phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng

Logic hay luận lý học, từ tiếng Hy Lạp cổ điển λόγος (logos), nghĩa nguyên thủy là từ ngữ, hoặc điều đã được nói, (nhưng trong nhiều ngôn ngữ châu Âu đã trở thành có ý nghĩa là suy nghĩ hoặc lập luận hay lý trí).

A. Mở đầu:

Trong cuộc sống hằng ngày, mọi hoạt động của con người đều thông qua tư duy của họ Khác với hành động của con vật mang tính bản năng, hành động của con người luôn mang tính tự giác Con người, trước khi bắt tay vào hoạt động thực tiễn cải tạo thế giới, đều đã có sẵn dự án trong đầu Sự khác biệt ấy là vì con người có tư duy và biết vận dụng sức mạnh của tư duy vào việc thực hiện các mục đích của mình Trong quá trình hoạt động đó, con người dần dần phát hiện ra các thao tác của tư duy

Nói đến tư duy logic thì nhân loại, ở châu Phi hay ở châu Âu, ở châu Á hay ở châu Mỹ, từ Albert Einstein cho đến mỗi người chúng ta, ai ai trong đầu cũng đều có so sánh, phán đoán, suy lý, trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về các hiện tượng, sự vật xung quanh Nghĩa là tự nhiên ban cho con người bộ não hoạt động tư duy với các quy luật logic vốn có, khách quan ở tất cả mọi người và mọi dân tộc

Cùng với sự phát triển của thực tiễn và của nhận thức, con người càng ngày càng có sự hiểu biết đầy đủ hơn, sâu sắc hơn, chính xác hơn

về bản thân tư duy đang nhận thức Chính quá trình hiểu biết ấy là cơ sở tạo ra sự phát triển của logic học Các quy luật của tư duy logic là phổ biến cho toàn nhân loại

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của triết học Kể từ giữa thế kỉ 19, logic đã thường được nghiên cứu trong toán học

và luật

Ngày nay, dưới tác động của cách mạng khoa học – công nghệ hiện đại, logic học (hình thức) phát triển hết sức mạnh mẽ dẫn đến sự hình thành một loạt các bộ môn logic học hiện đại, như logic học mệnh đề, logic học vị từ, logic học đa trị, logic học tình thái, logic học xác suất, v.v Các bộ môn đó cung cấp cho nhân loại những công cụ sắc bén giúp tư duy con người ngày càng đi sâu hơn vào nhận thức các bí mật của thế giới khách quan

Sự ra đời của lôgíc mệnh đề đánh dấu bước nhảy vọt trong sự phát triển của lôgíc học, chuyển từ lôgíc học truyền thống đến lôgíc học hiện đại Sử dụng toàn bộ những khái niệm của lôgíc mệnh đề kết hợp với khảo sát các mệnh đề từ việc phân tích các thành phần của mệnh đề, người ta

đã xây dựng các hàm vị từ, đồng thời đưa vào sử dụng hai hằng lôgíc quan trọng, lượng từ toàn thể và lượng từ bộ phận Sự ra đời của lôgíc vị

từ đã khắc phục những hạn chế của lôgíc mệnh đề như: thiếu việc sử dụng các lượng từ toàn thể và bộ phận, không phân tích kết cấu của các mệnh

đề Sự khắc phục này cho phép ta đi sâu vào phân tích ngữ nghĩa của các mệnh đề, các tư tưởng nói chung, mở ra một khả năng nghiên cứu tính chân lý của các tư tưởng một cách sâu sắc hơn, đầy đủ hơn Sau đây em xin trình bày về lý thuyêt logic vị từ và một số ứng dụng của nó

