP (0) Chúng ta địnhnghĩa hạn chế của G như sau

Định nghĩa 1.3.11 Cho Z là không gian con tuyến tính, đóng trong X Chúng tađịnh nghĩa

(1.9)

ở đó bài toán không nhiễu (tức là,B(t) = 0) là bài toán Cauchy đặt chỉnh, sinh ra họtiến hoá nhị phân mũ Khi đó, tồn tại duy nhất họ tiến hoá (UB(t, s))t≥s≥0 thoả mãncông thức biến thiên hằng số (xem [19])

UB(t, s)x = U (t, s)x +

Z t s

U (t, ξ)B(ξ)UB(ξ, s)xdξ, t ≥ s ≥ 0, x ∈ X (1.10)

với điều kiện B là hàm bị chặn đều, liên tục mạnh từ R+ vào không gian L(X), làkhông gian các toán tử tuyến tính và bị chặn trên X Họ tiến hoá (UB(t, s))t≥s≥0

được sinh bởi bài toán nhiễu (1.9)

Với nhiễu dạng này, nếu họ tiến hoá(U (t, s))t≥s≥0là nhị phân mũ và chuẩnkBk := supt≥0kB(t)k là đủ nhỏ thì (UB(t, s))t≥s≥0 cũng là họ tiến hoá nhị phân mũ

Định lý 1.3.13 [27, Định lý 5.1] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ

và cho B là hàm bị chặn đều, liên tục mạnh từ R+ vào không gian L(X), tức là,

B ∈ Cb(R+, Ls(X)) trong đó Ls(X) là không gian L(X) được trang bị tôpô liên tụcmạnh Khi đó, nếu kBk := supt≥0kB(t)k là đủ nhỏ thì (UB(t, s))t≥s≥0 xác định bởi(1.10) có nhị phân mũ

Hệ quả 1.3.14 [27, Hệ quả 5.3] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ vớihằng số nhị phânN, ν > 0 và toán tử chiếu nhị phânP (t) Cho B ∈ Cb(R+, Ls(X))

và H := supt≥0kP (t)k Khi đó, nếu

kBk < ν

2N H(1 + N + N H)

thì họ tiến hoá (UB(t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ

1.4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp

ổn định

Trong phần này chúng ta xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du

dt = A(t)u + f (t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (1.11)

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi tcố định và

f : R+× X → X là toán tử phi tuyến Chúng ta giả sử, họ các toán tửA(t), t ∈ R+

sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ Sử dụng không gian hàm chấpnhận được trên nửa đường thẳng, Nguyễn Thiệu Huy đã chỉ ra điều kiện của hàm f

để phương trình (1.11) có đa tạp ổn định (xem [25]) Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp

ổn định, thay vì (1.11) chúng ta xét phương trình tích phân

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (1.12)

Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.4.1 ChoE là không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đườngthẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm Hàm f : [0, ∞) × X → X được gọi làϕ-Lipschitznếu f thoả mãn

(ii) St đồng phôi với X0(t) với mọit ≥ 0

(iii) Mỗix0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t)của phương trình (1.12) trên[t0, ∞) thoảmãn u(t0) = x0 và esssupt≥t0ku(t)k < ∞

(iv) S là bất biến, tức là, nếuulà nghiệm của phương trình (1.12) thoả mãnu(t0) =

x0 ∈ St0 và esssupt≥t0ku(t)k < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọis ≥ t0

Chú ý rằng, nếu chúng ta đồng nhất X0(t) ⊕ X1(t) với X0(t) × X1(t) thì St = graph(gt)

Dưới đây chúng tôi nhắc lại các kết quả trong [25]

Bổ đề 1.4.3 [25, Bổ đề 4.4] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với cáctoán tử chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàmkhông âm Cho f : R+× X → X là ϕ-Lipschitz và u(t) là nghiệm của phương trình(1.12) thoả mãn esssupt≥t0ku(t)k < ∞ với t0 ≥ 0 cố định Khi đó, với mọi t ≥ t0,

u(t) là nghiệm của phương trình

Định lý 1.4.4 [25, Định lý 4.6] Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ vớicác toán tử chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng ϕ ∈ E làhàm không âm Cho f : R+× X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k < 1 với k được xácđịnh bởi công thức

k := (1 + H)N (N1kΛ1T1+ϕk∞+ N2kΛ1ϕk∞)

1 − e−ν . (1.14)Khi đó, mỗiν0 ∈ X0(t0) có duy nhất nghiệmu(t)của phương trình (1.12) trên [t0, ∞)

thoả mãnP (t0)u(t0) = ν0và esssupt≥t0ku(t)k < ∞ Hơn nữa các nghiệm khác nhau

là hút cấp mũ, tức là nếu u1(t), u2(t) là hai nghiệm ứng với ν1, ν2 ∈ X0(t0) thì:

là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho

ku1(t) − u2(t)k ≤ Cµe−µ(t−t0 )kP (t0)u1(t0) − P (t0)u2(t0)k với mọi t ≥ t0.

