Tài Liệu Các Chuyên Đề Toán Học ( Cực chất) Tổng hợp hệ

Vậy phương trình có nghiệm  Xét.. Hàm số liên tục và nghịch biến.. Ta nghĩ đến cộng trừ hợp lý để tạo thành bình phương.. Làm ra nháp thấy nhân pt2 với số 2 thất bại.. Ta nhân pt2 với h

Tæng Hîp HÖ Ph-¬ng Tr×nh

§· Up Trªn Page

Part one

(Có lời giải chi tiết)

Page: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý

Admin soạn thảo:

 Văn Hữu Quốc

 Hinta Vũ Ngọc Anh

Nguồn bài: Sưu Tầm

 

 















2

2

4

2

XÐt h

C©u 1:

2

x y x y y

x

y

y y

y

y

y

  





  

     



VËy nghiÖm cña hÖ l¯ ; 1;1 , ;

y

x y

   

 

       





     



2

2

4 3

C©u 2:

1 2 4 8 4 4

2

2

x y

x

x y x y x y

x x x x y

x

x

 

   

    



 



2

3 KTM VËy nghiÖm cña hÖ l¯ ; 1 / 2; 1 / 2

x

x y

    

  





  



 







3

§K: 3 0

1

C©u 3:

1 : 7

2

1

y

x y

   



3

VËy nghiÖm cña hÖ l¯ ; 1;1

x y

Câu 4:

   

   

 











2

4 3

3 4

2

3 2

3

3

2

2

1 1 1

1

2

0

1 1

DK y

x

y y

x

x

y

Câu 5:

     

   

 





 





















4

2

2

2

2 2

2

2 2

2

1

3

0

C¸ch 2: §Æt

1 9 2 2

y x

y

y

y

y

z

x

       

     







2

2

4

0

6

y

x

 

 





6

6 3

x x

x

Câu 6:













 

4

1

§K:

2

1

x

y

 

            

     

 

2

       

 

y

 

  5 v×   1 25

Câu 7:

2

2

2

(3 ) 0 & ( 3 ) 0

6

2

3

3

3

9

x y x

x

x

y

x y





















  

3

3 3

2

1

4

y

x

y

  





  



Đặt a 22

x

 và b 3y

x

 Nên hệ đã cho trở thành:

3

2 3

3

  



 



2

2 2

x x

  

 





 

Câu 8:

2

4







Điều kiện

Ta xét phương trình (1) có VT , nên VP Mặt khác:  y 1 y 1 0, Suy ra

 Xét thay vào hệ đã cho ta có được Vậy phương trình có nghiệm

 Xét

Chia 2 vế phương trình (1) cho x ta được:

Xét hàm số f t  2 t t Với

f t

 Hàm số liên tục và nghịch biến Nên ta có

1

1

y

x   (*) (y>1)

2

1 1

y y



Vậy phương trình có nghiệm

Câu 9:

2

2

1

3 3 10 (2)

x y

x y

x y







Điều kiện

Ý tưởng: Quan sát thấy (1) có phần tử bậc 2, (2) có phần tử bậc 1 và có bề ngoài giống nhau Ta nghĩ đến cộng trừ hợp lý để tạo thành bình phương Làm ra nháp thấy nhân pt(2) với số 2 thất bại Ta nhân pt(2) với hẳn số 4

và tìm được lời giải đẹp

Đến đây ta trừ 2 vế hai phương trình cho nhau, thu được

 

2

x y

x y





 2  2 1 2

2

1

1

x y

x

x y





 



 







Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là (x;y)=(2;1)

Câu 10:

(2)







Nhận thấy pt(2) không thể đưa về dạng hàm số Ta đi khai thác pt(1)

2

Đến đây ta khai thác pt(2):

Ta lấy thu được:

1 0(5)

x y

   

Vậy nghiệm của phương trình là

Câu 11:

2





1

2

2 y

Áp dụng bunhia cho pt(2) ta có:

2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 2 (*)

y x

y





 Suy ra

Biến đổi phương trình (1):

       

Ta có các điều kiện của nghiệm: và 1 2

2 y

Cho nên vế trái của phương trình trên luôn Vậy để dấu bằng xảy ra thì

  2 2

x  y    x y

Thay vào (*) thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là

Câu 12:

2

2

4

x

x xy y







Điều kiện 1

0

x x

 



 



Ta thấy hoặc y = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra pt(2) tương đương

2

2 2

4

1

y

x

y



Xét hàm f t( ) t 1

t

  Ta có f t'( ) 1 12 0

t

   Vậy f t( ) là hàm đồng biến

Từ đó ta có

2

2 2

2

4

4 4

y







Thay vào (1) ta thu được: 2

4

5

1

2

    



    



Câu 13:

 

 

2

4

2

xy

x y

x y

x y x y

 





Điều kiện xác định: x y 0

0

x xy

y

x y





2 x  x y  x x  y 0 x xy x x    y 1 0 x xy

vì x x  y 1 0

2 2

    



   

 

   2 

2

5 4 4

2 3

x

x x x

x

x

 









 





Vậy (x;y)=(2;2)

Câu 14:





3 3

x y





  





Từ pt(2) ta có:

Kết hợp với điều kiện: 14 x2y48 0 2y14x48 y 4

Do đó ta có pt(1) trở thành:  3    

x  x  y y  y

1

7 3

a

b



 







 

a  ab  b

f t  t t t Có   2

f t  t  

a   b x y  y x  x

2x 18x44 x 3 1 x 3 2 Đặt x 3 t với t1 2

3

x t

   , ta được

2 t 3t 4     t t 2 t 2t 3t     4t 4 0 t 2 do t1

Vật phương trình đã cho có nghiệm   x y;  7;33

Câu 15:

2







Từ phương trình (2) ta có:

2

2 2 2 2

2

2 2

2

1

y y



        

+) Xét

+) Xét x 0 ta có:

Ta khai thác phương trình (1)

2

Với điều kiện (*) ta có:

 

2

2

2

1 1 0

1 3 0

2 0

x

x y

y

   



  



 





Từ đây suy ra nên 2 1 1 0 0

1

1 0

x x

y y

Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x,y) là (0,1)

Câu 16:

3







Điều kiện y 1

Phương trình (1) khá đẹp mắt, ta đi khai thác nó:

2

2

1 1



 



Đặt t y1 Kết hợp với phương trình (2) ta có:

TH1:

3

2

2

2

3 3 3

1 1 Dat 1 (t 0)

xt x t









 







Đến đây dễ rồi, các bạn tự giải nhé!

Vậy nghiệm phương trình

Câu 17:

2

2 2

2

1

2













 



x

0



x

 

2 2

2

1

2 / 3 5 / 3

 



           



Câu 18:

2 2

( 1 1) : 0( / )

1

) : 1

x

x y x

x x x y y

x x

Dat







2 2

2 2

; 1 2 & 2 ( ; 0) & ( ; 1)

(***)

( / ) 5

2 2

a b a b





Câu 19:

 

 

2

1

§ K:

1

1

1 1 2 1 1

2

3 0

x

x

y

x







  







      

 

















2 2

   

 

5

thö l¹i

5 2 19

3

x

x







 



      5 2 19 2 2 19

x y

Câu 20:

     

     

2

2

2 §K:

2 0

2 2

1

2 2

x y x y x y

y

x

x

 



   



  













Câu 21:









7

2 18 18

1

,

8

:

xy

xy

x y

 

 

 

 

2

2

2

Câu 22:

 

     

      

     

        



  











3

3

3

4

3

       

   





2

2

4

3 1

4 H¯m đồng biến trên 0; nên phương trình 0 có nghiệm duy nhất 0 1

3 Vậy nghiệm của hệ l¯ ; 0;1

x

x

x y

Cõu 23:

2

1 2

1

0

( ) ( )

Thay v¯o (2) ta được:

Vậy nghiệm (x;y) l¯: (

(1) (2)

x y y x

x

x

y



  

   









     



1,-1) v¯ (-1;1)

Cõu 24:

Cõu 25: Giải hệ của: Admin( Nguyễn Minh Thành)

{

(√ ) (√ )

(√ √ )

Điều kiện:

Phương trình (1) tương đương:

(√ ) Theo bất đẳng th c uniacowski ta có:

(√ √ ) (√ √ ) √ √

hi đó (2) tương đương:

Cộng vế theo vế (3) và (4) ta được:

√ Vậy {( √ )}

Chắc chắn còn nhiều thiếu xót, mong các bạn thông cảm!