Logic thường được nhắc đến như là một ngành nghiên cứu về tiêu chí đánh giá các luận cứ, mặc dù định nghĩa chính xác của logic vẫn là vấn đề còn đang được bàn cãi giữa các triết gia Tuy nhiên khi môn học được xác định, nhiệm vụ của nhà logic học vẫn như cũ: làm đẩy mạnh tiến bộ của việc phân tích các suy luận có hiệu lực và suy luận ngụy biện để người ta

có thể phân biệt được luận cứ nào là hợp lý và luận cứ nào có chỗ không hợp lý

Theo truyền thống, logic được nghiên cứu như là một nhánh của

học và luật Gần đây nhất logic được áp dụng vào khoa học máy tính và trí

loại cấu trúc của các khẳng định và các lý lẽ, cả hai đều thông qua việc nghiên cứu các hệ thống hình thức của việc suy luận và qua sự nghiên cứu lý lẽ trong ngôn ngữ tự nhiên Tầm bao quát của logic do vậy là rất rộng, đi từ các đề tài cốt lõi như là nghiên cứu các lý lẽ ngụy biện và

nay, logic còn được sử dụng phổ biến trong lý thuyết lý luận

Qua suốt quá trình lịch sử, đã có nhiều sự quan tâm trong việc phân biệt lập luận tốt và lập luận không tốt, và do đó logic đã được nghiên cứu trong một số dạng ít nhiều là quen thuộc đối với chúng ta Logic Aristotle

chủ yếu quan tâm đến việc dạy lý luận thế nào cho tốt, và ngày nay vẫn được dạy với mục đích đó, trong khi trong logic toán học và triết học phân tích (analytical philosophy) người ta nhấn mạnh vào logic như là một đối tượng nghiên cứu riêng, và do vậy logic được nghiên cứu ở một mức độ trừu tượng hơn

Các quan tâm về các loại logic khác nhau giải thích rằng logic không phải là được nghiên cứu trong chân không Trong khi logic thường có vẻ tự cung cấp sự thúc đẩy chính nó, môn học này phát triển tốt nhất khi lý do

mà chúng ta quan tâm đến logic được đặt ra một cách rõ ràng

Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của logic học, người ta tiến hành phân loại các hệ thống Lôgíc học theo những các khác nhau và logic toán

là kết quả toán học hóa logic

2. Logic toán là gì?

Lôgic toán là một ngành con của toán học nghiên cứu các hệ thống

hình thức trong việc mã hóa các khái niệm trực quan về các đối tượng toán học chẳng hạn tập hợp và số, chứng minh toán học và tính toán Ngành này thường được chia thành các lĩnh vực con như lý thuyết mô hình

(model theory), lý thuyết chứng minh (proof theory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy (recursion theory) Nghiên cứu về lôgic toán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations of mathematics).

Các tên gọi cũ của lôgic toán là lôgic ký hiệu (để đối lập với lôgic triết học) hay mêta toán học.

Lôgic toán không phải là lôgic của toán học mà là toán học của lôgic

Ngành này bao gồm những phần của lôgic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toán học Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy toán học như lý thuyết mô hình và lý thuyết đệ quy, trong đó, khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm Logic toán được xây dựng trên cơ sở logic mệnh đề và logic vị từ

+/ Logic mệnh đề

Cơ sở của lôgic toán, thực chất bao gồm đại số mệnh đề và hệ toán mệnh đề, gọi chung là phép tính mệnh đề

Nhiệm vụ cơ bản của đại số mệnh đề là xây dựng hệ thống quy tắc kết cấu các mệnh đề, cũng như thực hiện các phép biến đổi mệnh đề đúng đắn, chính xác, chặt chẽ Nhờ đó, quá trình lập luận lôgic sẽ được chuyển thành các hệ toán lôgic Hệ toán mệnh đề là một hệ thống đóng kín, bao gồm các định nghĩa, các quy tắc và một số tiên đề (nếu là hệ toán lôgic tiên

đề hoá), từ đó nhờ các phép biến đổi đại số mệnh đề người ta có thể thu được các mệnh đề khác nhau, kết quả có thể đúng hoặc sai tuỳ thuộc giá trị chân lí của các tiền đề và việc áp dụng các lập luận lôgic