Chương 2

ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH

Trong mục 1.4 của Chương 1, chúng tôi đã tóm lược kết quả về sự tồn tại của đa tạp

ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính Trong chương này, chúng tôi trìnhbày kết quả về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định và đa tạp không ổn định của phươngtrình vi phân nửa tuyến tính (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học của tácgiả) Chúng ta xét phương trình

du

dt = A(t)u + f (t, u), t ∈ [0, +∞), u ∈ X, (2.1)

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi tcố định và

f : R+×X → X là toán tử phi tuyến Khi họ tiến hoá(U (t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán

tửA(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyếnf thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz,Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]) Khi mởrộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đatạp tâm ổn định Sau đó thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng ta xétphương trình trên toàn đường thẳng để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và

đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm

2.1 Đa tạp tâm ổn định

Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích phân

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (2.2)Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương trình(2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X

Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau.

Định nghĩa 2.1.1 Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 được gọi là tam phân mũ trên nửađường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu (Pj(t))t≥0, j =1, 2, 3 và các hằng sốdươngN, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả mãn:

(i) supt≥0kPj(t)k < ∞, j = 1, 2, 3

(ii) P1(t) + P2(t) + P3(t) = Id với t ≥ 0 vàPj(t)Pi(t) = 0 với mọij 6= i

(iii) Pj(t)U (t, s) = U (t, s)Pj(s) với t ≥ s ≥ 0 và j = 1, 2, 3

(iv) U (t, s)|ImPj(s) là đẳng cấu từ ImPj(s) lên ImPj(t) với mọi t ≥ s ≥ 0và j = 2,

3, ký hiệu ánh xạ ngược của U (t, s)|ImPj(s) làU (s, t)|

(v) Vớit ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau đúng:

(i) kf (t, 0)k ≤ ϕ(t)với t ∈ R+,

(ii) kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1− x2k với t ∈ R+ và x1, x2 ∈ X

Sau đây là định lý về sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định

Định lý 2.1.3 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các hằng số

N, α, β và các họ toán tử chiếu(Pj(t))t≥0, j =1, 2, 3, cho bởi Định nghĩa 2.1.1 Giả

sử rằng f : R+× X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E là hàm không âm và thoảmãn

gt : Im(P1(t) + P3(t)) → ImP2(t),

với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và St = graph(gt) có các tính chất sau:

(i) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên [t0, ∞) thoảmãn u(t0) = x0 và esssupt≥t0e−γtku(t)k < ∞ với γ = δ+α2

(ii) St đồng phôi vớiX1(t) ⊕ X3(t)với mọi t ≥ 0, ở đây Xj(t) = Pj(t)X, j = 1, 3.(iii) S là bất biến, tức là nếuu(t) là nghiệm của phương trình (2.2) thoả mãnu(t0) =

x0 ∈ St0 và ess supt≥t0e−γtku(t)k < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0

(iv) Với hai quỹ đạo nghiệm bất kỳ x(·) và y(·) trên đa tạp tâm ổn định, ta có ướclượng sau:

kx(t) − y(t)k ≤ Ceδ(t−t0 )kx(t0) − y(t0)k với mọi t ≥ t0 ≥ 0,

trong đó C là hằng số dương độc lập với t0, x(·) và y(·)

VìU (t, s)|ImP2(s) là đẳng cấu từ ImP2(s)lên ImP2(t)nên chúng ta có U (t, s)| e KerP (s)

cũng là đẳng cấu từ KerP (s)lên KerP (t) Bởi định nghĩa của họ tiến hoá có tam phân

Do đó, U (t, s) e có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhị phân (P (t))t≥0 và các hằng

Chúng ta minh hoạ kết quả thu được bằng các ví dụ sau

chúng ta định nghĩa họ tiến hoá U (t, s) = T (t − s) Theo định lý ánh xạ phổ chonửa nhóm chỉnh hình, với t0 > 0 cố định σ(T (t0)) được phân thành ba tập rời nhau

σ1, σ2, σ3 trong đóσ1 ⊂ {|z| < 1}, σ2 ⊂ {|z| > 1}và σ3 ⊂ {|z| = 1} Do đó, các họtoán tử chiếu tam phân là phép chiếu Riesz tương ứng với các tập phổσ1, σ2, σ3 Khi