+/ Logic vị từ

Cùng với lôgic mệnh đề, cấu thành cơ sở của lôgic toán Về thực chất, là sự mở rộng lôgic mệnh đề nhờ bổ sung thêm nhiều yếu tố và thành phần mới vào ngôn ngữ hình thức hoá của phép toán lôgic mệnh đề Kết quả, đại số mệnh đề sẽ chuyển thành đại số vị từ và hệ toán mệnh đề chuyển thành hệ toán vị từ

Nếu lôgic mệnh đề cho phép tiến hành các phép biến đổi toán học chính xác và chặt chẽ đối với các phán đoán thì LVT, hơn thế nữa, còn cho phép thực hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các khái niệm Do đó, LVT không chỉ chính xác hoá cơ sở lôgic của hệ thống phán đoán, mà còn hoàn thiện cơ sở lôgic của hệ thống khái niệm

x là biên Người ta cũng gọi P(x) là giá trị của hàm mệnh đề P tại x Xét trong tập hợp các số thực, một khi biến x được gán giá trị cụ thể thì câu P(x) sẽ có giá trị chân lý Chẳng hạn P(4) là đúng còn P(2,5) là sai Hàm mệnh đề cũng có thể xét trong tập các số nguyên, số thực hay số phức,

như vậy

Một vị từ là một khẳng định P(x,y,…) trong đó có chứa một số biến x,y,

…Lấy giá trị trong những tập hợp A,B,… cho trước, sao cho:

• Bản thân P(x,y,…) không phải là mệnh đề

• Nếu thay x,y,…bằng những giá trị cụ thể thuộc tập hợp A,B,… cho trước ta sẽ được một mệnh đề P(x,y,…), nghĩa là khi đó chân trị của P(x,y,…) được gọi là các biến tự do của vị từ.

Ví dụ 1: Các câu có liên quan tới các biến như: “ x > 3 ”, “ x + y = 4 ” rất

hay gặp trong toán học và trong các chương trình của máy tính Các câu này không đúng cũng không sai vì các biến chưa được cho những giá trị xác định

Nói cách khác, vị từ có thể được xem là một hàm mệnh đề có nhiều biến hoặc không có biến nào, nó có thể đúng hoặc sai tùy thuộc vào giá trị của biến và lập luận của vị từ

Vi dụ 2: Câu {n là chẵn} là một vị từ Nhưng khi cho n là một số cụ thể là

Người ta có thể xem vị từ như là một ánh xạ P, với mỗi phần tử thuộc

tập hợp E ta được một ảnh P(x)∈{ϕ, 1} Tập hợp E này được gọi là không gian của vị từ Không gian này sẽ chỉ rõ các giá trị khả dĩ của biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề đúng hoặc sai

Chúng ta cũng thường gặp những câu có nhiều biến hơn Vị từ xuất hiện cũng như một hàm nhiều biến, khi đó số biến được gọi là trọng lượng của vị từ

Ví dụ 4: Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} là một vị từ 2 biến trên không gian N Ta

nói P có trong lượng 2

Trong một vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng là n Nếu gán giá trị xác định cho một biến trong nhiều biến thì ta được một vị từ mới Q(x1,

x2, xn) có trọng lượng là (n-1) Qui luật này được áp dụng cho đến khi n=1 thì ta có một mệnh đề Vậy,thực chất mệnh đề là một vị từ có trọng lượng là ϕ.

Ví dụ 6: Cần viết câu "nếu hai người thích một người thì họ không thích

nhau“ dưới dạng logic vịtừ

- Trước khi viết câu trên ta hãy tìm hiểu các câu đơn giản được viết như sau:

+ "Nam thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Nam, Mai) + "Đông thích Mai" được viết theo phép toán vị từ là: thích (Đông, Mai).

o Tổng quát khẳng định trên được viết như sau:

Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y)

⇔ (Thích (X, Z) ∧thích (Y, Z) → ¬thích (X, Y)

Là một giá trị xác định trong không gian của vị từ các hằng được ký hiệu bởi các chữ thường dùng để đặt tên các đối tượng đặc biệt hay thuộc tính