đó, họ tiến hoá(U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ Bởi Định lý 2.1.3, nếuf làϕ-Lipschitzvới ϕ thoả mãn supt ≥ 0Rtt+1ϕ(τ )dτ đủ nhỏ thì tồn tại đa tạp tâm ổn định cho cácnghiệm đủ tốt của phương trình (2.4)

Ví dụ 2.1.5 Chon ∈ N cố định, xét phương trình

wt(t, x) = wxx(t, x) + n2w(t, x) + ϕ(t) cos(w(t, x)), 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0, w(t, 0) = w(t, π) = 0, (2.5)

trong đó hàm thực ϕ(t) được xác định như sau

0 nếu ngược lại

Ta thấy, ϕ có thể nhận giá trị lớn tuỳ ý nhưng chúng ta luôn có

Do đó, ϕ ∈M(R+) là không gian hàm Banach chấp nhận được

Tiếp theo, chúng ta đưa phương trình (2.5) về dạng trừu tượng (hay dạng củaphương trình vi phân) Muốn vậy, ta xétX = L2[0, π] vàA : X ⊃ D(A) → X đượcxác định bởiAy = ¨ y + n2y với

D(A) = {y ∈ X : y và y ˙ liên tục tuyệt đối, ¨ y ∈ X, y(0) = y(π) = 0}.

Ánh xạ f là ϕ-Lipschitz với ϕ(t) được xác định như trên Theo Ví dụ 2.1.4 nếu

supt ≥ 0Rtt+1ϕ(τ )dτ là đủ nhỏ (hay là c đủ lớn) thì tồn tại đa tạp tâm ổn định chocác nghiệm đủ tốt của phương trình (2.5)

2.2 Đa tạp không ổn định

Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại đa tạp không ổn định cho các nghiệm

đủ tốt của phương trình tiến hoá xác định trên toàn đường thẳng dưới điều kiện họtiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f làϕ-Lipschitz

Trước tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm nhị phân mũ và ϕ-Lipschitz trên toànđường thẳng

Định nghĩa 2.2.1 Họ tiến hoá (U (t, s))t≥s trên không gian Banach X được gọi là

có nhị phân mũ trênR nếu tồn tại họ toán tử chiếu tuyến tính bị chặn(P (t))t∈R trên

X và các hằng số dương N, ν sao cho

(i) kf (t, 0)k ≤ ϕ(t)với t ∈ R,

(ii) kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ ϕ(t)kx1− x2k với t ∈ Rvà x1, x2 ∈ X

Trong phương trình (2.1), chúng ta thayt ∈ R+bởit ∈ R Giả sử rằng họ các toán

tử tuyến tính A(t), t ∈ R trên không gian Banach X sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s

có nhị phân mũ trên R và hàm phi tuyến f : R × X → X là ϕ-Lipschitz Khi đó,chúng ta sẽ chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định cho các nghiệm đủ tốt, cácnghiệm này là nghiệm của phương trình tích phân

u(t) = U (t, s)u(s) +

Z t s

U (t, ξ)f (ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s. (2.7)

Chúng ta có khái niệm đa tạp không ổn định như sau

Định nghĩa 2.2.3 Tập U ⊂ R × X được gọi là đa tạp không ổn định bất biến chocác nghiệm của phương trình (2.7) nếu mỗi t ∈ R không gian Banach X được táchthành X = X0(t) ⊕ X1(t)sao cho

(ii) Ut đồng phôi với X1(t)với mọi t ∈ R

(iii) Mỗi x0 ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.7) trên (−∞, t0]

thoả mãn u(t0) = x0 và esssupt≤t0ku(t)k < ∞

(iv) U là bất biến, tức là nếuu là nghiệm của phương trình (2.7) thoả mãn u(t0) =

x0 ∈Ut0 và esssupt≤t0ku(t)k < ∞ thì u(s) ∈ Us với mọi s ≤ t0

Bổ đề sau đây cho chúng ta công thức biểu diễn nghiệm bị chặn của phương trình(2.7)

Bổ đề 2.2.4 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhịphân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng ϕ ∈ ER là hàmkhông âm Cho f : R × X → X là ϕ-Lipschitz và x(t) là nghiệm của phương trình(2.7) sao cho ess supt≤t0kx(t)k < ∞ với t0 cố định Khi đó, với mọi t ≤ t0, x(t) lànghiệm của phương trình

U (t, τ )f (τ, x(τ ))dτ

= U (t, s)P (s)x(s) +

Z t s

U (t, τ )P (τ )f (τ, x(τ ))dτ

Vì vậy,x(t)−y(t) ∈KerP (t) Điều này dẫn đếnx(t0)−y(t0) = U (t0, t)[x(t)−y(t)] ∈

KerP (t0) Bởi vậy, đặt v1 = x(t0) − y(t0), ta cóx(t) = U (t, t0)|v1+ y(t) Vậy, x(t)

thoả mãn phương trình (2.8)

Chú ý 2.2.5 Bằng việc kiểm tra trực tiếp, chúng ta thấy rằng điều ngược lại của

Bổ đề 2.2.4 vẫn đúng Nghĩa là, mọi nghiệm của phương trình (2.8) cũng thoả mãnphương trình (2.7) với mọit ≤ t0

Định lý 2.2.6 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhịphân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng ϕ ∈ ER là hàmkhông âm Cho f : R × X → X là ϕ-Lipschitz thoả mãn

k := (1 + H)N

1 − e−ν (N1kΛ1ϕk∞+ N2kΛ1ϕk∞) < 1. (2.9)Khi đó, mỗi v1 ∈ X1(t0) có duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (2.7) trên

(−∞, t0] thoả mãn (I − P (t0))x(t0) = v1 và esssupt≤t0kx(t)k < ∞ Hơn nữa,nếu x1(t), x2(t) là hai nghiệm tương ứng với hai giá trị ban đầu v1, v2 ∈ X1(t0) thì:

kx1(t) − x2(t)k ≤ Cµe−µ(t0 −t)kv1 − v2k với mọi t ≤ t0, (2.10)trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

Vì k < 1 nên T là ánh xạ co Khi đó, có duy nhất nghiệm x(t) ∈ L∞((−∞, t0], X)

sao cho T x = x Bởi Bổ đề 2.2.4 và Chú ý 2.2.5, chúng ta nhận được x(t) là nghiệmduy nhất của phương trình (2.7)

Gọix1(t), x2(t)là hai nghiệm bị chặn cốt yếu của phương trình (2.7) trên(−∞, t0]

ứng với hai giá trị v1, v2 ∈ X1(t0) Khi đó, với mọi t ≤ t0 ta có

Ta áp dụng định lý bất đẳng thức nón cho không gian Banach W = L∞((−∞, t0])

và nón K là các hàm không âm Ta xác định toán tử A trên L∞((−∞, t0]) như sau

Do đó, theo định lý bất đẳng thức nón ta có φ ≤ ψ, trong đó ψ ∈ L∞((−∞, t0]) lànghiệm của phương trình ψ = Aψ + z, tức là

Ước lượng (2.10) được chứng minh

Định lý sau đây, cho chúng ta điều kiện đủ về sự tồn tại đa tạp không ổn định chocác nghiệm của phương trình (2.7)

Định lý 2.2.7 Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử chiếu nhịphânP (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0 Giả sử rằng f : R × X → X là

ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn k < N +11 , ở đây k được xácđịnh bởi (2.9) Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm củaphương trình (2.7) Hơn nữa, với hai nghiệm bất kỳ x1(·) và x2(·) trên đa tạp không

ổn định bất biến U, ta có ước lượng sau:

kx1(t) − x2(t)k ≤ Cµe−µ(t0 −t)k(Id − P (t0))(x1(t0) − x2(t0))k

với mọi t ≤ t0, trong đó µ, Cµ là các hằng số dương không phụ thuộc t0

Chứng minh Vì họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ nên với mọi t ∈ R ta có

Vì xi(·), i = 1, 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (2.7) trong L∞((−∞, t], X)

thoả mãn điều kiện(Id − P (t))xi(t) = yi, i = 1, 2 nên ta có

Vậy,gt là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz q := 1−kN k độc lập với t.

Với mỗi t ∈ R, đặt Ut = {x + gt(x) : x ∈ X1(t)} Khi đó, U = ∪t∈RUt Ta sẽchứng minh U là đa tạp không ổn định

Ta xác định ánh xạD : X1(t) → Utnhư sauDy = y + gt(y) Vì hằng số Lipschitz

q < 1 nên gt là ánh xạ co Bởi vậy, ánh xạ D là đồng phôi Do đó, Ut đồng phôi với

X1(t) Tính chất (iii) trong định nghĩa và bất đẳng thức trong định lý nhận được từĐịnh lý 2.2.6 Dưới đây chúng ta sẽ chứng minh U là bất biến

Cho x(t) là nghiệm của phương trình (2.7) trong L∞((−∞, t0], X) thoả mãn

Vì vậy, x(s) = ws+ gs(ws) Như vậy, x(s) ∈Us với mọis ≤ t0

Chú ý 2.2.8 Khi chúng ta mở rộng khái niệm họ tiến hoá(U (t, s))t≥s có tam phân

mũ trênR+ sang trênR, đồng thời sử dụng kỹ thuật dịch chuyển họ tiến hoá và cáchthức chứng minh như trong Định lý 2.1.3 Khi đó, chúng ta cũng nhận được điều kiện

đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm không ổn định cho các nghiệm của phương trình(2.7)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh tính chất hút của đa tạp không ổn định Muốnvậy, chúng tôi cần khái niệm (, ω)-phù hợp (suitable) của một hàm trong định nghĩasau.