Dùng để thể hiện các lớp tổng quát của các đối tượng hay các thuộc tính Biến được viết bằng các ký hiệu bắt đầu là chữ in hoa Vậy có thể dùng vị từ có biến để thể hiện các vị từ tương tự

Ví dụ 7: Vị từ "Quả bóng màu xanh" có thể viết lại: "X màu Y" Quả bóng

xanh là các hằng được xác định trong không gian của vị từ X, Y là biến

Một sự kiện hay mệnh đề trong phép toán vị từ được chia thành phần

Vị từ và tham số Tham số thể hiện một hay nhiều đối tượng của mệnh đề, còn vị từ dùng để khẳng định về đối tượng

Ví dụ 8: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y)

Thích là vị từ cho biết quan hệ giữa các đối tượng trong ngoặc Đối số là các ký hiệu thay cho các đối tượng của bài toán

d. Hàm

Được thể hiện bằng ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số

Ví dụ 9: Hoa là mẹ của Mai, Đông là cha của Cúc Hoa và Đông là bạn của

Câu xác định "Tập hợp những biến x làm cho P(x) là đúng không là tập hợp rỗng" là một mệnh đề Hay "Tồn tại ít nhất một phần tử x trong không gian sao cho P(x) là đúng" là một mệnh đề được gọi là lượng từ tồn tại của P(x)

 Ký hiệu: ∃x P(x)

Câu xác định "Tập hơp những x làm cho P(x) đúng là tất cả tập hợp E"

là một mệnh đề Hay "P(x) đúng với mọi giá trị x trong không gian" cũng là một mệnh đề được gọi là lượng từ với mọi của P(x)

∀xP(x) P(x) là đúng với mọi phần tử

x

Có ít nhất 1 phần tử x để P(x)

∃xP(x) Có ít nhất 1 phần tử x để

P(x) là đúng

P(x) là sai với mọi phần tử x

Ví dụ10: Xét trong không gian các số thực, ta có:

Cho P(x) := “ x + 1 > x”, khi đó có thể viết: ∀ xP(x)

Cho P(x) := “ 2x = x + 1 ”, khi đó có thể viết: ∃xP(x)

Ví dụ 11: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x là số chẵn} Xét chân trị

của hai mệnh đề∀x P(x) và ∃x P(x)

Giải:

∀x P(x) = {tất cả số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề sai khi x = 5

∃x P(x) = {hiện hữu một số nguyên tự nhiên x là số chẵn} là mệnh đề đúng khi x=10

Chú ý: Cho P là một vị từ có không gian E Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh

đề ∀x P(x) là đúng khi tất cả các mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là ∀x P(x) ⇔ P(e1) ∧ P(e2) ∧ ∧ P(en) là đúng

Tương tự ∃x P(x) là đúng nếu có ít nhất một trong những mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) là đúng Nghĩa là ∃x P(x) ⇔ P(e1) ∨ P(e2) ∨ ∨ P(en) là đúng

Ví dụ 12: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5}

Hãy xác định chân trị của các mệnh đề sau:

∀(a,b) P(a,b) {Tất cả cặp số nguyên tượng ứng} F

∃(a,b) P(a,b) {Hiện hữu một cặp số nguyên tương ứng

∀a∃b P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng a, hiện hữu một

số nguyên tưng ứng b sao cho a + b = 5} T

Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng là 2 Khi đó:

a) ∀a∀b P(a,b) và∀b∀a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là: ∀a∀b P(a,b) ↔ ∀b∀a P(a, b)

Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b)

b) ∃a∃b P(a,b) và ∃b∃a P(a, b) là có cùng chân trị

Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔∃b∃a P(a, b)

Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b)

c) Nếu ∃a∀b P(a,b) là đúng thì∀b∃a P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng Nghĩa là: ∃a∀b P(a,b) →∀b∃a P(a,b)

d) Nếu ∃b∀a P(a,b) là đúng thì∀a∃b P(a,b) cũng đúng nhưng điều ngược lại chưa đúng Nghĩa là: ∃b∀a P(a,b) →∀a∃b P(a,b)