Định nghĩa 2.2.9 Cho trước , ω > 0, một hàm g(·) được gọi là (, ω)-phù hợp(suitable) nếu tồn tại các hằng số dươngµ, η sao cho ηeµ <  và

Z t s

U (t, τ )f (τ, x(τ ))dτ với mọit ≥ s,

trong đó x(t) là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân

x(t) = U (t, s)x(s) +

Z t s

U (t, τ )f (τ, x(τ ))dτ với mọi t ≥ s

với điều kiện ban đầu x(s) = y

Mệnh đề 2.2.10 Chúng ta xác định toán tử φ(t, s) = X(t, s) − U (t, s) Nếuhàm N ϕ(·) là (N, ω)-phù hợp, trong đó ω là cận tăng trưởng mũ của họ tiến hoá

(U (t, s))t≥s thì tồn tại cặp số µ, η > 0 sao cho ηeµ <  và

kφ(t, s)x(s) − φ(t, s)y(s)k ≤ ηeµ(t−s)kx(s) − y(s)k với mọi t ≥ s,

trong đó x(·), y(·)là hai nghiệm bất kỳ của phương trình (2.7)

Chứng minh Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh

kx(t) − y(t)k ≤ N eω(t−s)kx(s) − y(s)keRstN ϕ(u)du

kU (t, τ )(f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ )))kdτ

≤ N eω(t−s)z(s) +

Z t s

N eω(t−τ )ϕ(τ )z(τ )dτ.

Đặt γ(t) = z(t)e−ωt, ta có

γ(t) ≤ N γ(s) +

Z t s

kU (t, τ )(f (τ, x(τ )) − f (τ, y(τ )))kdτ

≤

Z t s

N eω(t−τ )ϕ(τ )z(τ )dτ

≤

Z t s

N eω(t−τ )ϕ(τ )N eω(τ −s)z(s)eRsτN ϕ(u)dudτ

=

Z t s

N2eω(t−s)z(s)ϕ(τ )eRsτN ϕ(u)dudτ

= N eω(t−s)kx(s) − y(s)k

Z t s

Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.10 chúng ta có

kφ(t, s)x − φ(t, s)yk ≤ ηeµ(t−s)kx − yk với mọi t ≥ svà x, y ∈ X,

trong đó φ(t, s) = X(t, s) − U (t, s)

Để đơn giản, chúng ta ký hiệuF = X(t, s), S = U (t, s), Φ = φ(t, s), khi đó chúng

ta có

kP (t)F (x) − gt(Q(t)F (x))k ≤ kP (t)F (x) − gt(Q(t)F (Q(s)x + gs(Q(s)x)))k + kgt(Q(t)F (Q(s)x + gs(Q(s)x))) − gt(Q(t)F (x))k.

Để ước lượng hạng tử đầu tiên của vế phải, chúng ta sử dụng tích chất graph(gt) = X(t, s)graph(gs) với mọi t ≥ svà họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ Khi đó,

kgt(Q(t)F (Q(s)x + gs(Q(s)x))) − gt(Q(t)F (x))k

≤ kQ(t)F (Q(s)x + gs(Q(s)x)) − Q(t)F (x)k

≤ kQ(t)S(Q(s)x + gs(Q(s)x)) − Q(t)S(x)k +kQ(t)Φ(Q(s)x + gs(Q(s)x)) − Q(t)Φ(x)k

mũ tất cả các quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.7), tức là nếux(·) là nghiệm bất kỳcủa phương trình (2.7) thì tồn tại các hằng số K, ˜ ˜ η > 0 sao cho

• Đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp không ổn định và tính hút của

đa tạp không ổn định Khái niệm đa tạp không ổn định tương tự như khái niệm

đa tạp ổn định, có thể xem đa tạp không ổn định là ổn định ở phía −∞ Tuynhiên, công thức biểu diễn nghiệm bị chặn (hay phương trình Lyapunov-Perron)tương ứng với hai đa tạp này là khác nhau Khi đa tạp không ổn định của một