¬∃x P(x) nói rằng tập hợp những x mà ở chúng P(x) là đúng là tập hợp rỗng Nghĩa là, tập hợp những phần tử x mà ở chúng P(x) là sai là tập E hay không có phần tử nào làm P(x) đúng Ta có∀x (¬P(x))

Ví dụ 13: Phủ định của "Mọi số nguyên n là chia chẵn cho 3“ là "Tồn tại ít

nhất một số nguyên n không chia chẵn cho 3"

Ví dụ 14: Hãy xét phủ định của câu sau đây :

"Tất cả sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2"

o Câu này chính là câu sử dụng lượng từ với mọi như sau: ∀xP(x) Trong đó P(x) = { x đã học môn Toán rời rạc 2 }

o Phủ định của câu này là : " Không phải tất cả các sinh viên trong lớp đều đã học môn Toán rời rạc 2" Điều này có nghĩa là :" Có ít nhất một sinh viên ở lớp này chưahọc Toán rời rạc 2" Đây chính là lượng

từ tồn tại của phủ định hàm mệnh đề ban đầu được viết như sau :

lượng, người ta thay thế những định lượng ∀ bởi ∃, và ∃ bởi ∀ và sau cùng thay thế vị từ bằng phủ định của vị từ đó

Định lý 3: Cho P và Q là hai vị từ có cùng không gian.

Chú thích:

 Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có:

- Tập hợp A E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là⊂đúng

- Tập hợp B E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là⊂đúng

 Nếu P và Q là hai vị từ có cùng không gian E Ta có:

-Tập hợp A E : Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì P(x) là⊂đúng

-Tập hợp B E: Tập hợp những phần tử x thuộc E mà ở chúng thì Q(x) là⊂đúng

Khi đó người ta lưu ý rằng, A B là tập hợp những x thuộc E mà ở∧chúng mệnh đề P(x) Q(x) là đúng Trong khi đó A B là tập hợp những x∧ ∨của E mà ở đó mệnh đề P(x) Q(x) là đúng.∨

A tương đương B nếu và chỉ nếu (A →B) (B →A)∧

+∀x∀y W(x,y) ≡ ∀y∀x W(x,y)

+∃x ∃y W(x,y) ≡ ∃y∃x W(x,y)

Các phép tương đương sau đúng khi x không xuất hiện trong biểu thức C:

5.∃y ∀x W(x,y) →∀x ∃y W(x,y)

Một tên vị từ theo sau bởi một danh sách các biến như: P (x, y), trong

đó P là tên vị từ, và x và y là các biến, được gọi là một công thức nguyên tử

+ Wff này là T, nếu miền giá trị là (1, 3, 5), (2, 4, 6) hoặc các số nguyên dương Nhưng nó không còn là T nếu miền giá trị là ( 1, 3, 5), hay các số nguyên âm

+ Nếu giả thiết Q(x,y) là “x > y” thì ∀xQ(x,y) có thể nhận giá trị T hay F tùy thuộc theo biến y

o Từ ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:

o Wff được gọi là thỏa mãn nếu tồn tại một giải thích làm cho nó T

Ví dụ 17: ∀x P(x) là thỏa mãn.

o Wff là hợp lệ nếu nó là đúng với mọi giải thích

Ví dụ 18: ∀x P(x) ∨ ∃x¬P(x) hợp lệ với mọi P và giải thich.

o Wff là không hợp lệ hoặc không thỏa mãn nếu không tồn tại một giải thích làm Wff T

 Quy tắc suy diễn 1 ( rút gọn)

o Công thức cơ sở: (A B)→A≡1˄

o Mô hình suy diễn : B A

∴ A

 Quy tắc suy diễn 2( cộng)

o Công thức cơ sở: A → (AB) ≡ 1

o Mô hình suy diễn: A

 Quy tắc suy diễn 4( phủ định)

o Công thức cơ sở: ((A→B)˄ ́B ) → ́A ≡ 1

o Mô hình suy diễn: A→ B ́B

∴ ́A

 Quy tắc suy diễn 5( bắc cầu)

o Công thức cơ sở: ((A→B) (B→C))→(A→C)≡1˄

o Mô hình suy diễn: A→ B B → C

∴ A →C

 Quy tắc suy diễn 6( tam đoạn luận tuyển)

o Công thức cơ sở: ( ́A (A B))→B≡1˄ ˅

o Mô hình suy diễn: A˅ B ́A

∴ B

 Quy tắc suy diễn 7( mâu thuẫn)

o Công thức cơ sở: ( A1˄A2˄…˄An¿ →B≡ ( A1˄A2˄…˄An˄́B ) →0≡1

o Mô hình suy diễn:

 Quy tắc suy diễn 8( theo từng trường hợp)

o Công thức cơ sở: ((A→C) (B→C))→((A B)→C) ≡ 1˄ ˅

o Mô hình suy diễn: B→C A→C

∴(A˅B)→C

 Quy tắc suy diễn 9( đặc biệt hóa phổ dụng)

Nếu mệnh đề ∀xP(x) đúng trên trường M thì khi thay x bởi phần tử a bất kỳ trong M ta được mệnh đề a cũng đúng

o Công thức cơ sở: ∀xP(x)→P(a)≡1

o Mô hình suy diễn: ∀x P(x)

 Quy tắc suy diễn 10(tổng quát hóa phổ dụng)

Cho mệnh đề ∀xP(x) trên trường M Khi đó, nếu P(a) đúng với mọi phần tử a trên trường M thì mệnh đề ∀xP(x) cũng đúng trên trường M

o Công thức cơ sở: P(a)→ ∀xP(x)≡1

o Mô hình suy diễn: P(a)

 Quy tắc suy diễn 11

o Công thức cơ sở: ((∀x)(P(x)→Q(x) P(a))→Q(a)≡1, aM mà P(a) đúng˄

o Mô hình suy diễn: (∀x)(P(x)→Q(x)) P(a)

o Mô hình suy diễn: (∀x ϵ M1 )P (x )

2 Chuyển lượng từ ra phía trước.

• Chuyển về dạng chuẩn Prenex tuyển:

F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1∨…∨Dk)

Dk là hội của một hoặc nhiều mệnh đề

Ví dụ 21: F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∧ q(y)) ∨ (q(y) ∧ r(z))).

• Chuyển về dạng Prenex hội :

F = (Q1 x1) (Qn xn) (D1∧…∧ Dk)

Dk là tuyển của một hoặc nhiều mệnh đề

Ví dụ 22: F = (∀x)(∃z)(∀y)((¬p(x) ∨ q(y)) ∧ (q(y) ∨ r(z))).

• Giải thuật chuyển một công thức về dạng chuẩn Prenex Hội/ Tuyển

- Đổi tên biến

- Xóa toán tử “→” dùng A → D = ~A ∨ B

- Di chuyển ¬ (~) về bên trái của mỗi mệnh đề

- Chuyển các lượng từ ra bên trái của công thức

- Dùng luật phân bố và kết hợp để chuyển về dạng tương ứng ( Hội/ Tuyển)

Ví dụ 23: Cho W= ∀xA(x) ∨ ∃xB(x) →C(x) ∧∃xC(x).

W ≡ ∀y A(y) ∨ ∃z B(z) →C(x) ∧ ∃t C(t) (Đổi tên biến)

≡ ~ (∀y A(y) ∨ ∃z B(z)) ∨ (C(x) ∧∃t C(t))(Xóa”→”)

≡ (~∀y A(y) ∧~∃z B(z)) ∨(C(x) ∧∃tC(t))(Di chuyển ~)

≡ (∃y~A(y) ∧∀z~B(z)) ∨ (C(x) ∧∃t C(t))

≡ ∃y∀z∃t((~A(y) ∧~B(z)) ∨(C(x) ∧C(t))) (Di chuyển ∃,∀)

Đây là dạng chuẩn Prenex tuyển

10. Luật suy diễn